1. No category

Sähkötekniikka ja elektroniikka
Kimmo Silvonen (X)
21.9.2015
Passiiviset peruskomponentit
Luento 21.9.2015
Ï
Kondensaattori — kapasitanssi C, i =f(u), varauksen
häviämättömyyden laki eli sähkövirran määritelmä
Ï
Kela — induktanssi L, u =f(i), Faradayn induktiolaki (yksi
jännitteen määritelmistä)
Ï
Muutosilmiöt eli transienttianalyysi
Ï
Diracin deltafunktio
Ï
Eksponentiaaliset muutosilmiöt RC, RL
Ï
Vaimeneva värähtely RLC, RCC, RLL
Ï
Laplace-muunnos (ei kuulu kurssiin)
Ï
Teoriaa laajasti: Sähkötekniikka ja piiriteoria, 2009
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 2 (22)
Kela ja induktanssi L
Varastoi energiaa, mutta ei kuluta tehoa, koska ei ole vastusta
u
i
L
u
i
L
1 2
ψ = Li = N φ
wL = Li
2
dψ d(Li)
di
u = u(t) =
=
=L
vrt. u = Ri
dt
dt
dt
Z
1 t
u dt + IL0
vrt. i = Gu
i = i(t) =
L 0
Induktanssi [L] = H = Vs/A = henry
Käämivuo [ψ] = Vs = Wb = weber
Magneettivuo [φ] = Vs = Wb
IL0 = i(0) = kelan virta hetkellä t = 0, kierrosmäärä N
wL = kelaan varastoitunut energia (J)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 3 (22)
Kondensaattori ja kapasitanssi C
Ei ole vastusta; varastoi energiaa, mutta ei kuluta tehoa
u
i
C
+
C
+
C
−
C
1
q = Cu
wC = Cu2
2
dq d(Cu)
du
i=
=
=C
vrt. i = Gu
dt
dt
dt
Z
1 t
i dt + UC0
vrt. u = Ri
u=
C 0
Kapasitanssi [C] = F = As/V = faradi
Varaus [q] = As = C = coulombi
UC0 = u(0) = kondensaattorin eli konkan jännite hetkellä t = 0
wC = kondensaattoriin varautunut energia [J]
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 4 (22)
Jännite ja virta kelassa ja konkassa, yhteenveto
Varastoitunut hetkellinen energia w = w(t)
wL =
1 2
Li
2
di
uL = L
dt
du
iC = C
dt
wC =
1
Cu2
2
?
? 1Z t
iL (t) =
u dt + iL (0)
L 0
6
6
1
uC (t) =
C
t
Z
0
i dt + uC (0)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 5 (22)
Diracin deltafunktio δ(t), nopea muutosilmiö
Jännite- tai virtapiikki, korkeus ∞, leveys nolla (vrt. Laplace-muunnos)
Kelan virta tai kondensaattorin jännite katkaistaan brutaalisti:
UC
C
uL = L
di
0 − IL
≈L
≈ −∞
dt
0
iC = C
0 − UC
du
≈C
≈ −∞
dt
0
6
virtapiikki
A
U
b b
iC (t) uL (t)
t=0
?
iC
-t
t=0
|uL | = Lδ(t)
|iC | = Cδ(t)
jännitepiikki
A
K
suojaus
b((b t = 0 IL 6 uL L @
i
iL
6L 6
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 6 (22)
Ylärivi: 6. vasemmalta Schrödinger, 8. Pauli, 9. Heisenberg, 12. X
Keskirivi: 5. Dirac (keskimm.), 6. Compton, 7. de Broglie, 9. Bohr
Alarivi: 2. Planck, 3. MC (2xNP), 4. Lorentz, 5. mc2 [Solvay 1927]
7
Muutosilmiöt Circuit Transients
Transienttianalyysi
Ï
L ja C varastoivat energiaa
Ï
Energiavarastot verrannollisia virtaan (L) ja jännitteeseen (C)
Ï
Varastot eivät voi muuttua äkkijyrkästi: iL ja uC jatkuvia
Ï
Muutosilmiöt ovat eksponenttifunktioita
Ï
RC ja RL ⇒ 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Ï
LC, RLC, RCC ja RLL ⇒ 2. kertaluvun d. y.
