1. No category

Sähkötekniikka ja elektroniikka
Kimmo Silvonen (X)
28.9.2015
Vaihtovirta ja osoitinlaskenta
Luento 28.9.2015
Ï
Sinimuotoinen virta ja jännite
Ï
Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma
Ï
Ajan vai taajuuden funktiona?
Ï
Viime viikon kytkentäilmiöt ajan funktioita
Ï
Osoitinlaskenta vain jatkuvassa tilassa!
Ï
Kompleksiluvut, summamuoto vs. kulmamuoto
Ï
Impedanssi ja admittanssi, yleistetty Ohmin laki
Ï
Opit hienon menetelmän ja laskemaan tulevan koetehtävän!
Ï
Lisätietoa: Sähkötekniikka ja piiriteoria
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 2 (22)
Keskiarvo, tehollisarvo, Average or Effective
r = rectified
u(t) 6
Up
Ueff
Ur
Uav
Ur = tasasuuntauskeskiarvo
| u| P P
q
P
@
@
@
@
@
@
@
T/2@
Ala = A
@
@ -t
T
@
Z
@
1 T
Uav =
u dt
@
T 0
@
Z T
1
1
Ur =
|u| dt = A
T 0
T
s
Z
1 T 2
u dt
U = Ueff = Urms =
T 0
root mean square
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 3 (22)
Jaksollisen aaltomuodon Fourier-sarja
koostuu sinimuotoisista osista; kuvassa nMAX = 1, 10, 50, nollataso vaihtelee
¸
∞ · sin 4nω
X
(1 − cos 4nω)
u(t) = UDC + U
cos nωt +
sin nωt
nπ
nπ
n=1
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 4 (22)
Verkkojännite, Mains AC Voltage
Tehollisarvon fysikaalinen merkitys
1A
+
230 Ω
230 V
−
AC
P = 230 W
vrt. DC
U = 230 V = Ueff
û = 325 V
upp = 650 V
Uav = 0 V
Ur = 207 V
f = 50 Hz
rad
ω = 314
s
T = 20 ms
1A
230 V
230 Ω
P = 230 W
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 5 (22)
Vertailutesti: DC vs. AC, Introduction
Voit oppia asian ytimen jo tästä, selitykset tuonnempana!
E
E = 10 V
R1
R2
R1 = 4 Ω
?
I
R2 = 2 Ω
−E + R1 I + R2 I = 0
E
I=
R1 + R2
10
I=
6
= 1,67
E = 10∠0◦ V +
R1
R1 = 4 Ω E
−
ωL = 2 Ω
L ?
I
−E + R1 I + ZI = 0
E
I=
R1 + Z
10
I=
4 + j2
p
= 5∠ − 26,6◦
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 6 (22)
Siniaalto
AC (a.c.)
u(t) 6
+ûq q q q q q q q q q
qq
−φ q q q
qq
q
qq
qq
q
−û
ωT
u(t) = û sin(ωt+φ)
2π
Uav = 0
ω = 2π f =
T
qqq
qq
qqqqqqqq
Ur =
2û
π
q
qq
qq
ωt
û
U=p
2
ω = kulmataajuus (rad/s = 1/s)
T = jaksonaika (s)
φ = (nolla)vaihekulma (◦ )
û = huippuarvo
u = u(t) = hetkellisarvo
upp = 2û huipusta huippuun (peak-to-peak)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 7 (22)
Osoitinlaskenta, Phasor Calculus
u(t) 6
+5q q q q q q q q q q
qq
◦ qq
−60q q
qq
qq
qq
−5
ωT
qq
qq
qq
qqq
q
q
qqqqq
q
qq
ωt
u(t) = 5 sin(ωt + 60◦ ) V = 5 cos(ωt − 30◦ ) V
5
U = p ∠ + 60◦ V tai U = 5∠ − 30◦ V
2
Tällä kurssilla: sinimuotoinen tehollisarvon osoitin
Usein muualla: kosinimuotoinen huippuarvon osoitin
Ï
Pienet kirjaimet ⇒ ajan funktioita
Ï
Isot kirjaimet ⇒ jännite ja virta kompleksilukuina
Ï
Alaviiva ⇒ kompleksiluvun tunnus (en käytä)
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 8 (22)
Kulmamuoto ja summamuoto
Osoitinlaskenta perustuu merkintäsopimukseen: sinifunktio vs. kompleksiluku
Ï
Eulerin kaavan imaginääriosa:
h
i
i(t) = î sin(ωt + φ) = Im î ej(ωt+φ)
⇔
î
I = p ∠ + φ = IR +j IX
|{z} |{z}
2
Re
Im
Ï
Tehollisarvo |I| = pî ja vaihekulma φ
2
= kulmamuoto (Polar form)
Ï
Reaali- ja imaginääriosa
= summamuoto (Rectangular form)
Ï
Sähkötekniikassa imaginääriyksikkö on j
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 9 (22)
Koordinaatistomuunnos,Coordinate Transformation
Tarvitaan käytännön laskuissa
Ï
Ï
Ï
Summamuoto (rectangular) x + jy
Kulmamuoto (polar) r∠θ
Muunnos on ohjelmoitu laskimiin (X voi näyttää laskimestasi)
z = 3 + j4 = 5∠53,13◦
| z | = r y
θ
x
x = r cos θ
y = r sin θ
q
r = x2 + y2
³y´
θ = arctan
x
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 10 (22)
Summamuoto ⇔ Kulmamuoto, Calculators
Eri laskimissa eri tavoin, alla esimerkkejä. Joskus vaaditaan sulut, toisinaan s. t. e.
