1. No category

Luku 8:
Kvanttimekaniikan soveltaminen eri
liiketyyppeihin:
•  Translaatioliike (hiukkanen laatikossa)
•  Vibraatio eli värähdysliike
•  Rotaatio eli pyörimisliike
1
Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön ratkaisuna
saatiin aaltofunktio ja kokonaisenergia:
ψ k = Ae ikx + Be−ikx
k 22
Ek =
2m
(tiettyä k-arvoa vastaava energia)
€
Havaitaan, että vapaan hiukkasen energia ei ole kvantittunut
€
Kvantittuminen
aiheutuu hiukkasen liikkeeseen kohdistuvista
reunaehdoista
Yksinkertaisin reunaehdot sisältävä malli on hiukkanen
1-ulotteisessa laatikossa
2
Potentiaalienergia V = 0
laatikon sisällä
V = ∞ seinämällä
→ Hiukkanen ei voi mennä seinälle
Seinä on lisäksi äärettömän paksu
Aaltofunktio alueessa, jossa V =0
ψ k = Ae ikx + Be−ikx = A(cos kx + isin kx) +
B(cos kx − isin kx) = (A + B)cos kx + (A − B)isin kx
Merkitään: (A+B) = C ja (A-B)i= D
€
ψ k = C sin kx + D coskx
3
Koska hiukkanen ei voi mennä seinälle (sen potentiaalienergia olisi
ääretön), täytyy seuraavien reunaehtojen olla voimassa:
ψ k (0) = ψ k (L) = 0
Annetut reunaehdot toteuttaa sini –funktio:
sin(0) = 0, ja sin(kL) = 0 kun kL = nπ , n=0,1,2,...
à k = nπ / L eli tässä tapauksessa kvantittunut
n = 0 ei kelpaa, koska aaltofunktion amplitudi pitää olla ≠ 0
Kvantittumisesta johtuen aaltofunktio ja energia lausutaan k:n asemasta
n:n funktiona
2 2
n
ψ n = C sin(nπx /L) En = h 2 n = 1,2,...
8mL
Vakio C saadaan normittamalla aaltofunktio:
€
L
L
1/ 2
C 2L
2
2
2 nπx
"
%
2
∫ ψ dx = C ∫ sin L = 2 = 1
C =$ '
# L&
0
0
4
n 2h 2
En =
8mL2
€
1/2
!2$
! nπx $
ψ n = # & sin #
&
"L%
" L %
Tilojen välinen energiaero:
(n + 1) 2 h 2 n 2 h 2
h2
E n +1 − E n =
−
= (2n + 1)
8mL2
8mL2
8mL2
ratkaisut ovat ns. seisovia aaltoja
(reaalinen aaltofunktio) vrt.
vapaan hiukkasen ratkaisu (kompleksinen aaltofunktio)
5
Johtamamme aaltofunktiot eivät ole liikemääräoperaattorin ominaisfunktioita:
pˆ x =
 d
;
i dx
" 2 %1/ 2  d " " nπx %% " 2 %1/ 2  " nπx %
cos$
$ '
'' = $ '
'
$sin$
# L & i dx # # L && # L & i
# L &
Onko liikemäärä
määritelty?
Sinimuotoinen aaltofunktio voidaan kirjoittaa superpositiona
kahdesta liikemääräoperaattorin ominaisfunktiosta
(vrt. Schrödingerin kissa):
1/ 2
# 2 &1/ 2
nπ
nπx 1 # 2 &
ikx
−ikx
k
=
ψ n = % ( sin
= % ( (e − e )
L
$ L'
L
2i $ L '
€
px = +k px = −k
€
€
6
€
€
Koska molempien ominaisarvojen todennäköisyydet ovat samat,
saadaan klassisen mekaniikan kuvaa vastaava tulos jossa
hiukkanen liikkuu edes takaisin seinien väliä
Merkittävä ero klassiseen mekaniikkaan on se, että hiukkasen alin
energia
h2
E1 =
≠0
ns. nollapiste-energia
2
8mL
€
Hiukkasen paikan todennäköisyystiheys
saadaan:
ψ
2
2 2 nπx
= sin
L
L
7
Kutakin energian ominaisarvoa En vastaavat aaltofunktiot ovat
keskenään ortogonaalisia:
∫ψ
L
esim.
