1. No category

Aalto-yliopisto
Insinööritieteiden korkeakoulu
Rakenne- ja rakennustuotantotekniikan koulutusohjelma
Rakennetekniikka
Joonas Nykyri
OHUTUUMAISEN LAITEKANNATINPALKIN
LUOTETTAVUUSPERUSTEINEN STABIILIUSANALYYSI
Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa
varten Espoossa 2.2.2015.
Valvoja
Professori Jari Puttonen
Ohjaaja
DI Markus Derry
Aalto-yliopisto, PL 11000, 00076 AALTO
www.aalto.fi
Diplomityön tiivistelmä
Tekijä Joonas Nykyri
Työn nimi Ohutuumaisen laitekannatinpalkin luotettavuusperusteinen stabiiliusanalyysi
Koulutusohjelma Rakenne- ja rakennustuotantotekniikka
Pää-/sivuaine Rakennetekniikka / Rakennusmateriaalit ja
rakennusfysiikka
Professuurikoodi RAK.thes
Työn valvoja Prof. Jari Puttonen
Työn ohjaaja(t) DI Markus Derry
Päivämäärä 2.2.2015
Sivumäärä 93+41
Kieli Suomi
Tiivistelmä
Tiedon epävarmuus on tyypillistä teollisuusrakenteiden suunnitteluvaiheessa. Iteratiivisessa
suunnitteluprosessissa epävarmuuden hallinta nousee tärkeään rooliin. Teollisuusrakennukset
ovat usein rakenteille haastavia. Laitekannattimien rakenneratkaisuna käytetään yleisesti korkeita
ohutuumapalkkeja, jotka soveltuvat tehtävään hyvin, mutta ovat alttiita epästabiiliusilmiöille kuten kiepahdukselle ja uuman lommahdukselle.
Kiepahdusta pyritään estämään tukemalla palkki sivusuunnassa. Jos tuilla on riittävä jäykkyys,
kiepahdusta voidaan tarkastella itsenäisesti pistemäisten tukien välillä. Leikkauslommahduksen
estämiseksi käytetään uumaa jäykistäviä levyjä. Levyt on sijoitettava tarpeeksi tiheästi, jotta puristettujen osien hoikkuus pysyy alhaisena. Ohuet puristetut levyt lommahtavat jäykistämättömillä
alueilla ennen plastisoitumista. Eurokoodissa tämä huomioidaan jättämällä nämä alueet ilman
jännityksiä kestävyyden laskennassa. Jäljelle jäävää osaa kutsutaan teholliseksi poikkileikkaukseksi, jonka kestävyyteen mitoitus perustuu.
Rakenteiden luotettavuusteorian avulla voidaan suorittaa mitoitus käsittelemällä suunnitteluparametrejä satunnaismuuttujina. Muuttujille oletetaan jakaumat, joiden perusteella määritetään
rasituksen ja kestävyyden jakaumat. Tämän jälkeen voidaan laskea rakenteen vaurioitumistodennäköisyys ja luotettavuusindeksi, jotka kuvaavat luotettavuutta. Näille mittareille on annettu suositusarvot eurokoodissa.
Tässä työssä suoritetaan ohutuumaisen laitekannatinpalkin rakenneanalyysi sekä eurokoodin että
luotettavuusteorian mukaisesti keskittyen kiepahdukseen ja uuman leikkauslommahdukseen.
Luotettavuuslaskennan perusmuuttujina käytetään teräksen materiaaliominaisuuksia, kiepahdustukien sijaintia ja jäykkyyttä sekä kuormien suuruutta. Lopuksi muuttujien parametrejä muutetaan yksitellen, jolloin nähdään rakenteen herkkyys kyseiselle muutokselle.
Rakenteen eurokoodin mukainen käyttöaste oletusarvoilla on 0,76. Tällöin myös luotettavuusanalyysin tulokset ovat hyväksyttäviä. Kun käyttöaste nostetaan arvoon 1, luotettavuuden mittareiden
arvot siirtyvät selvästi ohjerajojen ulkopuolelle. Tämän aiheuttaa kiepahdustukien alhainen jäykkyys. Jos tukien jäykkyys on turvattu, rakenne täyttää luotettavuusvaatimukset myös käyttöasteella 1. Cornell indeksi korreloi hyvin eurokoodin kanssa, mutta antaa liian suuria arvoja, jos varmuusmarginaalissa on poikkeamia normaalijakaumasta. Hasofer-Lind indeksi soveltuu tilanteeseen paremmin, mutta voi vaatia simulaatiolta suurta otoskokoa.
Avainsanat Teräsrakenteet, ohutuumapalkki, teollisuusrakennukset, laitekannatin, stabiilius,
kiepahdus, lommahdus, luotettavuus, Cornell indeksi, Hasofer-Lind indeksi
Aalto University, P.O. BOX 11000, 00076 AALTO
www.aalto.fi
Abstract of master's thesis
Author Joonas Nykyri
Title of thesis Reliability Based Stability Analysis of a Thin-web Equipment Girder
Degree programme Structural Engineering and Building Technology
Major/minor Structural Engineering / Building Materials and Physics
Code of professorship RAK.thes
Thesis supervisor Prof. Jari Puttonen
Thesis advisor(s) M.Sc. (Tech) Markus Derry
Date 02.02.2015
Number of pages 93+41
Language Finnish
Abstract
Uncertainty of information is typical for design of industrial structures. Control of the uncertainty
becomes essential in the iterative design process. Conditions are often challenging for the structures in industrial buildings. Large profile thin-web steel beams are commonly used as a structural
solution for equipment girders, which suits well for the task, but are disposed to instability phenomena such as lateral-torsional buckling and web buckling.
Lateral restraints are used to prevent the lateral-torsional buckling. If the restraints obtain sufficient stiffness, lateral-torsional buckling can be independently observed between discrete restraints. Web stiffeners are used to prevent shear buckling of the web. The stiffeners must be
placed close enough to keep slenderness of the compressed parts low. Thin compressed plates will
buckle before yielding in unstiffened areas. In the Eurocode this is taken into account by neglecting the capacity of these areas in the definition of resistance. The design is based on the resistance
of the remaining area which is called the effective cross-section.
According to the structural reliability theory the design can be performed by describing calculation
parameters as random variables. Distributions of the variables are assumed and distributions of
stress and resistance are derived from these assumptions. After this, the probability of failure and
the reliability index of the structure can be calculated. Target values for these indicators are suggested in the Eurocode.
In this study a structural analysis of a thin-web equipment girder is performed according to both
the Eurocode and the structural reliability theory with focus on lateral torsional buckling and
shear buckling of the web. Material properties of steel, location and stiffness of the lateral restraints, and magnitude of loads are used as basic variables in the reliability calculations. Finally,
parameters of the variables are adjusted one by one to inspect the sensibility of the structure.
With default values the utilization ratio according to the Eurocode is 0.76. In this case also the
results of the reliability analysis are acceptable. When the utilization ratio is increased to 1, values
of the reliability indicators change and target values are not satisfied. This is caused by low stiffness of the lateral restraints. If stiffness of the restraints is secured, the structure fulfills the reliability requirements also with a ratio of 1. The Cornell index correlates well with the Eurocode but
may lead to non-conservative values, if the system does not obey the normal distribution. HasoferLind index suits better for the situation, but may require large sample size in the simulation.
Keywords Steel structures, thin-web beam, industrial buildings, equipment girder, stability, lateral-torsional buckling, plate buckling, reliability, Cornell index, Hasofer-Lind index
Esipuhe
Diplomityön tekeminen oli ehdottomasti yksi opintojeni kohokohdista. Työ antoi mahdollisuuden perehtyä syvällisesti mielenkiintoiseen aiheeseen, josta on merkittävää hyötyä käytännön työtehtävissäni teollisuusrakennusten suunnittelussa. Motivaatio ja innostus kasvoivat diplomityön edetessä, minkä vuoksi valmistuminen tuntuu hieman haikealta. Toivon mukaan pääsen vielä palaamaan aiheen pariin tulevaisuudessa.
Haluan kiittää Pöyry Finland Oy:stä Matti Ahosta diplomityöni mahdollistamisesta sekä
Markus Derryä asiantuntemuksesta, panostuksesta ja kiinnostuksesta työtä kohtaan.
Aalto-yliopistolla kiitokset kuuluvat professori Jari Puttoselle mielenkiintoisesta aiheesta luotettavuuslaskennan parissa.
Perhettäni haluan kiittää parhaasta mahdollisesta tuesta mitä opiskeleva nuori voi kaivata. Erityiskiitokset isälleni Pekka Nykyrille motivoinnista ja neuvoista koko opintojen
ajalta, joita ilman urakka olisi ollut moninkertaisesti haastavampi.
Kiitoksen ansaitsevat myös ystävät kannustuksesta, koulukaverit vertaistuesta sekä työtoverit päivien tauottamisesta pingispelien merkeissä.
Espoossa 2. helmikuuta 2015
Joonas Nykyri
Sisällysluettelo
Käytetyt symbolit ja lyhenteet .............................................................................................. iii
1
Johdanto ..........................................................................................................................1
2
Teollisuusrakennusten laitekannatinpalkit ....................................................................4
3
2.1
Suunnittelun luonne ...................................................................................................4
2.2
Tyypillinen kuormitus ................................................................................................7
2.3
Ohutuumapalkit ....................................................................................................... 10
Epästabiiliusilmiöt ......................................................................................................... 13
3.1
3.1.1
Kriittinen momentti .......................................................................................... 15
3.1.2
Sivusuunnassa pistemäisesti tuettu palkki ......................................................... 17
3.2
4
5
6
Kiepahdus ............................................................................................................... 13
Uuman lommahdus .................................................................................................. 21
3.2.1
Ylikriittinen tila ............................................................................................... 23
3.2.1
Pystyjäykisteiden vaikutus ............................................................................... 24
Mitoitus eurokoodin mukaan ........................................................................................ 26
4.1
Tehollinen poikkileikkaus......................................................................................... 26
4.2
Taivutusmomentti .................................................................................................... 31
4.3
Leikkausvoima ......................................................................................................... 33
Rakenteiden luotettavuus .............................................................................................. 37
5.1
Luotettavuusteorian lähtökohdat .............................................................................. 37
5.2
Perusyhtälö ............................................................................................................. 38
5.3
Muuttujien mallintaminen ........................................................................................ 41
5.4
Vaurioitumistodennäköisyys..................................................................................... 42
5.5
Luotettavuusindeksi ................................................................................................. 43
Laitekannatinpalkin laskennallinen analyysi ............................................................... 48
6.1
Lähtötiedot .............................................................................................................. 48
6.1.1
Rakennemalli ................................................................................................... 49
6.1.2
Kuormitus ........................................................................................................ 51
6.2
Osavarmuuslukuihin perustuva menettely (EC) ........................................................ 52
6.2.1
Voimasuureet ................................................................................................... 52
6.2.2
Rakenteen kestävyys ........................................................................................ 54
6.2.3
Käyttöasteet ..................................................................................................... 57
6.3
Luotettavuusanalyysi ............................................................................................... 59
6.3.1
Muuttujat ......................................................................................................... 60
i
6.3.2
Rasitus S .......................................................................................................... 66
6.3.3
Kestävyys R ..................................................................................................... 70
6.3.1
Luotettavuuden mittarit .................................................................................... 75
6.3.2
Herkkyysanalyysi............................................................................................. 78
6.4
7
Tulosten yhteenveto ................................................................................................. 84
Johtopäätökset............................................................................................................... 87
Lähteet................................................................................................................................... 90
Liitteet ...................................................................................................................................93
LIITE A :
Eurokoodin mukainen analyysi
LIITE B :
Luotettavuusanalyysi
LIITE C :
Sivuttaistukien kestävyys ja jäykkyys
ii
Käytetyt symbolit ja lyhenteet
A
Poikkileikkauksen pinta-ala
Ai
Poikkileikkauksen osan i pinta-ala
Aeff
Poikkileikkauksen tehollinen pinta-ala
AV
Leikkauspinta-ala
C1, C2, C3
Kuormituksesta riippuvat vakiot kriittisen momentin laskennassa
E
Kimmokerroin
FX
Perusmuuttujan X kertymäfunktio
F
Vaurioitumistapausten lukumäärä
G
Liukukerroin
G(X)
Rajatilafunktio
G1
Pistekuorman pysyvä osuus
Ieff
Tehollinen jäyhyysmomentti
It
Vääntöjäyhyysmomentti
Iy
Jäyhyysmomentti y-akselin suhteen
Iz
Jäyhyysmomentti z-akselin suhteen
Iω
Käyristymisjäyhyys
K
Tuen jäykkyys
KT
Tuen kynnysjäykkyys
L
Palkin pituus
Lcr
Kiepahduspituus
Lsegi
Segmentin i pituus
Lu
Kiepahdustukien välimatka
M
Otoskoko
iii
M0cr
Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti palkille, jonka taivutusmomentti on vakio
M1, 2, 3, 4, 5
Kiepahdussegmentin momentit
Mcr
Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti
Mb.Rd
Kiepahduskestävyyden mitoitusarvo
Mc.Rd
Poikkileikkauksen taivutuskestävyyden mitoitusarvo
MEd
Taivutusmomentin mitoitusarvo
Mmax
Momentin maksimiarvo
MP
Momentti pistekuormasta
Mp
Momentti tasaisesta kuormasta
M_per_casen
Tapauksen n momentit laskentapisteissä
MT
Kynnysmomentti
MTot
Kokonaismomenttitensori
N
Perusmuuttujien lukumäärä
O
Origo
Pi
Pistekuorma i
PEd
Pistekuorman mitoitusarvo
P*
Mitoituspiste
Pf
Vaurioitumistodennäköisyys
Pf,βC
Vaurioitumistodennäköisyys Cornell indeksistä johdettuna
Pf,βHL
Vaurioitumistodennäköisyys Hasofer-Lind indeksistä johdettuna
Pr
Rakenteen luotettavuus
Q1
Pistekuorman muuttuva osuus
R
Kestävyys
RC3
Luotettavuusluokka 3
S
Rasitus
iv
Segi
Kiepahdussegmentti i
V0
Leikkausvoiman arvot palkin alkupäässä
Vbw.Rd
Leikkauslommahduskestävyyden mitoitusarvo
VEd
Leikkausvoiman mitoitusarvo
VL
Leikkausvoiman arvot palkin loppupäässä
Vmax
Leikkausvoiman maksimiarvo
Vpl.Rd
Plastisen leikkauskestävyyden mitoitusarvo
Weff,c
Tehollinen taivutusvastus puristetun puolen suhteen
Weff,t
Tehollinen taivutusvastus vedetyn puolen suhteen
Weff
Tehollinen taivutusvastus
X_Points
Laskentapisteet sisältävä tensori
Xstarti
Segmentin i alkupiste
Z
Varmuusmarginaali
a
Levykentän pituus
ai
Pistekuorman i etäisyys palkin alkupäästä
b, b
Levykentän leveys
bi
Pistekuorman i etäisyys palkin loppupäästä
beff
Levyn tehollinen leveys
br
Tuen paikka
c
Puristetun taso-osan leveys
cx
Muuttujan x variaatiokerroin
et
Vetopuolen korkeus
ec
Puristuspuolen korkeus
fy
Teräksen myötölujuus
g0
Palkin oma paino
v
g1
Muu pysyvä tasan jakautunut kuorma
hs
Tuetun palkin laippojen keskiöetäisyys
hw
Uuman korkeus
index_of_MAX
Suurimman maksimimomentin tuottaman tapauksen indeksi
index_of_mEd
Mediaani maksimimomentin tuottaman tapauksen indeksi
index_of_min
Pienimmän maksimimomentin tuottaman tapauksen indeksi
k,kσ
Lommahduskerroin
kτ
Leikkauslommahduskerroin
k, kω
Sauvan kiepahduksen teholliseen pituuteen liityviä tekijöitä
m, mean
Keskiarvo
nf
Vaurioitumistapausten lukumäärä
n
Tapauksen indeksi
p
Tasan jakautunut kuorma
pEd
Tasan jakautuneen kuorman mitoitusarvo
q1
Tasan jakautuneen kuorman muuttuva osuus
s
Keskihajonta
t
Levyn paksuus
u
Arvo standardiavaruudessa
z0
Neutraaliakselin etäisyys palkin reunasta
zg, zj
Yhden akselin suhteen symmetriseen poikkileikkaukseen liittyviä
koordinaatteja
zi
Poikkileikkauksen osan i etäisyys palkin reunasta
Φ
Standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio
ΦLT
Kiepahduskestävyyden laskennassa käytettävä parametri
vi
αLT
Epätarkkuustekijä
β
Luotettavuusindeksi
βC
Cornell indeksi
βHL
Hasofer-Lind indeksi
γM0
Materiaaliominaisuuksien osavarmuusluku
γM1
Stabiiliuden osavarmuusluku
ε
Teräksen myötölujuuden huomioiva kerroin
η
Myötölujittumisen huomioiva kerroin
κ
Kerroin kuormien ominaisarvoille
l LT
Muunnettu hoikkuus kiepahduksessa
lp
Muunnettu hoikkuus puristuslommahduksessa
lw
Muunnettu hoikkuus leikkauslommahduksessa
ρ
Pienennystekijä
σ
Keskihajonta
σcr
Kriittinen puristusjännitys
τcr
Kriittinen leikkausjännitys lommahduksen suhteen
υ
Poissonin vakio
χLT
Kiepahduskestävyyden pienennystekijä
χw
Lommahduskestävyyden pienennystekijä
ψ
Jännityssuhde
vii
viii
1 Johdanto
Teollisuusrakennuksissa rakenteiden mitoitus täytyy usein tehdä vailla tarkkaa tietoa
tulevista olosuhteista. Muihin rakennuksiin verrattuna olosuhteet vaihtelevat teollisuudessa voimakkaasti rakennuksen elinkaaren aikana. Tilojen käyttötarkoitusta saatetaan
muuttaa, laitteistoja vaihtaa tai lisätä, rakenteita muuttaa ja niin edelleen. Joskus edes
ensimmäisen käyttöönoton kuormitusta ei tiedetä suunnitteluvaiheessa tarkasti, sillä
hankkeen toteutus pyritään yleensä suorittamaan nopealla aikataululla. Rakennesuunnittelu on tällöin aloitettava ennen kuin laitoksen yksityiskohtaiset ratkaisut ovat tiedossa.
Lisäksi teollisuusrakennusten hyötykuormat ovat epämääräisiä johtuen laitteiden koosta
ja ominaisuuksista. Suunnittelijan tehtävä on mitoittaa rakenteet käyttötarkoitustaan varten, mutta huomioida myös taloudellisuus. Suurpiirteisillä lähtötiedoilla sopivan varmuustason löytäminen on vaikeaa, sillä rakenteiden käyttäytyminen ei aina ole lineaarista. Erityisesti epästabiiliusilmiöt ovat vaikeasti ennustettavissa.
Vaatimukset itse rakenteiden ominaisuuksia kohtaan ovat teollisuudessa tiukkoja. Palkkien jännevälit ovat usein pitkiä, sillä esimerkiksi laitteiden siirrot vaativat suuria vapaita aukkoja rakennuksessa. Lisäksi sallitut taipumat voivat olla hyvin pieniä. Näistä syistä laitekannattimilta vaaditaan suurta taivutusvastusta omaan painoon verrattuna. Korkeat ohutuumapalkit sopivat tähän tarkoitukseen hyvin, mutta ovat alttiita erilaisille stabiiliuden menetyksen muodoille. Tyypillisiä ilmiöitä ovat erityisesti kiepahdus ja uuman leikkauslommahdus. Kiepahduksen estämiseksi palkki on tuettava poikittaisia vaakasuuntaisia siirtymiä vastaan. Tuet olisi hyvä kiinnittää puristettuun laippaan tai ainakin mahdollisimman kauas poikkileikkauksen vääntökeskiöstä. Lommahdus voidaan
estää hitsaamalla palkin kylkeen jäykistelevyjä. Yleensä poikittaiset jäykisteet ovat riittäviä. Ohutuumapalkkien suunnittelussa keskeistä onkin sivuttaistukien ja uuman jäykisteiden tarpeeksi tiheä sijoittelu. Kiepahdustukien on myös kyettävä siirtämään voimat jäykistäville rakenteille. Tähän vaikuttavat olennaisesti tukien jäykkyys ja kestävyys.
Eurokoodissa ohutuumapalkkien mitoitus perustuu tehollisen poikkileikkauksen määrittämiseen. Lommahdukselle alttiit osat poikkileikkauksesta jätetään tällöin huomioimatta
1
kestävyyden laskennassa. Tämä koskee ainoastaan puristusjännityksiä. Leikkauskestävyys lasketaan hieman eri tavalla olettaen teholliseksi pinta-alaksi koko uuma, mutta
jättäen laippojen vaikutus huomiotta. Kiepahdus- ja leikkauslommahduskestävyys lasketaan vähentämällä poikkileikkauksen kestävyyttä riippuen rakenteen geometriasta
palkin aksiaalisessa suunnassa.
Todennäköisyyslaskentaan perustuvan luotettavuusteorian avulla voidaan arvioida rakenteen luotettavuutta. Tällöin laskentaparametrejä käsitellään satunnaismuuttujina yksittäisten tarkkojen arvojen sijaan ja luotettavuus määritetään muuttujien jakaumien
avulla. Todellisuuden mallintaminen on luotettavuuslaskennassa normimenetelmiä tarkempaa, sillä todellisuudessa kaikkiin parametreihin sisältyy epävarmuutta. Lisäksi sen
avulla voidaan varautua olosuhteiden muutoksiin rakenteen elinkaaren aikana. Mitoitusta voidaan pitää hyväksyttävänä, kun todennäköisyys rakenteen vaurioitumiselle on tarpeeksi pieni.
Tässä työssä tarkastellaan teollisuuskohteen teräksisen laitekannattimen stabiliteetin
menetyksen todennäköisyyttä. Tarkoitus on löytää mitoitukseen sopiva varmuustaso
ottaen huomioon vaihtelut kuormituksessa tai tukirakenteissa. Aluksi lasketaan palkin
käyttöasteet eurokoodin mukaisilla menetelmillä. Tämän jälkeen suoritetaan luotettavuusanalyysi kirjallisuudesta poimittujen ja arvioitujen jakaumaparametrien avulla. Parametrien vaikutusta palkin luotettavuuteen tutkitaan suorittamalla laskenta useilla eri
arvoilla. Näin saadaan käsitys arvioinnin tarkkuuden merkityksestä sekä rakenteen
herkkyydestä erilaisia muutoksia kohtaan. Samalla nähdään standardimitoituksen soveltuvuus kyseiselle rakenteelle luotettavuuden näkökulmasta.
Luvuissa 2-5 esitellään työn teoreettinen tausta ja laskentamenetelmät. Ensin perehdytään teollisuuskohteen suunnittelun ominaispiirteisiin ja rakenneratkaisuihin. Tämän
jälkeen käydään läpi työn kannalta oleelliset epästabiiliusilmiöt. Seuraavaksi esitellään
käytettävät laskentamenetelmät, joista ensimmäisenä eurokoodin mukainen mitoitus ja
toiseksi luotettavuusanalyysi. Luvussa 6 suoritetaan laskenta esimerkkinä toimivalle
rakenteelle. Tarkasteltava rakenne on ohutuumainen hitsattu I-palkki. Palkki on yksiaukkoinen ja päistään haarukkalaakeroitu. Sivusuuntaisia tukia on kolme, jotka ovat
kimmoisia. Palkissa on poikittaiset jäykisteet päissä sekä sivuttaistukien kohdalla.
2
Kuormitus on staattista ja pystysuuntaista jakautuen kahteen pistekuormaan sekä tasaiseen kuormaan koko palkin pituudella. Sekä pistekuormat että tasan jakautunut kuorma
sisältävät pysyvän ja muuttuvan osuuden. Luotettavuuslaskennassa käytetään satunnaismuuttujina teräksen myötölujuutta ja kimmokerrointa, sivuttaistukien sijaintia ja
jäykkyyttä sekä kuormien suuruutta.
Lopuksi arvioidaan laskentamenetelmien soveltuvuutta käytetylle rakenteelle. Standardimitoituksen ja luotettavuuslaskennan tuloksia verrataan toisiinsa ja pohditaan muuttujien arvojen vaikutusta syntyviin eroihin. Näiden seikkojen perusteella annetaan suosituksia samankaltaisten laskelmien suorittamiseksi tulevaisuudessa.
3
2 Teollisuusrakennusten laitekannatinpalkit
Toteutettavat rakenneratkaisut on valittava perustuen rakenteiden käyttötarkoitukseen ja
olosuhteisiin rakenteen elinkaaren aikana. Tässä luvussa selvitetään oleellisia asioita
teollisuusrakenteiden suunnittelun ominaispiirteistä ja tyypillisistä kuormista sekä esitellään rakenneratkaisu laitekannattimelle.
2.1 Suunnittelun luonne
Teollisuuskohteen suunnittelussa on omat piirteensä verrattuna asuin- ja toimistorakennuksiin sekä yhdyskuntateknisiin rakenteisiin. Prosessin eteneminen ja suunnittelun
reunaehdot eroavat, mikä vaikuttaa työn luonteen lisäksi valittuihin rakenneratkaisuihin.
Eron voi havaita jo materiaalivalinnoissa. Teollisuudessa käytetään paljon terästä, kun
infrarakenteet koostuvat suurelta osin betonirakenteista. Myös asuinkerrostalot ovat pitkälti betonirakenteisia, mutta toimistorakennuksissa teräs on suosittua osin samoista
syistä kuin teollisuudessa. Teollisuuskohteen teräsrakenteiden suunnittelua ohjaa laitteiden sijoittelu. Tärkeimmät suunnitteluprosessissa huomioon otettavat asiat ovat [1] :
§
Kuormitus
§
Vaadittava tila ottaen huomioon kehän liitokset ja erityisesti putkistot
§
Vapaiden aukkojen suunnittelu siten, että laitteita päästään asentamaan ja poistamaan
§
Valmistus ja pystyttäminen
Rakennesuunnittelu on vain yksi osa teollisuuslaitoksen suunnittelua ja toteuttamista.
Aikataulut ovat yleensä tiukkoja, jotta investointi saadaan nopeasti tuottamaan. Tästä
syystä mahdollisuutta suunnittelun porrastamiselle ei usein ole, joten rakennesuunnittelu
käynnistyy varhaisessa vaiheessa verrattuna saatavilla olevaan tietoon. Laitossuunnittelu etenee rinnan rakennesuunnittelun kanssa johtaen iteratiiviseen suunnitteluprosessiin.
Tiedon hankkiminen ja hallinta on suuri osa teollisuusrakennusten alati muuttuvassa
suunnitteluvaiheessa tehdystä työstä. Alkuvaiheessa tieto saattaa olla hyvin suurpiirteistä tarkentuen loppua kohden laitoksen suunnittelun ja laitevalintojen edetessä. Voidaan
4
esimerkiksi todeta, että rakennuksen tiettyyn paikkaan sijoitetaan nosturi, mutta nosturin
kapasiteetti ei ole vielä selvillä. Suunnittelijalle on eduksi pyrkiä alusta asti suunnittelemaan rakenne, joka täyttää vaatimukset lopullisessa tilanteessa mahdollisimman tarkasti. Näin ollen muutokset reunaehdoissa eivät aiheuta radikaaleja muutoksia rakennesuunnitelmiin. Liiallinen ylimitoittaminen johtaa taloudellisesti huonoon lopputulokseen
lisäämällä materiaali- ja kuljetuskustannuksia. Alimitoittaminen sen sijaan voi johtaa
kalliisiin ja vaikeasti toteutettaviin vahvistustoimenpiteisiin. Hyvän lopputuloksen saavuttamiseksi on tärkeää arvioida erilaisia vaihtoehtoja ja niiden toteutumisen todennäköisyyttä. [1]
Suunnittelun luonteella on ollut vaikutusta teollisuudessa käytettäviin rakenneratkaisuihin. Rakennesuunnittelijat ovat joutuneet kehittämään ratkaisuja, jotka sopeutuvat mahdollisimman hyvin suunnitteluprosessin etenemiseen. Saatavilla olevan tiedon ollessa
epävarmaa, myös suunnittelussa on pyrittävä joustavuuteen, jotta jo valmiit suunnitelmat kelpaavat yllättävienkin skenaarioiden toteutuessa. Toisin sanoen rakenteiden on
pystyttävä sietämään riittävästi variaatiota lähtötiedoissa. Teollisuusrakennukset poikkeavat muista rakennuksista usein siten, että hyötykuormat tuetaan yllä oleviin rakenteisiin alla olevien sijaan. Tukirakenteet toteutetaan tyypillisesti erilaisin ripustuksin järeistä pääkannattimista (kuva 1). Tästä on paljon hyötyä projektien luonteen huomioon
ottaen. Koska kuormien paikka ja suuruus ovat alkuvaiheessa epävarmoja, tukirakenteet
on järkevää suunnitella mahdollisimman lähellä projektin loppua. Kun yläosan rakenteiden valmistus alkaa, on laitoksen suunnittelu paljon pidemmällä kuin perustuksia
suunniteltaessa. Jos tarvetta muutoksille ilmenee, yläosan rakennesuunnitelmiin niitä
ehditään tehdä vielä myöhäisessä vaiheessa verrattuna alempien osien suunnitelmiin. [1]
5
Kuva 1
Hyötykuorman tukeminen ripustusten avulla.
Ripustusten avulla laitteille ei myöskään tarvitse tehdä erillisiä perustuksia. Riittää, että
tehdään järeät perustukset pilareille, jotka voidaan sijoittaa paljon joustavammin, sillä
niiden paikat eivät riipu suoraan laitteiden paikoista. Kun perustuksia tarvitaan vähemmän, myös rakenneosien esivalmistusaste kasvaa, mikä edesauttaa hallitumpaa rakentamista ja parempaa laatua. Pilareiden määrä kannattaa pitää pienenä ja niiden välimatkat reiluina, jotta siirtoja vältetään mahdollisimman hyvin. Tämä johtaa suuriin pilareihin ja pitkiin jänneväleihin pääkannattimilla. Myös suurten vapaiden aukkojen tarve
edellyttää pitkiä jännevälejä. Kun lisäksi taipumarajoitukset saattavat olla teollisuudessa
hyvin tiukkoja, jopa tuhannesosa palkin jännevälistä, vaaditaan kannattimien suunnittelussa optimointia. Optimointi johtaa usein hoikkiin poikkileikkauksiin, mikä altistaa rakenteen epästabiiliusilmiöille. Esimerkiksi taipumien rajoittamiseksi on järkevää käyttää korkeita palkkeja, joilla kiepahdus ja lommahdus ovat olennaisia suunnittelussa
huomioitavia tekijöitä. Taipumiin vaikuttaa myös kuormien sijainti jänteellä. Pilarit
kannattaisi sijoittaa mahdollisimman lähelle kuormien tukipisteitä, mutta kuten edellä
on käsitelty, tämä on suunnittelussa usein vaikeaa. [1]
Merkittävä ero teollisuuskohteiden ja muiden välillä on myös olosuhteiden suuret muutokset käyttöiän aikana. Laitteita voidaan vaihtaa ja lisätä, tai koko laitos valjastetaan eri
tehtävään kuin alun perin. Rakenteisiin saatetaan tehdä muutoksia poistamalla osia tilantarpeen vuoksi tai lisäämällä osia tuennan järjestämiseksi uusille laitteille. Muutokset
aiheuttavat variaatiota kuormitukseen ja rakenteen kestävyyteen. Käytönaikaisten muu6
tosten ennustaminen on suunnitteluvaiheessa vaikeaa. Vastuu muutostoimenpiteistä ei
toki ole rakenteiden alkuperäisellä sunnittelijalla, mutta jo ensimmäisissä suunnitelmissa tämä variaatio on hyvä huomioida, jotta muutosten toteuttaminen olisi mahdollisimman joustavaa, kontrolloitua ja taloudellista. Tämä on mahdollista arvioimalla epävarmuutta koko suunnittelun ajan. [1]
2.2 Tyypillinen kuormitus
Teollisuusrakenteilla esiintyy laaja kirjo erityyppisiä kuormia. Kuormat voivat olla
staattisia, dynaamisia, liikkuvia, vaihtuvasuuntaisia, lämpötilakuormia ja niin edelleen.
