Download Report

Ennustaminen ja aikasarja-analyysi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
6.
H Seppälä & N Lietzén
Syksy 2015
Harjoitus 6.
Eksponentiaalinen tasoitus
Dynaaminen regressio
Tuntitehtävät
6.1 Osoita, että ARMA(0,1,1)-prosenssin xt keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste
Dxt = t + θ1 t−1 , (t )t∈T ∼ W N 0, σ 2 ,
toteuttaa eksponentiaalisen tasoituksen ehdon
x̂t+1|t = αxt + (1 − α)x̂t|t−1
kun |θ1 | < 1 ja α = 1 + θ1 .
Ratkaisu. Tarkastellaan ARIMA(0,1,1)-prosessin optimaalista ennustetta
x̂t+1|t = Ê xt+1 | t , t−1 , ... .
Koska
Dxt = xt − xt−1 = t + θ1 t−1 ,
t ∈ T,
niin
xt+1 = xt + t+1 + θ1 t .
Keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste on ehdollinen odotusarvo (kts Viikko
4, Ennustaminen ARMA-mallilla), joten
x̂t+1|t = Ê xt+1 | t , t−1 , ... = Ê xt + t+1 + θ1 t | t , t−1 , ...
= Ê xt | t , t−1 , ... + Ê t+1 | t , t−1 , ... + Ê θ1 t | t , t−1 , ...
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
=xt
=E[t+1 ]=0
θ1 ˆt
= xt + θ1 ˆt ,
missä ˆ = xt − x̂t|t−1 . Siten
x̂t+1|t = xt + θ1 ˆt = xt + θ1 xt − x̂t|t−1
= (1 + θ1 )xt − θ1 x̂t|t−1 = αxt − (α − 1)x̂t|t−1
x̂t+1|t = αxt + (1 − α)x̂t|t−1 ,
joka on haluttu lopputulos. Huom! Alla samaan lopputulokseen on päästy hieman pidemmällä tavalla. Ohessa tulee käytyä läpi olennaisia osia aikasarjojen rakenteesta:
x̂t+1|t + θ1 x̂t|t−1 = (1 + θ1 )xt
ja
(1 + θ1 L)x̂t+1|t = (1 + θ1 )xt .
1/2
Ennustaminen ja aikasarja-analyysi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
H Seppälä & N Lietzén
Syksy 2015
Harjoitus 6.
Edelleen geometrisen summakaavan avulla, että
1
(1 + θ1 )xt
x̂t+1|t =
(1 + θ1 L)
∞
X
= (1 + θ1 )
(−θ1 )i Li xt .
(1)
i=0
Siispä
x̂t+1|t = (1 + θ1 )
∞
X
(−θ1 )i Li xt
i=0
= (1 + θ1 )xt + (1 + θ1 )
∞
X
(−θ1 )i xt−i
|i=1
P
−θ1
{z
}
∞
i
i=0 (−θ1 ) xt−(i+1)
∞
X
= (1 + θ1 )xt − θ1 (1 + θ1 )
(−θ1 )i x(t−1)−i)
i=0
|
(1)
{z
}
= x̂t|t−1
= (1 + θ1 )xt − θ1 x̂t|t−1 .
Lopulta valitsemalla α = 1 + θ1 nähdään, että
x̂t+1|t = αxt + (1 − α)x̂t|t−1 .
Kotitehtävät
6.2 Osoita, että ARMA(p, q)-prosessin
Φ(L)yt = Θ(L)t , (t )t∈T ∼ W N 0, σ 2 ,
Φ(L) = 1 − φ1 L − φ2 L2 − ... − φp Lp
Θ(L) = 1 + θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq
tila-avaruusesitys on




φ1 φ2 · · · φr−1 φr
t+1
 1 0 ···
 0 
0
0




 0 1 ···

 0 
0
0
xt+1 = 
 xt + 

 .. . .

 .. 
..
..
.

 . 
. .
.
0 0 ···
1
0
0
yt = 1 θ1 θ2 · · · θr−1 xt ,
missä r = max{p, q + 1} ja
φj = 0,
kun j > p ja θj = 0 kun j > q.
2/2