€
n
* ψ n' dτ = 0
2
ψ
*
ψ
d
τ
=
∫ 1 3 L
0
L
∫ sin
0
πx
3πx
sin
dx = 0
L
L
€
8
Tarkastellaan seuraavaksi hiukkasta 2-ulotteisessa ”laatikossa”,
ts. hiukkasta, joka on vangittu pinnalle:
9
Schrödingerin yhtälö saa nyt muodon:
 2 % ∂ 2ψ ∂ 2ψ (
−
' 2 + 2 * = Eψ
2m & ∂x
∂y )
Yhtälö ratkaistaan siten, että kirjoitetaan aaltofunktio tulona kahdesta
funktiosta, joista toinen riippuu x:stä ja toinen y:stä (muuttujien
€
separoiminen)
∂ 2ψ
d 2 X ∂ 2ψ
d 2Y
ψ (x, y) = X(x)Y(y)
=Y 2 ; 2 = X 2
2
∂x
dx ∂y
dy
sij. Schrödingerin yhtälöön:
€
2 # d 2 X
d 2Y & €
−
%Y 2 + X 2 ( = EXY
2m $ dx
dy '
1 d 2 X 1 d 2Y
2mE
+
=
−
X dx 2 Y dy 2
2
€
10
€
x- ja y-suuntaiset liikkeet ovat toisistaan riippumattomia, jolloin
E = Ex + Ey ja ongelma palautuu kahdeksi normaaliksi differentiaaliyhtälöksi:
1 d2X
2mE x
=− 2
2
X dx

2mE y
1 d 2Y
=− 2
2
Y dy

ratkaisut identtisiä 1-ulotteisen tapauksen kanssa:
1/2
€
1/2
!2$
!2$
n1πx
n πy
X n1 (x) = #€ & sin
;Yn2 (y) = # & sin 2
L1
L2
" L1 %
" L2 %
n1 kvanttiluku
liittyy x-suuntaan
n2 kvanttiluku
liittyy y-suuntaan
Kokonaisaaltofunktio saadaan tulona:
ψ n1n2 (x, y) =
2
sin
1/2
( L1L2 )
n1πx
n πy
sin 2
L1
L2
Kokonaisenergia saadaan summana: E n1 ,n 2
€
€
0 ≤ x ≤ L1;0 ≤ y ≤ L2
" n12 n 22 %  2
=$ 2 + 2 '
# L1 L2 & 8m
11
http://www.tau.ac.il/~hdiamant/teaching/2005/physchem2/2Dbox.html
n1 = 1;n 2 = 1
€
€
n1 = 1;n 2 = 2
€
n1 = 2;n 2 = 1
n1 = 2;n 2 = 2
€
sama energia
kahdesti degeneroitunut tila
12
aaltofunktiot ψ1,2 ja ψ2,1 ovat keskenään degeroituneita eli niillä
on sama energian ominaisarvo
degeneraatio aiheutuu tarkasteltavan systeemin symmetriasta.
Degeneroituneet aaltofunktiot voidaan muuttaa
toisikseen symmetriaoperaatioiden avulla
ψ1,2 ja ψ2,1 muuntuvat toisikseen 90 asteen
kierron avulla
13
Mielenkiintoinen ilmiö havaitaan tilanteessa, jossa potentiaalienergia
on äärellinen seinällä. Nyt aaltofunktion ei tarvitse noudattaa ehtoa
ψ(seinällä) = 0
vaimenee
mutta ei häviä
Ilmiötä kutsutaan
tunneloitumiseksi ja sen mukaan
hiukkanen voi mennä
potentiaaliseinämän läpi vaikka
hiukkasen energia E<V.
