Ylimääräiset harjoitukset

Matemaattiset apuneuvot I
Syksy 2015
Ylimääräinen kotiharjoitus (7)
Ei palauteta, eikä anneta pisteitä. Mutta näistä keskustellaan tiistain harjoitusryhmissä ja ex temporeissa. Huomaa että vastaukset on kaikissa kysymyksissä jo annettu.
1. Käy täyttämässä MAPU I:n palautelomake osoitteessa
https://elomake.helsinki.fi/lomakkeet/54228/lomake.html
17.10. mennessä. Tästä tulee 1 kotilaskutehtävää vastaava määrä
pisteitä loppuarvosanaan!
(Muista tehtävistä tässä ei tule pisteitä)
2. Näytä että
Z ∞
1
a)
dx = π/2 (muista arctan:in derivaatta. Mikä on arctan ∞, ts.
x2 + 1
0
millä kulmalla tan t = ∞?)
Z 1
2
(x2 + 1)1/4 xdx = (25/4 − 1) sijoituksella t = x2 + 1.
b)
5
0
3. Osoita että
Z
∞
1
dx = ln 2
+1
0
Sijoita ensin ex = t, ja jaa syntyvä rationaalilauseke osamurtoihin.
ex
4. Yksinkertainen esimerkki integraalista mikä ei ole laskettavissa alkeisfunktioiden avulla on ns. virhefunktio (error function). Sitä tarvitaan usein todennäköisyyslaskennassa ja statistiikassa. Se määritellään integraalina
Z x
2
2
erf(x) = √
e−t dt
π 0
Johda virhefunktion Taylorin sarja käyttäen hyväksesi eksponenttifunktion
Taylorin sarjaa. Mikä on sarjan suppenemissäde? Arvioi mikä on erf(1) muutaman ensimmäisen sarjan termin avulla.
Vastaus on:
∞
2 X (−1)n x2n+1
2
x3 x5 x7
x−
erf(x) = √
=√
+
−
+ ...
3
10 42
π n=0 (2n + 1)n!
π
5. Olkoon meillä kohtisuora kartio, minkä
q pohjan säde on r ja korkeus h. Näytä
2
2
että kartion vaipan pinta-ala on πr 1 + hr2 . Huomaa että kartio on pyörähdyskappale.
h
r