1. No category

f (n )
n
8. Symmetrisistä operaattoreista
Rajoitettu operaattori. [2, §10; 10.17–10.22]
Olkoot H Hilbertin avaruus ja A : H → H jatkuva lineaarikuvaus (joita tässä yhteydessä kutsuttakoon operaattoreiksi kuten monisteessa [2, §10]). Operaattori A on
hermiittinen, jos on voimassa
(Ax|y) = (x|Ay) kaikille x ∈ H ja y ∈ H.
(1)
Suljetun kuvaajan lauseen [2, lause 19.17] seurauksena saatavan Hellingerin ja
Toeplitzin lauseen [2, lause 19.18] nojalla hermiittistä operaattoria ei tarvitse olettaa
jatkuvaksi; jatkuvuus seuraa hermiittisyysehdosta (1) ja siitä, että T on määritelty
kaikkialla Hilbertin avaruudessa.
Operaattorin A adjungaatti on operaattori A∗ , jolle on voimassa
(A∗ x|y) = (x|Ay) kaikille x ∈ H ja y ∈ H.
(2)
Adjungaatin määritelmästä seuraa välittömästi, että operaattori A on hermiittinen, jos ja vain jos sen adjungaatille on A∗ = A.
Rajoittamaton operaattori. [1, II.6], [6, VII.2–3], [5, VII.2], [3, VIII.1]
Seuraavaksi laajennetaan operaattorin käsitettä. Hilbertin avaruuden H rajoittamaton operaattori T on lineaarikuvaus T : D → H, jonka määrittelyjoukko D on
H:n aliavaruus.1 Syistä, jotka selviävät kohta, jatkossa määrittelyjoukon D oletetaan
olevan H:n tiheä aliavaruus. Sanotaan, että T on tiheästi määritelty.
Rajoittamaton operaattori T on symmetrinen, jos on voimassa
(T x|y) = (x|T y) kaikille x ∈ D ja y ∈ D.
(3)
Rajoittamattoman operaattorin T adjungaatin T ∗ määritteleminen vaatii valmisteluja. Asetetaan
(4)
D∗ := {x ∈ H | lineaaarimuoto y 7→ (T y|x), D → K, on jatkuva}.
Kun x ∈ D∗ , voidaan lineaaarimuoto y 7→ (T y|x) jatkaa sulkeumassa D = H (tiheys!)
määritellyksi jatkuvaksi lineaaarimuodoksi f ∈ H ∗ . Fréchet’n ja Rieszin esityslauseen
nojalla on olemassa yksi ja vain yksi z ∈ H siten, että f (y) = (y|z). Rajoittamattoman operaattorin T adjungaatti T ∗ määritellään nyt asettamalla T ∗ x := z, t.s.
(y|T ∗ x) = (T y|x) kaikille x ∈ D∗ ja y ∈ D.
(5)
Määritelmä 8.1. Rajoittamaton operaattori T on itseadjungoitu, jos T ∗ = T ,
t.s. operaattoreilla T ∗ ja T on sama määrittelyjoukko, D∗ = D, ja ehto (5) toteutuu.
Rajoittamattomalle operaattorille symmetrisyys (3) ja itseadjungoituneisuus T ∗ =
T eivät tarkoita samaa. On kuitenkin voimassa: symmetrisen rajoittamattoman operaattorin T adjungaatti T ∗ on T :n laajennus, t.s. D∗ ⊃ D ja T ∗ |D = T . Nimittäin,
kun x ∈ D, ehdosta (3) saadaan |(T y|x)| = |(y|T x)| ≤ kyk kT xk, joten lineaarimuoto y 7→ (T y|x) jatkuva. Siis x ∈ D∗ , joten D ⊂ D∗ . Symmetriaehdon (3) nojalla
(T x|y) = (T ∗ x|y) kaikille y ∈ D. Koska D on tiheä, on T x = T ∗ x.
1Termin
operaattori varaaminen tarkoittamaan rajoitettua lineaarikuvausta on epäloogista, ra••
joittamaton operaattori kun voi olla rajoitettu _.
2
Esimerkkejä. [5, VII.2], [6, VII.3], [3, VIII.2]
Esimerkki 8.2. Olkoot H := L2 ([0, 1]), D := {x ∈ C1 ([0, 1]) | x(0) = x(1) = 0}
ja T x = i x0 , missä x0 on funktion x derivaatta, t.s. T = i dtd .
Kun x ∈ D ja y ∈ D, saadaan osittaisintegroinnilla
Z 1
Z 1
1
0
i x (t) y(t) dt = i x(t) y(t) −
(T x|y) =
i x(t) y 0 (t) dt
0
0
0
Z 1
x(t) i y 0 (t) dt = (x|T y).
=
0
Rajoittamaton operaattori T (joka tässä tapauksessa on nimensä mukainen) on siis
symmetrinen.
Esimerkki 8.3. Jatketaan rajoittamattoman operaattorin T = i dtd : D → H tarkastelua. Olkoon AC([0, 1]) välillä [0, 1] määriteltyjen absoluuttisesti jatkuvien funktioiden joukko. Absoluuttisesti jatkuvista funktioista x on syytä muistaa, että sel0
laisella on derivaatta x0 (t) melkein kaikille
R t 0 t ∈ [0, 1], x on integroituva ja analyysin
peruslause on voimassa: x(t) − x(0) = 0 x (τ ) dτ .
