Bevægelse med luftmodstand
Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium og HF
Denne artikel handler om bevægelse af en genstand under påvirkning af tyngdekraften og luftmodstand, hvor luftmodstanden er proportional med farten. Vi vil se på situationen, hvor
et legeme bliver skudt lodret op med en begyndelsesfart på
v0. Ved ingen luftmodstand er varigheden af opturen (top) det
samme som varigheden af nedturen (tned).
Spørgsmålet er så, hvorledes det forholder sig i virkelighedens
verden, hvor der er luftmodstand til stede. Svaret er, at tned er
større end top og man kan argumentere som følgende: Ved ingen luftmodstand haves en begyndelsesfart på v0 ved jorden
og den maksimale højde (ymax1) opnås i løbet af tiden top1 og
på nedturen vil genstanden have opnået en fart på v0 efter tidsrummet top1 (målt efter at genstanden har toppet ved ymax) og
dermed vil genstanden have nået jorden. Når der er luftmodstand haves en begyndelsesfart på v0 og den maksimale højde
(ymax) opnås i løbet af tiden top og på nedturen vil genstanden
pga. luftmodstanden opnå en fart, der er mindre end v0 efter
tidsrummet top (målt efter at genstanden har toppet ved ymax),
og dermed vil genstanden ikke have nået jorden, og dermed
er varigheden af nedturen længere end varigheden af opturen.
Dette argument gælder, uanset om luftmodstanden er proportional med farten eller, om det er proportional med kvadratet
på farten. Nedenstående beregninger vil vise, at tned > top og et
udtryk for tned – top =Δt vil blive udledt.
Når legemet kastes lodret opad med en begyndelsesfart på v0,
så er kræfterne tyngdekraften og luftmodstanden som begge
virker nedad. Vi vælger et koordinatsystem med begyndelsespunkt ved jorden, hvorfra genstanden bevæger sig opad.
Koordinatsystemet er orienteret positivt opad. Ifølge Newtons
2. lov har vi følgende differentialligning
k
dv
dv
= −g − av hvor a = > 0
m = −mg − kv ⇔
m
dt
dt
Differentialligningen løses i intervallet
−g
−g − av < 0 ⇔ v >
a
Dette er opfyldt ved den opadgående bevægelse, idet legemets
begyndelsesfart er v0 > 0, og når genstanden når den maksimale højde (ymax) er v = 0. Differentialligningen løses vha. separationsmetoden:
Matematik
Fysik
dv
∫ −g − av = ∫ dt
−1 dz
= t + c1 ⇔
a
z
−1
−1
ln ( z ) =
ln (−g − av ) = t + c1
(1)
a
a
Konstanten c1 bestemmes af begyndelsesbetingelsen, at til
t = 0 er v = v0. Vi har altså, at:
∫
Indsættes ovenstående i (1) fås:
1
(ln (−g − av0 )− ln (−g − av )) = t
a
1  −g − av0 
ln
= t
a  −g − av 
−g − av0
= e at
−g − av
−g − av
= e−at
−g − av0
−g − av = (−g − av0 ) e−at
−g − av = −ge−at − av0 e−at
−g g −at
+ e + v0 e−at = v (t )
a
a

g g
vop (t ) = e−at v0 + −
(2)

a a
Når legemet opnå den maksimale højde er v = 0, og for at beregne varigheden af opturen løses ligningen v(t) = 0.

g g
e−at v0 +  − = 0

a a
−at
e
=
g
a
g
a
g
v0 +
av
at
a
= 1+ 0
e =
g
g
a
1  av  m  kv 
t = ln 1 + 0  = ln 1 + 0  = top
(3)
a 
g  k 
mg 
Den maksimale højde bestemmes ved først at finde stedfunktionen for denne bevægelse.
v (t ) =
v0 +

dy
g g
= e−at v0 +  −

a a
dt

Integration af ovenstående giver:
Vi foretager følgende substitution:

g
g
+  e−at dt −
dt
a
a
1 
g
g
y + c2 =
v +  e−at − t
−a  0 a 
a
∫ dy = v
dz
−g − av = z ⇒ − a ⋅ dv = dz ⇔ dv =
−a
0
20 LMFK-bladet 4/2015
−1
ln (−g − av0 ) = c1
a
∫
∫
(4)
"Gamle Protactinium-generatorer
skal bortskaffes"
SIS, Statens Institut for
Strålebeskyttelse April 2015
Minigenerator
(HCl) Cs/Ba-137
Den kendte malke-ko med 156 sek. halveringstid
er nu eneste udstyr til halveringstids-forsøg...
Leveres med speciel udtræksvæske. Dryp væsken igennem
minigeneratoren og mål på udtrækket. I en normal undervisningslektion kan minigeneratoren med godt udbytte
malkes 3 gange! Godkendt af SIS!
Best.nr. 93491 incl. udtræksvæske,
plastsprøjte og alu-skåle Pris kr.
2.885,-
excl.moms
Minigenerator
Udtræksvæske 250ml
Best.nr. 93494
Pris pr. stk. kr. 159,- excl.moms
Se me
re
udstill på vor
in
ÅRSM g på
ØDET
Godkendt af e-handelsfonden:
Se mere på vores webshop:
www.skolebutik.dk - eller ring 4470 4000
LEVERANDØR TIL DE NATURVIDENSKABELIGE FAG
Konstanten c2 bestemmes af begyndelsesbetingelsen, nemlig
at til t = 0 er y = 0. Vi har altså:
c2 =
1 
g
v + 
−a  0 a 
Lad os herefter behandle bevægelsen af legemet på nedturen,
hvor tyngdekraften virker nedad, mens luftmodstanden virker
opad. Vi indfører et koordinatsystem med nulpunktet ved legemets begyndelsessted (ymax), hvor begyndelsesfarten er nul,
og den positive y–akse orienteret nedad.
Indsættes ovenstående i (4) fås, at:
1
g
g
yop = v0 +  1− e−at − t a 
a
a
(
)
(5)
For at bestemme den maksimale højde indsættes tidsresultatet
(3) for opturen i ovenstående formel. Vi har derved følgende:
’
1  av  

−a ln1+ 0  


1
g 
a 
g 
− g ln 1 + av0 
ymax = v0 + 1− e
2


g 
a 
a 
 a








g 
1
1  g  av0 
 − ln 1 +
ymax = v0 + 1−

a 
a 
g 
av0  a 2 
1
+


g 




1 
g  av0  g  av0 
 − ln 1 +
ymax =
v0 + 


ag 
a 
av0  a 2 
g 
 1 + g 
ymax
2
2

ln 1 +

k ⋅ vslut = m ⋅ g ⇔ vslut =
m⋅
dv
= m⋅ g −k ⋅v
dt
dv
= g −a ⋅v
dt
(7)
hvor a = k/m.
Differentialligningen løses i intervallet
g − av > 0 ⇔ v <
v0 

g 
mg
k
Newtons 2. lov giver følgende differentialligning:
av 2 + gv
g  av 
= 0 2 0 − 2 ln 1 + 0 

g 
ag + a v0 a
v02 + 2 gv0 g
ymax =
−
g + 2 v0
I begyndelsesfasen er farten lav og dermed er gnidningen lille,
men når farten øges pga. tyngdekraften vokser gnidningskraften, og når gnidningskraften bliver lige så stor men modsatrettet
tyngdekraften, så er den resulterende kraft nul, og legemet bevæger sig med konstant fart. Legemets slutfart må altså være:
(6)
mg
= vslut
k
Som beskrevet før er dette opfyldt på nedturen, idet begyndelsesfarten er nul og vokser asymptotisk mod ovenstående slutfart.
Ligning (7) løses vha. seperationsmetoden. Vi har altså følgende:
LMFK-bladet 4/2015
21
Matematik
Fysik
∫
dv
=
g −a ⋅v
∫
Stedfunktionen findes ved at integrere ovenstående. Vi har altså:
dt
∫
Vi indfører følgende variabelskift:
g − a ⋅ v = w ⇒ − a ⋅ dv = dw
1
dw
= t + c1
−a
w
1
(8)
⋅ ln( w) = t + c1
−a
Konstanten c1 bestemmes af begyndelsesbetingelsen, nemlig
at til t = 0 er v = 0 og dermed er w = g. Vi har altså:
∫
a
1− ⋅ v = e−at
g
a
1− e−at = ⋅ v
g
k
− t
gm 
1− e m 
vned (t ) =

