Gripenberg/Karvonen MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 5.5.2015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa! Kirjoita selvästi jokaiseen paperiin minkä kokeen suoritat. Tentin tehtävät ovat 1, 2, 4, 5 ja 8. Uusintavälikokeiden tehtävät ovat 1. vk: 1–4, 2. vk: 5–8. 1. Osoita induktiolla, että 1 · (1!) + 2 · (2!) + 3 · (3!) + . . . + n · (n!) = (n + 1)! − 1, n ≥ 1. 2. (a) Osoita, että jos f : A → B ja g : B → C ovat injektioita ja h = g ◦ f on yhdistetty funktio h(x) = g(f (x)) niin h on injektio: A → C. (b) Jos f : A → B ja g : B → C ovat funktioita ja h = g ◦ f on yhdistetty funktio h(x) = g(f (x)) niin voiko h olla injektio vaikka g ei ole injektio? Perustele! 3. (a) Selitä miksi oletuksesta f ∈ O(n2 ) seuraa f ∈ O(n3 ). (b) Piirrä suuntaamaton verkko [V, E] missä V = {1, 2, 3, 4, 5} siten, että |E| on mahdollisimman pieni ja lause ∃x ∈ V (P (x, x)) AND ∃y ∈ V (∀x ∈ V (x 6= y → P (x, y))) on tosi missä P (x, y) on tosi jos ja vain jos solmujen x ja y välillä on kaari y. 4. (a) Monellako tavalla voidaan järjestää kirjaimet A, B, C, D, E, F , G ja H siten, että A tulee ennen B:tä ja B tulee ennen C:tä? (b) Uurnassa on 15 (numeroitua) palloa, joista 7 ovat punaisia ja 8 keltaisia. Monellako tavalla voidaan uurnasta poimia 3 punaista ja 4 keltaista palloa (ilman takaisinpanoa)? Selitä (lyhyesti) miten olet päätellyt. Vastauksessasi saa numeroiden lisäksi olla ·, !, (, ) ja / mutta ei esimerkiksi binomikertoimia. 5. Lukujen 69 ja 31 suurin yhteinen tekijä on 1 koska Eukleideen algoritmin avulla saamme 69 = 2 · 31 + 7 31 = 4 · 7 + 3 7 = 2 · 3 + 1, 3 = 3 · 1 + 0. Määritä tämän laskun avulla [31]−1 69 . 6. (a) H on joukon {1, 2, 3, 4} permutaatiot {(1), (2 4), (1 3), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)} (esitettyinä syklinotaatiolla). Mistä nähdään, ettei H ole ryhmä missä laskuoperaatio on funktioiden yhdistäminen? (b) Mistä nähdään, ettei polynomi 1 8 2 t + 3t2 t3 + t8 6 1 ole jonkin ryhmän sykli-indeksi (sen toiminnassa jossain joukossa X)? 7. (a) Määritä alla olevan verkon naapurimatriisi. (b) Määritä alla olevan verkon kaikki yksinkertaiset polut solmusta 1 solmuun 7. 3 1 5 7 2 6 4 8. Määritä alla olevan verkon [V, E] minimaalinen virittävä puu käyttämällä algoritmia, joka takaa optimaalisen tuloksen (mutta sinun ei tarvitse osoittaa, että algoritmi antaa optimaalisen tuloksen). Selitä miten ole menetellyt esimerkiksi kirjoittamalla missä järjestyksessä olet lisännyt kaareja. 5 3 2 7 11 14 4 1 3 12 10 6 1 5 8 8 9 6 2 7 11 Seuraavat painot saattavat olla epäselvästi esitettyina verkossa: w({1, 6}) = 8, w({2, 5}) = 14, w({2, 6}) = 3, w({3, 6}) = 1 ja w({3, 7}) = 12.