Osoitetaan, että adjungaatin T ∗ määrittelyjoukolle D∗ on
D∗ = {x ∈ AC([0, 1]) | x0 ∈ L2 ([0, 1])},
ja T ∗ x = i x0 , kun x ∈ D∗ .
Rt
Olkoot x ∈ D∗ ja y := T ∗ x. Asetetaan F (t) := 0 y(τ ) dτ . Integraalina esitetty
funktio on absoluuttisesti jatkuva (seuraa MIT:sta) ja F 0 (t) = y(t) melkein kaikille
t ∈ [0, 1] (todistettanee Ranalyysissä). Osittaisintegroinnin toimivus absoluuttisesti
jatkuville funktioille on helppo osoittaa. Sen avulla saadaan: Kun z ∈ D, on
Z 1
∗
0
(T z|x) = (z|T x) = (z|y) = (z|F ) =
z(t) F 0 (t) dt
0
Z 1
=−
z 0 (t) F (t) dt = i (T z|F ) = (T z| − i F ).
0
Siis x + i F ⊥ T (D). Osoitetaan, että T (D)⊥ = h1i. Ensinnäkin, T :n ja D:n määritelmistä seuraa helposti, että
R1
T (D) = w ∈ C([0, 1]) 0 w(t) dt = 0 .
Tästä saadaan
R1
T (D) = w ∈ L2 ([0, 1]) 0 w(t) dt = 0 = h1i⊥ ,
⊥
joten T (D)⊥ = T (D) = h1i⊥⊥ = h1i.
Koska x + i F ⊥ T (D), on olemassa vakio a ∈ K siten, että x + i F = a. Tällöin
x = −i F + a on absoluuttisesti jatkuva ja x0 = −i F 0 , joten i x0 = F 0 = y.
Jos taas x on absoluuttisesti jatkuva ja x0 ∈ L2 ([0, 1]), saadaan osittaisintegroinnilla (kuten edellä) (T z|x) = (z|i x0 ). Siis x ∈ D∗ .
Huomautuksia 8.4. a) Hilbertin avaruudessa kaikkialla määritellylle rajoitetulle operaattorille A on A∗∗ := (A∗ )∗ = A. Vastaava ei päde rajoittamattomiin operaattoreihin. Voi jopa olla D∗ = {0}. Jos kuitenkin myös adjungaatti T ∗ on tiheästi
määritelty, on T ∗∗ T :n laajennus.
3
b) Sanotaan, että rajoittamaton operaattori T : D → H on suljettu, jos ehdoista
(xn )∞
n=1 ⊂ D, xn → x ∈ H ja T xn → y ∈ H, kun n → ∞, seuraa x ∈ D ja T x = y.
Yhtäpitävää tälle on, että T :n kuvaaja Gr(T ) = {(x, T x) | x ∈ D} on suljettu.
Suljetun kuvaajan lauseesta [2, lause 19.17] kannattaa huomata, että siinä kuvauksen T määrittelyjoukon oletetaan olevan koko avaruus (nyt siis D = H). Kun
tästä oletuksesta luovutaan, ei suljetun operaattorin tarvitse olla rajoitettu. Esimerkiksi tiheästi määritellyn rajoittamattoman operaattorin T : D → H adjungaatti
T ∗ : D∗ → H on aina suljettu. Erityisesti siis itseadjungoitu rajoittamaton operaattori
on suljettu.
c) Edellisten esimerkkien 8.2 ja 8.3 rajoittamattomalle operaattorille T = i dtd voidaan
osoittaa, että T ∗ :n adjungaatille T ∗∗ : D∗∗ → H on
D∗∗ = {x ∈ AC([0, 1]) | x0 ∈ L2 ([0, 1]) ja x(0) = x(1) = 0},
ja T ∗∗ x = i x0 , kun x ∈ D∗∗ . Todistus menee samaan tapaan kuin esimerkissä 8.3.
Koska D∗∗ 6= D∗ , ei T ∗ ole itseadjungoitu. Itse asiassa T ∗ ei ole symmetrinen, koska
T ∗∗ ei ole T ∗ :n laajennus.
Voidaan osoittaa (ks. [5, VII.2]), että rajoittamattomalla operaattorilla T = i dtd
on seuraavat itseadjungoidut laajennukset: Jokaiselle λ ∈ C, |λ| = 1, asetetaan
Dλ := {x ∈ AC([0, 1]) | x0 ∈ L2 ([0, 1]) ja x(0) = λ x(1)},
ja Sλ x := i x0 , kun x ∈ Dλ . Tällöin jokainen Sλ on T :n itseadjungoitu laajennus.
Kirjallisuutta
[1] Haı̈m Brezis : Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2e tirage, Mathématiques appliqueés pour la maı̂trise, Dunod, 1999. Première édition, Masson, 1983. Engl. käännös Functional
analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, 2011.
[2] Lauri Kahanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua – osa II, Jyväskylän yliopisto,
Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 2004.
[3] Michael Reed ja Barry Simon: Methods of modern mathematical physics I: Functional
analysis, Academic Press, 1972.
[4] Michael Reed ja Barry Simon: Methods of modern mathematical physics II: Fourier analysis, self-adjointness, Academic Press, 1975.
[5] Dirk Werner: Funktionalanalysis, 4., überarbeitete auflage, Springer, 2002.
[6] Kôsaku Yosida: Functional analysis, neljäs laitos, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band
123, Springer-Verlag, 1974. Kirjan kuudes laitos vuodelta 1980 uudelleenjulkaistu sarjassa Classics in Mathematics, 1995.