Tässä työssä rajoitutaan tarkastelemaan ainoastaan painovoimasta syntyviä staattisia
kuormia. Tuettavat laitteet joutuvat tehtävästään riippuen kestämään korkeaa painetta,
kulutusta, lämpötilaa tai kemiallista rasitusta, jolloin niiltä vaaditaan erittäin suurta kestävyyttä. Tämä yhdessä suuren koon kanssa voi nostaa yksittäisen osan massan jopa
10 000 tonniin. Rakenteita rasittavat pystysuuntaiset kuormat saattavat täten olla äärimmäisen suuria. Palkkien hyötykuormat ovat tyypillisesti alapuolisista ripustuksista
syntyviä pistemäisiä laitekuormia ja ylemmän tason tukemisesta syntyvää tasaista
kuormaa. Kuormien laskennallisten arvojen valinta saattaa kuitenkin aiheuttaa vaikeuksia.
Mitoituskuormien määrittäminen teollisuusrakenteille on haasteellista monista eri syistä. Vaikeuksia aiheuttaa erityisesti kolme osa-aluetta. Ensinnäkin laitteista aiheutuvien
kuormien suuruus on epämääräistä. Osien todelliset painot ja paikat ovat epäselviä jopa
sellaisissa hankkeissa, joista on kokemusta ennestään, tai jotka ovat suoria kopioita
vanhoista laitoksista. Kun suunnitelmat poikkeavat vanhoista, ongelmaksi muodostuu
myös ajoitus. Tarkka tieto käytettävistä laitteista saadaan yleensä rakennesuunnittelijan
näkökulmasta liian myöhään, kuten edellisessä luvussa todettiin. Laitteiden ollessa suurikokoisia niiden massa jakautuu useiden tukien kesken. Kuorman jakautumiseen vaikuttaa laitteen oma jäykkyys, josta suunnittelijalla harvoin on tietoa. Näiden seikkojen
lisäksi laitteiden massa ja massakeskipisteen sijainti vaihtelevat huomattavasti, jos laitteet sisältävät putkistoja ja säiliöitä, sillä materiaalin määrä näiden sisällä on ajasta riippuvainen. Myös tukirakenteiden jäykkyydellä on merkitystä, sillä siirtymät johtavat
voimien uudelleen jakautumiseen. Laitos- ja putkistosuunnittelijat olettavat usein tuki7
rakenteiden olevan täysin jäykkiä. Todellisuudessa kuitenkin kaikki kuormat aiheuttavat
taipumia, joiden vaikutuksista sekä rakennesuunnittelijan että laitoksen suunnittelijan on
hyvä olla tietoinen. Tästä syystä on tärkeää tutkia tukirakenteiden jäykkyysvaatimuksia
kestävyysvaatimusten lisäksi. [1]
Toinen ongelmia aiheuttava osa-alue on tasaisesti jakautuneiden kuormien määrittäminen. Tasaista kuormaa syntyy tasokuormien lisäksi erilaisista pienemmistä kiinnityksistä pitkin palkin pituutta . Näiden pienten kiinnitysten määrä voi vaihdella huomattavasti
rakenteen elinkaaren aikana. Uusien kiinnitysten vaikutus rakenteen kestävyyteen jätetään helposti huomiotta, sillä ero on pieni. Vaarana on kuitenkin rasitusten kerääntyminen hitaasti ajan myötä, jolloin saatetaan päätyä hyvinkin suuriin kuormituksiin alkutilanteeseen verrattuna. Tasojen hyötykuormat ovat niin ikään haasteellisia arvioida.
Myös tasoihin on kytketty pieniä kiinnityksiä satunnaisiin paikkoihin. Lattioiden alla
kulkee usein kevyitä kaapeleita ja putkistoja. Joissakin likaisissa laitoksissa jopa näihin
kerääntynyt pöly on aiheuttanut merkittäviä lisäkuormia. Kuvassa 2 esitetään sulaton
putkistoja, jotka on ripustettu ylempiin rakenteisiin. Laitteiden sijainnit kannateltavalla
tasolla saattavat olla epävarmoja. Tämä voidaan ratkaista asettamalla aluksi koko tasolle
suuri hyötykuorma. Suunnitelmien tarkentuessa voidaan laitekuormat asettaa omille
alueilleen pysyviksi kuormiksi ja pienentää muiden alueiden kuormia. [1]
Tasojen mitoituskuormat eivät ole välttämättä selviä, vaikka hyötykuormat olisivat tarkasti tiedossa. Normien antamiin ohjeellisiin kuormiin ei voida sokeasti luottaa, sillä ne
viittaavat usein normaalin käytön aikaiseen kuormitukseen, joka on kevyttä. Kriittisempi tilanne syntyy usein laitoksen asennusvaiheessa tai pidemmän ajan kuluttua esimerkiksi laitteistojen muuttuessa. Kun laitteita vaihdetaan uusiin, tarvitaan väliaikaisia
paikkoja siirtämistä ja säilytystä varten. Tällöin yllättäviinkin paikkoihin saattaa kohdistua suurta kuormitusta, mikä asettaa myös muutoin kuormittamattomille alueille kestävyysvaatimuksia. Asennus ja purku on tärkeää huomioida jo suunnitteluvaiheessa, jotta
siirrot onnistuvat sujuvasti. [1]
8
Kuva 2
Putkistojen ripustuksia sulatossa. [http://www.wikipedia.org/Smelting]
Kolmas ongelma kuormien suuruuksien arvioinnissa on laitekuormien mahdollinen dynaaminen luonne. Mitoituskuormia on muutettava rajusti, jos kuorman ja tuen välille
syntyy dynaamista vuorovaikutusta. Merkittävässä roolissa dynaamisten kuormien suhteen on rakenteen ominaistaajuus. Dynaamisia kuormia ei tämän työn puitteissa käsitellä enempää, mutta niiden vaikutuksista on tärkeää olla tietoinen etenkin teollisuuskohteissa. [1]
Vaikka kuormien arviointi vaikuttaa käsiteltyjen asioiden valossa hyvin epämääräiseltä,
on rakennesuunnittelu mahdollista toteuttaa hyvin tuloksin. Suunnittelijalle on tärkeää
ymmärtää saatavilla olevan tiedon tarkkuus. Sen lisäksi, että yllättäviä uusia kuormia
saattaa tulla, voi kuormien arvoissa olla myös paljon varmuutta. Kuormilla on tapana
koostua useista pienistä osista, joiden toteutuminen ääriarvoillaan samanaikaisesti on
epätodennäköistä. Mahdollisten skenaarioiden todennäköisyyksiä voidaan arvioida tilastollisilla menetelmillä ja näin saavuttaa merkittäviä säästöjä projektin toteutusvaiheessa.
Kuormille voidaan määrittää huomattavia pienennyskertoimia tinkimättä laitoksen tur9
vallisuudesta. Standardien mitoitusohjeet perustuvat laajalti kokemusperäiseen tietoon,
jonka avulla riittävät varmuusluvut on määritelty. Standardien tuntemuksen lisäksi on
eduksi hallita myös rakenteiden luotettavuusteoriaa, sillä varsinkin teollisuuskohteissa
standardien oletukset eivät aina päde. Tällöin ei olla pelkästään standardeissa esitettyjen
menetelmien varassa ja tietämys mitoituksen perusteista syvenee. [1]
2.3 Ohutuumapalkit
Edellisissä luvuissa on esitelty keskeisiä vaatimuksia, jotka vaikuttavat laitekannatinpalkin rakenneratkaisun valintaan. Suurten vapaiden aukkojen tarve vaatii kannattimilta
pitkiä jännevälejä, jolloin taipumat kasvavat. Laitteiden toiminnan takaamiseksi taipumat tulisi pitää pieninä, mikä onnistuu lisäämällä kannattimien korkeutta. Yleisesti voidaan sanoa, että rakenteilta vaaditaan tavallista enemmän optimaalisuutta. Tästä johtuen
monet sillanrakennuksessa suositut rakenneratkaisut soveltuvat hyvin laitekannattimen
toteuttamiseen. Teollisuusrakenteissa päädytään usein materiaaleista teräkseen, joten
varteenotettavia vaihtoehtoja ovat esimerkiksi ristikko tai levypalkki. Tässä työssä käytetään rakenteena korkeaa hitsattua levypalkkia. Tämän luvun tarkoituksena on esitellä
ohutuumapalkin ominaisuuksia rakenneratkaisuna ja huomion arvoisia seikkoja suunnittelussa. Kuvassa 3 esitetään tyypillinen hitsauskokoonpano ohutuumaiselle levypalkille.
Kuva 3
Ohutuumapalkin tyypillinen kokoonpano. [1]
10
Korkeilla palkeilla on suuri taivutusvastus, jota tarvitaan taipumien ja suurten momenttien hallitsemiseen. Palkin oman painon minimoimiseksi on eduksi suunnitella uuma
mahdollisimman ohueksi. Hoikilla taso-osilla paikalliset lommahdukset rajoittavat niiden kapasiteettia puristusjännitysten suhteen. Eurokoodin mukaan paikalliset lommahdukset on huomioitava, jos poikkileikkaus kuuluu luokkaan neljä. Laipat on syytä suunnitella vähintään poikkileikkausluokkaan kolme kuuluviksi, sillä luokassa neljä osa
poikkileikkauksesta oletetaan lommahduksen takia tehottomaksi. Laipoissa tämä tehoton osa toimii ainoastaan lisäkuormana, joten siitä ei ole rakenteelle hyötyä. Uumassa
sen sijaan tehottomalla osalla on muutakin merkitystä. Kun palkin korkeutta kasvatetaan, kasvaa myös uuman hoikkuus, mikä lisää tehottoman alueen osuutta. Korkeudesta
on kuitenkin etua, sillä laippojen keskinäisen etäisyyden kasvaessa myös taivutusvastus
kasvaa. Lisäksi ohutkin uuma kestää yleensä siihen kohdistuvan leikkausvoiman, koska
sen poikkipinta-ala on korkeuden takia suuri. Täten uuma voidaan hyvin suunnitella
luokkaan neljä kuuluvaksi. Luokkaan kolme kuuluva uuma on usein liian järeä ja kasvattaa profiilin painoa turhaan. [2]
Edellä mainituista syistä ohutuumapalkki soveltuu hyvin laitekannatinpalkin rakenneratkaisuksi, kunhan palkin stabiilius varmistetaan. Täten ohutuumapalkkien suunnittelua
ohjaa uuman riittävän lommahduskestävyyden saavuttaminen. Uuman lommahdusta
pyritään estämään poikittaisilla jäykisteillä suurten pistekuormien kohdalla sekä tuilla,
sillä näissä kohdissa esiintyy suuria leikkausvoiman arvoja. Hoikat ohutuumapalkit on
tuettava kiepahdusta vastaan, kun jännevälit ovat pitkiä. Tämä onnistuu yleensä sekundäärirakenteiden avulla, kunhan varmistetaan voimien siirtyminen sivusuunnassa jäykistäville rakenteille. [2]
Ristikkoon verrattuna levypalkin etuna on yksinkertainen valmistus. Ristikko vaatii paljon erilaisia osia ja valtavasti hitsaamista. Hitsit ovat myös paljon hankalampia kuin levypalkissa. Jatkuvilla palkeilla voi olla eduksi korottaa poikkileikkausta tukien kohdalla, sillä voimasuureiden mitoitusarvot sijaitsevat usein näissä kohdissa. Esimerkiksi silloissa uuman korkeus voi olla tuella paljon suurempi kuin jänteen keskellä. Tarvittaessa
levypalkin poikkileikkaus on helppoa toteuttaa muuttuvana leikkaamalla uuma sopivan
muotoiseksi. Ristikossa vastaava ratkaisu lisää huomattavasti erilaisten osien määrää,
11
sillä sauvojen pituudet vaihtelevat. Ristikon etuna on läpivientien toteuttaminen. Levypalkkiin on tehtävä erillisiä aukkoja uumaan, jos läpivienneille on tarvetta.
Kuva 4
Ohutuumapalkki laitekannattimena.
Kuvassa 4 on osa teollisuusrakennuksen rakennejärjestelmää. Pääkannatin tukee alempia rakenteita kahden vetosauvan avulla. Ylätasot tukeutuvat pääkannattimeen sekundääripalkkien avulla, jotka samalla antavat kannattimelle sivuttaistukea. Palkissa on
poikittaiset jäykisteet kohdissa, joihin vaikuttaa suuria pistemäisiä voimia. Näitä ovat
vetosauvojen kiinnityskohdat sekä tuet. Myös sekundääripalkkien kohdat on hyvä jäykistää, jolloin jäykiste helpottaa samalla liitoksen toteuttamista.
12
3 Epästabiiliusilmiöt
Yksi teräsrakenteiden suunnittelun haasteista on erilaisten epästabiiliusilmiöiden huomioiminen. Teräsrakenteet koostuvat hyvin hoikista osista verrattuna betoni- tai puurakenteisiin. Epästabiiliusilmiöt ovat vaikeasti ennustettavissa, sillä ne ovat luonteeltaan
epälineaarisia. Tässä luvussa käsitellään työn kannalta kaksi oleellista stabiiliuden menetyksen muotoa: kiepahdus ja uuman leikkauslommahdus.
3.1 Kiepahdus
Taivutusrasituksen alaisessa palkissa vaikuttaa sekä puristavia että vetäviä normaalijännityksiä. Kun kuormitus on painovoiman suuntaista, vapaasti tuetussa yksiaukkoisessa
palkissa puristusjännitykset vaikuttavat palkin yläosassa ja vetojännitykset alaosassa.
Ylälaippaa voidaan ajatella uuman tasossa kimmoisasti tuettuna puristettuna sauvana.
Hoikka puristettu sauva on vaarassa nurjahtaa, sillä sen taivutusvastus on suhteellisen
pieni. Poikittaisessa suunnassa laipan taivutusta vastustaa sekä ylä- että alalaipan taivutusvastus, uuman taivutusvastuksen ollessa merkityksetön. Koska ainoastaan ylälaippa
on puristettu, pyrkii palkin yläosa taipumaan sivulle alaosan pysyessä lähempänä alkuperäistä paikkaa. Tällöin poikkileikkaus kiertyy palkin akselin ympäri ja siirtyy ikään
kuin kaatuen pois kuormittamattoman tilan asemasta kuvan 5 mukaisesti. Tällaista taivutetun rakenteen poikittaissuuntaista epästabiiliusilmiötä kutsutaan kiepahdukseksi.
Kiepahduksen osalta alalaipan taivutusvastus ei ole korkealla palkilla yhtä merkittävä
kuin ylälaipan, sillä poikkileikkauksen siirtyessä ja kiertyessä palkin akselin ympäri ylälaippa käyristyy enemmän ja näin reagoi taivutukseen voimakkaammin. Kuormituksen
vaikutustasossa palkin jäykkyys on yleensä paljon suurempi kuin poikittaisessa suunnassa. Tällöin ylälaipan nurjahdus poikittaissuunnassa tapahtuu ennemmin kuin tason
suunnassa. Kiepahdusta pyritään estämään tukemalla ylälaippa poikittaissuunnassa tarpeeksi tiheästi, jotta nurjahduspituus pienenee. Toinen vaihtoehto on tukea poikkileikkaus kiertymistä vastaan. [3] [4]
13
Kuva 5
Pääjäyhyyden suunnassa kuormitetun palkin kiepahdus. [1]
Kiepahdukseen kuuluu ilmiölle ominainen pituus, kuten nurjahdukseen. Pituuteen vaikuttavat sauvan päiden vapausasteet sekä välituet. Kun palkin taivutusvastus heikommassa suunnassa on paljon pienempi kuin vahvemmassa, voidaan ylälaipan olettaa olevan tuettu palkin pääjäyhyyden suunnassa. Tällöin kiepahdustilanne vastaa yhdessä
suunnassa tuettua pilaria ja kiepahduspituus riippuu päiden tuennasta kuvan 6 mukaisesti.
Kuva 6
Tuennan vaikutus puristetun sauvan nurjahduspituuteen.
14
3.1.1 Kriittinen momentti
Kiepahdustilannetta mallinnetaan usein ideaalitilanteen mukaan olettamalla poikkileikkauksen siirtymä ja kiertymä nollaksi, kunnes saavutetaan taivutusmomentin kynnysarvo, jolla kiepahdus tapahtuu. Tätä momenttia kutsutaan kimmoteorian mukaiseksi palkin kriittiseksi momentiksi. Palkin kriittisen momentin määrittämiseksi on esitetty useita
erilaisia laskukaavoja. Kun palkin taivutusjäykkyys heikommassa suunnassa on paljon
pienempi kuin vahvemmassa suunnassa, myös taipuma pääjäyhyyden suunnassa voidaan olettaa nollaksi kiepahdushetkellä. Näin palkin jäykkyys tässä suunnassa ei vaikuta
kriittiseen momenttiin, minkä voi todeta käytetyistä laskukaavoista [4]. Täysin suoran
kimmoisen palkin kriittinen momentti päistään haarukkalaakeroidulle palkille, jonka
taivutusmomentti on vakio lasketaan kaavasta [7]:
p 2 × EI z I w L2 × GI t
×
+
L2
I z p 2 × EIw
(3.1)
p
× EI z × GI t × (1 + p 2 × EIw /( L2 × GI t ))
L
(3.2)
M 0cr =
tai kaavasta [6] [5]:
M 0cr =
missä
L
kiepahduspituus
E
teräksen kimmokerroin
G
liukukerroin
Iz
jäyhyysmomentti heikomman akselin suhteen
It
vääntöjäyhyysmomentti
Iω
käyristymisjäyhyys
Kaavan (3.2) merkintöjä on muutettu vastaamaan tässä työssä käytettyjä merkintöjä.
Taivutusmomentti on kuitenkin harvoin vakio koko sauvan matkalla. Myös tukiehdot
sauvan päissä saattavat olla erilaisia kuin kaavat (3.1) ja (3.2) olettavat. Kriittisen momentin laskemiseksi onkin kirjallisuudessa esitetty useita erilaisia kaavoja, joissa huo15
mioidaan momenttipinta ja päiden tuenta. Eurokoodin uusin versio ei ota kantaa kriittisen momentin laskutapaan. Eurokoodin esistandardi SFS-ENV 1993-1-1 puolestaan antaa tähän kaavan (3.3), joka nähdään myös Hitsatut profiilit –käsikirjassa [2]. Kaava
ottaa huomioon päiden tuennan vaikutuksen sauvan teholliseen pituuteen sekä muutaman erilaisen kuormitustapauksen. Kuormitus voi olla tasaista koko palkin matkalla,
pistekuorma palkin keskellä tai kaksi pistekuormaa neljännespisteissä palkin päistä.
Kaava saa näin muodon [2]:
é æ ö2
ù
2
Iw (kL)2 × GI t
k
2
ê
+
+
C
×
z
C
×
z
( 2 g 3 j ) úú
p × EI z ç ÷
2
ê
k
I
p
×
EI
M cr = C1
z
è wø z
(kL) 2 ê
ú
ê - ( C2 × z g - C3 × z j )
ú
ë
û
(3.3)
missä
C1, C2 ja C3
kuormituksesta riippuvia vakioita
k ja kω
teholliseen pituuteen liittyviä tekijöitä
zg ja zj
yhden akselin suhteen symmetriseen poikkileikkaukseen liittyviä koordinaatteja
Kun palkin poikkileikkaus on kaksoissymmetrinen ja lisäksi kuorma vaikuttaa poikkileikkauksen painopisteessä (myös vääntökeskiö sijaitsee tässä pisteessä), kaava yksinkertaistuu muotoon:
p 2 × EI z
M cr = C1
(kL) 2
æ k
çç
è kw
2
ö I w (kL) 2 × GI t
÷÷ × + 2
p × EI z
ø Iz
(3.4)
Kaava (3.4) esiintyy myös M. A. Sernan artikkelissa Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members [8]. Kyseisessä artikkelissa kehitetään tapa vakion C1 määrittämiseksi mielivaltaiselle momenttipinnalle numeerisin perustein. Yhdysvaltain ja Yhdistyneen kuningaskunnan standardeissa (AISC LRFD ja BS
5950-1) on vastaavat tavat joihin artikkelin menetelmää verrataan. Kehitetty menetelmä
on selvästi standardien menetelmiä tarkempi. Päistään haarukkalaakeroidulle palkille
k = kω = 1,0 ja vakio C1 lasketaan kaavasta [8]:
16
C1 =
2
M max
2
35 × M max
+ 9 × M 22 + 16 × M 32 + 9 × M 42
(3.5)
missä
M*
Kuva 7
taivutusmomenttien arvot merkkeineen (kuva 7)
Momenttien arvot kaavaan (3.5). [8]
Käytettäessä Sernan menetelmää momenteilla on oltava oikea etumerkki toisin kuin
standardeissa esiintyvissä menetelmissä, joissa käytetään itseisarvoja. [8]
3.1.2 Sivusuunnassa pistemäisesti tuettu palkki
Jäykkien pistemäisten välitukien tapauksessa kiepahduspituus on tukien välinen etäisyys. Palkki voidaan näin jakaa segmentteihin, joille tehdään kiepahdustarkastelu erikseen. Tällöin päiden oletetaan olevan nivelellisesti tuettuja. Kuvassa 8 esitetään pistemäisesti tuetun palkin rakennemalli.
17
Kuva 8
Pistemäisesti tuetun palkin rakennemalli ja merkinnät. [7]
Palkin ollessa sivusuunnassa kimmoisasti tuettu, riippuu kiepahdusmuoto tukien jäykkyydestä. Tuen ollessa täysin jäykkä, palkin taipuma tuen kohdalla y-akselin suunnassa
on nolla. Palkki kiepahtaa tällöin S-kirjaimen muotoisesti muodostaen yhden puoliaallon sivuttaistukien vapaalle välille. Myös kimmoisten tukien tapauksessa on kriittinen
muoto usein tämä. Jäykkyyden pienentyessä tarpeeksi, myös toisenlainen kiepahdusmuoto ja pienempi kriittinen kuorma ovat mahdollisia. Säännöllisin välein identtisillä
tuilla tuetulla palkilla on kaksi varteenotettavaa kiepahdusmuotoa, jotka esitetään kuvassa 9. Ensimmäinen muoto on tukematonta palkkia vastaava, jossa sivusuuntainen
taipuma pysyy nollana ainoastaan palkin päissä, joiden välille muodostuu yksi puoliaalto. Toinen muoto on täysin jäykästi tuettua palkkia vastaava (S-muoto), jolloin taipuma
tukien kohdalla on nolla ja yhdelle tukivälille muodostuu puoliaalto. Kahden vierekkäisen tukivälin matkalle muodostuu yksi täysi aalto. [7]
18
Kuva 9
Sivusuunnassa tuetun palkin kiepahdusmuodot. [6]
Tukien kiinnityskohdalla on myös merkitystä palkin käyttäytymiseen. Kun tuet on kiinnitetty puristettuun laippaan, vastaa tilanne tuettua pilaria ylälaipan osalta. Ratkaisu on
tällöin varmalla puolella verrattuna pilarin nurjahdukseen, sillä uuman ja alalaipan vaikutus jätetään huomiotta. Sen sijaan lähelle vääntökeskiötä kiinnitetyt tuet antavat epävarmalla puolella olevan ratkaisun. [7]
Kuten edellä on käsitelty, tukematon palkki kiepahtaa ensimmäisen muodon mukaisesti
yhteen puoliaaltoon. Kun palkilla on sivuttaistukia, joiden jäykkyyttä aletaan kasvattaa,
saavutetaan jossain vaiheessa tilanne, jossa muoto muuttuu vastaamaan väliltä täysin
jäykästi tuettua palkkia (toinen muoto). Tämän jälkeen tukien jäykkyyden kasvattaminen ei enää vaikuta kiepahdusmuotoon tai kriittiseen momenttiin. Saavutettua jäykkyyttä kutsutaan tuen kynnysjäykkyydeksi KT ja vastaavaa kriittistä momenttia kynnysmomentiksi MT. Kuvassa 10 on kuvattu tuen jäykkyyden vaikutusta kriittiseen momenttiin.
Kuvasta ilmenee myös, että tukien lukumäärän m kasvaessa jäykkyyden merkitys pienenee.
19
Kuva 10
Sivuttaistukien vaikutus kriittiseen momenttiin [7]
Suunnittelussa on syytä pyrkiä tukijärjestelmään, joka täyttää täyden tuennan vaatimukset. Standardeissa annetaan hyvin niukasti tarkkoja vaatimuksia tukien jäykkyydelle.
Koska klassinen lähestymistapa kiepahdukseen olettaa taipuman nollaksi ennen kriittistä tilannetta, mitoitusvaatimukset perustuvat usein kestävyyteen jäykkyyden sijaan. Tämän vaatimuksen määrittää suurin puristusvoima palkissa eli tämän työn puitteissa ylälaipan normaalivoima. Brittiläisissä (BS), amerikkalaisissa (AISC) ja eurooppalaisissa
(EC) standardeissa luku vaihtelee 1-2,5% palkin puristusvoimasta riippuen tukien määrästä ja jaottelusta. Tutkimuksissa on havaittu, että varsinkin ylälaippaan kiinnitetyille
tuille 1% on riittävä, ja tällaiselle rakenteelle voidaan olettaa myös riittävä jäykkyys. [7]
[6]
AISC on antanut vähimmäisjäykkyydelle myös kaavan ylälaippaan kiinnitetyn tuen
osalta [7]:
K=
1 4M
0,75 Lu × hs
missä
Lu
tukiväli
hs
tuetun palkin laippojen keskiöetäisyys
M
suurin momentti palkissa
20
(3.6)
Kaavasta ilmenee, että tukivälin Lu pienentyessä, jäykkyysvaatimus kasvaa. Intuitiivisesti tämä on selvää, sillä tiheämmin tuettu palkki voi kehittää paljon suuremman puristusvoiman ylälaippaan ennen kuin kiepahdus tapahtuu. Tässä työssä vaatimuksina sivuttaistuille käytetään kestävyyden osalta 2% laipan puristusvoimasta ja jäykkyyden osalta
kaavaa (3.6).
3.2 Uuman lommahdus
Korkeiden teräspalkkien uumat ovat hyvin ohuita verrattuna muihin dimensioihin. Ohuet levyrakenteet ovat alttiita menettämään stabiiliutensa lommahtamalla kuvan 11 mukaisesti. Nurjahduksen tapaan lommahduksessa keskeisiä tekijöitä ovat puristusjännitykset ja niitä vastaan kohtisuorat siirtymät. Uumaan syntyy puristusjännityksiä monesta
eri syystä. Aksiaalinen kuorma aiheuttaa tasaista puristusta koko uumaan. Taivutusmomentti saa aikaan puristusta uumaan neutraaliakselin puristuspuolella. Pistekuormista
syntyy paikallisesti suuria puristusjännityksiä. Suunnittelun kannalta olennaisin lommahduksen aiheuttaja on kuitenkin pystykuormasta syntyvä leikkausvoima, joka aiheuttaa mielenkiintoisen jännityskentän levypalkin uumaan. Leikkausvoimat palkeissa ovat
suuria sekä syntyvän ristikkoanalogian puristussauvat hyvin hoikkia.
Kuva 11
Reunoiltaan vapaasti tuetun puristetun levyn lommahdus. [4]
21
Levyn leikkauslommahdus eroaa pilarin nurjahduksesta ja palkin kiepahduksesta merkittävästi. Nurjahdus ja kiepahdus ovat yhdessä tasossa tapahtuvia ilmiöitä. Kiepahdus
voidaan olettaa yhden tason ilmiöksi, sillä se vastaa ylälaipan nurjahdusta eikä pääjäyhyyssuunnan taipumaa huomioida kiepahdukselle alttiissa palkeissa, kuten edellä on
käsitelty. Levyt ovat kaksiulotteisia rakenteita ja lommahdus tapahtuu kahdessa tasossa.
Tämä tekee analyysistä vaikeampaa. Kuvassa 12 on esitetty leikkausvoiman kuormittaman palkin jäykisteiden välinen levykenttä. Leikkausvoima pyrkii siirtämään levykentän vasenta reunaa alaspäin ja oikeaa reunaa ylöspäin. Tällöin suorakaiteen muotoinen
levy alkaa muuttua suunnikkaaksi, jonka vasen alakulma ja oikea yläkulma etääntyvät
toisistaan jäljelle jäävien kulmien lähentyessä. Näin levyyn syntyy kuvan 12 mukaisesti
toisiaan vastaan kohtisuoria veto- ja puristusjännityksiä. Puristusjännitysten kasvaessa
tarpeeksi levy lommahtaa saaden aikaan siirtymää levyn tasoa vastaan kohtisuorassa
suunnassa. Tältä osin ilmiö on nurjahduksen tapainen: siirtymien johdosta epäkeskisyys
kasvaa, mikä kasvattaa siirtymiä edelleen. [3]
Kuva 12
Leikkausvoimasta syntyvä vetojännityskenttä uumassa. [1]
22
Kimmoteorian mukainen kriittinen leikkausjännitys lommahduksen suhteen lasketaan
kaavasta [3]:
t cr
k ×p 2 × E æ t ö
=
ç ÷
12 × (1 - u 2 ) è b ø
2
(3.7)
missä
k
lommahduskerroin
t
levyn paksuus
b
levykentän korkeus
Lommahduskerroin k riippuu sivujen pituuksien suhteesta seuraavan kaavan mukaisesti
[3]:
2
kun a / b ³ 1
æbö
k = 5,35 + 4 × ç ÷
èaø
2
kun a / b < 1
æbö
k = 4 + 5,35 × ç ÷
èaø
(3.8)
(3.9)
missä
a
levykentän leveys
Lommahduksen jälkeen puristuslinjat eivät kykene vastaanottamaan enää suurempia
jännityksiä. Sen sijaan vetodiagonaalilla jännitykset pystyvät vielä kasvamaan aina
myötölujuuden saavuttamiseen asti. Tästä syystä palkilla on edelleen kyky kantaa
kuormitusta, vaikka uuma on lommahtanut. [1]
3.2.1 Ylikriittinen tila
Toisin kuin yksiulotteisilla rakenteilla, levyjen kuormankantokyky ei rajoitu kriittiseen
kuormaan. Vetokentän ansiosta levy pystyy vastaanottamaan suuriakin määriä lisäkuormaa vielä lommahduksen jälkeen. Tätä kutsutaan levyn ylikriittiseksi tilaksi. Kriittisen kuorman ja murtokuorman ero riippuu monista tekijöistä kuten geometriasta, reunaehdoista, kuormituksesta ja myötölujuudesta. Vetojännitysten on saatava riittävä tuki
levykentän reunoista. Tukijärjestelmä muistuttaa Prattin ristikkoa muodostuen laipoista
23
sekä usein poikittaisista jäykisteistä. Veto- ja puristuslinjat ovat aluksi 45° kulmassa
leikkausvoiman suuntaan nähden, mutta ylikriittisessä tilassa vetojännitysten suunta
kääntyy vaakatasoa kohden. Lopulta jännitykset kasvavat niin suuriksi, että laippojen
taivutuskestävyys ylittyy ja muodostuu plastinen nivel. Tällöin palkki deformoituu kuvan 13 mukaisesti ja saavuttaa murtotilan. [1] [3]
Kuva 13
Palkin deformoituminen plastisen nivelen muodostuessa. [1]
3.2.1 Pystyjäykisteiden vaikutus
Teräsrakenteet koostuvat ohuista osista, joilla on jäykkyyttä pääasiassa levyn tason
suunnassa. Tästä johtuen rakenteita on usein jäykistettävä erillisillä jäykistelevyillä sellaisissa kohdissa, joissa levyyn syntyy puristusjännityksiä tai tason suunnasta eroavia
jännityksiä. Erisuuntaiset levyt jäykistävät toisiaan, joten jäykisteitä tarvitaan lähinnä
sellaisissa paikoissa, joissa etäisyys viereisiin levyosiin on suuri. Jäykisteillä estetään
myös esimerkiksi uuman ja laipan kiertymistä toistensa suhteen hitsilinjan ympäri. Tätä
kutsutaan poikkileikkauksen jäykistämiseksi. Kuvissa 14 ja 15 on kuvattu pystyjäykisteiden vaikutusta uuman leikkauslommahdukseen.
24
Kuva 14
Jäykistämätön uuma. [9]
Jäykisteiden rooli uuman leikkausmitoituksessa on paitsi nostaa lommahduskestävyyttä,
myös vastaanottaa puristusjännityksiä ylikriittisessä tilassa, jolloin palkin kestävyys ei
rajoitu lommahdukseen. Tarvittava jäykisteväli määräytyy leikkausvoiman ja poikkileikkauksen perusteella. Jäykisteiden tiheämpi sijoittelu kasvattaa lommahduskuormaa,
sillä uuman puristusdiagonaali lyhenee, ja täten sen hoikkuus pienenee. [5]
Kuva 15
Jäykistetty uuma. [9]
Jos palkki on hyvin korkea, voidaan käyttää lisäksi pitkittäisiä jäykisteitä. Pitkittäisjäykisteet tukevat poikittaisjäykisteitä sekä nostavat poikkileikkauksen taivutuskestävyyttä, sillä se kykynee vastaanottamaan enemmän puristusta lommahduksen rajoittamisen ansiosta. Eurokoodissa laskenta perustuu tehollisen poikkileikkauksen määrittämiseen, mihin perehdytään seuraavassa luvussa 4.
