1. No category

Betingelser For Konvergens
Goutham Jørgen Surendran
6. august 2015
Resumé
Formålet med noten er, at give en kort introduktion til Inada-betingelserne/konvergenskravene. Kravene
1
er en tilstræekklig betingelse for at vi matematisk har et globalt, monotonisk konvergens , og at vi dermed
har et strengt positivt steady state. De skal altid være opfyldt for en Solow i diskret(/kontiuert) tid (pånær
2
3
i åben økonomien, kap 4, eller endogen vækst, kap 8). . Noten er ikke pensum, men betingelserne skal
tjekkes hyppigt i Makro A.
Stabil 0-punkt
Hvis vi har en funktion
f (kt ) = kt+1 ,
da skal for
kt = 0 ⇒:
f (0) = 0
Eksisterer der ingen streng positiv mængde at kapital, produceres der ikke, der er ingen opsparing og dermed
ingen investeringer i ny kapital.
Figur 1: Transitionsdiagram, de to stabile punkter markeret
kt+1
kt+1 = kt
k?
Bemærk at
f (0) = 0
kt
er et steady state for økonomi i specialtilfældet, hvor initialværdien af kapital er 0,
k0 = 0.
1 Fodnote 8, s. 71 i [?]
2 Her skal stabilitetsbetingelsen være opfyldt, sr̄ < n → afkast fra den øgede formue er mindre end reinvesteringskravet (husk
antagelsen δ = 0)
3 Eventuelle afvigelser for modeller i kontinuer tid, se fodnoten til den relevante betingelse.
1
6. august 2015
Goutham Jørgen Surendran
Voksende funktion
Vis at det er en overalt voksende funktion,
f 0 (x) > 0.
Dette påvises i Solow ved at udlede følgende:
dkt+1
>0
dkt
Figur 2: Transition med
dkt+1
dkt
<0
kt+1
kt+1 = kt
kt
Intuition: Marginalproduktet fra kapital,
M Pk ,
α > 0)
er positivt. (Bemærk,
Konkav funktion
At funktionen er aftagende, og dermed konkav,
f 00 (x) < 0.
Dette påvises i Solow ved at udlede følgende.
d2 kt+1
<0
dkt2
Intuition: Marginalproduktet fra kapital,
M Pk ,
er faldende. I modellen er faldende skalaafkast til
Figur 3: Transition med
kt+1
d2 kt+1
dkt2
>0
kt+1 = kt
k?
Side 2 of
??
kt
Kt , (α < 1)
6. august 2015
Goutham Jørgen Surendran
Nedre Inada-betingelser4
Betingelse sikrer, at mængden kapital er voksende, og skyder over45
lim
kt →0
Ved en meget et lille kapitalintensitet (mindre end
forøgelsen i
◦
−linjen
dkt+1
>1
dkt
k ? ),
vil en marginal forøgelse af
kt
øge
kt+1
med mere end
kt .
Figur 4: Transition med
lim dkt+1
kt →0 dkt
kt+1
<1
kt+1 = kt
kt
Intuition: I punktet er marginalproduktet højt, hvorfor produktionen stiger markant (mere end
komst
→
opsparing
→
investering→ kapitalintensiteten i
t+1
stiger markant (mere end
kt ) →
ind-
kt ).
Øvre Inada-betingelser5
Matematisk sikrer det et steady state, og at ikke-eksplosiv økonomi:
lim
kt →∞
Ved en meget høj kapitalintensitet (større end
k ? ),
dkt+1
<1
dkt
vil den marginal forøgelse i
Figur 5: Transition med
lim dkt+1
kt →∞ dkt
kt+1
kt
være større end
kt+1 .
=1
kt+1 = kt
kt
Intuition: I punktet er marginalproduktet lavt, hvorfor produktionen stiger marginalt→ indkomst
ring
→
investering→ kapitalintensiteten i
t+1
stiger marginalt.
4 I kontinuer tid: lim dk̇ = ∞
dk
kt →0
5 I kontinuet tid: lim dk̇ = 0
dk
kt →0
Side 3 of
??
→
opspa-