POL(x, y)
R→P
→ rθ
x(r) → a , y(θ ) → b
REC(r, θ )
P→R
→ xy
r, θ → REC
x + yi ↔ reiθ[t. l. luulee rad, vaikka deg valittu]
REC(r∠ θ )
x↔y
m
INV RV
RCL tan
math− angle− cmplx − menu
Kulmaa saa pyörittää ±360◦
2∠240◦ = 2∠−120◦
t.l. = typerä laskin!
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 11 (22)
Koordinaatiston neljännekset, Quadrants
Ongelmia arcus-tangentin kanssa (x < 0). Why does tan−1 suck?!
p
1±j 3
p
−1 + j 3
p
−(1 − j 3)
p
−1 − j 3
= 2∠ ± 60◦
= 2∠(180◦ − 60◦ ) = 2∠120◦
= 2∠(180◦ − 60◦ ) = 2∠120◦
= 2∠(180◦ + 60◦ ) = 2∠240◦
6jy
p
p
−1 + j 3 A
1+j 3
A
'$
A A
-x
A
A
p &%
A 1 − jp3
−1 − j 3 A
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 12 (22)
Peruslaskutoimituksetp
Eulerin identiteetti: ejπ + 1 = 0
p
◦
20∠26,6◦ = 20ej26,6
p
p
◦
z2 = 3 + 1j = 10∠18,4◦ = 10ej18,4
z1 = 4 + 2j =
z1 +z2 = (4+3) + j(2+1)
z1 −z2 = (4−3) + j(2−1)
j2 = −1
1
= −j
j
z1 z2 = (4 · 3 − 2 · 1) + j(4 · 1 + 2 · 3)
p p
20 10∠(26,6◦ + 18,4◦ ) = 10 + j10
z1 (4 · 3 + 2 · 1) + j(2 · 3 − 4 · 1)
=
z2
32 + 12
p
20
p ∠(26,6◦ − 18,4◦ ) = 1,4 + j0,2
10
p
p
◦
∗
z1 = 4−j2 = 20∠−26,6◦ = 20e−j26,6
³p ´2
z1 z∗1 = |z1 |2 = 42 + 22 = 20
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 13 (22)
Impedanssi Z ja admittanssi Y
Reaali- ja imaginääriosineen, Ohmin laki
Onko impedanssi vaihtovirtavastus? Tarkkaan ottaen ei!
Pyörrevirrat kasvattavat tavallista resistanssia vaihtovirralla.
U = ZI
-
I = YU
-
Z
Z = R + jX
Y
Y = G + jB =
R = resistanssi (pätövastus) (Ω)
X = reaktanssi (loisvastus) (Ω)
G = konduktanssi (S)
B = suskeptanssi (S)
1
Z
Z φ
R
X
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 14 (22)
Vastus, kela, kondensaattori
Impedanssit ZR , ZL , ZC , osoitinlaskennan ydin!
uL = L
¤
d£
î sin(ωt + φ) = ωL î cos(ωt + φ)
|
{z
}
dt
î sin(ωt+φ+90◦ ←j)
j:llä kertominen vastaa kompleksiluvun kulman kääntämistä 90◦ .
i = |I|ej(ωt+φ)
uL = L
u = |U |ej(ωt+θ)
di
= jωL |I|ej(ωt+φ) ⇒ UL = ZL I
dt |{z} | {z }
ZL
iC = C
i
du
1
= jωC |U |ej(ωt+θ) ⇒ IC =
UC
dt |{z} | {z }
ZC
1
ZC
ZR = R
u
ZL = jωL
ZC =
1
1
= −j
jωC
ωC
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 15 (22)
Onko kompleksinen virta tai jännite järkevä?