25
4 Mitoitus eurokoodin mukaan
Tässä luvussa käydään läpi eurokoodin mukainen mitoituskäytäntö ohutuumapalkille,
jota kuormittaa taivutusmomentti ja leikkausvoima. Ensimmäisessä alaluvussa esitetään
tehollisten poikkileikkaussuureiden laskenta. Seuraavissa alaluvuissa käsitellään palkin
mitoitus edellä mainituille voimasuureille huomioiden myös epästabiiliusilmiöt.
4.1 Tehollinen poikkileikkaus
Hoikista osista koostuvilla profiileilla osa poikkileikkauksesta ei voi saavuttaa puristetuilla alueilla samaa jännitystilaa kuin muut osat, sillä paikalliset lommahdukset rajoittavat jännityksen kasvua. Eurokoodissa tällaiset poikkileikkaukset kuuluvat luokkaan
neljä. Alhaisempi maksimijännitys huomioidaan olettamalla osa poikkileikkauksesta
jännityksettömäksi kestävyyden laskennassa (kuva 16). Kestävyyden määrittämistä varten onkin laskettava tehollista poikkileikkausta vastaavat poikkileikkaussuureet. Laskenta perustuu puristettujen taso-osien tehollisten leveyksien määrittämiseen, joka tehdään standardin EN 1993-1-5 [13] mukaan. [11]
Kuva 16
Todellinen ja oletettu jännitysjakauma puristetussa levyssä. [2]
Kuten luvussa 2.3 todettiin, laipat on järkevää suunnitella aina korkeintaan luokkaan
kolme kuuluviksi. Luokan neljä uuma sen sijaan sopii tarkoitukseensa hyvin. Tasaisesti
26
puristettu laippa täyttää ehdon, kun ulokkeen leveys-paksuussuhteelle (kuva 17) pätee
[11]:
c
£ 14 × e
t
(4.1)
missä
c
laipan ulokkeen leveys hitsin reunasta mitattuna (kuva 17)
t
levyn paksuus
e=
235MPa
fy
Puhtaassa taivutuksessa oleva uuma kuuluu luokkaan neljä, kun se täyttää ehdon [11]:
c
> 124 × e
t
(4.2)
missä
c
uuman korkeus hitsien reunoista mitattuna (kuva 17)
Kuva 17
Puristetun taso-osan leveys hitsatussa profiilissa poikkileikkausluokan
määrityksessä. [11]
Taulukossa 1 esitetään tehollisen leveyden määrittäminen jännitysjakauman perusteella.
Taulukosta saadaan lommahduskertoimen kσ arvo sekä tehollisten osien jakautuminen
tehottoman alueen eri puolin. Puhtaassa taivutuksessa olevalle uumalle kyseeseen tulee
taulukon kolmas tapaus, sillä jännityssuhde ψ = -1, tällöin kσ = 23,9.
27
Taulukko 1
Kahdelta reunalta tuettujen puristettujen taso-osien tehollinen leveys.[13]
Muunnettu hoikkuus l p lasketaan kaavasta [13]:
lp =
fy
s cr
=
bt
28,4 × e × ks
(4.3)
missä
b = bw = cw
kun kyseessä on uuma
t = tw
Tehollisen leveyden laskentaan tarvitaan vielä pienennystekijä ρ, joka saadaan muunnetun hoikkuuden avulla seuraavasti [13]:
r = 1,0
kun l p £ 0,673
kun l p > 0,673
r=
l p - 0,055 × (3 + y )
£ 1,0
2
lp
(4.4)
(4.5)
Ohutuumapalkkien uumat ovat nimensä mukaisesti hoikkia, joten kyseeseen tulee
yleensä alempi kaava. Pienennystekijä ρ ilmoittaa tehollisen osan osuuden koko puristetun taso-osan leveydestä. Teholliset leveydet jakautuvat huomiotta jätettävän alueen
molemmin puolin taulukon 1 mukaisesti kertoimin 0,4 ja 0,6:
28
Kuva 18
be1 = 0,4 × beff = 0,4 × r × bc = 0,4 × r × b (1 - y )
(4.6)
be 2 = 0,6 × beff = 0,6 × r × bc = 0,6 × r × b (1 - y )
(4.7)
Tehollinen poikkileikkaus. [2]
Edellä on määritetty bruttopoikkileikkaukseen perustuva tehollinen poikkileikkaus. Taivutuksen tapauksessa tämä ei kuitenkaan riitä. Koska osa puristusvyöhykkeestä jätetään
pois laskennasta, ei neutraaliakseli sijaitse enää uuman puolivälissä vaan siirtyy matkan
eM verran kohti vetovyöhykettä kuvan 18 mukaisesti. Neutraaliakselin siirtyminen aiheuttaa muutoksia jännitysjakaumaan ja tehollinen poikkileikkaus on määritettävä iteratiivisesti. Akselin paikka seuraavalla laskentakierroksella saadaan määritettyä helposti tehollisen poikkileikkauksen pintakeskiöön. Poikkileikkaus on mielekästä jakaa neljään
osaan, joista laipat muodostavat molemmat yhden osan ja uuma jakautuu kahteen osaan
tehottoman alueen eri puolin. Pintakeskiön paikka:
z0 =
åA ×z = åA ×z
A
åA
i
i
i
i
eff
missä
Ai
osan i pinta-ala
zi
osan i etäisyys palkin reunasta
29
i
(4.8)
Aeff
tehollinen poikkileikkausala
Uusi jännityssuhde ψ voidaan nyt laskea kuvan 18 mukaisin merkinnöin:
y =-
et - t f - 2 × a
ec - t f - 2 × a
(4.9)
missä
et
vetopuolen korkeus
ec
puristuspuolen korkeus
a
hitsin a-mitta
Nyt jännityssuhde ψ > -1, sillä neutraaliakseli siirtyy vetopuolta kohti. Uusi lommahduskerroin kσ lasketaan taulukon 1 mukaisesti kaavasta:
ks = 7,81 - 6, 29y + 9,78y 2
(4.10)
Loput parametrit lasketaan kuten edellä. Iteraatiota jatketaan kunnes neutraaliakselin
paikka ei enää merkittävästi muutu. Ratkaisu suppenee melko nopeasti eikä laskentakierroksia yleensä tarvita muutamaa enempää.
Kun neutraaliakselin paikka on selvillä, voidaan laskea muut teholliset poikkileikkaussuureet. Tehollinen jäyhyysmomentti [2]:
I eff = å I i + å Ai × zi2 - z 02 × å Ai
(4.11)
Tehollinen taivutusvastus [2]:
Weff .c =
I eff
ec
(4.12)
Weff .t =
I eff
et
(4.13)
30
Weff = min [ Weff .c , Weff .t ]
(4.14)
missä
Weff.c
tehollisen poikkileikkauksen taivutusvastus puristetun puolen suhteen
Weff.t
tehollisen poikkileikkauksen taivutusvastus vedetyn puolen suhteen
4.2 Taivutusmomentti
Taivutusmomentin kuormittaman poikkileikkauksen on toteutettava seuraava mitoitusehto [11]:
M Ed
£ 1,0
M c. Rd
(4.15)
missä
MEd
taivutusmomentin mitoitusarvo murtorajatilassa
Mc.Rd
poikkileikkauksen taivutuskestävyyden mitoitusarvo
Poikkileikkausluokassa 4 taivutuskestävyys lasketaan kaavalla [11]:
M c. Rd =
Weff . min × f y
gM0
(4.16)
missä
Weff.min
edellä määritetty Weff, jossa on jo huomioitu sekä puristus- että vetopuoli
γM0 = 1,0
myötölujuuden osavarmuusluku
Kiepahduskestävyys
Tämän työn kannalta poikkileikkauksen kestävyyttä oleellisempi on kuitenkin koko
sauvan kiepahduskestävyys, joka määritetään pienentämällä poikkileikkauksen kestävyyttä kertoimella χLT. Osavarmuuslukuna käytetään γM0 sijasta stabiiliuden osavarmuuslukua γM1, jonka suositusarvo on 1,0. Myös kansallinen liite käyttää tätä arvoa
[12]. Kaavana asia voidaan ilmaista seuraavasti [11]:
31
M b. Rd = c LT
Weff . y × f y
g M1
(4.17)
missä
χLT
kiepahduskestävyyden pienennystekijä
Weff.y
taivutusvastus kuormituksen suunnassa (tässä tapauksessa y-akselin suhteen)
γM1 = 1,0
stabiiliuden osavarmuusluku
Mitoitusehto saa nyt muodon [11]:
M Ed
£ 1,0
M b. Rd
(4.18)
Kiepahduskestävyyden pienennystekijän χLT laskemiseksi on ensin määritettävä joukko
muita muuttujia.
Muunnettu hoikkuus kiepahdukselle l LT [11]:
l LT =
Weff . y × f y
(4.19)
M cr
missä
Mcr
on luvussa 3.1.1 määritetty kimmoteorian mukainen kriittinen momentti,
jolle on useita kaavoja. Lasketaan bruttopoikkileikkauksen mukaan kaikilla poikkileikkausluokilla. Huomioi kuormituksen, momenttipinnan
muodon sekä reunaehdot.
Epätarkkuustekijä αLT ottaa huomioon epätarkkuudet valmistuksessa, jäännösjännitykset
sekä muut epälineaariset tekijät [8]. αLT valitaan kiepahduskäyrän mukaan. Korkeille
hitsatuille profiileille käytetään kiepahduskäyrää d, jolloin αLT on 0,76. Pienennystekijän
laskemiseksi tarvitaan vielä tekijä ΦLT [11]:
2
F LT = 0,5 [ 1 + a LT (l LT - 0,2) + l LT ]
32
(4.20)
Kiepahduskestävyyden pienennystekijä χLT voidaan nyt laskea kaavalla [11]:
c LT =
1
F LT + F
2
LT
-l
2
LT
£ 1,0
(4.21)
4.3 Leikkausvoima
Poikkileikkauksen leikkauskestävyys voidaan määrittää kaikissa poikkileikkausluokissa
plastisuusteorian mukaan [2]. Mitoitusehto leikkausvoiman kuormittamalle poikkileikkaukselle, kun käytetään plastisuusteorian mukaista leikkauskestävyyttä [11]:
VEd
£ 1,0
V pl . Rd
(4.22)
missä
VEd
leikkausvoiman mitoitusarvo murtorajatilassa
Vpl.Rd
plastisen leikkauskestävyyden mitoitusarvo
V pl. Rd =
AV × f y
3
gM0
(4.23)
missä
AV
leikkauspinta-ala
Hitsatuilla I-profiileilla leikkauspinta-alana käytetään koko uuman pinta-alaa (kuva 19),
kun kuormitus on uuman suuntainen. Jos myötölujittuminen huomioidaan, voidaan
leikkauspinta-alaa vielä kasvattaa kertoimella η. Pinta-alan kaava [11]:
AV = h × hw × tw
(4.24)
missä
η = 1,20
kun myötölujittuminen otetaan huomioon. Voidaan käyttää teräslujuuksilla S235-S460 ja korkeintaan 400 °C lämpötiloilla.
33
η = 1,0
kun myötölujittumista ei oteta huomioon. Varmalla puolella oleva arvo,
jota voidaan käyttää kaikissa tilanteissa. [2]
Kuva 19
Leikkauspinta-ala. [2]
Leikkauslommahduskestävyys
Ohutuumapalkkien hoikat uumat ovat altiita leikkauslommahdukselle, kuten luvussa 3.2
todetaan. Palkin kestävyys leikkauslommahdusta vastaan on tarkistettava, jos uuma
täyttää seuraavat ehdot [13]:
Jäykistämätön
uuma
Uumassa
poikittaiset
jäykisteet
hw 72e
>
tw
h
(4.25)
hw 31e
>
kt
tw
h
(4.26)
missä
kτ
leikkauslommahduskerroin
34
Tässä työssä tarkastellaan palkkia, jossa on täysin jäykät poikittaisjäykisteet tuilla sekä
pistekuormien kohdalla. Lisäksi uuman oletetaan kantavan leikkausvoima kokonaisuudessaan, jolloin laippojen osuus leikkauslommahduskestävyyteen jätetään huomiotta.
Mitoitusehto on täten muotoa:
VEd
£ 1,0
Vbw. Rd
(4.27)
missä leikkauskestävyys Vbw.Rd lasketaan kaavasta [13] s. 23:
Vbw. Rd = c w
f yw × hw × t w
(4.28)
3 × g M1
Kaava on hyvin samanlainen kuin kiepahduskestävyyden laskukaava (4.17). Poikkileikkauksen kestävyyttä vähennetään pienennystekijällä χw ja osavarmuuslukuna käytetään
stabiiliuden osavarmuuslukua γM1. Pienennystekijän laskemista varten on määriteltävä
leikkauslommahduskerroin kτ ja muunnettu hoikkuus l w . Leikkauslommahduskerroin
kτ lasketaan standardin EN 1993-1-5 liitteen A mukaisesti. Kun pitkittäisjäykisteitä ei
ole, kaavat saavat muodon [13]:
kun a / hw ³ 1
æh ö
kt = 5,34 + 4,00ç w ÷
è a ø
2
kun a / hw < 1
æh ö
kt = 4,00 + 5,34ç w ÷
è a ø
2
(4.29)
(4.30)
missä
a
on levykentän sisämitta, toisin sanoen jäykisteiden väliin jäävä matka.
Voidaan käyttää myös keskilinjojen etäisyyttä, jolloin ratkaisu on varmalla puolella.
Muunnettu hoikkuus jäykistetylle uumalle [13]:
35
lw =
hw t w
37,4e × kt
(4.31)
Pienennystekijä χw saadaan nyt laskettua taulukon 2 mukaan, minkä jälkeen palkin leikkauslommahduskestävyys on määritelty.
Taulukko 2
Pienennystekijän χw arvot muunnetusta hoikkuudesta ja päätylevyjen
jäykkyydestä riippuen. [13]
36
5 Rakenteiden luotettavuus
Luvun tarkoituksena on esitellä rakenteiden luotettavuusteorian perusteet tämän työn
kannalta tarpeellisessa laajuudessa. Ensin käydään läpi teorian lähtökohdat ja tieteellinen pohja. Sen jälkeen esitellään laskennassa tarvittavat menetelmät ja lopuksi luotettavuuden tavoitearvot.
5.1 Luotettavuusteorian lähtökohdat
Rakenteiden mitoitus perinteisin menetelmin perustuu riittäviin varmuuslukuihin sekä
oletuksiin, joiden ajatellaan olevan varmalla puolella. Voidaan puhua niin kutsutusta
pahimman mahdollisen tapauksen menettelystä. Tämä tarkoittaa sitä, että oletuksiin perustuva pienin mahdollinen rakenteen kestävyys ylittää suurimman mahdollisen rasituksen – sopivalla marginaalilla. Tässä lähestymistavassa subjektiiviset oletukset sekä kokemukset vastaavista tapauksista nousevat kuitenkin suureen rooliin. Varsinkin uudenlaisissa tilanteissa tämä on ongelma, sillä kokemukset puuttuvat. Luotettavuusteoria sen
sijaan ottaa huomioon epävarmuuden, jota on mahdotonta välttää. Mitoitus perustuu
riittävän varmuustason saavuttamiseen, jota voidaan arvioida todennäköisyyslaskennan
menetelmin. [15]
Rakenteen luotettavuus voidaan määritellä esimerkiksi seuraavalla tavalla: Rakenteen
luotettavuus on todennäköisyys sille, että se säilyttää käyttökelpoisuutensa kestämällä
siihen kohdistuneet rasitukset käyttöikänsä aikana [16].
Tällöin luotettavuutta on luontevaa merkitä tunnuksella Pr ( 0 < Pr < 1). Kaikilla rakenteilla on jonkin suuruinen luotettavuus. On harhaanjohtavaa todeta rakenteen joko olevan luotettava tai ei. Tällaiseen käyttöön sopii paremmin termi ”turvallinen”. Luotettavuuden tasoa voidaan erikseen arvioida, mutta lähtökohtaisesti vaurioitumisen mahdollisuus on aina olemassa. Tämä mahdollisuus on suunnittelussa hyväksyttävä, mutta sitä
on pyrittävä hallitsemaan. Laskelmissa esiintyy epätarkkuuksia, jotka ovat peräisin lukuisista eri lähteistä. Epätarkkuuksia on mahdotonta välttää, sillä monet rakenteiden mitoitukseen liittyvät tekijät ovat luonteeltaan satunnaisia tai sisältävät tilastollista epä37
tarkkuutta, inhimillisiä virheitä unohtamatta. Lisäksi rakennemalli on järkevää pitää
mahdollisimman yksinkertaisena ja kevyenä resurssien optimoimiseksi, jolloin malliin
syntyy epätarkkuuksia. Täydellisesti todellisuutta kuvaavaa mallia olisi mahdotonta laatia. Luotettavuusteoria tarjoaa keinot epätarkkuuksien mallintamiseen, jolloin rakenteen
varmuus voidaan määrittää. Tällöin on mahdollista ottaa mitoituksessa harkittuja riskejä. Mitä tarkemmin riskit tunnetaan, sen optimaalisemmaksi rakenne voidaan suunnitella. Lisäksi luotettavuusteoria helpottaa eri murtotapojen analysointia ja rakenteen huoltotoimenpiteiden suunnittelua. [17] [18]
Luotettavuuslaskenta perustuu todennäköisyyslaskennan ja mekaniikan yhdistämiseen
käyttämällä rakennemallissa tilastollisia muuttujia vakioarvojen sijaan. Muuttujia voivat
olla niin materiaaliominaisuudet, geometria ja reunaehdot kuin kuormituskin. Luotettavuusteorian tavoitteena on määritellä muuttujien avulla jakaumat kestävyydelle ja rasitukselle, minkä jälkeen lasketaan vaurioitumistapausten todennäköisyydet. Suunnittelijan vastuulla on tunnistaa varteenotettavat murtotavat, sillä luotettavuusanalyysi ei sitä
tee. Tarkastelu on tehtävä jokaiselle murtotavalle erikseen. Inhimilliset virheet jaetaan
karkeisiin ja satunnaisiin virheisiin. Näistä karkeita virheitä ei oteta luotettavuuslaskennassa huomioon. [17] [20]
5.2 Perusyhtälö
Rakenteen kantavuus on yleisellä tasolla riippuvainen ainoastaan kahdesta tekijästä:
kestävyydestä R ja rasituksesta S. Mikäli rasitus ylittää kestävyyden, rakenne murtuu.
Murtuminen voidaan tässä tapauksessa käsittää kattamaan myös käyttökelpoisuuden
menettäminen. Toisin sanoen rakenne ei enää täytä sille asetettuja vaatimuksia. [17]
R ja S voivat molemmat sisältää parametrejä, jotka ovat satunnaismuuttujia. Tällöin
myös R ja S ovat satunnaismuuttujia. Kuvassa 20 on esitetty eräänlaiset jakaumat kestävyydelle ja rasitukselle. Jakaumat riippuvat niihin sisältyvien muuttujien ominaisuuksista. [17]
38
Kuva 20
Rasituksen S ja kestävyyden R jakaumat. [17]
R ja S ovat siis satunnaisvektoreita {R} ja {S}, joiden alkiot ovat jakaumista poimittuja
arvoja {R}n ja {S}n. Kestävyyden ja rasituksen erotusta kutsutaan varmuusmarginaaliksi Z:
Z = R-S
(5.1)
missä
R
rakenteen kestävyys
S
rakenteeseen kohdistuva rasitus
Varmuusmarginaalin avulla voidaan edelleen määrittää rajatilafunktio G:
G ({ X }) = Z
(5.2)
missä
{X}
satunnaisvektori, joka on vektoreiden {R} ja {S} erotus.
Satunnaisvektori X voidaan määrittää ilman tilastollista dataa esimerkiksi Monte Carlo
simulaation avulla. Kun otoskoko on M, saadaan kestävyydelle ja rasitukselle lukumäärältään M erilaista arvoa. Vastaavasti myös X sisältää M määrän alkioita:
39
ì R1 - S1 ü
ï R -S ï
ï 2
2 ï
{ X } = {R} - {S } = í
ý
M
ï
ï
ïî RM - S M ïþ
(5.3)
missä
R1, S1 ... RM, SM
R:n ja S:n jakaumista poimittuja satunnaisarvoja
Simulaation tulokset voidaan esittää histogrammeina (kuva 21). Mitä suurempi on otoskoko M, sen paremmin histogrammit kuvaavat jakaumaa. Koska rakennetekniikassa
keskitytään usein tutkimaan murtotilaa, tässäkin tapauksessa kiinnostavia ovat tilanteet,
joissa S > R ja erityisesti rajatilapinta S = R:
G ({ X }) = Z = 0
Kuva 21
(5.4)
Histogrammit rasitukselle S ja kestävyydelle R sekä varmuusmarginaalille Z.
Jotta jakaumat kestävyydelle ja rasitukselle voidaan määrittää, on ensin määritettävä
niihin sisältyvien satunnaismuuttujien jakaumat, mitä käsitellään seuraavassa luvussa
5.3. Jakaumien määrittämisen jälkeen vaurioitumistodennäköisyyden sekä muiden luotettavuuden mittareiden hyödyntäminen tulee mahdolliseksi. Näitä mittareita käsitellään
tarkemmin luvuissa 5.4 ja 5.5.
40
5.3 Muuttujien mallintaminen
Kestävyys ja rasitus riippuvat molemmat useista tekijöistä. Nämä tekijät ovat normimitoituksessa tunnettuja vakioita, mutta luotettavuuslaskennassa ainakin osaa käsitellään
satunnaismuuttujina. Muuttujat oletetaan yleensä normaalijakautuneiksi tai logaritmisesti normaalijakautuneiksi. Standardeissa on annettu ohjeita eri suureiden jakaumien
määrittämiseen. Esimerkiksi kuormatyypeille ja materiaaliominaisuuksille sopivia variaatiokertoimia ja jakaumatyyppejä annetaan standardissa Probabilistic Model Code [21]
sekä artikkelissa Stochastic models in analysis of structural reliability [22]. Pysyville
kuormille suositellaan käytettäväksi normaalijakaumaa. Sen sijaan muuttuville kuormille sekä teräksen myötölujuudelle ja kimmokertoimelle suositellaan logaritmista normaalijakaumaa. Taulukoissa 3 ja 4 on esitetty materiaalikohtaisia suosituksia jakaumaparametreille. Jakaumat määritetään usein keskiarvon ja variaatiokertoimen avulla. Variaatiokerroin (c tai COV) on keskihajonnan ja keskiarvon osamäärä.
Taulukko 3
Teräksen materiaaliominaisuuksille suositeltavia variaatiokertoimen arvoja. Tässä työssä tarvitaan arvoja myötölujuudelle fy ja kimmokertoimelle E. [21]
41
Taulukko 4
Materiaalien omalle painolle suositeltavia keskiarvoja sekä variaatiokertoimen arvoja. [21]
Omaa painoa lukuunottamatta pysyville kuormille suositellaan variaatiokertoimen arvoa
0,03 ... 0,10 [22]. Muuttuville kuormille variaatiokertoimen valinta ei ole yhtä yksiselitteistä, sillä variaatio riippuu kuorman luonteesta. Toimistorakennuksen hyötykuormalle
annetaan suositukseksi 0,35, kun tarkastelujaksona on 50 vuotta [22]. Muita käyttötarkoituksia varten on huomioitava erot kuormituksen luonteessa ja arvioitava variaatiokerroin sen perusteella. Kun muuttujien jakaumat ovat tiedossa, saadaan määritettyä
jakaumat myös kestävyydelle ja rasitukselle.
5.4 Vaurioitumistodennäköisyys
Rakenteen vaurioituminen riippuu rasituksen S ja kestävyyden R suhteesta. Kun R on
suurempi kuin S, vaurioitumista ei tapahdu. Täten vaurioitumistodennäköisyys Pf on todennäköisyys sille, että rasitus saa samaan aikaan suuremman (tai yhtä suuren) arvon
kuin kestävyys [20]:
Pf = P ( R £ S ) = P (Z £ 0)
(5.5)
Vaurioitumistodennäköisyys on siis luotettavuuden komplementtisuure Pf = 1 - Pr. Tilastollisesti vaurioitumistodennäköisyys voidaan arvioida riittävän suuresta ja homo42
geenisesta rakennejoukosta. Tämä ei ole kuitenkaan usein mahdollista vaan määritetään
teoreettinen vaurioitumistodennäköisyys. Rakenteen murtuminen voi johtua myös karkeasta inhimillisestä virheestä. Teoreettisen vaurioitumistodennäköisyyden laskennassa
karkean virheen mahdollisuutta tai tuottamuksellisuutta ei kuitenkaan tule ottaa huomioon. [20]
Simulaation avulla määritettynä vaurioitumistodennäköisyys saadaan kaavasta:
Pf =
nf
M
(5.6)
missä
nf
vaurioitumistapausten lukumäärä
M
otoskoko
Teoreettisesti approksimaatio vaurioitumistodennäköisyydelle voidaan määrittää luotettavuusindeksin avulla [20]:
Pf = F (- b )
(5.7)
missä
F (...)
standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio
β
luotettavuusindeksi, määritetään luvussa 5.5
5.5 Luotettavuusindeksi
Vaurioitumistodennäköisyydet ovat yleensä hyvin pieniä lukuja, jolloin niiden vertailukelpoisuus saattaa olla kyseenalaista. Luotettavuuden kuvaamiseksi onkin kehitetty
myös muita mittareita, kuten luotettavuusindeksi β. Tapoja luotettavuusindeksin määrittämiseksi on erilaisia, mutta yleisin lienee Cornellin luotettavuusindeksi βc, lyhyemmin Cornell indeksi. Cornell indeksi määritellään varmuusmarginaalin Z keskiarvon ja
keskihajonnan avulla seuraavasti [17]:
43
bc =
mz
sz
(5.8)
missä
mz
varmuusmarginaalin Z keskiarvo
σz
varmuusmarginaalin Z keskihajonta
Cornell indeksi on täten Z:n variaatiokertoimen käänteisluku. Cornell indeksi kertoo,
kuinka monta kertaa Z:n keskihajonta mahtuu keskiarvon ja origon väliin. Tätä on havainnollistettu kuvassa 22. Cornell indeksin saadessa suuria arvoja varmuusmarginaalin
negatiivinen osuus todennäköisyysmassasta on pieni verrattuna positiiviseen, mikä tarkoittaa myös suuria luotettavuuden arvoja.
Kuva 22
Cornell indeksin βc määritelmä.[17]
Cornell indeksin käytöllä on myös rajoituksia. Sen määritelmä perustuu oletuksiin, joiden mukaan varmuusmarginaali on normaalijakautunut ja rajatilafunktio lineaarinen.
Jos nämä ehdot eivät täyty, on Cornell indeksi approksimaatio.
Hasofer-Lindin luotettavuusindeksi βHL ei sisällä samoja rajoituksia kuin Cornell indeksi. Hasofer-Lind indeksi perustuu rajatilafunktion määrittämiseen standardiavaruudessa fysikaalisen avaruuden sijaan. Perusmuuttujien arvot muunnetaan vastaamaan
keskitettyä standardoitua normaalijakaumaa noudattavia arvoja. Tätä kutsutaan isoprobabilistiseksi muunnokseksi. Muunnoksen ansiosta alkuperäisen varmuusmarginaalin ei
44
tarvitse olla normaalijakautunut. Standardointi esitetään graafisesti kuvassa 23. Muunnos standardiavaruuteen suoritetaan seuraavasti [17]:
F (u ) = FX ( x ) Þ x ® u = F -1 ( FX ( x))
(5.9)
missä
F (...)
standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio
FX (...)
perusmuuttujan X kertymäfunktio
u
x:n standardiavaruuteen muunnettu arvo
Kuva 23
Muunnos fysikaalisesta avaruudesta standardiavaruuteen.[17]
Standardiavaruudessa rajatilafunktio ei ole enää lineaarinen. Käyrällä sijaitseva piste,
joka on lähimpänä origoa, on nimeltään mitoituspiste P*. Hasofer-Lind indeksi on rajatilafunktion lyhin etäisyys origosta eli vektorin OP* pituus. [17]
Rajatilafunktion määrittäminen standardiavaruudessa ei aina ole yksinkertaista, eikä
välttämättä edes mahdollista. Hasofer-Lind indeksi voidaan kuitenkin määrittää likimääräisesti myös niin kutsutulla histogrammipohjaisella menetelmällä. Kun simulaatio on
suoritettu, ainoastaan vaurioitumistapauksia vastaavat pisteet muunnetaan standardiavaruuteen. Rajatilafunktio on nyt tuntematon, mutta tiedossa on, että saadut pisteet sijaitsevat rajatilapinnalla tai sen takana murtotila-alueella. Approksimaatio Hasofer-Lind
indeksille saadaan määrittämällä pisteiden etäisyydet origosta ja valitsemalla lähin mitoituspisteeksi. Otoskoon kasvaessa virhe βHL:n määrityksessä pienenee, sillä mitoituspiste sijaitsee yhä lähempänä todellista rajatilapintaa. [23]
45
Pisteet sijaitsevat avaruudessa, jolla on yhtä monta ulottuvuutta kuin laskennassa on perusmuuttujia. Perusmuuttujan X standardiavaruuteen muunnettu arvo lasketaan kaavasta:
u X = F -1 ( FX ( xn ))
(5.10)
missä
xn
perusmuuttujan X arvo tapauksella n
Muuttujalle uX määritetään yhtä monta arvoa kuin fysikaalisessa avaruudessa on vaurioitumistapauksia. Muunnos tehdään kaikille perusmuuttujille, jolloin yhden standardiavaruuden pisteen koordinaatit koostuvat jokaisen perusmuuttujan muunnetusta arvosta kyseisellä vaurioitumistapauksella. Vastaavasti pisteitä syntyy yhtä monta kuin on
vaurioitumistapauksia. Pisteen etäisyys origosta voidaan laskea kaavalla [17]:
OP = {u}T ×{u}
(5.11)
missä
P
standardiavaruuden piste, joka sijaitsee vaurioitumisalueella fysikaalisessa avaruudessa
{ u}
ì u X1 ü
ï
ï
ï uX 2 ï
í
ý , missä N = perusmuuttujien lukumäärä
ï M ï
ïu ï
î XN þ
Kuten edellä on mainittu, Hasofer-Lind indeksi on lähimpänä sijaitsevan pisteen etäisyys origosta:
b HL = min ( OP1 , OP2 , K, OPF
missä
F
vaurioitumistapausten lukumäärä
46
)
(5.12)
Eurokoodissa on annettu suositeltavat vähimmäisarvot luotettavuusindeksille riippuen
tarkasteltavasta aikavälistä ja luotettavuusluokasta. Vuodet oletetaan toisistaan riippumattomiksi, ja vuotuinen vaurioitumistodennäköisyys on vakio. Vähimmäisarvot esitetään taulukossa 5.
Taulukko 5
Luotettavuusindeksin tavoitearvot riippuen tarkastelujaksosta ja luotettavuusluokasta. [10]
Vaurioitumistodennäköisyyttä voidaan arvioida luotettavuusindeksin perusteella kaavan
(5.7) mukaisesti. Tällöin on muistettava huomioida luotettavuusindeksin laskennassa
käytetyt oletukset, jotka vaikuttavat myös vaurioitumistodennäköisyyden arvoon. Taulukossa 6 esitetään luotettavuusindeksin arvoja vaurioitumistodennäköisyyden eri suuruusluokilla.
Taulukko 6
Luotettavuusindeksin ja vaurioitumistodennäköisyyden yhteys. [10]
47
6 Laitekannatinpalkin laskennallinen analyysi
Tässä luvussa suoritetaan analyysi teollisuusrakennuksen laitekannattimelle. Laskennassa määritetään eurokoodin mukaiset käyttöasteet kiepahduksen ja uuman lommahduksen suhteen. Luotettavuusosassa määritetään rakenteen rasitus ja kestävyys käyttäen satunnaismuuttujia osalle laskentaparametreistä. Muuttujien avulla tutkitaan myös rakenteen herkkyyttä erilaisten muutosten suhteen. Yksityiskohtaiset laskelmat esitetään liitteissä A, B ja C.
