Matemaattiset apuneuvot I Syksy 2015 Ylimääräinen kotiharjoitus (7) Ei palauteta, eikä anneta pisteitä. Mutta näistä keskustellaan tiistain harjoitusryhmissä ja ex temporeissa. Huomaa että vastaukset on kaikissa kysymyksissä jo annettu. 1. Käy täyttämässä MAPU I:n palautelomake osoitteessa https://elomake.helsinki.fi/lomakkeet/54228/lomake.html 17.10. mennessä. Tästä tulee 1 kotilaskutehtävää vastaava määrä pisteitä loppuarvosanaan! (Muista tehtävistä tässä ei tule pisteitä) 2. Näytä että Z ∞ 1 a) dx = π/2 (muista arctan:in derivaatta. Mikä on arctan ∞, ts. x2 + 1 0 millä kulmalla tan t = ∞?) Z 1 2 (x2 + 1)1/4 xdx = (25/4 − 1) sijoituksella t = x2 + 1. b) 5 0 3. Osoita että Z ∞ 1 dx = ln 2 +1 0 Sijoita ensin ex = t, ja jaa syntyvä rationaalilauseke osamurtoihin. ex 4. Yksinkertainen esimerkki integraalista mikä ei ole laskettavissa alkeisfunktioiden avulla on ns. virhefunktio (error function). Sitä tarvitaan usein todennäköisyyslaskennassa ja statistiikassa. Se määritellään integraalina Z x 2 2 erf(x) = √ e−t dt π 0 Johda virhefunktion Taylorin sarja käyttäen hyväksesi eksponenttifunktion Taylorin sarjaa. Mikä on sarjan suppenemissäde? Arvioi mikä on erf(1) muutaman ensimmäisen sarjan termin avulla. Vastaus on: ∞ 2 X (−1)n x2n+1 2 x3 x5 x7 x− erf(x) = √ =√ + − + ... 3 10 42 π n=0 (2n + 1)n! π 5. Olkoon meillä kohtisuora kartio, minkä q pohjan säde on r ja korkeus h. Näytä 2 2 että kartion vaipan pinta-ala on πr 1 + hr2 . Huomaa että kartio on pyörähdyskappale. h r