0
L
14
Aaltofunktio alueessa x<0 vastaa vapaan hiukkasen tilannetta:
1/ 2
ψ = Ae ikx + Be−ikx
k = (2mE )
Tarkastellaan tilannetta seinämän sisällä tapauksessa E<V:
€
 2 d 2ψ
−
+ Vψ = Eψ
2m dx 2
Ratkaisuna saadaan superpositio kahdesta reaalisesta funktiosta:
€
κx
ψ = Ce + De
−κx
1/ 2
κ = {2m(V − E )}
Seinämän
ulkopuolella (x>L) ratkaisu on taas tuttu:
€
ψ = A'e ikx + B'e−ikx
1/ 2
k = (2mE )
15
€
tn ∝ A
2
+k
tn ∝ A'
€
€
€
+k
−k
tn ∝ B
2
2
€
€
€
Kokonaisaaltofunktio saadaan ehdoista, että aaltofunktion
tulee olla jatkuva ja derivoituva piteissä x=0 ja x=L
16
pisteessä x=0
e0 = 1
pisteessä x=L
CeκL + De−κL = A'e ikL + B'e−ikL
€
pisteessä€x=0
pisteessä x=L
A+ B=C+ D
jatkuvuusehdot
€
ikA − ikB = κC − κD
derivoituvuusehdot
κCeκL − κDe−κL = ikA'e ikL − ikB'e−ikL
Fysikaalisista
€ syistä B’ = 0
Tunneloitumistodennäköisyys (transmission probability)
€
−1
%
2
κL
−κL 2 )
' (e − e ) '
A'
ε = E /V
T = 2 = &1+
*
16ε(1− ε) '
A
'(
+
Tapauksessa jossa κL>>1, ts potentiaalivalli on korkea
€
€
T = 16ε(1− ε)e
−2κL
17
Tunneloitumistodennäköisyys pienenee eksponentiaalisesti potentiaaliseinämän paksuuden funktiona
Tunneloitumistodennäköisyys riippuu hiukkasen massasta
(T∝m1/2)
numerot viittaavat
suureen
1/ 2
L(2mV ) / arvoon
€
Huomaa, että
vaikka E>V hiukkanen
ei kuitenkaan etene
esteettä vallin yli !
18
Tunneloitumista hyödynnetään STM (scanning tunnelling microscopy)
mikroskopiassa, joka on eräs SPM (scanning probe microscopy)
mikroskopian laji
19
elektronit tunneloituvat
pinnan ja kärjen välillä
tunneloitumisvirta on
riippuvainen pinnan
topografiasta. Saadaan
erittäin tarkka kuva
pinnan rakenteesta
https://www.youtube.com/watch?v=K64Tv2mK5h4
20
Värähdys (vibraatio) liike
Yksinkertainen lähtökohta on olettaa, että värähtely noudattaa
Hooken lakia:
Palauttava voima F = -kx; k = jousivakio
x
Potentiaalienergia V = 1/2 kx2
Tällaista värähtelijää kutsutaan
harmoniseksi värähtelijäksi.
Harmoninen värähtelijä on
yksinkertainen malli atomien
värähtelylle molekyyleissä
https://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI
21
Kvanttimekaanista harmonista värähtelijää kuvaa Schrödingerin
yhtälö:
 2 d 2ψ 1 2
−
2m dx 2
+ 2 kx ψ = Eψ
Yhtälön
ratkaisuna saadaan värähtelijän energiatilat
€
Ev = (v + 12 )!ω
!k$
ω =# &
"m%
2
v=0,1,2,... värähdyskvanttiluku
ω = kulmataajuus = 2πf
k = potentiaalin muotoa
d2
k = 2 V (x)
kuvaava voimavakio
dx
Alin energia (nollapisteenergia):
1
E0 = €
2 ω
€
22
Harmonisen värähtelijän Schrödingerin yhtälön ratkaisuna saadaan
aaltofunktiot, jotka ovat tyyppiä:
1/4
ψ v (x) = N v H v (y)e− y
2
/2
" !2 %
y = x /α α = $ '
# mk &
Nv = normitusvakio; Hv = Hermiten polynomi
Hermiten polynomit ovat differentiaaliyhtälön
H v ''−2yH v '+2vH v = 0
Hermiten polynomien rekursiorelaatio:
ratkaisuja
H v +1 − 2yH v + 2vH v−1 = 0
€ polynomien ortogonaalisuus:
Hermiten
€
∞
∫H
−∞
v'
H ve
−y 2
'0, jos v'≠ v
dy = ( 1/ 2 v
)π 2 v! jos v'= v
23
€
24
Aaltofunktio
ψ v (x) = N v H v (y)e
−y 2 / 2
koostuu Hermiten
polynomin lisäksi Gaussin funktiosta
€
25
Perustilan aaltofunktio:
ψ 0 (x) = N 0 H 0 (y)e−y
€
2
/2
= N 0e−x
2
1. Viritystilan (v=1) aaltofunktio
/ 2α 2
26
aaltofunktioita
ψv
€
todennäköisyystiheyksiä
ψv
2
€
27
Pyörimis- eli rotaatioliike
1.  Pyöriminen 2-ulotteisessa renkaassa
2.  Pyöriminen pallon pinnalla (3-ulotteinen tapaus)
Pyörimisliikkeen kuvaamisessa käytetään liikemäärän asemasta
pyörimismäärää J ja massan asemasta hitausmomenttia I
2
Jz
E=
2I
J z = ± pr
€
€
28
Voimme ymmärtää pyörimisliikkeen kvantittumisen sijoittamalla
deBroglien tuloksen Jz:n lausekkeeseen:
Jz = ±
hr
λ
Ympyräradalla liikkuvaa hiukkasta voidaan siis kuvata aallolla. Reunaehtona on kuitenkin, että aallon pitää toistaa itsensä täydellä
€
(2π) kierroksella
huono ratkaisu
hyvä ratkaisu
29
Vain tietyt sopivat aallonpituudet toteuttavat tämän ehdon:
λ=
2πr
ml
Sijoittamalla tämä tulos:
ml = 0,±1,±2,...