6.1 Lähtötiedot
Tarkasteltava rakenne on ohutuumainen hitsattu levypalkki, joka toimii laitekannattimena teollisuusrakennuksessa. Palkki kannattelee alapuolellaan olevaa tasoa kahden
ripustuksen välityksellä sekä palkin yläpinnassa sijaitsevaa tasoa, joka tukeutuu palkkiin
tasaisesti pitkin jännettä. Kolme ylälaippaan kiinnitettyä sekundääripalkkia toimivat sivuttaistukina kiepahdusta vastaan. Kiepahdustuet tukeutuvat edelleen jäykistävään tasoristikkoon kuvan 24 mukaisesti. Palkissa on pystysuuntaiset jäykisteet sivuttaistukien
kohdalla sekä palkin päissä. Suunniteltu käyttöikä palkille on 50 vuotta ja luotettavuusluokka RC3. Kuvassa 25 on esitetty rakenteen mitat.
Kuva 24
Tarkasteltava rakenne.
48
PROFIILI
WI5000-40-80*800
Korkeus
h
5000 mm
Leveys
Laipan paksuus
b
tf
800 mm
80 mm
Uuman paksuus
tw
40 mm
Hitsin mitta
aw
12 mm
Pinta-ala
A
321600 mm
2
SAUVA
Jänneväli
Tukiväli
Kuva 25
L
Lu
32 m
8m
Palkin mitat.
6.1.1 Rakennemalli
Palkki on yksiaukkoinen, vapaasti tuettu ja päistään haarukkalaakeroitu. Pistekuormat
sijaitsevat reunimmaisten sivuttaistukien kohdalla. Kuormien oletetaan tukeutuvan
vääntökeskiöön. Sivuttaistuet ovat kimmoisia ja tukeutuvat ylälaippaan.
49
Kuva 26
Palkin rakennemalli xz- ja xy-tasossa.
Kiepahdustarkastelu tehdään jakamalla palkki segmentteihin, joille määritetään kiepahduskestävyydet erikseen. Jako riippuu tukien jäykkyydestä. Kiepahdusmuodoksi oletetaan aina toinen muoto luvun 3.1.2 mukaisesti, jolloin tukien kohdalle ei synny siirtymää. Tämä muoto toteutuu aina, kun tuen jäykkyys ylittää kynnysjäykkyyden arvon. Jos
näin ei tapahdu, kyseisen tuen jäykkyys oletetaan nollaksi. Tällöin tuki jätetään laskennassa huomiotta, ja vastaava segmentti jatkuu tuen yli. Jakoa on havainnollistettu kuvassa 27.
50
Kuva 27
Periaate palkin segmenttijaon määrittämiseksi tukien jäykkyyden perusteella.
6.1.2 Kuormitus
Kaikki kuormat ovat staattisia ja vaikuttavat positiivisen z-akselin suuntaan (alaspäin).
Kuormat koostuvat rakenteen omasta painosta, muista pysyvistä kuormista sekä tasojen
hyötykuormista. Alemmalta tasolta palkkiin kohdistuvat pistekuormat koostuvat pysyvästä ja muuttuvasta osuudesta. Tasan jakautunut kuorma koostuu vastaavasti ylemmän
tason pysyvästä kuormasta ja hyötykuormasta, mutta siihen sisältyy lisäksi tarkasteltavan palkin oma paino. Kuormat on kerätty taulukkoon 7.
51
Taulukko 7
Palkin kuormitus.
Pysyvät kuormat
Oma paino
g0
24,76 kN/m
Muu tasan jakautunut
gk1
Gk1
45 kN/m
Pistekuormat
Muuttuvat kuormat
Hyötykuorma
Tasan jakautunut
Pistekuormat
qk1
Qk1
780 kN
155 kN/m
2600 kN
Kuvan 26 merkintöihin viitaten voidaan nyt kirjoittaa:
p = g 0 "+" g1 "+" q1
(6.1)
P = G1 "+" Q1
(6.2)
missä ”+” tarkoittaa kuormien yhdistämistä.
6.2 Osavarmuuslukuihin perustuva menettely (EC)
Tässä luvussa suoritetaan luvun 4 mukainen eurokoodiin perustuva rakenneanalyysi
esimerkkitapauksen palkille. Poikkileikkauksen kestävyys sekä käsitellyt stabiiliuden
menetyksen muodot tarkistetaan voimasuureiden mitoitusarvoilla.
6.2.1 Voimasuureet
Voimasuureiden laskemiseksi suoritetaan eurokoodin mukainen kuormien yhdistely.
Tämän työn esimerkissä kaikkien muuttuvien kuormien oletetaan olevan peräisin samasta lähteestä, joten niille kaikille käytetään määräävän muuttuvan kuorman mukaisia
kertoimia. Oletus on varmalla puolella ja yksinkertaistaa laskentaa, sillä kuormayhdistelmiä tulee tarkastettavaksi vähemmän. Kun mukana on vain yhdentyyppinen muuttuva
kuorma, tulee murtorajatilassa kyseeseen ainoastaan kaksi kuormayhdistelmää (yhdistelmät 6.10a ja 6.10b, SFS-EN 1990 [10]). Näistä ensimmäinen tulee voimaan, jos pysyvät kuormat ovat kyllin suuria muuttuviin kuormiin verrattuna. Muuttuvat kuormat
eivät sisälly tähän yhdistelmään lainkaan. Tässä laskentaesimerkissä mitoittavaksi yh-
52
distelmäksi tulee jälkimmäinen eli 6.10b. Pysyvien kuormien osavarmuusluku on tällöin
1,15 ja muuttuvien 1,5. Kuormien mitoitusarvoiksi saadaan näin:
kN
m
(6.3)
PEd = 5276,7 kN
(6.4)
p Ed = 343,99
Kuormien mitoitusarvoilla määritetyt taivutusmomentti- ja leikkausvoimakuvaajat on
esitetty kuvissa 28 ja 29.
Kuva 28
Taivutusmomenttikuvaaja.
Kuva 29
Leikkausvoimakuvaaja.
53
Maksimiarvoiksi voimasuureille saadaan:
M max = 86,24MNm
(6.5)
Vmax = 10,78MN
(6.6)
Kiepahdustarkastelua varten tarvitaan lisäksi segmenttikohtaiset maksimimomentit.
Kiepahduskestävyyden laskennassa myös momenttipinnan muodolla on merkitystä.
Tämän vuoksi määritetään momentin arvot kiepahdussegmenttien pääte- ja välipisteissä
(kuvat 7 ja 27). Esitetään momentit matriisissa, jossa rivi edustaa segmenttiä ja sarake
pistettä segmentin sisällä (neljä segmenttiä, joissa jokaisessa viisi pistettä):
(6.7)
Matriisista voidaan havaita samoja asioita kuin kuvaajasta. Maksimimomentti esiintyy
palkin keskellä, missä sijaitsevat segmentin 2 loppupiste ja segmentin 3 alkupiste. Palkin päissä momentin arvo on nolla.
6.2.2 Rakenteen kestävyys
Kestävyyden laskenta aloitetaan määrittämällä rakenteen poikkileikkausluokka. Poikkileikkausluokalla on merkitystä, kun rakenteessa esiintyy puristusjännityksiä. Jos poikkileikkaus on kovin hoikka, paikalliset lommahdukset saattavat rajoittaa rakenteen kykyä
vastaanottaa puristusjännitystä. Poikkileikkauksen leikkauskestävyyteen luokalla ei ole
merkitystä, sillä leikkausvoimaa vastaan teholliseksi oletetaan aina kuormituksen suuntaisen levyn poikkipinta-ala kokonaisuudessaan luokasta riippumatta. Sen sijaan taivutuskestävyyden laskennassa tulee käyttää kimmoista taivutusvastusta yli luokan 2 poikkileikkauksilla. Lisäksi luokassa 4 puristettu poikkipinta-ala ei toimi kokonaisuudessaan, vaan on määritettävä tehollinen poikkileikkaus. Poikkileikkausluokka on suurimman luokan antavan puristetun taso-osan mukainen.
54
Kuva 30
Poikkileikkausluokan määritys.
Uuma antaa tulokseksi luokan 4, kun taas laipat kuuluvat johonkin luokista 1-3. Tämä
on tarkoituksenmukaista, kuten luvussa 2.3 todetaan. Täten poikkileikkaus kuuluu luokkaan 4, ja sille on määritettävä tehollinen poikkileikkaus ja vastaavat poikkileikkaussuureet ennen kestävyyden laskemista. Tehollinen poikkileikkaus määritetään iteratiivisesti
asettamalla neutraaliakseli ensin palkin keskelle. Iteraation edetessä neutraaliakseli siirtyy alalaippaa kohden, sillä tehoton alue sijaitsee puristetulla puolella eli palkin yläosassa. Iteraatio suppenee riittävästi jo kuudella kierroksella ja neutraaliakseli asettuu palkin
alapinnasta mitattuna kohtaan:
z 0 = 2434,19mm
(6.8)
Nyt voidaan edelleen määrittää palkin tehollinen jäyhyysmomentti ja taivutusvastus
(kaavat (4.11) ja (4.14)):
I y.eff = 1,12m 4
(6.9)
W y.eff = 0, 43m 3
(6.10)
55
Lopulta saadaan poikkileikkauksen taivutuskestävyys (kaava (4.16)):
M y . Rd = 145,6MNm
(6.11)
Leikkauskestävyys saadaan laskettua suoraan bruttopoikkileikkauksen perusteella, sillä
leikkauspinta-alaksi lasketaan koko uuman pinta-ala. Leikkauskestävyydeksi saadaan
(kaava (4.23)):
V pl .Rd = 37,44MN
(6.12)
Koska palkin taivutuskestävyys heikommassa suunnassa on paljon pienempi kuin vahvassa suunnassa, vahvan suunnan taivutuskestävyyttä rajoittaa kiepahdus. Sama pätee
leikkauskestävyydelle lommahduksen suhteen uuman hoikkuuden vaikutuksesta. Tästä
johtuen on määritettävä lisäksi kiepahduskestävyys ja leikkauslommahduskestävyys.
Palkki on pistemäisesti tuettu sivusuunnassa, joten kiepahdusta voidaan tarkastella segmenteittäin, jos tuet ovat riittävän jäykkiä estämään ensimmäisen muodon mukaisen
kiepahduksen. Segmentit käyttäytyvät kuin päistään nivelellisesti kiinnitetty sivusuunnassa tukematon palkki. Vaatimusta sivuttaistukien jäykkyydelle ei eurokoodissa ole,
joten käytetään kaavan (3.6) mukaista arvoa riittävälle jäykkyydelle. Olettamalla maksimimomentiksi 90 MNm tuetussa palkissa, saadaan kynnysjäykkyydeksi (kaava (3.6)):
K T = 12,19
MN
m
(6.13)
Tukien jäykkyydet oletetaan samansuuruisiksi ja toisistaan riippumattomiksi. Jäykkyyden arvot perustuvat liitteessä C määritettyyn sivuristikon taivutusjäykkyyteen. Yksittäisen tuen jäykkyydeksi saadaan:
K1, 2,3 = 29,139
56
MN
m
(6.14)
Kestävyysvaatimuksena sivuttaistuille käytetään 2% tuetun palkin laipan puristusvoimasta, kuten luvussa 3.1.2 todetaan. Myös kestävyysvaatimus täyttyy sekä tukisauvan
nurjahduksen että ristikon taivutuskestävyyden osalta. Laskelmat esitetään yksityiskohtaisesti liitteessä C.
Sivuttaistuet ovat vaatimusten mukaisia, joten siirtymää ei tukien kohdalla oleteta syntyvän. Kiepahdustarkastelu voidaan näin tehdä segmenttikohtaisesti jakamalla palkki
neljään osaan. Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti määritetään Sernan menetelmällä, joka esiteltiin luvussa 3.1.1 käyttäen C1:lle kaavaa (3.5). Kriittisen momentin
avulla saadaan edelleen määritettyä segmenttien kiepahduskestävyydet, jotka ovat:
M b. Rd .1 = 124,74MNm
(6.15)
M b. Rd .2 = 112,96MNm
(6.16)
M b. Rd .3 = 112,96MNm
(6.17)
M b. Rd .4 = 124,74MNm
(6.18)
Leikkauslommahduskestävyys lasketaan pelkästään palkin reunakentissä, sillä leikkausvoiman itseisarvo pistekuormien välissä on pieni verrattuna maksimiarvoon, joka sijaitsee tuella. Levykentät ovat symmetrisiä (kuten segmentitkin), joten molemmille kentille
saadaan sama arvo:
Vbw. Rd .1 = 23,52MN
(6.19)
Vbw. Rd .2 = 23,52MN
(6.20)
6.2.3 Käyttöasteet
Kun voimasuureet ja rakenteen kestävyydet on määritelty, saadaan käyttöasteet:
57
Taulukko 8
Käyttöasteen muutos, kun kuormien ominaisarvoja kasvatetaan kertoimella κ. Laskettu erikseen pysyville ja muuttuville kuormille sekä molemmille
yhdessä.
Käyttöaste
κ
1
G
0,763
Q
0,763
G,Q
0,763
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
0,777
0,790
0,804
0,817
0,831
0,844
0,858
0,871
0,884
0,898
0,823
0,882
0,942
1,001
1,060
1,120
1,179
1,239
1,298
1,357
0,836
0,909
0,982
1,055
1,128
1,200
1,273
1,346
1,419
1,492
Käytännön suunnittelussa rakenteille annetaan yleensä lisävarmuutta jättämällä käyttöasteet selvästi alle yhden. Tästä syystä analysoidun rakenteen käyttöaste 0,76 on sopiva.
Teoreettisesti kuormien ominaisarvoja voitaisiin vielä kasvattaa kertoimella 1,3 ennen
kuin käyttöaste nousisi arvoon 1. Pelkillä muuttuvilla kuormilla vastaava luku olisi 1,4,
jolloin käyttöaste nousisi hieman yli yhden, arvoon 1,001. Pysyvien kuormien osalta
edes ominaisarvojen tuplaaminen ei kasvattaisi käyttöastetta kuin arvoon 0,898.
58
6.3 Luotettavuusanalyysi
Tässä luvussa suoritetaan luotettavuusperusteinen laskenta luvun 5 mukaisesti. Luvun
6.3.2 herkkyysanalyysissä vertaillaan perusmuuttujien parametrien vaikutusta luotettavuuden mittareihin kuvaajien avulla. Poikkileikkauksen kestävyys sekä kiepahdus- ja
lommahdustarkastelut lasketaan käyttäen eurokoodin kaavoja, mutta ilman osavarmuuslukuja. Laskenta etenee seuraavien vaiheiden mukaisesti:
1) Muuttujien määrittäminen: Osaa laskennassa käytettävistä parametreistä käsitellään satunnaismuuttujina. Näitä kutsutaan luotettavuuslaskennan perusmuuttujiksi. Kun perusmuuttujat on valittu, niille on määritettävä jakaumat. Jakaumatyypin lisäksi on valittava keskiarvot ja variaatiokertoimet.
2) Simulaatio: Valitaan otoskoko, joka määrittää kuinka monta tapausta tutkitaan.
Jokaiselle perusmuuttujalle poimitaan jakaumastaan yksi satunnaisarvo yhtä tapausta kohti Monte Carlo simulaation avulla. Kyseisen tapauksen kaikki laskentaparametrit ovat tämän jälkeen tunnettuja vakioita.
3) Rasitusvektorin S määrittäminen: Rasitusvektorit on määritettävä jokaiselle
murtotavalle erikseen. Vektoreiden alkiot ovat kyseiselle murtotavalle altistavia
voimasuureita, kuten taivutusmomentin tai leikkausvoiman arvoja. Esimerkiksi
kiepahdustarkastelussa rasitusvektorin alkio on yhdellä tapauksella toteutuva
taivutusmomentti kyseisen segmentin alueella. Jokaiselle segmentille tulee omat
vektorinsa, kuten myös eri levykentille lommahdustarkastelussa. Tässä laskennassa vektoreita on vielä yhdistetty matriiseiksi tai tensoreiksi, jolloin eri segmenttien alkioita voidaan poimia samasta lähteestä.
4) Kestävyysvektorin R määrittäminen: Kestävyysvektorit määritetään vastaavalla tavalla kuin rasitusvektorit. Segmenteille ja levykentille lasketaan kiepahdus- ja lommahduskestävyydet, minkä jälkeen kestävyyksiä voidaan verrata samalla tapauksella toteutuviin rasituksen arvoihin.
5) Luotettavuuden arviointi: Luotettavuuden arviointiin käytetään simulaation tuloksia kokonaisuudessaan. Rasituksen ja kestävyyden tapauskohtaiset arvot on
59
tässä vaiheessa laskettu simuloitujen muuttujien perusteella. Tulokset muodostavat aineiston, jonka suuruus riippuu otoskoosta. Arvioinnissa hyödynnetään
pääosin tulosten jakautumista sekä vaurioitumistapausten osuutta kaikista tapauksista.
6.3.1 Muuttujat
Tässä laskennassa satunnaismuuttujia sisältyy sekä rasituksen että kestävyyden muuttujiin. Satunnaismuuttujien jakaumat on määritetty luvun 6.2 perusteella asettamalla laskenta-arvot yleensä muuttujien keskiarvoiksi. Eurokoodin mukaisessa mitoituksessa
jotkin ominaisarvot ovat kuitenkin 5 tai 95% fraktiilin arvoja, joten jakaumien keskiarvot on määritetty fraktiiliarvojen perusteella. Muuttuvien kuormien ominaisarvot edustavat 95% fraktiilin arvoa ja myötölujuuden ominaisarvo 5% fraktiilin arvoa. Variaatiokertoimien arvot on joko poimittu standardeista tai arvioitu standardien perusteella.
Arvioiduille variaatiokertoimille kokeillaan useita eri arvoja, jotta nähdään valinnan
vaikutus.
Satunnaismuuttujien tiheysfunktiot noudattavat joko normaalijakaumaa tai lognormaalista jakaumaa. Normaalijakaumaa noudattavat pysyvät kuormat sekä sivuttaistukien
sijainnit. Loput satunnaismuuttujista noudattavat lognormaalista jakaumaa. Normaalijakauman määrittämiseen Mathcad ohjelmalla tarvitaan keskiarvo ja keskihajonta, jotka
on esitetty taulukossa 9. Lognormaalisen jakauman määrittämiseen tarvitaan parametrit
λ ja ξ, jotka saadaan keskiarvon ja variaatiokertoimen avulla seuraavasti:
æ m
l = ln çç
2
è 1+ c
x = ln (1 + c 2 )
60
ö
÷
÷
ø
(6.21)
(6.22)
Taulukko 9
Muuttujien jakaumien määrittäminen.
Symboli Yksikkö
Rasitus
Pysyvät kuormat
Oma paino
Keskiarvo
m
Keskihajonta
s
Variaatiokerroin
c
Lähde
Kommentti
g0
MN/m
Normal
0,025
0,00025
g1
G1
MN/m
Normal
0,045
0,0045
0,1 Sto. mod.
MN
Normal
0,78
0,078
0,1 Sto. mod.
q1
Q1
MN/m
Log-normal
0,08
0,04
0,5
Arvio
*
MN
Log-normal
1,337
0,668
0,5
Arvio
*
Myötölujuus
fy
N/mm2 Log-normal
376,747
26,372
0,07
JCSS3.3
**
Kimmokerroin
Tuen 1 sijainti
E
br1
N/mm2 Log-normal
m
Normal
210000
8
6300
1,2
0,03
0,15
JCSS3.3
Arvio
Tuen 2 sijainti
br2
Muu tasan jakautunut
Pistekuormat
Muuttuvat kuormat
Hyötykuorma
Tasan jakautunut
Pistekuormat
Kestävyys
Jakauma
br3
Tuen 3 sijainti
Tukien jäykkyys
K
* Laskettu 95% fraktiilin perusteella
** Laskettu 5% fraktiilin perusteella
0,01
JCSS2
m
Normal
16
1,2
0,075
Arvio
m
MN/m
Normal
Log-normal
24
29
1,2
11,6
0,05
0,4
Arvio
Arvio
Kertoimien valinta
Variaatio sivuttaistukien sijainnissa perustuu tiedon epävarmuuteen suunnitteluvaiheessa. Alkuperäisissä suunnitelmissa tuet on asetettu keskiarvojen kohdalle palkin neljännespisteisiin. Prosessin edetessä tiedot putkistojen ja muiden laitoksen elementtien
tilantarpeesta tarkentuvat, jolloin tukien paikat mahdollisesti muuttuvat. Pienet poikkeamat suunnasta riippumatta ovat todennäköisempiä kuin suuret, sillä tuet pyritään aina sijoittamaan mahdollisimman lähelle alkuperäistä paikkaa. Normaalijakauma soveltuu hyvin tilanteen kuvaamiseen (kuva 32). Kaikkien kolmen tuen jakaumat on intuitiivisesti määritettävä siten, että samansuuruiset absoluuttiset poikkeamat keskiarvoista
ovat yhtä todennäköisiä riippumatta tuen alkuperäisestä paikasta. Sijaintien keskihajonnat on tällöin pidettävä yhtä suurina. Nyt variaatiokertoimet poikkeavat, sillä sijaintien
keskiarvot edustavat etäisyyttä palkin päästä, ja variaatiokerroin on keskihajonnan ja
keskiarvon osamäärä. Vertailuvaiheessa sijainnille kokeillaan myös tasaista jakaumaa,
jossa tuen sijainti on yhtä todennäköinen missä tahansa kohdassa määrittelyvälillään.
Kolmannessa kokeilussa asetetaan keskihajonta nollaksi, mikä johtaa sijaintien vakioarvoihin (keskiarvot). Pistekuormien sijainti on rakenneteknisistä syistä sidottu reunimmaisten sivuttaistukien sijaintiin. Tästä huolimatta rasitus ja kestävyys oletetaan toisistaan riippumattomiksi, sillä merkitys on pieni.
Tuen jäykkyyden variaatio on peräisin suunnitelmien epätarkkuuden lisäksi mahdollisista muutostöistä laitoksen myöhemmällä iällä. Jos laitoksen rakenteita on järjesteltävä
61
uudelleen, vaikutukset tukien jäykkyyteen voivat olla yllättäviä. Todellisen jäykkyyden
arvionti on vaikeaa myös siitä syystä, että voimat eivät välttämättä siirry rakenteelta toiselle täydellisesti. Tuen jäykkyyteen vaikuttavat siis kaikki rakenneosat tuettavan palkin
ja kiinteän tukipisteen välillä. Epävarmuutta aiheuttavat erityisesti liitosten toteutus sekä
tuentaan osallistuvien rakenteiden omat tukiehdot. Variaatiokertoimen oletusarvo 0,4 on
silti melko suuri. Tällöin suurikin vaikutus sivuristikon jäykkyyteen otetaan huomioon.
Voidaan ajatella, että variaatiokertoimeen sisältyy tällöin jo hieman inhimillisen virheen
osuutta, jota ei luotettavuuslaskennassa tulisi huomioida. Tämä on muistettava laskennan tuloksia arvioitaessa. Kuten edellä on mainittu, tuen jäykkyyteen vaikuttaa kokonaisen rakennejärjestelmän yhteistoiminta, joten epävarmuuden lähteitä on paljon. Tästä
syystä variaatiokerroin on järkevää pitää korkeana. Vertailuvaiheessa variaatiokertoimelle kokeillaan myös arvoja 0; 0,1 ... 1.
Laskennassa tuen jäykkyyttä käsitellään kuten boolean muuttujaa. Satunnaisarvot, jotka
alittavat kynnysjäykkyyden KT, pyöristetään nollaksi. Oletus yksinkertaistaa laskentaa,
sillä tuen jäykkyyden vaikutus palkin kestävyyteen ensimmäisen muodon mukaisilla
kiepahduksilla jätetään huomiotta. Se myös pitää laskennan varmalla puolella, mikä on
tässä tilanteessa järkevää. Jos tuen jäykkyys on alentunut kynnysjäykkyyden tasolle asti,
voidaan epäillä jonkinlaista vauriota tai suurempaa virhettä, minkä vuoksi on syytä
epäillä tuen toimintaa ylipäänsä. Kestävyysvaatimusten täyttyminen tällaisessa tilanteessa on kyseenalaista. Kynnysjäykkyyden ylittyessäkään numeerisella arvolla ei ole
merkitystä, sillä vallitseva kiepahdusmuoto kyseiselle tuelle on tällöin aina toinen muoto. Tuki käyttäytyy siis joka tapauksessa kuten täysin jäykkä tuki. Oletusten havainnollistamiseksi jäykkyyden Kn arvoksi annetaan poimimisen yhteydessä aina joko 0 tai
1000.
Muuttuvien kuormien variaatiokertoimen arvioinnissa on käytetty apuna artikkelia
Stochastic models in analysis of structural reliability [22]. Artikkelissa suositellaan
toimistorakennuksen muuttuville hyötykuormille variaatiokerrointa 0,35. Tämän työn
laskennassa oletusarvona on 0,5 ja vertailuvaiheessa käydään läpi arvot 0; 0,1 ... 1,0.
Kestävyyden muuttujien jakaumat esitetään kuvissa 31-33 ja rasituksen eli kuormien
jakaumat kuvissa 34 ja 35.
62
Kestävyyden muuttujat:
Kuva 31
Materiaaliominaisuuksien jakaumat.
Kuva 32
Sivuttaistukien sijaintien jakauma.
Kuva 33
Yksittäisen tuen jäykyyden jakauma. KT on kynnysjäykkyys.
63
Rasituksen muuttujat:
Kuva 34
Tasan jakautuneiden kuormien jakaumat.
Kuva 35
Pistekuormien jakaumat.
64
Kun muuttujien jakaumat on määritetty, aloitetaan laskenta poimimalla jakaumista satunnaisarvoja Monte Carlo simulaation avulla. Otoskoko M on 105. Jokaiselle muuttujalle saadaan näin satunnaisvektori, joka sisältää M alkiota. Tästä eteenpäin kaikki laskennassa käytettävät muuttujat, jotka riippuvat simuloiduista muuttujista, ovat satunnaisvektoreita. Yhdellä tapauksella n jakaumista poimitaan 13 itsenäistä arvoa:
fyn , En , br1n , br2n , br3n , K1n , K2n , K3n , g0n , g1n , G1n , q1n ja Q1n
M = 105
n = 1, 2 ... M
Kiepahdussegmentit
Palkki voidaan jakaa jäykkien tukien kohdilta segmentteihin, joille tehdään kiepahdustarkastelu erikseen. Segmenttijako on tapauskohtainen riippuen toiminnallisten tukien
määrästä ja paikoista. Laskentaa varten jokaiselle segmentille on määritettävä pisteet
1 ... 5. Normaalitilanteessa segmenttejä on neljä. Merkitään segmentin indeksiä i:llä ja
pisteen indeksiä j:llä. Segmenttien pituudet voidaan laskea tukien simuloiduista arvoista
ottamalla huomioon vain toimivien tukien paikat. Nyt voidaan määrittää myös välipisteet ja tallentaa kaikki laskennassa tarvittavat pisteet tensoriin X_Points seuraavasti:
(6.23)
missä
Xstarti
Segmentin i alkupiste
Lsegi
Segmentin i pituus
Xstarti ja Lsegi ovat segmentin i tunnettuja satunnaisvektoreita, joissa on M alkiota. Tällöin X_Points:ssa on M*4*5 alkiota. X_Pointsn on matriisi, joka sisältää tapauksen n
65
kaikki 20 laskentapistettä. X_Pointsi, j sen sijaan on vektori, jossa on pisteen i, j sijainti
kaikilla tapauksilla n = 1 ... M.
Kun tuen jäykkyyden laskenta-arvo on nolla, tuen voidaan sanoa häviävän. Jos yksi tai
useampi tuki häviää, segmenttien määrä putoaa vastaavasti. Pisteiden määrittelyssä käytetty algoritmi on ohjelmoitu siten, että katoavien segmenttien kaikki pisteet kasautuvat
palkin loppuun. Tällä on merkitystä lopullisten rasitus- ja kestävyysvektoreiden määrittämisessä.
6.3.2 Rasitus S
Rasitusvektoreiden alkiot määritetään laskemalla toteutuvat voimasuureet kullekin tapaukselle simulaatiolla poimittujen arvojen perusteella. Rasitukset lasketaan siis M kertaa, jolloin vektoreiden S pituus on M. Määritetään ensin taivutusmomentin arvot laskentapisteissä. Näitä ovat kiepahdussegmenttien pääte- ja välipisteet sekä maksimimomentin kohta. Oletetaan momentti lineaariseksi pisteiden välillä, jolloin maksimimomentti sisältyy segmenttien pisteiden arvoihin. Kuormien yhdistely tehdään luotettavuuslaskennassa ilman osavarmuuslukuja:
Tasan ja-
p = g 0 + g 1 + q1
kautuneet:
Pistekuormat:
P = G1 + Q1
(6.24)
(6.25)
Kuormien aiheuttamat momentit jokaisessa laskentapisteessä lasketaan nyt vektoreilla
skalaarien sijaan:
66
Tensori MTot sisältää nyt kaikkien pisteiden kokonaismomentin kaikissa tapauksissa.
Momentit voidaan erotella tapauksittain jakamalla momenttitensori matriiseihin:
67
M_per_casen sisältää siis tapauksen n kokonaismomentit jokaisen segmentin jokaisessa
pisteessä, kun rivi edustaa segmenttiä (1-4) ja sarake pisteen sijaintia segmentillä (1-5).
Kaikkien pisteiden sijainnit ja momentit ovat nyt tiedossa, joten voidaan piirtää kuvaajia
valituille tapauksille. Kuvassa 36 on esitetty taivutusmomentin arvot laskentapisteissä
pistekuormille sekä tasan jakautuneelle kuormalle simuloinnin ensimmäisellä tapauksella (n = 1). Kuva 37 esittää kaikkien kuormien yhteenlasketun taivutusmomentin kolmella eri tapauksella, joista yksi on kaikista suurimman momentin tuottama tapaus (n = index_of_MAX), yksi pienimmän maksimimomentin (n = index_of_min) ja yksi mediaani
maksimimomentin (n = index_of_mEd) tuottama tapaus.
Kuva 36
Tasan jakautuneen kuorman ja pistekuormien taivutusmomenttikuvaajat yhdellä tapauksella.
Kokonaismomenttikuvaajia vertaamalla voi nähdä pisteiden paikkojen vaihtelun tapausten välillä. Yhden tapauksen kuormittaisissa kuvaajissa pisteet ovat sen sijaan samalla
kohdalla. Kokonaismomenttikuvaajien vertailu antaa lisäksi jonkinlaista käsitystä momentin variaation suuruudesta. Koska tapaus n = index_of_MAX antaa suurimman momentin arvon otoskoolla M = 105, todennäköisyys sille, että satunnainen momentin
maksimiarvo ylittää tämän arvon on pienempi kuin 10-5. Sama voidaan todeta toisen
ääripään arvoista. Todennäköisyys sille, että maksimimomentti alittaa tapauksella n =
index_of_min saadun arvon, on niin ikään pienempi kuin 10 -5. Mediaani ja maksimitapausten väliin sijoittuu puolet otoksen tapauksista, ja vastaavasti toinen puoli minimin
ja mediaanin väliin.
68
Kuva 37
Suurimman, pienimmän ja mediaani maksimimomentin tuottaman tapauksen taivutusmomenttikuvaajat.