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 8 (22)
Jännitelähteen kytkeminen Switching On
Jännite uC ja virta iL muuttuvat eksponenttikäyrää pitkin
R
E
U
A
b
b
t=0
C
R
uC
E
?
uC iL
6
qq
q
qq
AU
b
b
t=0
?
iL
L kasvava = ”kupera”
qqqq
qqqqqq
q
q
q
qq
qqq
q
q
-t
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 9 (22)
Jännitteen katkaisu Switching Off
Lähde nollataan. Huom. todellista jännitelähdettä ei saa oikosulkea!
toteaa nimimerkki ”Coke musta on!”
r
E
r
R
t = 0 Y
r H
C
uC
E
t = 0 Y
r H
?
R
?
iL
L uC iL
6
qqq
q q pienenevä = ”kovera”
qq
qqq
qqq
qqqq
qqqqqqq
q t
-
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 10 (22)
Kondensaattorin lataaminen Charging the C
Alkujännitteestä UC0 alkaen. Tulos on johdettu tuonnempana.
uR
-
R
U
A
b b
t=0
?
i
C
E
?
u
?
u
6
6
qq
qqqqqqq
E
q
qqqqqq
qq q
qqq
q
q
q qq
UC0 q q
qq
qq
q
q
q
q
qqq
q
qq
qqqqq
qqqqqq t
qqqq
-t
i
E−UC0
R
u(t ≥ 0) = E − (E − UC0 )e−t/(RC)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 11 (22)
Differentiaaliyhtälö Differential Equation
Yrite on yhtälön tunnettu ratkaisu, jonka vakioita ei vielä tunneta.
uR
t≥0:
-
R
?i
C
E
?
u
?
du
dt
−E + Ri + u = 0
←i=C
du
E = RC
+u
|
{zdt }
← u(t) = B + Ae−t/τ
|
{z
}
yrite
differentiaaliyhtalo
tai
1
E = Ri +
C
t
Z
0
i dt + u(0)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 12 (22)
Vakioiden määrittäminen Coefficients
Sijoitetaan yrite alkuperäiseen yhtälöön
E = RC
du
+ |{z}
u
dt
|{z}
− Aτ e−t/τ
B+Ae−t/τ
A
E + RC e−t/τ = B + Ae−t/τ
τ
”Munat ja jauhot”-menetelmä (mnt, jht): yhtälön on oltava voimassa
kaikilla t:n arvoilla, koska jauhoilla ei voi kompensoida
munattomuutta!
B=E
τ = RC
A saadaan Alkuehdosta (t = 0):
u(0) = UC0 = B + Ae−0/τ = B + A ⇒ A = UC0 − B
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 13 (22)
Raja-arvot Limit Values
Nollaa lähestytään miinus- tai pluspuolelta
Samanlaista merkintää käytetään matematiikassa.
i(t)
u(t)
6
i(0+ )
q6
qqqqqq
E
qq q
qqqqqqq
q
q
q
q qq
qq
qq
qq
UC0 q q
q
qqqq
qq
qq
qqq
qqqqqq
q
q q q q-t
qqqq
-t
− *
i(0 )
E−UC0
R
E − UC0
R
−
+
u(0 ) = u(0 ) = u(0) = UC0
i(0− ) = 0
i(0+ ) =
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 14 (22)
Yleinen esitysmuoto General Form
Ei tarvita differentiaaliyhtälöä — ainoastaan alku- ja loppuarvot!
Silmäile tätä kertausvaiheessa!
u(∞) = B + Ae−∞/τ = B + 0 = B
u(0) = B + Ae−0/τ = B + A
u(t) = u(∞) + [u(0) − u(∞)] e−t/τ
| {z } |
{z
}
B
A
u(t)
R
6
i(∞) = 0
qqq
qq
q
qqqqq
u(0)
u(∞)
E
?
q q q q q q q u(∞)
qqqqqq
-t
?
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 15 (22)
Aikavakio Time Constant
Määrittäminen graafisesti tai matemaattisesti on triviaalia
Silmäile tätä kertausvaiheessa!