Jz = ±
€
hr ml hr ml h
=
=
= ml 
λ
2πr
2π
2
Vastaavasti pyörimisenergia:
€
Jz
ml 2  2
E=
=
2I
2I
huomaa, että tapausta ml =0 lukuunottamatta energiatilat ovat
kahdesti degeneroituneita
(+ ml ja - ml antavat saman energian)
€
2-uloitteista pyörimistä
(hiukkanen renkaan kehällä)
kuvaa aaltofunktio:
ψ m l (φ ) =
€
1
im l φ
e
(2π)1/ 2
30
Ongelmaamme on yksinkertaisinta
tarkastella ns. sylinterikoordinaatistossa
2 $
2
2 '

∂
∂
Hˆ = −
& 2 + 2)
2m % ∂x
∂y (
€
∂2
∂2
∂2 1 ∂ 1 ∂2
+
=
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2
x = r cos φ
y = r sin φ
0 (koska r on vakio)
€
2 d 2
2 d 2
=−
=
2
2
2mr dφ
2I dφ 2
ratkaisuna aaltofunktio:
€
I = hitausmomentti
e im l φ
ψ m l (φ ) =
(2π)1/ 2
€
31
€
Aaltofunktion tulee noudattaa syklistä reunaehtoa:
ψ m l (φ + 2π) = ψ m l (φ )
€
e im l (φ +2π) e im l φ e 2πim l
ψ m l (φ + 2π) =
=
= ψ m l (φ )e 2πim l
1/ 2
1/ 2
(2π)
(2π)
e iπ = cosπ − isinπ = −1
€
ψ m l (φ + 2π) = (−1) 2m l ψ m l (φ )
€
jotta tämä ehto toteutuisi täytyy
€
(−1 )
2m l
=1
ml = 0,±1,±2,...
€
€
E=
ml2 ! 2 ml2 ! 2
=
2I
2mr 2
32
Kvanttimekaanisen pyörijän pyörimismäärä on kvantittunut
2-ulotteisessa tapauksessa (hiukkanen renkaassa) pyörimismäärävektori
osoittaa aina z-akselin suuntaan
è riittää kun määrittelemme pyörimismääräoperaattorin z-suunnassa:
⎛
⎞
ˆl = h ⎜ x ∂ − y ∂ ⎟ = ! ∂
z
i ⎝ ∂y
x ⎠ i ∂φ
Ominaisarvoyhtälö, joka antaa pyörimismäärän:
imlφ
imlφ
!
d
!
d
e
!
e
lˆzψ ml =
ψ ml =
= iml
= ml !ψ ml
1/2
1/2
i dφ
i dφ ( 2π )
i ( 2π )
Tästä saadaan energia:
ml2 ! 2 ml2 ! 2
E=
=
2I
2mr 2
33
Pyörimisliikkeelle pätee aivan sama superpositiotarkastelu kuin mitä
olemme oppineet aikaisemmin
esim.
ψ = A(eimlφ + e−imlφ )
on superpositio, jossa hiukkanen on samanaikaisesti kahdella tilalla
(vrt Schrödingerin kissa)
Jos mitataan tämän hiukkasen pyörimismäärä niin saadaan arvoja ±ml !