Taivutusmomentin rasitusvektorit {S} sisältyvät nyt kokonaisuudessaan momenttitensoriin MTot. Koska mitoittava momentti on suurin segmentin alueella esiintyvä arvo, on
esimerkiksi segmentin 1 rasitusvektorin ensimmäinen alkio tapauksen n = 1 momenttimatriisin ensimmäisen rivin maksimiarvo:
{S seg1}1 = max{M _ per _ case1, j }1
(6.26)
Tätä logiikkaa käyttäen, voidaan muodostaa segmentin 1 rasitusvektori:
(6.27)
Näin for-silmukka käy läpi segmentillä esiintyvät momentin arvot ja sijoittaa niistä suurimman rasitusvektoriin MaxM_seg1 tapauksen indeksin n osoittamalle paikalle. Vastaavat poiminnat tehdään myös muille segmenteille. Lisäksi voidaan poimia globaalit
69
maksimimomentit, joita tarvitaan poikkileikkauksen kestävyyden tarkastuksissa. Tällöin
vektoriin sijoitetaan maksimiarvo koko jänteen alueelta:
(6.28)
Leikkausvoiman osalta laskentapisteinä käytetään ainoastaan palkin päitä (x = 0,
x = L). Rasitusvektoreita tulee tällöin kaksi, jotka edustavat leikkausvoiman arvoja eri
päissä. Keski- ja ääriarvoiksi saadaan:
Leikkausvoima V0
Leikkausvoima VL
Minimi:
min(V0 ) = 2,363MN
min(VL ) = 2,287MN
Keskiarvo:
mean (V0 ) = 4,507MN
mean (VL ) = 4,507MN
Mediaani:
median (V0 ) = 4,355MN
median (VL ) = 4,359MN
Variaatiokerroin:
cV 0 = 0,210
cVL = 0,210
Maksimi:
max(V0 ) = 13,192MN
max(VL ) = 12,744MN
6.3.3 Kestävyys R
Palkin kestävyys lasketaan luvun 4.2 tapaan, kuten laskennan ensimmäisessä osassa,
käyttäen tällä kertaa vektoreita. Rakenteen kestävyys eri murtotapojen suhteen lasketaan
siis M kertaa, kuten tehtiin rasituksillekin. Lisäksi luotettavuuslaskenta suoritetaan ilman osavarmuuslukuja. Koska palkin poikkileikkauksen geometria on vakio, variaatio
poikkileikkauksen kestävyydessä riippuu ainoastaan myötölujuuden fy variaatiosta.
Poikkileikkauksen kestävyyden ääri- ja keskiarvot voimasuureille (kaavat (4.16) ja
(4.23) ilman osavarmuuslukuja):
Minimi:
Taivutusmomentti M
Leikkausvoima V
min ( M pl .R ) =122,47MNm
min (V pl .R ) =31,47MN
70
Keskiarvo:
mean ( M pl .R ) =163,89MNm
mean (V pl .R ) =42,11MN
Mediaani:
median ( M pl .R ) =163,49MNm
median (V pl .R ) =42,01MN
Variaatiokerroin:
cM pl. R = 0,07
cV pl . R = 0,07
Maksimi:
max ( M pl .R ) =219,64MNm
max (V pl .R ) =56,44MN
Kiepahduskestävyyden laskennassa ongelmaksi muodostuu segmenttien lukumäärän
vaihtelu tapauksesta riippuen. Tapaukset, joilla segmenttiä i ei esiinny, on jätettävä
huomiotta i:n kestävyyden laskennassa. Olemattoman segmentin kaikki pisteet sijaitsevat palkin loppupäässä, joten sen pituus on nolla. Laskennassa tällaisten segmenttien
kestävyys asetetaan myös nollaksi. Tämän jälkeen nollarivit karsitaan ja saadaan segmenttikohtainen kestävyysvektori Mb.R.i. Segmenttikohtaiselle rasitusvektorille on tehtävä samoin, mikä onnistuu vastaavasti. Maksimimomentit on tallennettu vektoriin
MaxM_segi ja olemattomalle segmentille arvo on valmiiksi nolla, sillä kaikki momentin
arvot on laskettu palkin päässä. Mitoitusmomentit tallennetaan vektoriin MEd_seg.i. Vektoreiden pituudet edustavat siis lukumäärää tapauksille, joilla segmentti i esiintyy. Pituuksissa esiintyy eroja segmenttien välillä, mutta segmentin sisällä pituuksien tulee olla
samat:
Segmentti 1 on olemassa jokaisella tapauksella, joten sen pituus on sama kuin otoskoko
M. Segmentti 4 esiintyy ainoastaan silloin kuin kaikki kolme tukea ovat toiminnallisia,
ja sen vektoreiden pituus edustaa näiden tapausten lukumärää. Segmentillä 3 pituus kertoo tapausten lukumäärän, joissa tukia on vähintään kaksi ja niin edelleen.
71
Leikkauslommahduskestävyyden laskenta sujuu helpommin, sillä vektoreiden pituus
on aina M. Lommahduskestävyys määritetään palkin reunakentissä rasituksen tapaan.
Variaatiota kestävyyden arvoihin aiheuttaa myötölujuuden lisäksi ainoastaan levykenttien pituus.
Segmenttien ja levykenttien kestävyydet voidaan nyt esittää histogrammeina. Kuvassa
38 on esitetty segmentin 1 kestävyyden ja rasituksen histogrammit. Kestävyyden jakaumasta voidaan havaita kolme erikokoista keskittymää. Koska sivuttaistuen hävitessä
kiepahduspituus kasvaa huomattavasti, myös kestävyys alenee tällöin selvästi. Keskittymät edustavatkin kestävyyden arvoja kiepahdustukien eri lukumäärillä. Suurin todennäköisyys ja kestävyys on tapauksilla, joilla toimivia tukia ovat kaikki kolme. Toinen
keskittymä koostuu tapauksista, joissa tukia on kaksi. Tapaukset, joissa tukia on vähemmän, ovat sen verran epätodennäköisiä, että niitä on vaikeampi erottaa histogrammista. Vertailun vuoksi ohessa esitetään kuva 39, jossa on vastaavat histogrammit, kun
tuen jäykkyyden variaatiokerroin on suuri (cK = 1,0). Tällöin kaikki mahdolliset lukumäärät (0-3) toimiville tuille ovat selvästi havaittavissa kestävyyden histogrammista.
Tukien lukumäärän pudotessa yhdellä segmentin kiepahduspituus likimääräisesti tuplaantuu ja kestävyys vastaavasti putoaa 40-50%.
72
Kuva 38
Segmentin 1 rasitus ja kestävyys histogrammeina.
Kuva 39
Segmentin 1 rasitus ja kestävyys, kun tuen jäykkyyden variaatiokerroin on suuri (cK = 1,0).
Kuvassa 40 esitetään kaikkien segmenttien rasitukset ja kestävyydet. Segmenttien 2 ja 3
kestävyydet saavat hieman pienempiä arvoja kuin 1 ja 4. Tämä johtuu momenttipinnan
73
vaikutuksesta kiepahduskestävyyteen, sillä palkin keskellä momentin arvot ovat suhteellisen suuria koko segmentin pituudella. Reunimmaisissa segmenteissä momentti on aina
toisessa päässä nolla. Eroja kuvaajiin syntyy myös segmenttikohtaisten vektoreiden
eroavista pituuksista. Segmentti 1 on olemassa kaikilla tapauksilla n. Segmentti 4 vain
silloin, kun kaikki tuet ovat toimivia.
Kuva 40
Kaikkien segmenttien rasitukset ja kestävyydet.
Kuvassa 41 esitetään vastaavat kuvaajat leikkauslommahdukselle. Eri päitä edustavat
kuvaajat myötäilevät nyt toisiaan, sillä levykentät ovat samankaltaisia sekä rasituksen
että kestävyyden osalta.
74
Kuva 41
Uuman reunimmaisten levykenttien rasitukset ja lommahduskestävyydet.
6.3.1 Luotettavuuden mittarit
Varmuusmarginaali Z saadaan kestävyyden ja rasituksen erotuksena. Myös Z siis määritetään erikseen jokaiselle segmentille ja eri murtotavoille. Segmenttien varmuusmarginaalit:
(6.1)
Varmuusmarginaalin histogrammit kiepahduksen suhteen esitetään erikseen segmenteille 1 ja 2 kuvassa 42 ja kaikille yhdessä kuvassa 43. Leikkauslommahduksen histogrammit esitetään kuvassa 44. Tukien lukumäärän vaikutus kiepahduskestävyyteen näkyy varmuusmarginaalin kuvaajien vasemmassa hännässä. Todennäköisyyskeskittymä
alhaisissa arvoissa aiheuttaa poikkeamia normaalijakaumasta, mikä on huomioitava
Cornell indeksin arvioinnissa.
75
Kuva 42
Varmuusmarginaali Z segmenteille 1 ja 2.
Kuva 43
Varmuusmarginaali Z segmenteittäin.
76
Kuva 44
Varmuusmarginaali Z reunimmaisille levykentille.
Palkille määritetään sekä Cornell indeksi että histogrammipohjainen Hasofer-Lind indeksi. Cornell indeksi määritetään varmuusmarginaalien avulla jokaiselle segmentille
sekä levykentille. Näistä pienin valitaan koko palkin Cornell indeksiksi. Hasofer-Lind
indeksi lasketaan muuntamalla vaurioitumistapausten pisteet standardiavaruuteen, jolloin indeksi on lähimmän pisteen etäisyys origosta.
Cornell indeksi:
b C = 5,141
(6.2)
b HL = 4,217
(6.3)
Hasofer-Lind indeksi:
Palkin vaurioitumistodennäköisyys lasketaan vauriotapausten lukumäärän perusteella
sekä luotettavuusindekseistä johdettuna.
77
Vaurioitumistodennäköisyydet:
Pf = 0,0001 = 10 ´ 10 -5
(6.4)
Pf , bC = 1,367 ´ 10 -7
(6.5)
Pf ,b HL = 1, 238 ´ 10 -5
(6.6)
6.3.2 Herkkyysanalyysi
Lopuksi tutkitaan parametrien muutosten vaikutusta luotettavuuden mittareihin. Vaihdeltavia suureita ovat osa variaatiokertoimista sekä kuormien ominaisarvot. Variaatiokertoimia muutetaan itsenäisesti tukien sijainnille (cbr) ja jäykkyydelle (cK), muuttuvalle osuudelle tasaisesta kuormasta (cq) ja pistekuormista (cQ) sekä molemmille edellä
mainituista (cqQ). Kuvassa 45 esitetään kaikki kuvaajat yhdessä, kun muuttujien variaatiokerroin juoksee välillä 0; 0,1 ... 1. Kuvassa 46 vertaillaan erikseen tuen jäykkyyden ja
muuttuvien kuormien vaikutusta. Vastaava erottelu pistekuormien ja tasaisen kuorman
välillä on tehty kuvassa 47. Tukien sijainnin osalta (kuva 48) on tutkittu vain variaatiokertoimen arvoja 0 ja 0,15 sekä tasaista jakaumaa. Kaikki arvot ovat kolmeen laskentakierrokseen perustuvia keskiarvoja. Otoskoko herkkyysanalyysissä on vain 10 4 laskennan nopeuttamiseksi.
78
Kuva 45
Variaatiokertoimien vaikutus luotettavuusindeksien arvoihin.
Kuva 46
Tuen jäykkyyden ja muuttuvien kuormien variaatiokertoimien vaikutus
luotettavuusindeksien arvoihin.
79
Kuva 47
Kuva 48
Pistekuormien ja tasan jakautuneen kuorman eroteltujen variaatiokertoimien vaikutus luotettavuusindeksien arvoihin.
Tukien sijaintien jakauman vaikutus luotettavuusindeksien arvoihin. Laskettu normaalijakaumalla, kun variaatiokerroin on 0 ja
0,15 sekä tasaisella jakaumalla.
80
Cornell indeksi antaa selvästi suurempia arvoja kuin Hasofer-Lind indeksi. Tämä johtuu
Cornell indeksin oletuksista, jotka ovat tässä laskennassa virheellisiä. Varmuusmarginaalin olettaminen normaalijakautuneeksi ei tässä tapauksessa päde, ja vaurioitumistapaukset liittyvät nimenomaan todennäköisyyskeskittymään kestävyyden alhaisilla arvoilla. Hasofer-Lind indeksin arvot ovat realistisempia, mutta vaihtelevat voimakkaasti.
Tämä johtunee histogrammipohjaisen menetelmän käytöstä yhdessä pienen otoskoon
kanssa.
Kuormien suuruuden vaikutusta tutkitaan kasvattamalla ominaisarvoja kertoimella κ (=
1; 1,1 ... 2). Kerroin kohdistetaan erikseen muuttuviin (κQ) ja pysyviin (κG) kuormiin
sekä molempiin yhtä aikaa (κQG). Luotettavuusindeksien muutokset on esitetty kuvassa
49.
Kuva 49
Muuttuvien ja pysyvien kuormien ominaisarvojen vaikutus luotettavuusindeksien arvoihin.
Taulukon 8 mukaan eurokoodin mukainen käyttöaste on noin 1, kun κ saa arvon 1,3
kaikkiin kuormiin kohdistettuna. Kuvasta 49 nähdään, että Cornell indeksi saavuttaa
tässä tapauksessa täsmälleen eurokoodin mukaisen ohjearvon 4,3. Pelkkiin muuttuviin
81
kuormiin kohdistettuna κ voidaan nostaa pykälää ylemmäs arvoon 1,4, joka on jälleen
taulukkoa 8 vastaava arvo. Hasofer-Lind indeksi antaa kuitenkin huomattavasti alhaisempia arvoja. Ero johtuu taas Cornell indeksin huonommasta soveltuvuudesta tämän
työn asetelmaan, mutta osoittaa sen yhteyden eurokoodiin.
Tehdään samat vertailut vaurioitumistodennäköisyydelle Pf. Variaatiokertoimien vaikutus esitetään kuvissa 50 ja 51 sekä kuormien suuruuden vaikutus kuvassa 52.
Kuva 50
Variaatiokertoimien vaikutus vaurioitumistodennäköisyyteen.
82
Kuva 51
Tukien sijaintien jakauman vaikutus vaurioitumistodennäköisyyteen. Laskettu normaalijakaumalla, kun variaatiokerroin on 0 ja
0,15 sekä tasaisella jakaumalla.
Kuva 52
Muuttuvien ja pysyvien kuormien ominaisarvojen vaikutus vaurioitumistodennäköisyyteen.
83
Vaurioitumistodennäköisyyteen vaikuttaa voimakkaimmin tuen jäykkyyden variaatiokerroin. Kuten kertoimien valinnan yhteydessä on perusteltu, tuen jäykkyyden arviointi on monimutkaista ja variaatiokertoimen valinta haastavaa. Pienellä otoskoolla tulosten absoluuttisiin arvoihin on myös suhtauduttava kriittisesti. Täten on järkevämpää
tutkia kuvaajien muotoa. Herkkyysanalyysi osoittaa, että vaurioitumistodennäköisyys
lähtee voimakkaaseen kasvuun, kun tuen jäykkyyden variaatiokerroin nousee suurinpiirtein tasolle 0,3-0,4. Tulosta voidaan tulkita siten, että rakenne sietää tämän verran variaatiota tukien jäykkyydessä. Tätä johtopäätöstä vahvistaa myös oletusarvoilla suoritettu
laskelma, jossa variaatiokerroin on 0,4 ja otoskoko 105, sillä luotettavuuden mittarit pysyvät näillä arvoilla lähellä sallittuja rajoja.
Kuormien suuruuden vaikutus vastaa jälleen eurokoodin mukaisten käyttöasteiden taulukkoa 8. Kun κ on kohdistettu kaikkiin kuormiin, vaurioitumistodennäköisyys lähtee
voimakkaaseen kasvuun arvon 1,3 jälkeen. Pelkästään muuttuviin kuormiin kohdistettuna tämä tapahtuu arvon 1,4 jälkeen. Pelkkää pysyvien kuormien ominaisarvoa kasvattamalla vaurioitumistodennäköisyys ei juuri kasva. Tämä johtuu siitä, että kokonaiskuorma ei nouse tarpeeksi aiheuttamaan lisää vaurioitumistapauksia. Saman voi todeta
tukien sijaintien variaatiokertoimesta.
6.4 Tulosten yhteenveto
Laskelmien tärkeimmät tulokset on kerätty taulukoihin 10-12. Taulukossa 10 esitetään
eurokoodin mukaisen laskennan voimasuureet, kestävyydet ja käyttöasteet poikkileikkauksen sekä epästabiiliusilmiöiden suhteen.
84
Taulukko 10 Eurokoodin mukaisen laskennan tulokset.
Kuormien
vaikutuksen
Rakenteen
mitoitusarvo
kestävyys
EC
M
V
Seg 1
Seg 2
Seg 3
Seg 4
x=0
x=L
Poikkileikkaus
Kiepahdus
Lommahdus
86,24 MNm
10,78 MN
75,24 MNm
86,24 MNm
86,24 MNm
75,24 MNm
10,78 MN
10,78 MN
Käyttöaste
145,60 MNm
37,44 MN
124,74 MNm
112,96 MNm
112,96 MNm
124,74 MNm
23,52 MN
23,52 MN
0,59
0,29
0,60
0,76
0,76
0,60
0,46
0,46
Seuraavaksi esitetään luotettavuuslaskennan tulokset. Taulukossa 11 on yhteenveto vaurioitumistapauksista, eli tapauksista, joilla R ≤ S. Tapauksista esitetään indeksi, tukien
lukumäärä ja laskentajäykkyydet sekä segmenttien ja levykenttien käyttöasteet.
Taulukko 11 Yhteenveto vauriotapauksista luotettavuuslaskennassa.
Vauriotapaukset
Käyttöasteet
Tuet
Kiepahdus
Case index
26463
27938
39705
50110
57526
nbr
63620
1
0
0
81502
1
1000
0
86178
2
1000
0
88999
2
1000 1000
89380
2
1000
2
2
1
1
1
K1
K2
K3
Seg 1 Seg 2 Seg 3
0
1000 1000 1,0162 0,337 0,3769
1000
0
1000 0,4562 1,1068 0,3912
0
0
1000 1,2477 0,3173
0
0
0
1000 1,303 0,4312
0
1000
0
0
0,3107 1,088
0
0
1000 1,0286 0,3554
Lommahdus
Seg 4
0
0
0
0
0
x=0
0,2589
0,3517
0,2367
0,2603
0,2329
x=L
0,2602
0,3576
0,2467
0,2604
0,2331
0
0
0,2274 0,2283
0
0
0,2053 0,2052
0
0,3506 0,3507
0,6023 0,5675 1,1705
0
0,3818
0,387
1000 0,6398 1,0488 0,4683
0
0,3578
0,388
0
0,2829 1,0178
1000 0,4285 1,0771 0,4254
0
Lopuksi esitetään luotettavuuden mittarit taulukoissa 12 ja 13. Luotettavuusindeksit ja
vaurioitumistodennäköisyydet on määritetty oletusarvojen lisäksi κ:n arvolla 1,3 jolloin
eurokoodin mukainen käyttöaste on 1. Kolmanneksi on suoritettu laskenta, kun kaikkien
tukien toimivuus on varmistettu asettamalla jäykkyyden variaatiokerroin nollaksi, jolloin kynnysjäykkyys ylittyy kaikilla tuilla kaikissa tapauksissa. Nämä tulokset esitetään
taulukossa 12. Taulukossa 13 verrataan oletusarvoilla saatuja tuloksia laskelmiin, joissa
tukijärjestelmä oletetaan tunnetuksi. Tällöin jäykkyyden variaation oletetaan koostuvan
85
ainoastaan kimmokertoimen variaatiosta cK = cE = 0,03. Kolmanneksi suoritetaan vielä
vastaava laskelma, kun keskituki on poistettu eli K 2 = 0. Punaiseksi värjätyt arvot alittavat eurokoodin tavoitteen. Arvot, jotka ovat lähellä tavoitetta, on värjätty keltaiseksi.
Taulukko 12 Luotettavuuden mittarit oletusarvoilla ja eurokoodin käyttöasteella 1.
EC käyttöaste = 1 EC käyttöaste = 1 TavoiteLuotettavuus (κ) Oletusarvot
arvo
(κ = 1,3) ja cK = 0
(κ = 1,3)
Luotettavuusindeksi
Vaurioitumistodennäköisyys
βC
5,14
4,33
4,80
βHL
4,22
2,52
5,13
Pf
1,0E-04
1,5E-03
1,0E-04
Pf,βC
1,4E-07
7,5E-06
7,9E-07
Pf,βHL
1,2E-05
5,9E-03
1,4E-07
4,3
1,0E-05
Taulukko 13 Luotettavuuden mittarit oletusarvoilla ja tunnetulla tukijärjestelmällä.
Luotettavuus (cK)
Luotettavuusindeksi
Vaurioitumistodennäköisyys
Oletusarvot
cK=0,03
cK1, cK3=0,03 K2=0
βC
5,14
5,78
0,71
βHL
4,22
3,63
Pf
1,0E-04
1,8E-03
Pf,βC
1,4E-07
Pf,βHL
1,2E-05
3,6E-09
2,4E-01
Tavoitearvo
4,3
1,0E-05
1,4E-04
Taulukoista 12 ja 13 voidaan nähdä suunnitellun käyttöasteen ja tukien toimivuuden
vaikutus rakenteen luotettavuuteen. Jäykkyyden variaatiokertoimen ollessa pieni kynnysjäykkyyden alittuminen on hyvin epätodennäköistä. Tällöin myös luotettavuuden
mittarit pysyvät selvästi sallituissa arvoissa. Heti, kun tukia alkaa hävitä, vaurioitumistapausten määrä kasvaa huomattavasti. Erityisesti keskimmäisen tuen vaikutus korostuu, sillä jänteen keskisegmenteillä on pienempi kiepahduskestävyys momenttipinnan
muodosta johtuen. Käyttöastettakin voidaan nostaa melko paljon, jos tukien toiminta on
varmistettu. Jos käyttöaste pidetään alkuperäisessä arvossaan 0,76, ja tuet ovat jäykkiä,
simulaatio ei tuota yhtään vaurioitumistapausta edes otoskoolla 10 5. Tällöin vaurioitumistodennäköisyys niin pieni ettei sille saada nollasta eroavaa arvoa. Myöskään histogrammipohjaista Hasofer-Lind indeksiä ei saada tällöin määritettyä, sillä mitoituspisteen P* on sijaittava vaurioitumisalueella.
86
7 Johtopäätökset
Teollisuusrakenteiden suunnitteluun sisältyvää epävarmuutta voidaan hallita luotettavuuslaskennan avulla. Laskenta onnistuu monimutkaisellekin rakenteelle, vaikka käytettäisiin muuttujia, joiden jakaumille ei standardeissa anneta ohjearvoja. Tällöin parametreille on kokeiltava useita arvoja, jotta nähdään arvioinnin merkitys.
Tämän työn esimerkkirakenne sisältää melko paljon muuttujia, jolloin luotettavuuslaskennassa käytettävän otoskoon tulee olla suuri. Otoskoolla on vaikutusta etenkin histogrammipohjaiseen Hasofer-Lind indeksiin, siitä johdettuun vaurioitumistodennäköisyyteen sekä simulaatioon perustuvaan vaurioitumistodennäköisyyteen. Otoskooksi valittiin
105, joka oli käsiteltyyn ongelmaan nähden sopiva. Suurempi otoskoko vaatisi huomattavasti enemmän laskentatehoa, mikä saattaa aiheuttaa ongelmia Mathcad-ohjelmalle.
Laskenta veisi joka tapauksessa paljon enemmän aikaa. Muistikapasiteetin rajoitukset
saattaisivat estää laskennan onnistumisen kokonaan. Jos laskentatekniikka olisi parempi, tämänkin työn laskelmia voitaisiin käyttää hyväksi paljon laajemmin. Suuremman
otoskoon käyttämisen lisäksi esimerkiksi muuttujien yhteisvaikutusten tutkiminen tulisi
helpommaksi.
Kiepahduskestävyyden laskennassa käytetty menetelmä momenttipinnan huomioimiseksi helpottaa automaattista laskentaa huomattavasti, sillä kerroin C1 lasketaan aina
samalla kaavalla. Tällöin kuormitusta voidaan muuttaa mielivaltaisesti ilman muutoksia
kaavoihin.
Analysoitu rakenne täytti vaatimukset eurokoodimitoituksen osalta. Luotettavuuden
vaatimukset täyttyivät likimäärin lukuunottamatta vaurioitumistapausten lukumäärään
perustuvaa vaurioitumistodennäköisyyttä. Herkkyysanalyysin perusteella siihen vaikutti
voimakkaimmin variaatio tukien jäykkyydessä. Tästä päätellen olisi järkevää hieman
pienentää todennäköisyyttä sille, että tuen jäykkyys alittaa kynnysjäykkyyden, mikä onnistuu kahdella tavalla. Toinen tapa on pienentää jäykkyyden variaatiokerrointa hankkimalla tarkempaa tietoa toteutuvasta jäykistysjärjestelmästä. Helpompi tapa on kuiten-
87
kin nostaa jäykkyyden keskiarvoa suunnittelemalla lähtökohtaisesti jäykempi tukirakenne. Myös Hasofer-Lind indeksi alitti tavoitearvon, mutta vain hieman.
Kun tukijärjestelmä oletettiin täysin tunnetuksi ja sen jäykkyyden variaatiokertoimeksi
valittiin kimmokertoimen variaatiokerroin 0,03, luotettavuuden mittarit pysyivät selkeästi sallituissa rajoissa, eikä simulaatio johtanut yhteenkään vaurioitumistapaukseen.
Kun keskimmäinen tuki poistettiin, luotettavuus sen sijaan putosi voimakkaasti eikä
täyttänyt enää standardien vaatimuksia.
Muuttuville kuormille käytetty variaatiokerroin 0,5 oli valittu suureksi perustuen teollisuusrakenteiden kuormituksen luonteeseen. Tästä huolimatta luotettavuusindeksien arvot pysyivät hyväksyttävällä tasolla, kun eurokoodin mukainen käyttöaste oli 0,76.
Käyttöasteella 1 luotettavuusindeksit pysyivät tavoiterajan yläpuolella, kun tukien jäykkyys oli varmistettu. Kun jäykkyyden variaatiokerroin pidettiin oletusarvossa 0,4, Hasofer-Lind indeksi putosi noin puoleen, mutta Cornell indeksi vain hieman asettuen täsmälleen eurokoodin tavoitearvoon. Variaatiokertoimen muutokset kohdistettiin myös
erikseen pistekuormiin ja tasaiseen kuormaan sisältyvään muuttuvaan osuuteen, mutta
luotettavuuteen erolla ei ollut merkitystä.
Palkin uuma voisi olla ohuempi, sillä käyttöaste lommahduksen suhteen jäi pieneksi.
Myös luotettavuusanalyysissä lommahdus osoittautui erittäin epätodennäköiseksi. On
kuitenkin muistettava, että uuman ohentaminen vaikuttaa myös taivutuskestävyyteen
pienentämällä poikkileikkauksen tehollista pinta-alaa. Tarvittaessa laippojen paksuutta
voitaisiin lisätä, mutta oletettavasti uuman osuus taivutuskestävyydestä on joka tapauksessa pieni.
Tukien sijoittelu ei juuri vaikuttanut palkin luotettavuuteen. Tärkeämpää on tukien lukumäärän säilyttäminen, jolloin kiepahduspituudet eivät radikaalisti muutu. Pienet muutokset eivät alenna luotettavuutta merkittävästi. Tukien riittävä jäykkyys on varmistettava. Tosin vaatimukset ovat sen verran alhaiset, että ne täyttyvät usein ilman ongelmia.
Jäykkyydestä on tärkeintä huolehtia asennusvaiheessa sekä muutostöiden aikana ja jälkeen. Tämän työn laskelmissa vaurioitumistapaukseen liittyi aina vähintään yhden sivuttaistuen pettäminen. Jos tukien toiminta on varmistettu, kuormien mitoitusarvoja
88
voidaan nostaa reilusti. Tällöin luotettavuusindeksit olivat huomattavasti tavoitearvoa
suurempia myös eurokoodin käyttöasteella 1. Vauriotapauksiin perustuva vaurioitumistodennäköisyys tosin ylitti sallitun arvon, mutta tuloksen tarkkuus on kyseenalainen,
sillä sen arvot vaihtelivat voimakkaasti laskentakierrosten välillä.
Eurokoodin mukainen analyysi ei huomioi tuen riittävän jäykkyyden mahdollista puuttumista. Tätä ei täysin tee myöskään Cornell indeksi, sillä jäykkyyden alhaiset arvot aiheuttavat varmuusmarginaaliin poikkeamia normaalijakaumasta. Poikkeamat vaikuttavat vain hieman Cornell indeksiin varmuusmarginaalin keskiarvon ja keskihajonnan
kautta. Cornell indeksin arvo korreloikin hyvin eurokoodimitoituksen kanssa. Eurokoodissa tosin annetaan vaatimus kiepahdustukien kestävyydelle, mikä yleensä varmistaa
myös riittävän jäykkyyden. Tämä ei kuitenkaan ole automaattista. Kun jäykistävänä rakenteena toimii esimerkiksi tässä työssä käytetty vaakaristikko, vaikuttaa tuen jäykkyyteen voimakkaasti ristikon jänneväli. Cornell indeksin lisäksi on suotavaa määrittää
myös Hasofer-Lind indeksi, mikä onnistuu vaivattomasti histogrammipohjaisella menetelmällä. Jos tukien jäykkyys on turvattu, Hasofer-Lind indeksi antaa jopa suurempia
arvoja kuin Cornell indeksi.
Kokonaisuudessaan voidaan sanoa, että eurokoodin ja luotettavuusteorian mukaiset tulokset olivat hyvin lähellä toisiaan. Tämän työn laskelmissa oli jonkin verran epätarkkuuksia, joten tulokset ovat suuntaa antavia. Kun varmuusmarginaaliin syntyy suuria
poikkeamia normaalijakaumasta, on kuitenkin selvää, että Cornell indeksi ei riitä kuvaamaan luotettavuutta tarpeeksi tarkasti. Hasofer-Lind indeksi yhdessä suuren otoskoon kanssa ratkaisee tämän ongelman.
Suunnitteluun liittyvä epävarmuus on usein sellaista, jota on mahdotonta täysin välttää.
Luotettavuuslaskennan avulla epävarmuutta on kuitenkin mahdollista hallita, jolloin rakenteet voidaan mitoittaa suuremmille käyttöasteille. On kuitenkin tärkeää huomioida,
että tällöin inhimillisten virheiden mahdollisuus on edelleen olemassa ja ne voivat aiheuttaa vaurioita herkemmin. Kun suunnittelussa käytetään suuria varmuuskertoimia, esimerkiksi rakennusvirheet eivät välttämättä aiheuta vaurioita, vaikka tämä ei olisikaan
ollut varmuuskertoimien luotettavuusteoreettinen tarkoitus.
89
Lähteet
[1] The Steel Construction Institute. Steel Designers’ Manual. Wiley-Blackwell. The
Steel Construction Institute, 2012. 1109 s. ISBN: 978-1-4051-8940-8.
[2] Rautaruukki. Hitsatut profiilit EN 1993 -käsikirja. Rautaruukki Oyj, Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 2010. 608 s. ISBN: 978-952-5010-02-2.
[3] Chai H. Yoo, Sung C. Lee. Stability of Structures: Principles and Applications.
Butterworth-Heinemann. Elsevier Inc, 2011. 516 s. ISBN: 978-0-12-385122-2.
[4] N.S. Trahair, M.A. Bradford, D.A. Nethercot, and L. Gardner. The Behaviour and
Design of Steel Structures to EC3. Taylor & Francis, 2008. 512 s. ISBN 0-20393593-4.
[5] Theodore V. Galambos. Guide to stability design criteria for metal structures.
John Wiley & Sons, 1998. 911 s. ISBN 0-471-12742-6.
[6] The Steel Construction Institute. Lateral Stability of Steel Beams and Columns –
Common cases of restraint. The Steel Construction Institute, 1992. 57 s. ISBN: 1870004-65-5.
[7] Finian McCann, Leroy Gardner, M. Ahmer Wadee. Design of steel beams with
discrete lateral restraints. Journal of Constructional Steel Research. [Verkkolehti].
Vol. 80. 2013. s. 82-90. [Viitattu 18.12.2013]. DOI:10.1016/j.jcsr.2012.09.011.
ISSN: 0143-974X.
[8] Miguel A. Serna, Aitziber López, Iñigo Puente, Danny J. Yong. Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members. Journal of
Constructional Steel Research. [Verkkolehti]. Vol. 62(6). 2006. s. 566-580.
[Viitattu 8.1.2014]. DOI: 10.1016/j.jcsr.2005.09.001. ISSN: 0143-974X.
90
[9] European Steel Design Education Programme. ESDEP Course. [Online]. Available: http://www.fgg.uni-lj.si/~/pmoze/ESDEP/master/toc.htm
[10] SFS-EN 1990 Eurokoodi. Rakenteiden suunnitteluperusteet. Suomen
standardoimisliitto SFS ry, 2005. 184 s.
[11] SFS-EN 1993-1-1 Eurokoodi 3. Teräsrakenteiden suunnittelu osa 1-1:Yleiset
säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt. Suomen standardoimisliitto SFS ry,
2005. 99 s.
[12] NA SFS-EN 1993-1-1 Eurokoodi 3. Teräsrakenteiden suunnittelu osa 1-1:Yleiset
säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt, Suomen kansallinen liite. Suomen
standardoimisliitto SFS ry, 2007. 6 s.