6
A > 0, B = 0
A qq q
qqT q
qq T q q
A q T qqq
qq
qqq
e
T
qqqqqq
q
q q q q-t
T
qqqq
τ
Vino viiva on käyrän tangentti
1
≈ 0,37
e
6
B
A<0
qq
B + Ae
qq
q
qqqqq
B+A
qqqqqqqqq
qqqqq
-t
τ
1−
1
≈ 0,63
e
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 16 (22)
Induktanssin kytkeminen piiriin Switching On
Vrt. ’kondensaattorin lataaminen’
uR
U
A
- b
b
i(t) t = 0
R
E
L u(t)
?
E = uR + u = Ri + L
u(t)
6
qq E − RIL0
qqq
qq q
qq
q
qq
qq
qqq
q
qqqqqq
q q q q- t
q q q qq
i(t)
6
E/R
q
qqqqq
IL0
di
dt
qqqqqq
qqqqqqq
qqq
q
q
-t
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 17 (22)
Induktanssin tyhjentäminen Switching Off
Aluksi E:n tasavirta menee kokonaan vastuksettoman kelan läpi
R
E
i(t)
q q q q6
IL0 q q
K
A
(
b (b
t=0
?
i(t)
L R
qq
qq
qqq
qqqqq
q q q q q q- t
u(t)
?
u(t)
t
q q q q6
q
qqqqqqqqq
q
q
q
q
qq
qqq
q qqq
qq
−RIL0 q
L:n ja C:n muutosilmiöt ovat matemaattisesti samanlaisia, jos u:t ja i:t
vaihdetaan päikseen.
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 18 (22)
RC- ja RL-piirit, yhteenvetoa
Kelan TAI konkan muuttuva virta ja jännite
Tyypillisiä tapauksia, silmäile tätä kertausvaiheessa!
iL tai uC
C
uL = L didtL tai iC = C du
dt
Vakio (d.c.)
0
Lineaarisesti kasvava
positiivinen vakio
Lineaarisesti pienenevä
negatiivinen vakio
Kasvava eksponenttikäyrä
pienenevä eksponenttikäyrä
Pienenevä eksponenttikäyrä
kasvava eksponenttikäyrä
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 19 (22)
LC- ja RLC-piirit: kela JA konkka
Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö! Alinna eräs ratkaisu.
U
A
b b
t=0
R
L
C
E
Z
di 1 t
E = Ri + L +
i dt + UC0
dt C 0
di
d2 i i
0 = R + L 2 + + 0 (derivoitu)
dt
C
dt
·
¸
E
1 I(s) UC0
= RI(s) + L sI(s) +
+
s
C s
s
?
i(t)
(Laplace − muunn.)
i(t) = Ae−at sin(ωt)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 20 (22)
Eksponentiaalisesti vaimeneva sini
Eksponentiaalinen verhokäyrä
i(t) 6 qqq
q qq
qq qqq
q
qq
q
qq
q
qq
q
qq
q
qq
q
qq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qqqqqq
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqq
-t
i(t) = Ae−at sin(ωt)
Vrt. Tacoma Narrows Bridge Seattlen lähellä; sillan värähtelyä
(Youtube, 4 min. 13 s.) on simuloitu RLC-piirillä. Volgogradissa eräs
silta suljettiin 22.5.2010 vastaavan värähtelyn takia.
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 21 (22)
Osoitinlaskenta Phasor Calculus
Vaihtovirrat ja kompleksiluvut
Käsitellään kolmella seuraavalla viikolla.
Esitietoja ei vaadita.
Yksi kurssin pääaiheista, kaikki mukaan!
Ota laskin mukaan (tavallinen funktiolaskin on hyvä)!
Opit rakastetun kompleksiaritmetiikan jo ennen kuin olet läpäissyt
kurssin, esim.:
q
p
p
p
p
π
2 −1 = 1 + −1 = 1 + j = 2∠45◦ = 2 ej 4
Korota joku tuloksista toiseen, saat juuren alusen!
PS. Muista ilmoittautua laboratoriotöihin (A tai B) Oodissa!
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
21.9.2015
Page 22 (22)