1. No category

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
5A
K Kytölä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 5A
Estimointi
Estimointimenetelmät
Väliestimointi
Tuntitehtävät
5A1 Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on
f (x) = λe−λx ,
x>0
missä λ on tuntematon parametri.
Kysymys: Miksi parametrin λ pitää toteuttaa ehto λ > 0?
Oletetaan, että kyseistä jakaumaa noudattavasta satunnaismuuttujasta X on saatu riippumattomat havainnot
0.16 1.85 0.15 0.72 1.65
(a) Alla olevassa kuvassa on hahmoteltu tiheysfunktion kuvaaja parametrin λ arvoilla
0.25, 1 ja 3. Arvioi mikä arvoista sopisi parhaiten havaintoihin (jotka on merkitty
vaaka-akselille).
(b) Estimoi parametri λ suurimman uskottavuuden menetelmällä.
Vihje: Muista logaritmin laskusäännöt.
2.0
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
5A2 Tehdas väittää, että normaalitilanteessa sen valmistamista tuotteista 2.5 % on viallisia. Asiakas poimii tuotteiden joukosta yksinkertaisen satunnaisotoksen, jonka koko on
100 ja löytää 9 viallista tuotetta. Voidaanko tehtaan väitettä viallisten suhteellisesta
osuudesta pitää oikeutettuna?
Vastaa kysymykseen määrittämällä 95 %:n ja 99 %:n luottamusvälit viallisten tuotteiden todelliselle suhteelliselle osuudelle ja tekemällä johtopäätökset tehtaan väitteen
oikeutuksesta niiden perusteella. Miten valittu luottamustaso vaikuttaa luottamusvälin
pituuteen?
1/2
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopisto
K Kytölä & V Husgafvel
Syksy 2015
Harjoitus 5A
Kotitehtävät
5A3 Tehdas valmistaa tiiliä. Tiilien massa vaihtelee satunnaisesti noudattaen normaalijakaumaa. Tiilien joukosta poimittiin yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko oli 30.
Otoskeskiarvoksi saatiin 9.99 kg ja otosvarianssiksi 0.1 kg2 .
Määritä 95 %:n luottamusväli tiilien massan odotusarvolle.
5A4 Tehdas valmistaa tiiliä. Tiilien massa vaihtelee satunnaisesti noudattaen normaalijakaumaa. Tiilien joukosta poimittiin yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko oli 30.
Otoskeskiarvoksi saatiin 9.99 kg ja otosvarianssiksi 0.1 kg2 .
Määrää 90 %:n luottamusväli tiilien massan varianssille.
2/2