[13] SFS-EN 1993-1-5 Eurokoodi 3. Teräsrakenteiden suunnittelu osa 1-5: Levyrakenteet. Suomen standardoimisliitto SFS ry, 2006. 57 s.
[14] NA SFS-EN 1993-1-5 Eurokoodi 3. Teräsrakenteiden suunnittelu osa 15:Levyrakenteet, Suomen kansallinen liite. Suomen standardoimisliitto SFS ry,
2008. 3 s.
[15] Alfredo H-S. Ang, Wilson H. Tang. Probability Concepts in Engineering Planning
and Design, Volume II – Decision, Risk, and Reliability. John Wiley & Sons, 1984.
562 s. ISBN 0-471-03201-8.
[16] Tor-Ulf Weck. Rakenteiden varmuus. Teknillisen korkeakoulun arkkitehtiosaston
julkaisuja 1/1993. TKK, 1993. 116 s. ISSN 1236-6021; 1.
[17] Maurice Lemaire. Structural reliability. ISTE, Lontoo. John Wiley & Sons, 2009.
488 s. ISBN: 978-1-84821-082-0.
91
[18] Leonardo da Vinci Pilot Project CZ/02/B/F/PP-134007. (2005, Oct.) Handbook 2:
Reliability backgrounds. [Online]. Available:
http://eurocodes.jrc.ec.europa.eu/showpage.php?id=BD
[19] Palle Thoft-Christensen, Michael J. Baker. Structural Reliability Theory and Its
Applications. Springer-Verlag, Berlin, 1982. 267 s. ISBN: 0-387-11731-8.
[20] Osmo Koskisto. Rakenteiden luotettavuus. Rakenteiden mekaniikka. Vol. 21, No
1, 1988. s. 3-41.
[21] Joint Committee on Structural Safety (JCSS). Probabilistic Model Code. 2001.
[Online]. Available:
http://www.jcss.byg.dtu.dk/Publications/Probabilistic_Model_Code. ISBN 978-3909386-79-6.
[22] Milan Holicky, Miroslav Sykora. Stochastic Models in Analysis of Structural Reliability. The International Symposium on Stochastic Models in Reliability Engineering, Life Sciences and Operations Management. February 8-11, 2010 Beer
Sheva, Israel. 13 s.
[23] Markus Derry, Jari Puttonen. A histogram-based approach for evaluation of the
Hasofer-Lind reliability index without isoprobabilistic mapping of limit state equations. Novák and Vořechovský: Proceedings of the 11th International Probabilistic
Workshop. Brno, 2013. 12 s.
[24] Markus Derry. Epistemic uncertainty of an existing concrete structure.
Diplomityö. Aalto-yliopisto, Insinööritieteiden korkeakoulu, Rakennustekniikan
laitos. Espoo, 2011. 125 s.
92
Liitteet
LIITE A :
Eurokoodin mukainen analyysi
LIITE B :
Luotettavuusanalyysi
LIITE C :
Sivuttaistukien kestävyys ja jäykkyys
93
1 (19)
LIITE A: Eurokoodin mukainen analyysi
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
23.11.2014
Tukien paikat ja
jäykkyydet:
Sivuttaistuet
Jänneväli:
A1 Rakennemalli
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
abr2 = 16 m
abr3 = 24 m
MN
K1 = 29×
m
MN
K2 = 29×
m
MN
K3 = 29×
m
L
abr2 :=
2
abr3 := L - abr1
MN
K1 := 29
m
MN
K2 := 29
m
MN
K3 := 29
m
2 (19)
abr1 = 8 m
ORIGIN := 1
L
abr1 :=
4
L := 32m
23.11.2014
2
b2 = 8 m
b 2 := L - a2
γM0 := 1.0
ρs := 7850
Osavarmuusluku:
Tiheys:
N
E := 210000
ν := 0.3
G :=
ε :=
Kimmokerroin:
Poissonin vakio:
Liukukerroin:
Epsilon:
mm
3
3 (19)
fyk
235× MPa
2 × ( 1 + ν)
E
γs := ρs× g
Tilavuuspaino:
m
kg
mm
fyk := 335
N
a2 = 24 m
a2 := abr3
ε = 0.84
G = 80769 ×
γs = 76.98×
2
mm
N
m
3
kN
Levyn paksuus > 40mm
EN 1993-1-1
b 1 = 24 m
b 1 := L - a1
Teräs S355J2
a1 = 8 m
nbr = 3
23.11.2014
a1 := abr1
2
HUOM! Asetuksissa 0/0=0
K1
K2
K3
nbr :=
+
+
K1
K2
K3
Myötölujuus:
A2.1 Materiaaliominaisuudet
A2 Palkin tiedot
Pistekuormien sijainti:
Pistekuormat
Lukumäärä:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
(
= 4.54
= 120.15
>
<
gk0 := A× γs
kN
gk1 := 45
m
Muu pysyvä
tasainen kuorma:
KFI := 1.1
4 (19)
Poikkileikkaus kuuluu luokkaan 4.
tw
cw
cw := hw - 2 × 2 × aw
tf
cf
)
1
cf := × b - tw - 2 × 2 × aw
2
Oma paino:
Pysyvät
Luotettavuusluokka RC3
Kuormakerroin:
A3.1 Kuormat
A3 Voimasuureet
Uuma:
Laipat:
Poikkileikkausluokka
A := 2 × b× tf + hw× t w
hw := h - 2 × t f
Uuman korkeus:
Pinta-ala (brutto):
tw := 40mm
Uuman paksuus:
aw := 12mm
tf := 80mm
Laippojen paksuus:
Hitsin mitta:
b := 800mm
h := 5000mm
WI5000-40-80*800
Leveys:
Korkeus:
A2.2 Profiili
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
kN
gk0 = 24.76×
m
Luokka = 4
124× ε = 103.86
cw = 4806× mm
Luokka < 4
14× ε = 11.73
cf = 363× mm
A = 321600× mm
hw = 4840× mm
2
23.11.2014
Q k1 := 2600kN
γQ := 1.5
Osavarmuusluku:
Tasaisen kuorman osuus:
A3.3 Taivutusmomentti
Mitoitusarvo:
Pistekuormat:
Mitoitusarvo:
Tasaiset kuormat:
p Ed1 = 343.99 ×
kN
L
PEd× b 2
L
PEd× a1
L
PEd× b 1
)
)
(
(
)
MEd.p( x) :=
5 (19)
2
p Ed× L× x
è
)
× æç 1 -
PEd := max PEd1 , PEd2
(
PEd2 := γG2× KFI× Gk1
÷
Lø
xö
PEd1 := γG1× KFI× Gk1 + γQ × KFI× Q k1
p Ed := max p Ed1 , p Ed2
(
p Ed2 := γG2× KFI× gk0 + gk1
p Ed1 := γG1× KFI× gk0 + gk1 + γQ × KFI× q k1
m
kN
m
kN
PEd = 5276.7 × kN
PEd2 = 1158.3 × kN
PEd1 = 5276.7 × kN
p Ed = 343.99 ×
p Ed2 = 103.59 ×
m
5´ 10
7
0
Pistekuormien osuus:
Tasaisen kuorman osuus:
A3.4 Leikkausvoima
M Ed.P2( x)
M Ed.P1( x)
M Ed.P( x)
M Ed.p( x)
M Ed( x)
0
× ( L - x) if a2 £ x £ L
× x if 0 £ x £ a2
× ( L - x) if a1 £ x £ L
× x if 0 £ x £ a1
è
V Ed.P1 ( x) :=
if 0 £ x < a1
20
6 (19)
æ b1
ö
PEd× ç
- 1÷ if a1 £ x £ L
èL
ø
L
PEd× b 1
ø
x
L
V Ed.p( x) := p Ed× æç - xö÷
2
10
Taivutusmomentti M
MEd( x) := M Ed.p( x) + MEd.P( x)
MEd.P( x) := MEd.P1 ( x) + M Ed.P2 ( x)
L
MEd.P2 ( x) :=
MEd.P1 ( x) :=
PEd× a2
Kokonaisvaikutus:
Pistekuormien osuus:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
m
Hyötykuorman osuus
pistekuormat:
A3.2 Kuormayhdistelmät MRT
23.11.2014
kN
q k1 := 155
Hyötykuorma
tasan jakautunut:
Muuttuvat
γG1 := 1.15
Osavarmuusluvut:
γG2 := 1.35
Gk1 := 780kN
Pysyvä osuus
pistekuormat:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
30
23.11.2014
if 0 £ x < a2
7
1´ 10
7
0
- 1´ 10
0
(
)
minimipiste:
)
7 (19)
minV_point := Minimize V Ed , x
(
maxV_point := Maximize V Ed.abs , x
Oikea maksimipiste:
x := 1m
Given
Alkuarvaus maksimipisteelle:
Poimitaan leikkausvoiman maksimiarvo.
Mmax := M Ed( maxM_point)
Momentin globaali maksimi:
(
maxM_point := Maximize M Ed , x
Oikea maksimipiste:
x := 1m
x
20
Given
10
Alkuarvaus maksimipisteelle:
Poimitaan momentin maksimiarvo.
VEd.abs( x)
VEd.P2( x)
VEd.P1( x)
VEd.P( x)
VEd.p ( x)
VEd( x)
V Ed.abs( x) := V Ed( x)
Itseisarvona:
Leikkausvoima V
V Ed( x) := V Ed.p( x) + V Ed.P( x)
)
30
23.11.2014
minV_point = 32 m
maxV_point = 0 m
Mmax = 86.24× MN× m
maxM_point = 16 m
æ b2
ö
PEd× ç
- 1÷ if a2 £ x £ L
èL
ø
L
PEd× b 2
V Ed.P( x) := V Ed.P1 ( x) + V Ed.P2 ( x)
V Ed.P2 ( x) :=
Kokonaisvaikutus:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
Teholliset leveydet:
Uuman puristusvyöhykkeen korkeus:
Pienennystekijä:
Muunnettu hoikkuus:
8 (19)
b e1 := 0.4 × ρ×
1 - ψguess
bw
)
23.11.2014
b e1 = 829.48 × mm
b comp = 2468.84 × mm
ρ = 0.84
λ _p = 1.06
V max = 10.78× MN
2× aw - z0_guess
2
λ _p
(
λ _p - 0.055× 3 + ψguess
tw× 28.4× ε × kσ_guess
b comp := h - t f -
ρ :=
λ _p :=
bw
kσ_guess := 22.5297
Lommahduskerroin:
b w := cw
ψguess := -0.9467
Jännityssuhde:
Uuman korkeus ilman hitsejä:
z0_guess := 2434.19 mm
)
Neutraaliakselin paikka (alkuarvaus):
Määritetään iteratiivisesti.
A4 Tehollinen poikkileikkaus
V max := max V min , V max_
(
V min := V Ed( minV_point)
Kuvaajan minimiarvo:
Leikkausvoiman maksimiarvo:
V max_ := V Ed( maxV_point)
Kuvaajan maksimiarvo:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
z1 := h 2
tf
2 × aw -
)
2
b e1
2 × aw +
2
1
(
2
ec = 2565.81 × mm
ec := h - z0
Puristuspuolen korkeus:
9 (19)
z0 = 2434.19 × mm
2
ΣAizi
z0 :=
ΣAi
2
z4 = 40× mm
A4 = 64000 × mm
z3 = 1904.67 × mm
)
ΣAizi2 := A1 × z1 + A2 × z2 + A3 × z3 + A4 × z4
2
2
A3 = 144616.01× mm
z2 = 4488.29 × mm
ΣAizi := A1 × z1 + A2 × z2 + A3 × z3 + A4× z4
2
2
A2 = 33179.37× mm
× hw - be1 - b neg
ΣAi := A1 + A2 + A3 + A4
z4 :=
2
tf
A4 := b × t f
z3 := tf +
A3 := hw - be1 - b neg × t w
(
z2 := h - t f -
A2 := b e1× tw
z1 = 4960 × mm
A1 = 64000 × mm
b neg = 395.12 × mm
b e2 = 1244.23 × mm
2
23.11.2014
Pintakeskiön paikka
= neutraaliakselin sijainti:
Alalaippa:
Uuman alaosa:
Uuman yläosa:
bw
1 - ψguess
b neg := ( 1 - ρ) × b comp
b e2 := 0.6 × ρ×
A1 := b × t f
Uuma jaetaan tehottoman alueen eri puolin.
Ylälaippa:
Määritetään osien pinta-alat ja koordinaatit.
A4.1 Pintakeskiö
Tehoton alue:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
23.9
22.77
22.5721
-0.9484
22.5372
-0.947
Tehollinen taivutusvastus
vetopuoli:
Tehollinen taivutusvastus
puristuspuoli:
Koko poikkileikkauksen
tehollinen jäyhyysmomentti:
Alalaippa:
Uuman alaosa:
Uuman yläosa:
Ylälaippa:
Määritetään osien jäyhyysmomentit.
3
3
12
b × tf
3
12
t w× hw - b e1 - b neg
(
12
t w× b e1
12
b × tf
22.531
-0.9467
)
et
Iy.eff
ec
Iy.eff
10 (19)
Wy.eff.t :=
Wy.eff.c :=
2
3
4
4
4
3
3
Wy.eff.t = 0.46× m
Wy.eff.c = 0.43× m
Iy.eff = 1.12 m
7
Iy4 = 3.41 ´ 10 × mm
11
4
4
Iy3 = 1.58 ´ 10 × mm
9
Iy2 = 1.9 ´ 10 × mm
7
22.5297
-0.9467
Iy1 = 3.41 ´ 10 × mm
22.5299
-0.9467
Iy.eff := ΣIyi + ΣAizi2 - z0 × ΣAi
ΣIyi := Iy1 + Iy2 + Iy3 + Iy4
Iy4 :=
Iy3 :=
Iy2 :=
Iy1 :=
A4.2 Teholliset poikkileikkaussuureet
kσ
-0.96
-1
ψ
lopullinen
kσ = 22.5297
2500 mm 2446.21 mm2436.35 mm 2434.57 mm 2434.26 mm 2434.2 mm 2434.19 mm
2
ψ = -0.9467
et = 2434.19 × mm
23.11.2014
z0
alkuarvaus
Iteraatiot:
2 × aw
kσ := 7.81 - 6.29× ψ + 9.78× ψ
e c - tf -
Uusi lommahduskerroin:
2 × aw
ψ := -
e t - tf -
et := z0
Uusi jännityssuhde:
Vetopuolen korkeus:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
(
V pl.Rd :=
γM0× 3
AV × fyk
3
Käyttöaste:
= 0.29
V max
Käyttöaste:
V pl.Rd
V max = 10.78× MN
Rasitus:
V pl.Rd = 37.44× MN
AV = 193600× mm
2
Myötölujittumista ei huomioida.
= 0.59
M max
My.Rd
Mmax = 86.24× MN× m
Rasitus:
My.Rd = 145.6× MN× m
Wy.eff = 0.43× m
23.11.2014
11 (19)
Määritetään tarvittavat poikkileikkaussuureet Mcr:n laskemista varten (bruttopoikkileikkauksen
perusteella).
A6.1 Kiepahduskestävyys
γM0
Wy.eff× fyk
AV := η× hw× t w
η := 1.0
My.Rd :=
A6 Stabiiliustarkastelu
Leikkauskestävyys:
Leikkauspinta-ala:
A5.2 Leikkausvoima
Taivutuskestävyys:
A5.1 Taivutusmomentti
)
Wy.eff := min Wy.eff.c , Wy.eff.t
A5 Poikkileikkauksen kestävyys
Tehollinen taivutusvastus
lopullinen:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
3
kω := 1.0
24
2 3
tf × hmid × b
k := 1.0
Iω :=
1
3
3
It := × æ 2 × t f × b + t w × hmidö
ø
3 è
3
tf × b
hw× t w
Iz := 2 ×
+
12
12
hmid := h - t f
4
16
4
6
Iω = 4.13 ´ 10 × mm
8
It = 3.78 ´ 10 × mm
9
Iz = 6.85 ´ 10 × mm
hmid = 4920× mm
23.11.2014
1
:=
Xstart := 0
1
:=
Xend :=
12 (19)
¹
Ù
L otherwise
otherwise
abr3 if K3 ¹ 0
¹
=
Xend = 8 m
otherwise
abr2 if K2 ¹ 0
1
Xstart = 0
1
nseg = 4
abr1 if K1 ¹ 0
i := 1 , 2 .. nseg
Segmenttien indeksit:
Segmenttien päätepisteet:
nseg := nbr + 1
Segmenttien lukumäärä:
Jaetaan palkki segmentteihin, joille tehdään kiepahdustarkastelu erikseen. Segmenttien rajoina ovat
toiminnalliset sivuttaistuet ts. tuet, joiden jäykkyys > 0. Jäykkyyksien laskenta-arvot on määritelty
kuten boolean-muuttujat: Jos jäykkyys ylittää kynnysjäykkyyden KT arvon, toimii tuki kuten täysin
jäykkä. Jos se alittaa KT:n arvon, asetetaan jäykkyys suoraan nollaksi.
Päiden vapausasteista
riippuvat tekijät:
Käyristymisjäyhyys:
Vääntöjäyhyysmomentti:
Jäyhyysmomentti heikomman
akselin suhteen:
Laippojen keskiöetäisyys:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
1
2
i
i
8
8
8
8
2
3
4
i
Lseg =
1
i
i
Lcr =
×m
8
8
8
8
×m
Segmentin i momentit:
Segmentin i momenttien indeksit:
4
j -1
× Lseg
ö
i÷
ø
÷
13 (19)
58.49 40.37 20.87
÷
0 ø
85.56 83.49 80.05 75.24 ÷
80.05 83.49 85.56 86.24 ÷
20.87 40.37 58.49 75.24 ö
:= M Edæç Xstart +
i,j
i
è
æ 0
ç
75.24
M=ç
ç 86.24
ç 75.24
è
M
j := 1 , 2 .. 5
4
4
Xend = 32 m
Xstart = 24 m
× MN× m
Määritetään momentit segmenttien päissä ja 1/4-pisteissä sekä maksimimomentit.
i =
i
i
Lcr := Lseg
Kiepahduspituudet:
4
Xend := L
Xend = 24 m
L otherwise
3
Xstart = 16 m
3
2
Xend = 16 m
2
Xstart = 8 m
23.11.2014
abr3 if nbr = 3
L otherwise
otherwise
abr3 if K3 ¹ 0 Ù Xend ¹ abr3
1
abr2 if K2 ¹ 0 Ù Xend ¹ abr2
1
Lseg := Xend - Xstart
3
3
Xend :=
2
Xend :=
Pituudet:
4
Xstart := Xend
3
Xstart := Xend
2
Xstart := Xend
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
(
max M
i,1
,M
i
i , 5)
Osavarmuusluku
stabiiliudelle:
Pienennystekijä:
Epätarkkuustekijä
(kiepahduskäyrä d):
Muunnettu hoikkuus
kiepahdukselle:
Kriittinen momentti:
otherwise
M max if Xstart £ maxM_point £ Xend
T
Mcr := C1 ×
i
i
)2
( k×Lcr i) 2
2
π × E× Iz
×
2
2
k× Lcr ) × G× It
i
æ k ö × Iω + (
çk ÷ I
2
è ωø z
π × E× Iz
Mcr
i
Wy.eff× fyk
ë
è
ø
è
2ù
ú
øû
i
ΦLT +
2
2
æ Φ LTi ö - æ λ_ LTi ö
è
ø è
ø
1
14 (19)
γM1 := 1.0
×
χLT = ( 0.86 0.78 0.78 0.86 )
T
χLT :=
i
ΦLT = ( 0.65 0.74 0.74 0.65 )
T
ΦLT := 0.5 × éê1 + αLT× æ λ_ LT - 0.2 ö + æ λ_ LT ö
i
i
i
αLT := 0.76
λ_ LT = ( 0.39 0.51 0.51 0.39 )
T
i
λ_ LT :=
Mcr = ( 951.53 570.93 570.93 951.53 ) × MN× m
T
i
i
23.11.2014
( Mmaxi) 2 + 9×( Mi , 2) 2 + 16× ( Mi , 3) 2 + 9× ( Mi , 4) 2
(
35× Mmax
C1 = ( 1.73 1.04 1.04 1.73 )
i
C1 :=
Mmax = ( 75.24 86.24 86.24 75.24 ) × MN× m
T
i
Mmax :=
Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti voidaan nyt laskea.
Momenttipinnan huomioiva
vakio:
Maksimimomentti:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
i
112.96
124.74
75.24
il := 1 .. 2
apl := a1
1
Levykenttien indeksit:
Levykentän pituus:
15 (19)
A6.2 Leikkauslommahduskestävyys
112.96
86.24
124.74
i
86.24
75.24
i
× MN× m
i
i
apl := b 2
2
0.6
0.76
0.76
0.6
MbRd
Mmax
2
apl
æ hw ö
il
÷ if
<1
hw
ç aplil ÷
è
ø
4.00 + 5.34× ç
2
apl
æ hw ö
il
÷ if
³1
hw
ç aplil ÷
è
ø
5.34 + 4.00× ç
= 121
>
η
31× ε
× kτ =
=
Leikkauslommahduskestävyys:
Pienennystekijä:
æ 1.48 ö
ç
÷
è 1.48 ø
æ 1.48 ö
ç
÷
è 1.48 ø
>
>
t w× 37.4× ε × kτ
10.78
10.78
il
V Ed.f =
Rasitus
Rasitus:
æ 6.8 ö
kτ = ç
÷
è 6.8 ø
16 (19)
× MN
23.52
23.52
il
V bw.Rd =
Kestävyys
× MN
Käyttöaste:
æ 10.78 ö × MN
ç
÷
è 10.78 ø
0.46
0.46
il
il
V bw.Rd
V Ed.f
Käyttöaste
=
æ V Ed.f ö æ 0.46 ö
÷
ç
÷=ç
è V bw.Rd ø è 0.46 ø
¾¾¾¾®
V Ed.f =
æ 0.63 ö
ç
÷
è 0.63 ø
æ 1.48 ö
ç
÷
è 1.48 ø
æ 23.52 ö × MN
ç
÷
è 23.52 ø
χw =
λ _w =
V bw.Rd =
æ 67.73 ö
ç
÷
è 67.73 ø
= 0.83
æç V Ed(0 ) ö÷
çè V Ed(L) ÷ø
3 × γM1
fyk× hw× t w
V Ed.f :=
V bw.Rd := χw×
1.37
χw :=
0.7 + λ _w
η
0.83
1.08
Palkissa jäykkä päätylevy.
λ _w =
λ _w =
λ _w :=
hw
Muunnettu hoikkuus
jäykistetylle uumalle:
tw
hw
< 1, OK
æ8 ö m
ç ÷
è8 ø
kτ :=
il
23.11.2014
Jäykistetyn uuman kestävyys leikkauslommahdukselle tarkistettava, jos seuraava ehto toteutuu:
Leikkauslommahduskerroin:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
==> Lommahdus tarkistettava.
apl =
23.11.2014
0.86
0.78
0.78
0.86
χLT =
i
Käyttöaste
0.65
0.74
0.74
0.65
i
ΦLT =
× MN× m
0.39
0.51
MbRd =
951.53
1.73
0.51
0.39
Mmax =
570.93
1.04
× MN× m
i
λ_ LT =
Kestävyys
570.93
γM1
Wy.eff× fyk
MbRd = ( 124.74 112.96 112.96 124.74 ) × MN× m
T
MbRd := χLT ×
i
i
Rasitus
951.53
1.04
Mcr =
1.73
i
C1 =
Kiepahduskestävyys:
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
M max
0.6
0.76
il
il
0.46
× MN
=
= 0.29
V bw.Rd
V Ed.f
V pl.Rd
V max
23.52
0.76
=
Leikkauslommahdus:
Poikkileikkaus V:
il
23.52
V bw.Rd =
0.46
i
i
= 0.59
× MN
V pl.Rd = 37.44× MN
10.78
0.6
MbRd
Mmax
My.Rd
il
10.78
V Ed.f =
V max = 10.78× MN
23.11.2014
17 (19)
Verrataan eurokoodin mukaisia tuloksia yksinkertaiseen menetelmään, jossa kiepahduskestävyys
määritetään ylälaipan nurjahduskestävyyden perusteella.
Kiepahdus:
Poikkileikkaus M:
A7.3 Käyttöasteet
124.74
112.96
112.96
124.74
× MN× m
Leikkauslommahdus:
MbRd =
Kiepahdus:
i
Poikkileikkaus V:
My.Rd = 145.6× MN× m
Poikkileikkaus M:
A7.2 Kestävyydet
75.24
86.24
86.24
75.24
× MN× m
Levykentät:
Mmax =
Segmentit:
i
Leikkausvoima:
Mmax = 86.24× MN× m
Taivutusmomentti:
A7.1 Rasitukset
A7 Yhteenveto
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
N max :=
hmid
M max
Mmax = 86.24× MN× m
Rasitus
Eulerin nurjahdusvoima:
Φ+
N b.Rd :=
χ :=
12
tf× b
3
2
Lcr
2
π × E× Iuf
N b.Rd = 20.85× MN
18 (19)
N b.Euler :=
Iuf :=
2
Kestävyys
γM1
χ× t f × b × fyk
2
Φ - λ_
1
Φ := 0.5 × éë1 + α× ( λ_ - 0.2 ) + λ_
N max = 17.53× MN
Ylälaipan jäyhyysmomentti:
Eulerin nurjahdus
Nurjahduskestävyys:
Pienennystekijä:
Phi:
α := 0.49
Epätarkkuustekijä:
(nurjahduskäyrä c)
i uf× λ 1
λ_ :=
Muunnettu hoikkuus:
û
2ù
N b.Euler = 110.54× MN
4
= 0.84
Iuf = 0.00341 m
N b.Rd
N max
Käyttöaste
N b.Rd = 20.85× MN
χ = 0.97
Φ = 0.55
λ_ = 0.25
λ 1 = 78.65
λ 1 := 93.9× ε
Hoikkuus:
Lcr
Lcr = 8 m
2
b
Lcr := Lseg
2
iuf :=
23.11.2014
N max = 17.53× MN
Nurjahduspituus:
Jäyhyyssäde:
Nurjahduskestävyys eurokoodin mukaan
Laipan puristusvoima:
Suurin momentti palkissa:
Ylälaipan nurjahdustarkastelu
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
N b.Euler = 110.54× MN
N max = 17.53× MN
19 (19)
Kestävyys
Rasitus
LIITE A: Eurokoodin mukainen
analyysi
N b.Euler
N max
= 0.16
Käyttöaste
23.11.2014
1 (55)
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
29.12.2014
L := 32m
2 (55)
E := 210000
Kimmokerroin:
3
N
2
mm
m
kg
γs := ρs× g
ρs := 7850
Tiheys:
2
ORIGIN := 1
29.12.2014
γs = 76.982 ×
3
m
kN
Levyn paksuus > 40mm
EN 1993-1-1
Teräs S355J2
mm
N
Tilavuuspaino:
fyk := 335
Myötölujuus:
B2.1 Materiaaliominaisuudet (vakiot)
B2 Palkin tiedot
Jänneväli:
B1 Rakennemalli
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
tw := 40mm
hw := h - 2 × t f
aw := 12mm
A := 2 × b× tf + hw× t w
Uuman paksuus:
Uuman korkeus:
Hitsin mitta:
Pinta-ala (brutto):
Uuma:
Laipat:
= 4.538
= 120.151
>
<
3 (55)
Poikkileikkaus kuuluu luokkaan 4.
tw
cw
cw := hw - 2 × 2 × aw
tf
cf
1
cf := × b - tw - 2 × 2 × aw
2
)
tf := 80mm
Laippojen paksuus:
(
b := 800mm
Leveys:
Poikkileikkausluokka
h := 5000mm
fyk
235× MPa
Korkeus:
WI5000-40-80*800
ε :=
Epsilon:
B2.2 Profiili
G :=
Liukukerroin:
E
2 × ( 1 + ν)
ν := 0.3
Poissonin vakio:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Luokka = 4
124× ε = 103.856
cw = 4806× mm
Luokka < 4
14× ε = 11.726
cf = 363× mm
2
2
mm
A = 321600× mm
hw = 4840× mm
ε = 0.838
G = 80769.231×
N
29.12.2014
29.12.2014
fyk = 335×
2
mm
N
=
2
mm
N
Levyn paksuus > 40mm
EN 1993-1-1
0.05 fraktiilin arvo.
m
2
MN
Kertymäfunktio:
Tiheysfunktio:
Keskihajonta:
Keskiarvo:
Var iaatiokerroin:
ø
2ö
lnæ 1 + cfy
è
æ
)
)
4 (55)
Cfy( x) := plnorm x, λ fy , ξ fy
(
fy( x) := dlnorm x, λ fy , ξ fy
(
÷ - ξfy× k0.05
ø
2ö
2 λfy
N
mm
1 + cfy × e
sfy := cfy× mfy
mfy :=
è
λ fy := lnç fyk×
sfy = 26.372
æ N ö
ç 2÷
è mm ø
æ N ö
ç 2÷
è mm ø
λ fy = 5.929
k0.05 = -1.645
mfy = 376.747
ξ fy = 0.07
[JCSS 3.3]
k0.05 := qnorm( 0.05 , 0 , 1 ) = -1.645
ξ fy :=
cfy := 0.07
Oletetaan myötölujuuden noudattavan logaritmista normaalijakaumaa. Määritetään
parametrit:
Myötölujuus:
Materiaaliominaisuudet
B3.1 Kestävyys
Huom!
Määritetään muuttujien jakaumat ilman yksiköitä. Yksiköt supistetaan pois parametreissä tai
jakauman lausekkeessa tilanteen mukaan selkeimmän lopputuloksen saavuttamiseksi. Suuruus
perustuu seuraaviin yksiköihin: MN, m
B3 Muuttujat
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
cE := 0.03
sE := cE× mE
Var iaatiokerroin:
Keskihajonta:
2
2
sE = 6300
[JCSS 3.3]
æ N ö
ç 2÷
è mm ø
N ö
mE = 210000 æ
ç 2÷
è mm ø
29.12.2014
E( x)
Kertymäfunktio:
Tiheysfunktio:
æ
mE
x
5
(
)
5
5 (55)
5
CE ( x) := plnorm x , λ E , ξ E
1.6´ 10 1.8´ 10 2´ 10 2.2´ 10 2.4´ 10
5
(
E( x) := dlnorm x , λ E , ξE
Kimmokerroin [N/mm^2]
5
ö
÷
2÷
ø
2ö
ç 1+c
E ø
è
mE
lnæ 1 + cE
è
λ E := lnç
ξ E :=
)
λ E = 12.254
ξ E = 0.03
Oletetaan kimmokertoimen noudattavan logaritmista normaalijakaumaa. Määritetään
parametrit:
mE := E×
N
N
500
mm
mm
E = 210000×
x
400
Keskiarvo:
Kimmokerroin:
300
mfy
Myötölujuus [N/mm^2]
200
fy( x)
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Var iaatiokertoimet:
Keskihajonnat:
Keskiarvot:
Kertymäfunktiot:
Tukien paikkojen tiheysfunktiot:
Sijainti
Tuki 3:
Tuki 2:
Tuki 1:
)
)
Cbr3 ( x) := pnorm x , mbr3 , sbr3
6 (55)
)
Cbr2 ( x) := pnorm x , mbr2 , sbr2
(
(
)
Cbr1 ( x) := pnorm x , mbr1 , sbr1
(
)
br3( x) := dnorm x , mbr3 , sbr3
(
)
br2( x) := dnorm x , mbr2 , sbr2
(
br1( x) := dnorm x , mbr1 , sbr1
(
sbr3
cbr3 :=
mbr3
sbr2
cbr2 :=
mbr2
cbr3 = 0.05
cbr2 = 0.075
cbr1 = 0.15
sbr3 = 1.2
sbr3 := sbr1
sbr1
cbr1 :=
mbr1
sbr2 = 1.2
sbr1 = 1.2
mbr3 = 24
mbr2 = 16
mbr1 = 8
( m)
( m)
( m)
( m)
( m)
( m)
29.12.2014
sbr2 := sbr1
sbr1 := 0.15× mbr1
3L 1
mbr3 :=
×
4 m
L 1
mbr2 := ×
2 m
L 1
mbr1 := ×
4 m
Tukien paikat ovat oletettavasti normaalijakautuneita satunnaismuuttujia.
Määritetään tarvittavat parametrit jakaumaa varten.