Jos tehdään suuri joukko mittauksia, niin pyörimismäärän odotusarvoksi
saadaan 0
34
3-ulotteinen pyörimisliike (hiukkanen pallon pinnalla) edellyttää
aaltofunktiolta kahta syklistä reunaehtoa
Schrödingerin yhtälö on muotoa:
2 2
−
∇ ψ = Eψ
2m
∂2
∂2
∂2
∇ = 2+ 2+ 2=
€ ∂x ∂y ∂z
∂2 2 ∂ 1 & 1 ∂2
1 ∂
∂)
+
+
+
sin
θ
(
+
∂r 2 r ∂r r 2 ' sin2 θ ∂φ 2 sinθ ∂θ
∂θ *
2
Koska r = vakio:
€1 2
2mE
Λ
ψ
=
ψ
r2
2
Λ2
ratkaisuna saadaan kulmista riippuva funktio: ψ (θ, φ ) = Θ(θ )Φ(φ )
35
€
jolle voidaan tehdä
muuttujien separointi
€
Ratkaisut sisältävät nyt kaksi kvanttilukua:
l = 0,1,2,...
€
€
ratapyörimismäärä kvanttiluku (orbital angular momentum
quantum number) è pyörimismäärävektorin pituus
magneettinen kvanttiluku è pyör.määrävektorin projektio
ml = l,l −1,...,−l
Z-akselilla
Normitettuja aaltofunktioita kutsutaan palloharmonisiksi funktioiksi
Yl,m l (θ, φ )
Palloharmoniset funktiot ovat keskenään ortogonaalisia:
€
π 2π
∫ ∫Y
l',m l '
0
€
(θ, φ )Yl,m l (θ, φ ) = 0
0
36
37
nollakohdat (solmutasot)
Varsinaiset
funktiot
38
Kvantittuneen pyörimismäärävektorin kuvaamiseen tarvitaan kaksi
operaattoria:
! ∂
lˆz =
lˆ 2 = lˆx2 + lˆy2 + lˆz2
i ∂φ
Z-komponentti
Ominaisarvoyhtälöt:
! ∂
! d
lˆzψ = lˆzΘΦ =
=Θ
Φ = Θml !Φ = ml !ψ
i ∂φ
i dφ
lˆ ψ = l(l +1)! ψ
2
pituuden neliö
2
Pyörimismäärävektorin pituuden neliöstä saadaan pyörimisenergia:
El,ml
!2
= l(l +1)
2I
https://www.youtube.com/watch?v=NwbvTa2xV9k
39
Solmutasojen (nodal plane) lukumäärä kasvaa l:n funktiona.
ml = 0 ratkaisuissa ei esiinny solmuja tasossa johon kuuluu
z-akseli. Fysikaalinen tulkinta on, että näissä tiloissa ei ole
z-akselin suuntaista pyörimismäärää
Pyörimisenergia on kvantittunut kvanttiluvun l suhteen:
2
E = l(l + 1)
2I
Kutakin l-arvoa vastaa 2l+1 ml arvoa, joten kukin energiatila
on (2l+1)-kertaisesti
degeneroitunut
€
Pyörivän kappaleen energia voidaan aina liittää sen pyörimismäärään.
Kvanttimekaniikan mukaan :
1/ 2
pyörimismäärävektorin pituus = {l(l + 1)} 
vektorin z − komponentinpituus = ml 
€
40
z-komponentin kvantittuminen vastaa klassisessa fysiikassa
tilannetta, että pyöriminen olisi sallittu vain tietyissä pyörimistasoissa.
Ilmiötä kutsutaan avaruuden kvantittumiseksi (space quantization)
41
vain pyörimismäärän z-komponentti
on kiinnitetty
42
Stern ja Gerlach tutkivat Ag atomien muodostamaa
suihkua epähomogeenisessa magneettikentässä
klassisen fysiikan ennustama tulos
kokeellinen havainto. Näytteessä on
ikään kuin kahdenlaisia atomeita, jotka
vuorovaikuttavat magneettikentän kanssa
eri tavoin
43
Tulos tulkittiin johtuvaksi pyörimismäärän z-komponentit kvantittumisesta
Mutta kokeessa havaittiin vain kaksi orientaatiota, ts. se vastaisi
tilannetta missä l=1/2
Pian ymmärrettiin, että havainto liittyy elektronin sisäiseen pyörimismäärään, jota kutsutaan spinniksi
Elektronin spin s=1/2 ja sen komponentit ms=±1/2
Joskus käytetään merkintöjä ↑ (spin ylös) ja ↓(spin alas)
Spin ei rajoitu elektroneihin. Hiukkaset, joiden
spin on puoliluku ovat fermioneja. Hiukkaset, joiden
spin on kokonaisluku (tai nolla) ovat bosoneja
44