Gripenberg/Karvonen MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Gripenberg/Karvonen
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
Tentti ja välikokeiden uusinta 5.5.2015
Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot !
Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
Kirjoita selvästi jokaiseen paperiin minkä kokeen suoritat.
Tentin tehtävät ovat 1, 2, 4, 5 ja 8.
Uusintavälikokeiden tehtävät ovat
1. vk: 1–4,
2. vk: 5–8.
1.
Osoita induktiolla, että
1 · (1!) + 2 · (2!) + 3 · (3!) + . . . + n · (n!) = (n + 1)! − 1,
n ≥ 1.
2.
(a) Osoita, että jos f : A → B ja g : B → C ovat injektioita ja h = g ◦ f on yhdistetty
funktio h(x) = g(f (x)) niin h on injektio: A → C.
(b) Jos f : A → B ja g : B → C ovat funktioita ja h = g ◦ f on yhdistetty funktio
h(x) = g(f (x)) niin voiko h olla injektio vaikka g ei ole injektio? Perustele!
3.
(a) Selitä miksi oletuksesta f ∈ O(n2 ) seuraa f ∈ O(n3 ).
(b) Piirrä suuntaamaton verkko [V, E] missä V = {1, 2, 3, 4, 5} siten, että |E| on mahdollisimman pieni ja lause ∃x ∈ V (P (x, x)) AND ∃y ∈ V (∀x ∈ V (x 6= y → P (x, y))) on
tosi missä P (x, y) on tosi jos ja vain jos solmujen x ja y välillä on kaari y.
4.
(a) Monellako tavalla voidaan järjestää kirjaimet A, B, C, D, E, F , G ja H siten, että A
tulee ennen B:tä ja B tulee ennen C:tä?
(b) Uurnassa on 15 (numeroitua) palloa, joista 7 ovat punaisia ja 8 keltaisia. Monellako
tavalla voidaan uurnasta poimia 3 punaista ja 4 keltaista palloa (ilman takaisinpanoa)?
Selitä (lyhyesti) miten olet päätellyt. Vastauksessasi saa numeroiden lisäksi olla ·, !, (, ) ja /
mutta ei esimerkiksi binomikertoimia.
5.
Lukujen 69 ja 31 suurin yhteinen tekijä on 1 koska Eukleideen algoritmin avulla saamme
69 = 2 · 31 + 7
31 = 4 · 7 + 3
7 = 2 · 3 + 1,
3 = 3 · 1 + 0.
Määritä tämän laskun avulla [31]−1
69 .
6.
(a) H on joukon {1, 2, 3, 4} permutaatiot {(1), (2 4), (1 3), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)} (esitettyinä syklinotaatiolla). Mistä nähdään, ettei H ole ryhmä missä laskuoperaatio on
funktioiden yhdistäminen?
(b) Mistä nähdään, ettei polynomi
1 8
2
t + 3t2 t3 + t8
6 1
ole jonkin ryhmän sykli-indeksi (sen toiminnassa jossain joukossa X)?
7.
(a) Määritä alla olevan verkon naapurimatriisi.
(b) Määritä alla olevan verkon kaikki yksinkertaiset polut solmusta 1 solmuun 7.
3
1
5
7
2
6
4
8. Määritä alla olevan verkon [V, E] minimaalinen virittävä puu käyttämällä algoritmia, joka
takaa optimaalisen tuloksen (mutta sinun ei tarvitse osoittaa, että algoritmi antaa optimaalisen tuloksen). Selitä miten ole menetellyt esimerkiksi kirjoittamalla missä järjestyksessä olet
lisännyt kaareja.
5
3
2 7
11
14
4
1
3 12
10
6
1
5
8
8
9
6
2
7
11
Seuraavat painot saattavat olla epäselvästi esitettyina verkossa: w({1, 6}) = 8, w({2, 5}) = 14,
w({2, 6}) = 3, w({3, 6}) = 1 ja w({3, 7}) = 12.