Sivuttaistuet
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
0
8
x
16
Tukien sijainti [m]
24
32
29.12.2014
Kertymäfunktio:
Jäykkyyden tiheysfunktio:
)
)
7 (55)
CK( x) := plnorm x, λ K , ξ K
(
K( x) := dlnorm x , λ K , ξ K
(
mK
ø
ö
÷
ç 1 + c 2÷
K ø
è
λ K := lnç
æ
è
lnæ 1 + cK
2ö
λ K = 3.293
ξ K = 0.385
cK = 0.4
sK
cK :=
mK
Jäykkyyden variaatiokerroin:
ξ K :=
MN ö
sK = 11.6 æç
÷
è m ø
sK := 0.4 × mK
Jäykkyyden keskihajonta:
ç m ÷
è
ø
mK = 29
mK := 29
Jäykkyyden keskiarvo:
æ MN ö
KT := 12.19
Kynnysjäykkyys:
æ MN ö
ç m ÷
è
ø
Tukien jäykkyyksien oletetaan noudattavan logaritmista normaalijakaumaa. Jos jäykkyys
kuitenkin alittaa kynnysjäykkyyden arvon sallien ensimmäisen muodon mukaisen
kiepahduksen, oletetaan se suoraan nollaksi.
Jäykkyys
br3( x)
br2( x)
br1( x)
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
0
20
x
0
40
K
ó T
p KT := ô
K( x) dx
õ
mK
Tuen jäykkyys [MN/m]
KT
60
)
Keskiarvo:
Muu pysyvä tasainen
kuorma:
8 (55)
m
mg1 := gk1×
MN
kN
gk1 := 45
m
Cg0( x) := pnorm x , mg0 , sg0
Kertymäfunktio:
(
(
Tiheysfunktio:
g0 ( x) := dnorm x, mg0 , sg0
)
mg1 = 0.045
æ MN ö
ç m ÷
è
ø
MN ö
sg0 = 0.00025 æç
÷
è m ø
sg0 := mg0× cg0
Keskihajonta:
æ MN ö
ç m ÷
è
ø
cg0 = 0.01
mg0 = 0.025
kN
gk0 = 24.757 ×
m
cg0 := 0.01
m
mg0 := gk0×
MN
gk0 := A× γs
p KT = 0.019843
29.12.2014
Var iaatiokerroin:
JCSS2 s.24
Keskiarvo:
Oma paino:
Pysyvien kuormien suuruuden oletetaan noudattavan normaalijakaumaa.
Pysyvät kuormat
B3.2 Rasitukset
Todennäköisyys, että jäykkyys
alittaa kynnysjäykkyyden:
K ( x)
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
g1( x)
)
sG1 = 0.078
sG1 := cG1× mG1
(
CG1 ( x) := pnorm x , mG1 , sG1
Keskihajonta:
Tiheysfunktio:
Kertymäfunktio:
)
cG1 = 0.1
cG1 := 0.10
Var iaatiokerroin:
[Stochastic mod.]
0.024
0.03
0.04
x
0.05
0.06
Tasan jakautunut [MN/m]
mg1
x
0.025
0.026
9 (55)
G1( x)
0.4
0.6
x
0.8
mG1
1
Pistekuormat [MN]
Muut pysyvät kuormat
g0( x)
mg0
Oma paino [MN/m]
(
G1 ( x) := dnorm x , mG1 , sG1
mG1 = 0.78
1
mG1 := Gk1×
MN
Gk1 := 780kN
(
Keskiarvo:
Pysyvä osuus
pistekuormat :
Cg1( x) := pnorm x , mg1 , sg1
Kertymäfunktio:
)
(
Tiheysfunktio:
)
sg1 = 0.0045
sg1 := cg1× mg1
Keskihajonta:
g1 ( x) := dnorm x, mg1 , sg1
cg1 = 0.1
cg1 := 0.10
( MN)
( MN)
æ MN ö
ç m ÷
è
ø
29.12.2014
Var iaatiokerroin:
[Stochastic mod.]
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
29.12.2014
q k1 := 155
m
kN
0.95 fraktiilin arvo.
lnæ 1 + cq1_0
è
ø
2ö
ö-ξ
÷ q1_0 × k0.95
æ
mq1
ö
÷
2÷
ø
2ö
)
)
Q k1 := 2600kN
λ q1 = -2.641
ξ q1 = 0.472
sq1 = 0.04
0.95 fraktiilin arvo.
Cq1( x) := plnorm x , λ q1 , ξ q1
(
q 1( x) := dlnorm x , λ q1 , ξ q1
(
ç 1+c
q1 ø
è
λ q1 := lnç
mq1 = 0.08
æ MN ö
ç m ÷
è
ø
λ q1_0 = -2.641
æ MN ö
ç m ÷
è
ø
Valittu arvo. [Stochastic mod ==> 0.35 (office)]
2 λq1_0
lnæ 1 + cq1
è
sq1 := cq1× mq1
ξ q1 :=
m
MN ø
1 + cq1_0 × e
cq1 := 0.5
mq1 :=
è
λ q1_0 := lnæç qk1×
k0.95 = 1.645
ξ q1_0 = 0.472
Valittu arvo. [Stochastic mod ==> 0.35 (office)]
k0.95 := qnorm( 0.95 , 0 , 1 ) = 1.645
ξ q1_0 :=
cq1_0 := 0.5
10 (55)
Oletetaan aluksi vakio variaatiokerroin, jonka avulla saadaan kiinteä keskiarvo. Näin keskiarvo ei
muutu, kun varsinaista variaatiokerrointa muutetaan.
Hyötykuorman
osuus pistekuormista:
Kertymäfunktio:
Tiheysfunktio:
Keskihajonta:
Analyysissä
käytettävä
variaatiokerroin:
Keskiarvo:
Oletettu
variaatiokerroin:
Oletetaan aluksi vakio variaatiokerroin, jonka avulla saadaan kiinteä keskiarvo. Näin keskiarvo ei
muutu, kun varsinaista variaatiokerrointa muutetaan.
Hyötykuorma tasan
jakautunut:
Muuttuvien kuormien suuruuden oletetaan noudattavan logaritmista normaalijakaumaa.
Muuttuvat kuormat
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
q1( x)
0
0.1
mq1
x
ö-ξ
÷ Q1_0 × k0.95
2 λQ1_0
ø
2ö
æ mQ1 ö
λ Q1 := lnç
÷
ç 1 + c 2÷
Q1
è
ø
)
)
0.2
11 (55)
Q1( x)
0
Hyötykuorma
1
mQ1
2
x
3
4
λ Q1 = 0.179
ξ Q1 = 0.472
sQ1 = 0.668
Pistekuormat [MN]
CQ1 ( x) := plnorm x , λ Q1 , ξ Q1
(
Q 1 ( x) := dlnorm x , λ Q1 , ξ Q1
(
mQ1 = 1.337 ( MN)
( MN)
Valittu arvo. [Stochastic mod ==> 0.35 (office)]
lnæ 1 + cQ1
è
sQ1 := cQ1× mQ1
ξ Q1 :=
1
MN ø
1 + cQ1_0 × e
cQ1 := 0.5
mQ1 :=
è
λ Q1_0 = 0.179
ξ Q1_0 = 0.472
λ Q1_0 := lnæç Q k1×
ø
2ö
k0.95 = 1.645
lnæ 1 + cQ1_0
è
Valittu arvo. [Stochastic mod ==> 0.35 (office)]
29.12.2014
k0.95 := qnorm( 0.95 , 0 , 1 ) = 1.645
ξ Q1_0 :=
cQ1_0 := 0.5
Tasan jakautunut [MN/m]
Kertymäfunktio:
Tiheysfunktio:
Keskihajonta:
Analyysissä
käytettävä
variaatiokerroin:
Keskiarvo:
Oletettu
variaatiokerroin:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Q1( x)
G1( x)
0
q1( x)
g1( x)
g0( x)
0
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
mG1
mq1
x
0.1
x
12 (55)
mQ1
Pistekuormat [MN]
1
0.05
mg1
2
Tasan jakautuneet [MN/m]
Kaikki kuormat
0.15
3
29.12.2014
29.12.2014
+
2
gk0 + gk1 + q k1
q k1
Mlhs := M + 2
Laskenta-arvo:
(
(
å
1
(
fy_sam
k
1
)
k+ 1
( fy_sam length( fy_sam) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
k
fy_sam ¬ ran
Q_ratio = 0.729
ö
t_calc = 1415.97266
13 (55)
÷
ø
fy_lhs := randvect_out
+2 johtuu laskentatavasta eikä sisälly otokseen
todellisuudessa.
, λ fy , ξfy÷
ran ¬ runif 1 , x_fy , x_fy
)
M lhs
ç
èi = 1
n
)
for k Î 1 .. M lhs - 2
x_fy
n
x_fy ¬ qlnormç
æ
for n Î 1 .. Mlhs - 1
Randomizing sample
fy_sam :=
Sampling
x_fy :=
Interval points
Myötölujuus
B4.1 Kestävyyden muuttujat
M := 10
Otoksen koko:
5
Monte Carlo simulation with LHS [M. Derry, Master's thesis].
B4 Monte Carlo simulaatio
Q_ratio :=
Q k1 + Gk1
Q k1
Lasketaan muuttuvien kuormien osuus kokonaiskuormasta keskiarvona pistekuormien ja tasan
jakautuneiden kuormien osalta.
Muuttuvien kuormien osuus
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
...
æ
(
1
(
E_sam
k
1
E_lhs =
1
212872.798
216506.667
...
4
5
208237.941
201795.922
3
2
1
k+ 1
)
( E_sam length( E_sam) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
k
E_sam ¬ ran
2
mm
N
= 0.07
E := E_lhs ×
N
2
= 0.03
mm
mean( E_lhs )
stdev( E_lhs )
stdev( E_lhs) = 6298.817
mean( E_lhs ) = 209999.976
t_calc = 1417.07
E_lhs := randvect_out
fy := fy_lhs×
mean( fy_lhs)
stdev( fy_lhs)
stdev( fy_lhs) = 26.367
mean( fy_lhs) = 376.747
14 (55)
÷
ø
ö
, λ E , ξ E÷
ran ¬ runif 1 , x_E , x_E
)
Mlhs
ç
èi = 1
å
)
for k Î 1 .. M lhs - 2
Randomizing sample
E_sam :=
n
x_E ¬ qlnormç
n
for n Î 1 .. M lhs - 1
x_E
Sampling
x_E :=
Interval points
(
367.278
5
374.774
3
4
397.582
2
Kimmokerroin
fy_lhs =
325.595
1
1
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
cE = 0.03
sE = 6300
mE = 210000
cfy = 0.07
sfy = 26.372
mfy = 376.747
29.12.2014
(
)
(
(
)
br1_sam
k
br1_sam ¬ ran
1
6.719
7.947
...
3
4
5
x_br2 :=
x_br2
n
æ
å
1
Mlhs
ç
èi = 1
x_br2 ¬ qnormç
)
n
for n Î 1 .. Mlhs - 1
Interval points
(
9.269
2
Tuki 2, sijainti
7.837
1
1
ö
15 (55)
÷
ø
, mbr2 , sbr2÷
)
k+ 1
( br1_sam length( br1_sam) )
æ randvect_out ö
ç
÷ :=
è t_calc ø
Randomize vector
br1_lhs =
k
ran ¬ runif 1 , x_br1 , x_br1
for k Î 1 .. M lhs - 2
x_br1
å
æ n
ö
1
x_br1 ¬ qnormç
, mbr1 , sbr1÷
n
Mlhs
ç
÷
èi = 1
ø
for n Î 1 .. Mlhs - 1
Randomizing sample
br1_sam :=
Sampling
x_br1 :=
Interval points
Tuki 1, sijainti
Tukien sijainnit
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
mean( br1_lhs )
stdev( br1_lhs )
= 0.15
stdev( br1_lhs ) = 1.2
mean( br1_lhs ) = 8
t_calc = 1434.988
br1_lhs := randvect_out
cbr1 = 0.15
sbr1 = 1.2
mbr1 = 8
29.12.2014
(
)
br2_sam
1
...
5
(
(
å
)
br3_sam
1
k
mean( br2_lhs )
t_calc = 1398.328
br3_lhs := randvect_out
= 0.075
cbr2 = 0.075
sbr2 = 1.2
stdev( br2_lhs ) = 1.2
stdev( br2_lhs )
mbr2 = 16
29.12.2014
mean( br2_lhs ) = 16
t_calc = 1449.566
br2_lhs := randvect_out
16 (55)
)
k+ 1
( br3_sam length( br3_sam) )
æ randvect_out ö
ç
÷ :=
è t_calc ø
Randomize vector
k
br3_sam ¬ ran
ran ¬ runif 1 , x_br3 , x_br3
for k Î 1 .. M lhs - 2
x_br3
Randomizing sample
br3_sam :=
Sampling
)
)
k+ 1
æ n
ö
1
x_br3 ¬ qnormç
, mbr3 , sbr3÷
n
Mlhs
ç
÷
èi = 1
ø
for n Î 1 .. Mlhs - 1
Interval points
x_br3 :=
(
16.65
4
13.515
16.635
3
2
1
16.368
1
Tuki 3, sijainti
br2_lhs =
k
( br2_sam length( br2_sam) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
k
br2_sam ¬ ran
ran ¬ runif 1 , x_br2 , x_br2
(
for k Î 1 .. M lhs - 2
Randomizing sample
br2_sam :=
Sampling
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
24.192
23.384
23.967
...
2
3
4
5
(
(
å
(
k
k+ 1
K_sam
Randomizing sample
k
K_sam ¬ ran
1
)
n
n
n
n
(
n
n
t ¬ max br1_lhs , br2_lhs , br3_lhs
17 (55)
÷
ø
ö
, λ K , ξ K÷
ran ¬ runif 1 , x_K , x_K
)
Mlhs
ç
èi = 1
n
for k Î 1 .. M lhs - 2
x_K
n
x_K ¬ qlnormç
æ
for n Î 1 .. Mlhs - 1
Tuki 1, jäykkyys
K_sam :=
Sampling
x_K :=
1
(
n
n
)m
)m
n
)m
39.092
17.861
...
3
4
5
Tuki 2, jäykkyys
21.51
2
K2_lhs =
...
13.738
4
5
37.713
3
47.236
2
1
26.989
1
0 if K1_lhs £ KT
n
mean( K1_lhs)
t_calc = 1405.816
0 if K2_lhs £ KT
n
1000 if K2_lhs > KT
n
18 (55)
mean( K2_lhs)
= 0.4
cK = 0.4
sK = 11.6
stdev( K2_lhs) = 11.593
stdev( K2_lhs)
mK = 29
mean( K2_lhs) = 28.999
KT = 12.19
n
K2 :=
n := 1 , 2 .. M
cK = 0.4
K2_lhs := randvect_out
= 0.4
sK = 11.6
stdev( K1_lhs) = 11.593
stdev( K1_lhs)
mK = 29
mean( K1_lhs) = 28.999
( K_sam length( K_sam) )
Satunnaisarvot
t_calc = 1389.711
K1_lhs := randvect_out
1000 if K1_lhs > KT
n
KT = 12.19
n
K1 :=
n := 1 , 2 .. M
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
t
n
t ¬ median br1_lhs , br2_lhs , br3_lhs
for n Î 1 .. M
t
n
K1_lhs =
73.867
1
1
Satunnaisarvot
( K_sam length( K_sam) )
Interval points
)
n
for n Î 1 .. M
t
(
cbr3 = 0.05
t ¬ min br1_lhs , br2_lhs , br3_lhs
for n Î 1 .. M
= 0.05
sbr3 = 1.2
mbr3 = 24
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Randomizing sample
br3 :=
br2 :=
br1 :=
mean( br3_lhs )
stdev( br3_lhs )
stdev( br3_lhs ) = 1.2
mean( br3_lhs ) = 24
29.12.2014
Tukien jäykkyydet
Varmistetaan tukien oikea järjestys:
br3_lhs =
24.683
1
1
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
K2 =
K1 =
1000
...
5
...
1000
5
1000
4
1000
1000
1
3
2
1
Laskenta-arvot
1000
4
1000
1000
1
3
2
1
Laskenta-arvot
29.12.2014
53.65
33.924
...
3
4
5
26.626
2
Sampling
x_g0 :=
(
)
0 if K3_lhs £ KT
n
mean( K3_lhs)
= 0.4
x_g0
(
å
)
19 (55)
cK = 0.4
sK = 11.6
stdev( K3_lhs) = 11.593
stdev( K3_lhs)
mK = 29
mean( K3_lhs) = 28.999
æ n
ö
1
x_g0 ¬ qnormç
, mg0 , sg0÷
n
Mlhs
ç
÷
èi = 1
ø
for n Î 1 .. M lhs - 1
Interval points
Oma paino
Pysyvät kuormat
t_calc = 1388.57
K3_lhs := randvect_out
1000 if K3_lhs > KT
n
KT = 12.19
n
K3 :=
n := 1 , 2 .. M
B4.2 Rasitusten muuttujat
K3_lhs =
31.997
1
1
Satunnaisarvot
( K_sam length( K_sam) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
Randomizing sample
Tuki 3, jäykkyys
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
K3 =
1000
1000
...
4
5
1000
2
3
1000
1
1
Laskenta-arvot
29.12.2014
(
(
)
g0_sam
k
1
0.024
...
5
0.025
3
4
0.025
2
1
0.025
1
)
(
)
(
(
)
k
g1_sam
1
( g1_sam length(g1_sam ) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
k
g1_sam ¬ ran
)
= 0.01
t_calc = 1387.578
g1_lhs := randvect_out
mean( g0_lhs) = 0.0248
mean( g0_lhs)
stdev( g0_lhs)
stdev( g0_lhs) = 0.00025
MN
g0 := g0_lhs×
m
t_calc = 1402.656
g0_lhs := randvect_out
20 (55)
k+ 1
ran ¬ runif 1 , x_g1 , x_g1
for k Î 1 .. Mlhs - 2
x_g1
å
æ n
ö
1
x_g1 ¬ qnormç
, mg1 , sg1÷
n
Mlhs
ç
÷
èi = 1
ø
for n Î 1 .. M lhs - 1
Randomizing sample
g1_sam :=
Sampling
x_g1 :=
Interval points
Muu pysyvä kuorma, tasan jakautunut
g0_lhs =
k+ 1
( g0_sam length(g0_sam ) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
k
g0_sam ¬ ran
ran ¬ runif 1 , x_g0 , x_g0
for k Î 1 .. Mlhs - 2
Randomizing sample
g0_sam :=
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
cg0 = 0.01
sg0 = 0.00025
mg0 = 0.025
29.12.2014
0.038
0.046
0.043
...
2
3
4
5
(
)
(
(
)
G1_sam
k
G1_sam ¬ ran
1
k+ 1
0.845
0.816
0.737
0.772
...
1
2
3
4
5
1
)
= 0.1
G1 := G1_lhs × MN
mean( G1_lhs )
stdev( G1_lhs )
stdev( G1_lhs) = 0.07799
mean( G1_lhs ) = 0.78
t_calc = 1392.266
G1_lhs := randvect_out
21 (55)
( G1_sam length( G1_sam) )
æ randvect_out ö
ç
÷ :=
è t_calc ø
Randomize vector
G1_lhs =
k
ran ¬ runif 1 , x_G1 , x_G1
for k Î 1 .. M lhs - 2
x_G1
å
= 0.1
MN
g1 := g1_lhs×
m
mean( g1_lhs)
stdev( g1_lhs)
stdev( g1_lhs) = 0.0045
mean( g1_lhs) = 0.045
æ n
ö
1
x_G1 ¬ qnormç
, mG1 , sG1÷
n
M lhs
ç
÷
èi = 1
ø
for n Î 1 .. M lhs - 1
Randomizing sample
G1_sam :=
Sampling
x_G1 :=
Interval points
Pysyvä kuorma, pistekuormat
g1_lhs =
0.046
1
1
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
cG1 = 0.1
sG1 = 0.078
mG1 = 0.78
cg1 = 0.1
sg1 = 0.0045
mg1 = 0.045
29.12.2014
(
(
(
èi = 1
çå
n
)
)
q1_sam
k
q1_sam ¬ ran
k
1
0.048
0.043
...
3
4
5
x_Q1 :=
x_Q1
n
å
n
)
1
Mlhs
ç
èi = 1
x_Q1 ¬ qlnormç
æ
for n Î 1 .. M lhs - 1
(
Hyötykuorma, pistekuormat
0.105
2
1
0.061
1
Interval points
k+ 1
22 (55)
÷
ø
ö
q 1 := q1_lhs×
= 0.5
m
MN
mean( q1_lhs)
stdev( q1_lhs)
stdev( q1_lhs) = 0.03981
mean( q1_lhs) = 0.0797
t_calc = 1389.281
q1_lhs := randvect_out
, λ Q1 , ξ Q1÷
)
÷
ø
ö
, λ q1 , ξ q1÷
( q1_sam length(q1_sam) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
q1_lhs =
1
M lhs
ran ¬ runif 1 , x_q1 , x_q1
for k Î 1 .. Mlhs - 2
x_q1
n
x_q1 ¬ qlnormç
æ
for n Î 1 .. M lhs - 1
Randomizing sample
q1_sam :=
Sampling
x_q1 :=
Interval points
Hyötykuorma, tasan jakautunut
Muuttuvat kuormat
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
cq1 = 0.5
sq1 = 0.03984
mq1 = 0.08
29.12.2014
(
)
Q1_sam
k
Q1_sam ¬ ran
1
0.995
1.613
...
3
4
5
B5 Voimasuureet
1.472
2
1
0.569
1
)
= 0.5
Q 1 := Q1_lhs× MN
mean( Q1_lhs)
stdev( Q1_lhs)
stdev( Q1_lhs) = 0.66772
mean( Q1_lhs) = 1.3365
t_calc = 1394.609
Q1_lhs := randvect_out
P := G1 + Q 1
Pistekuormat:
23 (55)
p := g0 + g1 + q 1
b 2 := L - a2
a2 := br3
b 1 := L - a1
a1 := br1
Tasaiset kuormat:
Kuormayhdistelmät
Pistekuormien sijainti:
Pistekuormat vaikuttavat aina reunimmaisten sivuttaistukien kohdalla.
Pistekuormat
k+ 1
( Q1_sam length( Q1_sam) )
æ randvect_out ö :=
ç
÷
è t_calc ø
Randomize vector
Q1_lhs =
k
ran ¬ runif 1 , x_Q1 , x_Q1
(
for k Î 1 .. M lhs - 2
Randomizing sample
Q1_sam :=
Sampling
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
cQ1 = 0.5
sQ1 = 0.66827
mQ1 = 1.337
29.12.2014
29.12.2014
Tukien lukumäärä:
n
n
24 (55)
K1
K2
K3
n
n
n
nbr :=
+
+
n
K1
K2
K3
n
n := 1 , 2 .. M
Kiepahdussegmenttien määrittäminen
Tapausten indeksit:
Yhden kiepahdussegmentin välimomenttien poimiminen.
Määritetään taivutusmomentin arvot pisteittäin kiepahdussegmenttien pääte- ja välipisteissä
jokaiselle tapaukselle n. Taivutusmomentti oletetaan lineaariseksi pisteiden välillä, jolloin
maksimiarvo momentille sisältyy pisteittäin poimittuihin momentin arvoihin.
Palkin jako kiepahdussegmentteihin riippuen sivuttaistukien jäykkyydestä.
Jaetaan palkki segmentteihin, joille tehdään kiepahdustarkastelu erikseen. Segmenttien rajoina ovat
toiminnalliset sivuttaistuet ts. tuet, joiden jäykkyys > 0.
B5.1 Taivutusmomentti
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
t
1
n
t ¬ 0m
for n Î 1 .. M
2
3
Segmenttien pituudet:
4
Xstart := Xend
3
Xstart := Xend
2
Xstart := Xend
1
Xstart :=
Segmenttien päätepisteet:
Segmenttien lukumäärä:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
2
Lseg :=
1
Lseg :=
4
n
n
n
(
t
n
(
2
t ¬ Xend
for n Î 1 .. M
t
1
t ¬ Xend
n
n
(
if K2 ¹ 0 Ù Xend
n
n
if nbr = 3
n
) n - ( Xstart2) n
) n - ( Xstart1) n
L otherwise
br3
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬L
n
L otherwise
n
L otherwise
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬
n
1
(
1
) n ¹ br3n
) n ¹ br2n
otherwise
br3 if K3 ¹ 0 Ù Xend
br2
n
otherwise
br3 if K3 ¹ 0
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬
n
if K1 ¹ 0
otherwise
br2 if K2 ¹ 0
br1
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬
for n Î 1 .. M
25 (55)
Xend :=
3
Xend :=
2
Xend :=
1
Xend :=
nseg := nbr + 1
HUOM! Asetuksissa 0/0=0
29.12.2014
Tasainen kuorma:
Momentin arvot segmenttien
pääte- ja välipisteissä
Momentti pistekuormasta:
Momentti tasaisesta kuormasta:
Taivutusmomentin arvot
Segmentin i välipisteet 1...5:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Mp :=
(
t
3
t
p × L× x
è
L
P× aP
L
i,j
)
÷
Lø
xö
)
× ( L - x) if x > aP
4
j -1
(
i
)
bP = L - aP
aP = Kuorman
vaikutuspiste
× Lseg
26 (55)
for j Î 1 , 2 .. 5
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®
L
1
t ¬ éê p × X_Points
× × æ 1 - X_Points × ö÷ùú
i, j
i,j 2 ç
i, j L
ë
è
øû
(
(
¬ Xstart +
× x if x £ aP
× æç 1 -
t
i
) n - ( Xstart4) n
for j Î 1 , 2 .. 5
P× b P
2
4
) n - ( Xstart3) n
for i Î 1 , 2 .. 4
t
n
t ¬ Xend
for i Î 1 , 2 .. 4
MF( x) :=
Mq ( x) :=
(
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬ Xend
for n Î 1 .. M
X_Points :=
4
Lseg :=
3
Lseg :=
29.12.2014
MP2 :=
Pistekuorma 2:
i, j
¬
s
t
t
i, j
s
Segmenttien maksimiarvot:
L
(
)
(
(
)
(
(
)
L
i,j
otherwise
if X_Points
P × a2 × éL - X_Points
k k
i,j ù
kû
ë
L
P × b 2 × X_Points
k
i,j
k
k
L
i,j
otherwise
if X_Points
) k £ a2 k
) k £ a1 k
29.12.2014
1
27 (55)
:=
t
n
Î ..
ê s ¬ M
ê j æè Tot1 , j öø n
ê
ë s
t ¬ maxé for j Î 1 .. 5
for n Î 1 .. M
ù
ú
ú
ú
û
æ M Tot1 , 2ö æ MTot1 , 3ö æ M Tot1 , 4ö æ MTot1 , 5ö ù
è
øn è
øn è
øn è
ø nú
ú
æ M Tot2 , 2ö æ MTot2 , 3ö æ M Tot2 , 4ö æ MTot2 , 5ö ú
è
øn è
øn è
øn è
øn
ú
æ M Tot ö æ MTot ö æ M Tot ö æ MTot ö ú
3
,
2
3
,
3
3
,
4
3
,
5
è
øn è
øn è
øn è
ø nú
ú
æ M Tot4 , 2ö æ MTot4 , 3ö æ M Tot4 , 4ö æ MTot4 , 5ö ú
è
øn è
øn è
øn è
ø nû
MaxM_seg :=
éæ M Tot1 , 1ö
êè
øn
ê
êæè M Tot2 , 1öø
n
M_per_case := ê
n
êæ M Tot ö
3 , 1ø
êè
n
ê M
æ
ö
êè Tot4 , 1ø
n
ë
k
)
P × a1 × éL - X_Points
k k
i,j ù
kû
ë
for k Î 1 .. M
s ¬
(
P × b 1 × X_Points
k
i,j
k
k
MTot := Mp + M P1 + M P2
¬
for j Î 1 , 2 .. 5
k
s ¬
for k Î 1 .. M
for i Î 1 , 2 .. 4
t
t
for j Î 1 , 2 .. 5
for i Î 1 , 2 .. 4
Tapauskohtaiset momentin arvot pisteissä:
Yhteisvaikutus:
MP1 :=
Pistekuorma 1:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
ê s ¬ M
ê j æè Tot3 , j öø n
ê
ë s
t
n
(
Mediaani maksimimomentin
tuottaman tapauksen indeksi n:
Mediaani maksimimomentti:
28 (55)
index_of_mEd := match( median (MedM ) , MedM) = 45972
med_MaxM := median( MaxM) = 34.849 × MN× m
1
index_of_min := match( min( MaxM) , MaxM) = 48358
Pienimmän maksimimomentin
tuottaman tapauksen indeksi n:
1
min_MaxM := min( MaxM) = 17.691 × MN× m
Pienin maksimimomentti:
1
index_of_MAX := match( max(MaxM) , MaxM) = 61651
)
ù
ú
ú
ú
û
ù
ú
ú
ú
û
ù
ú
ú
ú
û
Suurimman momentin tuottaman
tapauksen indeksi n:
n
t ¬ max M_per_case
n
ê s ¬ M
ê j æè Tot4 , j öø n
ê
ë s
t ¬ maxé for j Î 1 .. 5
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬ maxé for j Î 1 .. 5
for n Î 1 .. M
t
ê s ¬ M
ê j æè Tot2 , j öø n
ê
ë s
for n Î 1 .. M
t
n
t ¬ maxé for j Î 1 .. 5
for n Î 1 .. M
MAX_M_OF_ALL := max( MaxM) = 111.097 × MN× m
MaxM :=
4
MaxM_seg :=
3
MaxM_seg :=
2
MaxM_seg :=
29.12.2014
Suurin momentin arvo kaikista:
Globaalit maksimiarvot:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
7
0
0
t
t
(
i, j
)n
t
t
( i - 1) × 5 + j
8
16
24
16
24
n=index_of_MAX (suurin maksimimomentti)
n=index_of_min (pienin maksimimomentti)
n=index_of_mEd (mediaani maksimimomentti)
8
Tasaisen kuorman osuus:
Alkupää x = 0
2
29 (55)
¾¾¾
V 0_p := p ×
L
Määritetään leikkausvoiman arvot palkin päissä. Käytetään itseisarvoja.
32
P1
P2
p
32
¬ æ MTot ö
i, jø
è
n
for j Î 1 .. 5
for i Î 1 .. 4
Taivutusmomentti kuormittain, n=1
¬ X_Points
yM :=
n
Kokonaismomentti ääri- ja mediaanitapauksilla
( i - 1) × 5 + j
for j Î 1 .. 5
for i Î 1 .. 4
B5.2 Leikkausvoima
0
5´ 10
7
1´ 10
8
0
1´ 10
7
2´ 10
7
3´ 10
7
4´ 10
xM :=
n
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
29.12.2014
¾¾¾
®
¾¾¾
®
æ P× a1 ö
ç
÷
è L ø
2
L
= 0.21
V Ed :=
Taivutusmomentti
30 (55)
3
Wy.eff := 0.435 m
Teholliset poikkileikkaussuureet määritetty liitteessä A.
