Kvanttimekaniikka:
Luento 3
Martikainen Jani-Petri
Ennakkotehtävä viikolle 2
Ennakkotehtävä viikolle 2
Ennakkotehtävä viikolle 2
Ennakkotehtävä viikolle 2
Ennakkotehtävä viikolle 2
Aaltofunktio
Korkeakoulun ytimessä
Viimeksi
•
•
•
•
Kvanttimekaniikan historiaa
Observaabelit, operaattorit, ominaisarvot, ominaisarvoyhtälö
Liikemääräoperaattori, energiaoperaattori
Esimerkit vapaalle hiukkaselle…tasoaaltoratkaisuja
Tänään
•
•
•
•
Potentiaalikaivo
Aaltofunktio ja sen yhteys mittauksiin (Postulaatti 3)
Aaltofunktion aikakehitys (Postulaatti 4)
Ominaistilan aikakehitys
Muuten …melkein samaa
tarkoittavia sanoja
•
•
•
•
•
Aaltofunktio
Tilafunktio
Tilavektori
Kvanttimekaaninen tila
Tila (kun sekaannuksen vaaraa ei ole)
Aaltofunktio ja tilafunktio ehkä hiukan useammin implikoi kannan
valintaa paikka-avaruuteen. Tällöin niillä tarkoitetaan funktiota
Potentiaalikaivo: esim. säädä
emitterin aallonpituutta (stabiilius,
kirkkaus)
Quantum dot displays
Quantum dot lasers
Solid state, but performance closer to gas lasers
…QDs behave as “atoms”
Potentiaalikaivo: esimerkki
• Potentiaali on nolla rajatussa alueessa ja ääretön muualla.
• Ratkaistaan ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö tälle.
• Ts. Hamiltonin operaattorin ominaistilat
Potentiaalikaivo
• Schrödingerin yhtälö alueessa x=0…L
• Jonkinlaisia sinejä ja kosineja tuosta varmasti tulee…
• Reunaehto x=0:ssa sulkee pois kosini muotoiset ratkaisut.
Joten…
• Sijoitetaan yhtälöön ja saadaan
Potentiaalikaivo
• Energian ominaisarvot potentiaalikaivossa:
N=kvanttiluku
Huom: siirsin aaltofunktioita
4:lla jotta eivät mene päällekkäin
Potentiaalikaivo
• Mistä saamme etuvakion
?
• Aaltofunktio pitää normittaa ykköseen. Todennäköisyys
tulkinta pakottaa tähän. Hiukkasen on löydyttävä jostain.
• Siispä…
Todennäköisyystulkinta Bornin käsialaa…
Aaltofunktio tulkintaa
• Kaikki informaatio systeemistä on sen aaltofunktiossa (tai
tilafunktio/tilavektori):Postulaatti 3
• Sitä käyttämällä voi laskea todennäköisyyksiä observaabelin
mittaustuloksille
• Observaabelille C: esim. odotusarvo
Huom. Emme oikeastaan mittaa
suoraan aaltofunktiota.
Aaltofunktio:yhteys mittauksiin
• Esimerkkejä tilastollisesta tulkinnasta
• Valmista N kpl samanlaisia systeemejä ja mittaa C kaikille
• Postulaatti sanoo, että integraali antaa saman tuloksen
kunhan
• Todennäköisyysjakauman kautta sama
• Joka jatkuvalle joukolle
Aaltofunktio:yhteys mittauksiin
• Meitä voi myös kiinnostaa esim. varianssi
(standardipoikkeama ottamalla tämän neliöjuuri!)
• …ja samalla tavalla voimme laskea
• Esim. “aaltopaketti”
Aaltofunktio: esimerkki
Aaltofunktio: esimerkki
• Voimme laskea paikan odotusarvon
• Tässä todennäköisyysjakauma paikka-avaruudessa…
• Toisaalta esim. liikemäärän odotusarvo
Aaltofunktio: quiz
presemo.aalto.fi/kvantti
Aaltofunktio
www.photonicquantum.info
Aaltofunktio: detour
• Voimme ratkaista aaltofunktion yhtälöistä, mutta miten
tiedämme onko sillä mitään tekemistä todellisuuden kanssa…
• …etenkin, jos emme mittaa sitä suoraan?
• Jos mittaamme esim. vain todennäköisyyksiä löytää hiukkanen
jostain, emme saa tietoa aaltofunktion vaiheesta.
Aaltofunktio:detour
• Aaltofunktiota voi yrittää rekunstroida eri tavoilla
• Monista erilaisista mittauksista hiukkasilla, joilla kaikilla on
sama aaltofunktio voi oppia jotain aaltofunktiosta
Bose-Einstein kondensaatti
Ketterle, MIT)
Stodolna et al. PRL 2013
Aaltofunktio:detour
• Bose-Einstein kondensaatit interferoivat (MIT)…aineaallot
näkyvät!
Aaltofunktion aikakehitys
• Aaltofunktion aikakehitys saadaan yhtälöstä (Postulaatti 4):
• Tässä H on Hamiltonin operaattori
Unohda tämä ja “you shall not pass!”
Aaltofunktion ominaistilan
aikakehitys
• Yrite, kun H:ssa ei aikariippuvuutta:
Ajasta riippumaton Schrödingerin
yhtälö!
Ei ole vaikea!
Aaltofunktion ominaistilan
aikakehitys
• Voimme ratkaista yhtälön T(t):lle
• Sitten pitää vielä ratkaista H:n ominaistilat ja ominaisarvot E
• Ominaistilan aikakehitys on…
Ratkaisu vapaassa avaruudessa
• Taululla
Miksi Schrödingerin yhtälö?
• Tästä hiukan enemmän keskustelua muistiinpanoissa
Aaltofunktio, mistä se saadaan,
mitä se tarkoittaa? kaikki selvää?