Jaetaan eksponenttifunktio kahdeksi tulon tekijäksi:
i = î ej(ωt+ϕ) = î ejωt ejϕ =
p
¡
¢
2Ieff ejωt cos ϕ + j sin ϕ
Viedään lauseke vastukseen kelaan tai kondensaattoriin:
¡
¢ p
uR = Ri = RIeff cos ϕ + j sin ϕ · 2 ejωt
¡
¢ p
di
uL = L = jωLIeff cos ϕ + j sin ϕ · 2 ejωt
dt
Z
¡
¢ p
1
1
uC =
i dt =
Ieff cos ϕ + j sin ϕ · 2 ejωt
C
jωC
Aina toistuva
p jω t
2e
voidaan "jättää" yhteisenä tekijänä pois.
¡
¢ q
I = Ieff cos ϕ + j sin ϕ = sin2 ϕ + cos2 ϕ ·Ieff ∠ϕ
|
{z
}
1
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 16 (22)
Ajan vai taajuuden funktiona? Function of time vs. jω
Valitset sen itse; katso myös seuraava sivu!
?
i
u
C
?
u = û sin(ωt + ϕu )
du
= ωCû cos(ωt + ϕu )
i=C
dt
?I
U
C
?
U = |U |∠ϕu
I = jωCU
i = ωCû sin(ωt + ϕu + 90◦ )
I = ωC|U |∠ϕu + 90◦
î = ωCû
ϕi = ϕu + 90◦
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 17 (22)
Kytkentäilmiö vs. jatkuva tila, Steady State
@
R
b b i(t)
t
+
= 0
ê sin ωt
−
R
C
u(t)
?
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 18 (22)
Osoitindiagrammi, Phasor Diagram
Havainnollistava graafinen esitys
U
-
UR
I
UC
UL
-
L
R
6jy
-x
UR = RI
UL 6
C
```
UL = jωLI
UR
```
I
- -
U
```
UC
j̀ ?
UC =
1
1
I = −j
I
jωC
ωC
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 19 (22)
Tentti 20.12.2001
Tällainen tehtävä tulee jokaiseen ykkösvälikokeeseen ja tenttiin!
Laske virta I. R1 = 2 Ω, R2 = 10 Ω, C = 0,1 F, ω = 2 1s .
E1 = 10∠0◦ V, E2 = 20∠90◦ V
e1 (t) ≈ 14 sin ωt V
-
+
C
E1
−
?
−E1 +
I2
R2
e2 (t) ≈ 28 sin(ωt + 90◦ ) V
r ? I
+
R1
E2
−
?
?
1
(I2 + I) + R2 I2 = 0
jωC
− R2 I2 + R1 I + E2 = 0
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 20 (22)
Tulokset
Kompleksiluvut ja sinimuotoiset lausekkeet toteuttavat Kirchhoffin lait
Osoitinlaskennan käytännön laskutoimituksia ja tulosten tulkintaa on selitetty tarkemmin
laskuharjoituksissa ja kirjassa.
KCL : (3,6 + 0,8j) = (3 − j) + (0,6 + 1,8j)
4 − 18j
−5j
+
10
KJL : − (6 + 18j) + (6 − 2j) + 20j = 0
3,6
-+ 0,8j
r 3−j
6 − 2j
-
6 + 18j
10
−
? 0,6 + 1,8j ??
+
2
20j
−
?
I = 3 − j = 3,16∠ − 18,4◦ A
i(t) = 4,47 sin(ωt − 18,4◦ ) A
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 21 (22)
Tulosten tulkinta
Kompleksiluku vastaa tiettyä ajan funktiota sopimukseen perustuen!
+
C
u1
E1
14 sin ωt −
?
0,32 Hz
i
R2
+
R1
4,5 sin(ωt − 18◦ ) E2
u3
3 − 1j
−
?
28 sin(ωt + 90◦ )
Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka ELEC-C4210
28.9.2015
Page 22 (22)