B6.1 Poikkileikkauksen kestävyys
æç V 0 ö÷
çè V L ÷ø
max V 0 = 13.192× MN
( )
mean V 0
stdev V 0
( )
( )
( )
= 4.507× MN
median V 0 = 4.355× MN
( )
mean( V)0
min V 0 = 2.363× MN
( )
( )
( )
= 0.21
max V L = 12.744× MN
mean V L
stdev V L
( )
= 4.507× MN
median V L = 4.359× MN
( )
mean( V)L
min V L = 2.287× MN
V L := V L_p + V L_P1 + V L_P2
æ P× a2 ö
V L_P2 := ç
÷
è L ø
V L_P1 :=
V L_p := p ×
V 0 := V 0_p + V 0_P1 + V 0_P2
¾¾¾
®
æ P× b 2 ö
V 0_P2 := ç
÷
è L ø
¾¾¾
®
æ P× b 1 ö
V 0_P1 := ç
÷
è L ø
B6 Palkin kestävyys
Mitoitusarvot
Maksimiarvot:
Var iaatiokertoimet:
Mediaanit:
Keskiarvot:
Minimiarvot:
Kokonaisvaikutus:
Pistekuormien osuus:
Tasaisen kuorman osuus:
Loppupää x = L
Kokonaisvaikutus:
Pistekuormien osuus:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
29.12.2014
)
)
)
)
)
)
= 0.07
)
3
)
(
)
)
)
)
= 0.07
31 (55)
Määritetään tarvittavat poikkileikkaussuureet Mcr:n laskemista varten (bruttopoikkileikkauksen
perusteella).
t
n
t ¬
i
Lcr :=
i := 1 .. 4
kω := 1.0
t
(
ë
i
) nùû 2
0.1m otherwise
16
Kriittinen momentti:
32 (55)
4
4
6
Iω = 4.131 ´ 10 × mm
( Lsegi ) n if ( Lsegi) n > 0
35× é MaxM_seg
n
t ¬
for n Î 1 .. M
24
2 3
tf × hmid × b
k := 1.0
Iω :=
8
It = 3.78 ´ 10 × mm
9
Iz = 6.852 ´ 10 × mm
hmid = 4920× mm
29.12.2014
2
2
2
2
é( MaxM_segi ) ù + 9 × éæ M Toti , 2ö ù + 16× éæ M Toti , 3ö ù + 9 × éæ M Toti , 4ö ù
nû
ø nû
ø nû
ø nû
ë
ëè
ëè
ëè
for n Î 1 .. M
3
1
3
3
It := × æ 2 × t f × b + t w × hmidö
ø
3 è
3
tf × b
hw× t w
Iz := 2 ×
+
12
12
hmid := h - t f
Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti voidaan nyt laskea.
i
C1 :=
Kiepahduskestävyys
Kiepahduspituudet:
Segmenttien indeksit:
Päiden vapausasteista
riippuvat tekijät:
Käyristymisjäyhyys:
Vääntöjäyhyysmomentti:
Jäyhyysmomentti heikomman
akselin suhteen:
Laippojen keskiöetäisyys:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Momenttipinnan huomioiva vakio:
max V pl.R = 56.437× MN
(
mean V pl.R
stdev V pl.R
(
(
median V pl.R = 42.008× MN
AV = 193600× mm
2
Myötölujittumista ei huomioida.
mean V pl.R = 42.111 × MN
(
min V pl.R = 31.47× MN
(
V pl.R :=
AV × fy
AV := η× hw× t w
η := 1.0
max M pl.R = 219.64 × MN× m
(
mean M pl.R
stdev Mpl.R
(
(
median M pl.R = 163.485 × MN× m
(
mean Mpl.R = 163.885 × MN× m
(
min Mpl.R = 122.472 × MN× m
(
Mpl.R := Wy.eff× fy
29.12.2014
B6.2 Stabiiliustarkastelu
Maksimi:
Var iaatiokerroin:
Mediaani:
Keskiarvo:
Minimi:
Leikkauskestävyys:
Leikkauspinta-ala:
Leikkausvoima
Maksimi:
Var iaatiokerroin:
Mediaani:
Keskiarvo:
Minimi:
Taivutuskestävyys:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
t
29.12.2014
ë
è
( Mcri ) n
n
ø
è
χLT :=
i
χLT0 :=
i
t
n
t ¬
øn
1 otherwise
è
æ χLT0 ö
i
if
è
øn
æ χLT0 ö £ 1
i
2
2
æ ΦLTi ö - æ λ_ LTi ö
è
ø è
ø
for n Î 1 .. M
i
ΦLT +
1
2ù
ú
øû
ΦLT := 0.5 × éê1 + αLT× æ λ_ LT - 0.2 ö + æ λ_ LT ö
i
i
i
αLT := 0.76
t
n
t ¬
for n Î 1 .. M
¾¾¾¾¾
®
Wy.eff× fy
i
Mb.R0 :=
33 (55)
t
n
t ¬
0 otherwise
éæ χLTi ö × Wy.eff× fynù if ( Lsegi ) > 0
øn
n
ëè
û
for n Î 1 .. M
Kiepahduskestävyys määritetään ensin kaikille segmenteille kaikilla tapauksilla n. Tosiasiassa
segmenttejä 2-4 ei välttämättä esiinny kaikilla tapauksilla. Asetetaan tällöin kyseisen segmentin
kiepahduskestävyys nollaksi ja poistetaan nollarivit lopullisesta kestävyysvektorista.
Pienennystekijä:
Epätarkkuustekijä
(kiepahduskäyrä d):
i
λ_ LT :=
1MN× m otherwise
2
éê
ù
2
ék× ( Lcr i ) ù × G× Itú
2
π × E × Iz
n
k ö Iω
nû
ë
ê
æ
ú if C
t ¬ æC1 ö ×
× ç
×
+
æ 1ö >0
n
êè i ø n
ú
2
kω ÷ Iz
2
è iø n
è
ø
k
×
Lcr
π
×
E
×
I
é ( i) ù
ê
n z
ú
nû
ë
ë
û
for n Î 1 .. M
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
®
Muunnettu hoikkuus
kiepahdukselle:
i
Mcr :=
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
i
sum :=
å
n= 1
M
æ M b.R0i ö
è
øn
æ M b.R0i ö
è
øn
æç 100000 ö÷
100000 ÷
sum = ç
ç 99895 ÷
ç 94156 ÷
è
ø
29.12.2014
Kiepahduskestävyys:
3
:=
Mb.R :=
2
Mb.R :=
1
Mb.R :=
ind
¬
MN× m
æ Mb.R01ö
è
øn
ind
¬
MN× m
æ Mb.R02ö
è
øn
ind
¬
MN× m
34 (55)
Î ..
ind := 1
è
lengthæ Mb.R
t× MN× m
if
æ Mb.R03ö > 0
è
øn
æ M b.R03ö > 0
è
øn
ö = 99895
3ø
ind ¬ ( ind + 1 ) if
t
æ Mb.R0 ö
3ø
è
n
æ Mb.R02ö > 0
è
øn
æ M b.R02ö > 0
è
øn
if
ö = 100000
2ø
for n Î 1 .. M
ind := 1
è
lengthæ Mb.R
t× MN× m
ind ¬ ( ind + 1 ) if
t
æ Mb.R01ö > 0
è
øn
æ M b.R01ö > 0
è
øn
if
ö = 100000
1ø
for n Î 1 .. M
ind := 1
è
lengthæ Mb.R
t× MN× m
ind ¬ ( ind + 1 ) if
t
for n Î 1 .. M
ind := 1
Seuraavaksi karsitaan nollarivit ja muodostetaan lopulliset vektorit kiepahduskestävyydelle.
Esiintymistapausten
lukumärä:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
4
Mb.R :=
ind
¬
MN× m
è
lengthæ Mb.R
t× MN× m
if
æ Mb.R0 ö > 0
4ø
è
n
æ M b.R0 ö > 0
4ø
è
n
ö = 94156
4ø
ind ¬ ( ind + 1 ) if
t
æ Mb.R04ö
è
øn
for n Î 1 .. M
29.12.2014
3
MEd_seg :=
2
MEd_seg :=
1
MEd_seg :=
ind
¬
(
(
ind
¬
(
(
ind
¬
MN× m
(
(
35 (55)
t × MN× m
)n> 0
3
)n> 0
3
)n> 0
2
if MaxM_seg
ind ¬ ( ind + 1 ) if MaxM_seg
t
ö = 100000
2ø
( MaxM_seg3) n
for n Î 1 .. M
ind := 1
è
lengthæ MEd_seg
t × MN× m
)n> 0
2
ind ¬ ( ind + 1 ) if MaxM_seg
t
MN× m
( MaxM_seg2) n
for n Î 1 .. M
ind := 1
è
if MaxM_seg
ö = 100000
1ø
lengthæ MEd_seg
t × MN× m
)n> 0
1
)n> 0
1
if MaxM_seg
ind ¬ ( ind + 1 ) if MaxM_seg
t
MN× m
( MaxM_seg1) n
for n Î 1 .. M
ind := 1
Karsitaan nollarivit myös segmenttien maksimimomenteista. Nollarivi syntyy, kun segmenttiä ei
ole eli sen pituus on nolla ja kaikki pisteet sijaitsevat palkin loppupäässä.
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
ind
¬
MN× m
(
( MaxM_seg4) n
ö = 99895
3ø
(
è
ö = 94156
4ø
lengthæ MEd_seg
t × MN× m
)n> 0
4
i
Ratio0_M :=
i
Ratio_M :=
i
i
36 (55)
i
Mb.R0
i
MaxM_seg
Mb.R
0.838
1.17
1.107
1.303
(
i
)
max Ratio0_M
0.838
1.17
1.107
1.303
(
iø
max Ratio_M
94156
99895
99895
94156
100000
100000
è
i
)
=
=
lengthæ MEd_seg ö =
100000
MEd_seg
ö=
iø
100000
è
lengthæ Mb.R
29.12.2014
)n> 0
4
if MaxM_seg
ind ¬ ( ind + 1 ) if MaxM_seg
t
for n Î 1 .. M
ind := 1
è
lengthæ MEd_seg
Sekä kestävyys- että rasitusvektoreiden pituuksien tulee olla
samat segmenteittäin nollarivien karsimisen jälkeen.
(tarvitaan vauriotapausten
indeksien poiminnassa)
Käyttöasteet, kun nollarivit mukana:
Käyttöasteet:
4
MEd_seg :=
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Käyttöasteet:
Leikkauslommahduskestävyys:
Pienennystekijä:
hw
il
æ V Edil ö
ç
÷
ç V bw.Rd ÷
il ø
è
37 (55)
Ratio_V :=
è
3
¾¾¾¾¾¾¾
®
fy× hw× t w ö
÷
ø
0.514
0.501
(
max Ratio_V
)
il
=
æ aplilö
2
è øn
é hw ù
4.00 + 5.34× ê
<1
ú if
a
hw
ê æè plilöø ú
nû
ë
V bw.Rd := ç χw ×
il
il
æ
æ apl
29.12.2014
ö
2
è ilø n
é hw ù
³1
ú if
hw
ê æè aplilöø ú
nû
ë
apl := b 2
2
5.34 + 4.00× ê
t w× 37.4× ε × kτ
il
t
n
t ¬
1.37
χw :=
il
0.7 + λ _w
il
il
λ _w :=
kτ :=
il
Leikkauslommahduskerroin:
Muunnettu hoikkuus
jäykistetylle uumalle:
apl := a1
1
Levykentän pituus:
for n Î 1 .. M
il := 1 .. 2
Levykenttien indeksit:
Leikkauslommahduskestävyys
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
j :=
i
bin
i
i
upper_SM - lower_SM
è
n
i
i
i
bin
i
i
i
upper_RM - lower_RM
è
æ Mb.R i ö ö
÷÷
è MN× m ø ø
int_RM := lower_RM + hh_RM × j
i
hh_RM :=
i
æ
upper_RM := ceilç maxç
i
int_SM := lower_SM + hh_SM × j
i
hh_SM :=
i
t
t ¬n
for n Î 1 .. bin
æ MEd_segi ö ö
÷÷
è MN× m ø ø
upper_SM := ceilç maxç
æ
Taivutusmomentti
bin := 60
38 (55)
i
è
æ
è
æ
i
i
ö
÷
MN× m ø
i
MEd_seg
i
ö
÷
MN× m ø
Mb.R
æ M b.Ri ö ö
÷÷
è MN× m ø ø
H_RM := histç int_RM ,
i
è
æ
lower_RM := floor ç minç
i
è
29.12.2014
æ M Ed_segi ö ö
÷÷
è MN× m ø ø
H_SM := hist ç int_SM ,
i
æ
lower_SM := floor ç minç
B7.1 Histogrammit rasitukselle ja kestävyydelle
B7 Luotettavuus
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
3
3
3
8´ 10
6´ 10
4´ 10
2´ 10
3
3
3
3
8´ 10
6´ 10
4´ 10
2´ 10
0
4
1´ 10
0
3
0
0
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
50
50
39 (55)
MNm
100
Momentti, S ja R
MNm
100
Momentti, S ja R, seg1
150
150
S, seg1
S, seg2
S, seg3
S, seg4
R, seg1
R, seg2
R, seg3
R, seg4
S
R
200
200
29.12.2014
æ
æ V Edil ö ö
÷÷
è MN ø ø
il
bin
il
il
upper_SV - lower_SV
il
æ
il
bin
il
0
3
2´ 10
3
4´ 10
3
6´ 10
8´ 10
3
4
1´ 10
il
il
0
il
10
40 (55)
MN
20
30
è
æ
è
æ
il
il
ö
÷
MN ø
il
V Ed
29.12.2014
S
R
40
MN
il
V bw.Rd
ö
÷
ø
æ V bw.Rdil ö ö
÷÷
è MN ø ø
H_RV := hist ç int_RV ,
il
è
æ
æ V Edil ö ö
÷÷
è MN ø ø
lower_RV := floor ç minç
il
è
æ
H_SV := hist ç int_SV ,
il
lower_SV := floor ç minç
Leikkausvoima, S ja R, x=0
il
upper_RV - lower_RV
int_RV := lower_RV + hh_RV × j
il
hh_RV :=
è
il
æ V bw.Rdil ö ö
÷÷
è MN ø ø
upper_RV := ceilç maxç
il
int_SV := lower_SV + hh_SV × j
il
hh_SV :=
è
upper_SV := ceilç maxç
il
Leikkausvoima
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
0
10
30
S, x=0
S, x=L
R, x=0
R, x=L
40
29.12.2014
t
n
t ¬0
for n Î 1 .. M
Failures := Failures0
Failures0 :=
41 (55)
Tämän jälkeen muutetaan 'Failures' -vektorin alkion n arvoksi 1 aina kun käyttöaste ylittyy.
Luodaan ensin oikeanpituinen
nollavektori:
Luodaan 'Failures' -vektori, jonka alkio n saa arvon 1, jos yksikin käyttöaste ylittyy tapauksella n.
Muussa tapauksessa kyseisen alkion arvo on 0.
Vaurioitumistodennäköisyys
MN
20
Leikkausvoima, S ja R
B7.2 Luotettavuuden mittarit
0
2´ 10
3
4´ 10
3
6´ 10
3
8´ 10
3
1´ 10
4
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Pf :=
Failures
n
Failures ¬
for n Î 1 .. M
for il Î 1 .. 2
Failures
n
Failures ¬
å Failures
M
t
ind
n
¬ n if Failures = 1
n
n
)n ³ 1
³1
otherwise
)
il n
otherwise
i
Failure_cases =
42 (55)
...
50110
5
39705
4
27938
2
3
26463
1
1
Pf = 0.0001
Failures
(
n
1 if Ratio_V
Failures
ind ¬ ( ind + 1 ) if Failures = 1
t
for n Î 1 .. M
ind := 1
(
1 if Ratio0_M
ö
iø
29.12.2014
Vaurioitumistapaukset voidaan myös erotella murtotavan mukaan, tässä kiepahdukseen ja
lommahdukseen.
Failure_cases :=
è
for n Î 1 .. lengthæ M b.R
for i Î 1 .. 4
å Failures = 10
Failures :=
Failures :=
Poimitaan vielä vaurioitumistapausten indeksit omaan vektoriinsa:
Koko palkin vaurioitumistodennäköisyys:
Vaurioitumistapausten
lukumäärä:
Tarkistetaan leikkauslommahduksen käyttöasteet:
Tarkistetaan käyttöasteet
kiepahdukselle segmenteittäin:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Pf_M :=
å Failures_M
n
Failures_M ¬
Failures_M
M
Pelkät lommahdukset:
t
ind
n
¬ n if Failures_M = 1
n
Failures_V
n
Failures_V ¬
for n Î 1 .. M
for il Î 1 .. 2
43 (55)
Failures_V :=
39705
50110
...
4
5
n
otherwise
)n ³ 1
27938
3
il
26463
2
1
1
Failures_V
(
)n ³ 1
otherwise
1 if Ratio_V
Failure_cases_M =
n
i
29.12.2014
Pf_M = 0.0001
Failures_M
1 if Ratio0_M
(
ö
iø
ind ¬ ( ind + 1 ) if Failures_M = 1
t
for n Î 1 .. M
Failures_V := Failures0
Failure_cases_M :=
ind := 1
è
for n Î 1 .. lengthæ M b.R
for i Î 1 .. 4
å Failures_M = 10
Failures_M :=
Failures_M := Failures0
Poimitaan vielä vaurioitumistapausten indeksit omaan vektoriinsa:
Pelkät kiepahdukset:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Pf_V :=
M
å Failures_V
å Failures_V = 0
t
ind
n
¬ n if Failures_V = 1
n
Failure_cases_V = 0
ind ¬ ( ind + 1 ) if Failures_V = 1
t
for n Î 1 .. M
Pf_V = 0
:=
Otsikkorivi:
Î ..
44 (55)
"Case"
æ
ö
ç
÷
"n_br"
ç
÷
"K1"
ç
÷
ç
÷
"K2"
ç
÷
"K3"
ç
÷
Labels := ç "Ratio M, seg1" ÷
ç "Ratio M, seg2" ÷
ç
÷
ç "Ratio M, seg3" ÷
ç "Ratio M, seg4" ÷
ç "Ratio V, x=0 " ÷
ç
÷
è "Ratio V, x=L " ø
Muodostetaan taulukko vaurioitumistapauksista, joka sisältää tapausten indeksit, tukien
laskentajäykkyydet sekä käyttöasteet kiepahdukselle ja lommahdukselle.
Yhteenveto vauriotapauksista
Failure_cases_V :=
ind := 1
Poimitaan vielä vaurioitumistapausten indeksit omaan vektoriinsa:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
29.12.2014
1000
1.016
0.337
0.377
0
0.259
0.26
"K1"
"K2"
"K3"
4
5
6 "Ratio M, seg1"
7 "Ratio M, seg2"
8 "Ratio M, seg3"
9 "Ratio M, seg4"
10 "Ratio V, x=0 "
11 "Ratio V, x=L "
3
0.358
0.352
0
0.391
1.107
0.456
1000
0
1000
2
27938
45 (55)
Määritetään varmuusmarginaalit Z taivutusmomentille ja leikkausvoimalle.
1000
0
2
3
26463
"n_br"
2
2
1
if k = 5
4
T
FAIL_CONCL.xls
...
0.237
0
0
0.317
1.248
1000
0
0
1
39705
if 10 £ k £ 11
if 6 £ k £ 9
29.12.2014
Fail_concl
n- 1
n- 1
(
k- 5)
Failure_cases
Ratio_V
(
k- 9)
Failure_cases
otherwise
Ratio0_M
Failure_cases n-1
otherwise
K3
if k = 4
if k = 3
Failure_cases n- 1
otherwise
K2
Failure_cases n-1
otherwise
K1
if k = 2
if k = 1
Failure_cases n- 1
otherwise
nbr
n- 1
if n = 1
otherwise
Failure_cases
k
Labels
"Case"
k, n
¬
1
t
t
for n Î 1 .. length( Failure_cases ) + 1
for k Î 1 .. 11
Cornell indeksi βC
Fail_concl =
Fail_concl :=
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Var muusmarginaali Z:
Taivutusmomentti
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
46 (55)
15.171
16.828
87.76
106.45
16.892
× MN× m
ö=
iø
17.382
è
stdevæ ZM
86.84
× MN× m
ö=
iø
105.154
è
meanæ ZM
ZM := M b.R - M Ed_seg
i
i
i
29.12.2014
3
3
3
3
8´ 10
6´ 10
4´ 10
2´ 10
50
47 (55)
MNm
100
150
3
3
3
0
2´ 10
3
2´ 10
0
4´ 10
3
4´ 10
0
6´ 10
3
Simulation
Normal fit
3
0
50
50
100
48 (55)
MNm
100
Z, Momentti, seg4
8´ 10
0
Z, Momentti, seg2
0
Z, Momentti, seg3
MNm
150
3
3
3
3
MNm
100
2´ 10
4´ 10
6´ 10
6´ 10
50
Simulation
Normal fit
8´ 10
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
3
0
Z, Momentti, seg1
29.12.2014
8´ 10
0
4
1´ 10
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
150
Simulation
Normal fit
150
Simulation
Normal fit
29.12.2014
3
3
3
3
8´ 10
6´ 10
4´ 10
2´ 10
0
Var muusmarginaali Z:
Leikkausvoima
Vaurioitumistodennäköisyys
Cornell indeksin avulla:
Cornell indeksit:
Taivutusmomentti
0
4
1´ 10
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
50
iø
(
(
))
150
49 (55)
22.073
il
× MN
ö=
ilø
22.073
è
meanæ ZV
il
il
ZV := V bw.Rd - V Ed
)
-7
min βCM = 5.141
(
7.017
5.215
5.141
6.05
βCM =
i
Z, seg1
Z, seg2
Z, seg3
Z, seg4
2.185
2.176
è
stdevæ ZV
× MN
ö=
ilø
Pf_Mβc = 1.367 ´ 10
Pf_Mβc := pnormé- min βCM , 0 , 1ù
ë
û
è
meanæ ZM ö
è iø
βCM :=
i
stdevæ ZM ö
MNm
100
Z, Momentti
29.12.2014
0
3
2´ 10
3
4´ 10
3
6´ 10
3
8´ 10
0
3
2´ 10
3
4´ 10
3
6´ 10
3
8´ 10
0
0
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
MN
20
10
50 (55)
MN
20
Z, Leikkausvoima, x=L
10
Z, Leikkausvoima, x=0
30
Simulation
Normal fit
30
Simulation
Normal fit
29.12.2014
0
10
Vaurioitumistodennäköisyys
Cornell indeksin avulla:
Koko palkin Cornell indeksi:
Vaurioitumistodennäköisyys
Cornell -indeksin avulla:
Cornell indeksit:
Leikkausvoima
0
2´ 10
3
4´ 10
3
6´ 10
3
8´ 10
3
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
ilø
(
(
))
(
(
)
(
51 (55)
(
)
-7
Pf_βc := pnorm -βC , 0 , 1 = 1.367 ´ 10
))
βC = 5.141
Pf_Vβc = 2.64804080202489360 ´ 10
βC := min min βCM , min βCV
Tuki 2, sijainti:
ubr2 :=
æ
è
è
t
æ
æ
è
è
Failure_cases n
è
è
×
1
×
1
uE =
ufy =
ö , 0 , 1ö
÷
ø
ubr1 =
ö , 0 , 1ö
÷
ø
ö
÷ , 0 , 1÷
N ø
ø
ö
÷ , 0 , 1÷
ø
ø
2ö
2ö
N
mm
mm
×
Failure_cases n m ÷
ø
for n Î 1 .. length( Failure_cases )
t
n
t ¬ qnormæç Cbr1 æç br1
for n Î 1 .. length( Failure_cases )
n
t ¬ qnormç CE ç E
×
Failure_cases n
for n Î 1 .. length( Failure_cases)
t
æ
t ¬ qnormç Cfyç fy
n
for n Î 1 .. length( Failure_cases )
-0.433
0.827
0.981
...
2
3
4
5
...
5
-0.38
0.773
2
3
- 24
Tuki 3, sijainti:
ubr3 :=
è
è
t
n
è
52 (55)
è
t ¬ qnormæç Cbr3 æç br3
1
ubr2 =
ubr3 =
ö , 0 , 1ö
÷
ø
Failure_cases n m ÷
ø
×
Failure_cases n m ÷
ø
for n Î 1 .. length( Failure_cases )
t
n
t ¬ qnormæç Cbr2 æç br2
0.222
...
5
-0.165
1.362
0.604
-0.938
1
2
3
4
1
0.395
4
0.358
3
2
1
3.816
1
...
0.946
0.331
1
1
0.048
-1.291
4
0.345
2
3
-0.866
1
1
0.131
1
29.12.2014
1
5
)
ubr1 :=
uE :=
ufy :=
4
(
Tuki 1, sijainti:
Kimmokerroin:
Myötölujuus:
Määritetään histogrammipohjainen Hasofer-Lind indeksi muuntamalla perusmuuttujat
standardiavaruuteen vauriotapauksissa.
10.104
min βCV = 10.104
Z, x=0
Z, x=L
Hasofer-Lind indeksi βHL
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
10.146
βCV =
il
30
Pf_Vβc := pnormé- min βCV , 0 , 1ù
ë
û
è
meanæ ZV ö
è ilø
βCV :=
il
stdevæ ZV ö
MN
20
Z, Leikkausvoima
29.12.2014
uK3 :=
Tuki 3, jäykkyys:
ug0 :=
uK2 :=
Tuki 2, jäykkyys:
Oma paino:
uK1 :=
Tuki 1, jäykkyys:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
( (
( (
Failure_cases n
( (
Failure_cases n
t
n
è
m
ö , 0 , 1ö
÷
÷
ø
) , 0 , 1)
) , 0 , 1)
) , 0 , 1)
Failure_cases n MN ø
53 (55)
è
t ¬ qnormæç Cg0 æç g0
×
Failure_cases n
for n Î 1 .. length(Failure_cases )
t
n
t ¬ qnorm CK K3_lhs
for n Î 1 .. length( Failure_cases)
t
n
t ¬ qnorm CK K2_lhs
for n Î 1 .. length( Failure_cases)
t
n
t ¬ qnorm CK K1_lhs
for n Î 1 .. length( Failure_cases)
ug0 =
uK3 =
uK2 =
uK1 =
...
5
-3.421
...
3
4
5
-2.366
-2.377
-2.473
...
2
3
4
5
0.299
1.112
0.885
...
2
3
4
5
0.969
-0.921
-1.281
0.833
...
1
2
3
4
5
1
-0.184
1
1
0.412
1
1
0.523
-2.065
2
-2.737
1
1
-0.938
4
29.12.2014
uQ1 :=
uq1 :=
uG1 :=
è
è
è
è
t
è
1
×
m
1
2.424
...
5
2.584
3
4
3.088
2
54 (55)
2.384
1
...
1
0.644
5
3
4
1.405
-0.203
2
0.233
1
...
1
0.405
5
3
4
0.337
-2.621
2
0.419
1
...
5
1
-0.015
4
0.431
-0.195
3
T
n := 1 .. length( Failure_cases)
uQ1 =
ö , 0 , 1ö
÷
÷
ø
Failure_cases n MN ø
×
uq1 =
ö , 0 , 1ö
÷
÷
ø
uG1 =
1
-0.237
2
1
29.12.2014
u := æ ufy uE ubr1 ubr2 ubr3 uK1 uK2 uK3 ug0 ug1 uG1 uq1 uQ1 ö
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nø
è n n
è
t ¬ qnormæç CQ1æç Q 1
n
×
ug1 =
ö , 0 , 1ö
÷
÷
ø
ö , 0 , 1ö
÷
÷
ø
Failure_cases n MN ø
for n Î 1 .. length( Failure_cases)
t
è
t ¬ qnormæç Cq1 æç q1
n
m
Failure_cases n MN ø
for n Î 1 .. length(Failure_cases )
è
t ¬ qnormæç CG1æç G1
n
×
Failure_cases n MN ø
for n Î 1 .. length( Failure_cases)
t
t
n
t ¬ qnormæç Cg1 æç g1
for n Î 1 .. length(Failure_cases )
Vaurioitumistapausten pisteet 13-ulotteisessa
standardiavaruudessa:
Hyötykuorma,
pistekuormat:
Hyötykuorma,
tasan jakautunut:
Pysyvä kuorma,
pistekuormat:
Muu pysyvä
ug1 :=
kuorma,
tasan jakautunut:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
Vaurioitumistodennäköisyys
Hasofer-Lind indeksin avulla:
βHL := min( OP)
Hasofer-Lind indeksi:
(
u ×u
)
55 (55)
1
4.588
5.313
5.495
...
3
4
5
5.484
2
1
29.12.2014
βHL = 4.217
OP =
-5
Pf_βHL := pnorm -βHL , 0 , 1 = 1.238 ´ 10
t
n
t ¬
T
n n
for n Î 1 .. length( Failure_cases )
OP :=
Pisteiden etäisyydet origosta:
LIITE B: Luotettavuusanalyysi
1 (5)
LIITE C: Sivuttaistukien kestävyys ja jäykkyys
LIITE C: Sivuttaistukien kestävyys
ja jäykkyys
30.10.2014
30.10.2014
E := 210GPa
Kimmokerroin:
γM0 := 1.0
Osavarmuusluvut:
s := 8m
Mmax := 90MN× m
Tukiväli:
Suurin momentti tuetussa palkissa:
2 (5)
L := 32m
Tuetun palkin jänneväli:
γM1 := 1.0
fy
ε :=
Epsilon:
C1.2 Tuetun palkin tiedot
2
235MPa
mm
fy := 355
N
Teräs S355J2
Myötölujuus:
C1.1 Materiaaliominaisuudet
H := 5000mm
ε = 0.814
Palkki on tuettu sivusuunnassa kolmella ylälaippaan kiinnitetyllä kiepahdustuella. Tukipalkit
kiinnittyvät edelleen jäykistävään tasoristikkoon. Tässä laskelmassa tarkistetaan
kiepahdustukien aksiaalinen kestävyys, ristikon taivutuskestävyys sekä määritetään tuen jäykkyys
(jousivakio). Kaikkien kolmen tuen jäykkyys oletetaan yhtä suureksi. Jäykkyys määritetään
keskituen taipuman avulla, kun muut tuet jätetään huomiotta.
C1 Lähtötiedot
LIITE C: Sivuttaistukien kestävyys
ja jäykkyys
H
M max
2x HEA400 c/c 5000mm
P := 0.02× N max
N max :=
MRd.Truss :=
Ristikon taivutuskestävyys:
γM0
Jäykistysristikon
momenttirasitus:
MEd :=
3 (5)
4
P× LTruss
3
+ 2P× × s
4
3
7
WTruss = 7.956 ´ 10 × mm
7
= 7.956 ´ 10 × mm
3
MEd = 7.92× MN× m
MRd.Truss = 28.243 × MN× m
fy× WTruss
2
c
Oletetaan kaikkien ristikolle tulevien kuormien olevan yhtä suuria P.
WTruss :=
ITruss
Ristikon taivutusvastus:
ITruss = 0.199 m
Nurjahduskestävyys:
Pienennystekijä:
Phi:
Epätarkkuustekijä:
(nurjahduskäyrä b)
Φ+
P = 0.36× MN
N b.Rd :=
χ :=
2
4 (5)
N b.Rd = 2.092× MN
Kestävyys
γM1
χ× N pl.Rd
Φ - λ_
2
1
Φ := 0.5 × éë1 + α× ( λ_ - 0.2 ) + λ_
α := 0.34
i Brace.weak× λ 1
Lcr
û
2ù
N b.Rd
P
= 0.172
Käyttöaste
N b.Rd = 2.092× MN
χ = 0.371
Φ = 1.726
λ_ = 1.427
λ 1 = 76.399
λ 1 := 93.9× ε
Hoikkuus:
λ_ :=
Lcr = 8 m
Lcr := LBrace
Nurjahduspituus:
N pl.Rd = 5.644× MN
iBrace.weak := 73.4mm
Muunnettu hoikkuus:
4
ABrace = 1.59 ´ 10 × mm
2
30.10.2014
= 0.28
Jäyhyyssäde:
Rasitus
Ristikon jäyhyysmomentti:
4
2
é
c ù
ITruss := 2 × êIChord.weak + AChord× æç ö÷ ú
ë
è2ø û
4
IChord.weak := 8564 × 10 mm
Paarteen jäyhyysmomentti:
4
AChord := 15898mm
Paarteen poikkipinta-ala:
2
Nurjahduskestävyys
LTruss := 40m
Jänneväli:
N pl.Rd := ABrace× fy
Poikkileikkauksen kestävyys:
ABrace := AChord
Tukipalkin poikkipinta-ala:
c := 5000mm
LBrace := 8m
Paarteiden keskiöetäisyys:
MRd.Truss
MEd
Käyttöaste
Restraint_profile := Chord_profile = "HEA400"
MRd.Truss = 28.243 × MN× m
Kestävyys
Tukipalkin pituus:
Profiili:
C2.2 Tukipalkki
MEd = 7.92× MN× m
Rasitus
LIITE C: Sivuttaistukien kestävyys
ja jäykkyys
Chord_profile := "HEA400"
P = 0.36× MN
N max = 18× MN
30.10.2014
Paarteiden profiili:
Ristikko oletetaan vapaasti tuetuksi tason suunnassa.
C2.1Jäykistysristikko
C2 Kestävyys
Tuen kuormitus:
= 2% laipan
puristusvoimasta
Laipan puristusvoima:
LIITE C: Sivuttaistukien kestävyys
ja jäykkyys
Tuen jousivakio:
d
P
5 (5)
K = 29.139×
m
MN
d = 12.355 × mm
d := dbend + daxial
Kokonaismuodonmuutos:
K :=
dbend = 11.492× mm
3
P× LTruss
dbend :=
48× E× ITruss
Ristikon taipuma:
Kiepahdustuen aksiaalinen:
muodonmuutos
daxial = 0.863× mm
30.10.2014
P× LBrace
daxial :=
E× ABrace
C3 Jäykkyys
LIITE C: Sivuttaistukien kestävyys
ja jäykkyys