k 

g
0 < a <1
g
t
vslut
−vslut
ln (1− a)
g
−m
(11)
t=
ln (1− a)
k
Vi ønsker nu at finde stedfunktionen for denne bevægelse.
t=
Matematik
Fysik
dt
g
v 2 − t
y + c2 = vslut t + slut e vslut
g
Til tidspunktet t = 0 er y = 0 og dermed fås, at
c2 =
(12)
vslut 2
g
For opturen haves en begyndelsesfart på v0 og et tidsrum for
opturen givet ved top.
m  kv0 
ln 1 +
= t
k 
mg  op
Vi vil nu beregne genstandens fart på nedturen svarende til
ovennævnte tidspunkt top efter passage af toppunktet ymax og
er farten mindre end v0, så har genstanden ikke ramt jorden
endnu, og dermed er varigheden af nedturen længere end tidsrummet for opturen. Udtrykket for top indsættes i (11), og dermed ønsker vi at bestemme brøkdelen α, som genstanden har
opnået af terminalfarten vslut:
m  kv0  −m
ln 1 +
ln (1− a)
=
k 
mg 
k
t
e vslut = 1− a
−gt
= ln (1− a)
vslut
g
∫
g
t
vslut
(9)
Vi har altså følgende ligning:
−
−
e
dt
−kt

mg
m 2 g 
(14)
ymax =
t + 2 e m −1
k


k

Ovenstående ligning kan ikke løses eksakt. Inden vi forsøger
at løse ligning (14) approksimativt vil vi vise, at varigheden
af nedturen er større end varigheden af opturen.
g 

t
−

vned (t ) = vslut ⋅1− e vslut 
(10)




Farten vokser altså fra nul og nærmer sig asymptotisk slutfarten. Vi ønsker at bestemme sammenhængen mellem tiden og
brøkdelen af farten i forhold til slutfarten.
−
∫
dt − vslut
g
t
vslut
 g

vslut 2  − vslut t 

−
1
e


g 


−kt

m 2 g 
mg
t + 2 e m −1
yned (t ) =
(13)
k
k 

For at beregne varigheden af nedturen indsættes udtrykket for
den maksimale højde (ymax) i ovenstående og ligningen løses
mht. tiden t.
 w
ln   = −a ⋅ t
 g 
 g − a ⋅ v 
= −a ⋅ t
ln 
 g 
a = 1− e
y + c2 = vslut
∫
−
vslut ⋅ e
yned (t ) = vslut t +
1 
⋅ ln ( g )− ln ( w) = t
a 
ln ( w)− ln ( g ) = −a ⋅ t
vned (t ) = a ⋅ vslut
∫
vslut dt −
Indsættes ovenstående i (12) fås følgende:
1
⋅ ln ( g ) = c1
−a
Ved indsættelse af ovenstående i (8) fås:
dy =
t
−
dy
= vslut − vslut ⋅ e vslut
dt
22 LMFK-bladet 4/2015
 kv 
ln 1 + 0  = − ln (1− a)

mg 
 kv 
−1
ln 1 + 0  = ln (1− a)

mg 
(
)
kv
mg + kv0
1
= 1+ 0 =
mg
mg
1− a
mg
1− a =
mg + kv0
kv0
mg
a = 1−
=
mg + kv0 mg + kv0
(15)
Danmarks Tekniske Museum
GRATIS adgang til LMFK’s medlemmer
Undervisningsforløb for gymnasier og skoler bl.a.
- Energ
ikri
se
olu
tio
n-
I
e
at fyv
-
tion - Drøm
ova
men
n
n
om
973 - Den indus
1
trielle rev
n
Fabriksvej 25 • 3000 Helsingør • Tel. 4922 2611
[email protected] • www.tekniskmuseum.dk
Børn/unge under 18 år gratis • Åbent: tirsdag - søndag 10-17
Genstandens fart er således:
kv0
mg
⋅
mg + kv0 k
mg
=
⋅v =
mg + kv0 0
Da vi har at:
kv0
>0 ⇒
mg
1
⋅ v0
kv
1+ 0
mg
Varigheden af nedturen tned bestemmes tilnærmelsesvis som:
(16)
ymax =
Altså er farten mindre end begyndelsesfarten v0, og dermed har
genstanden ikke ramt jorden endnu, og dermed er varigheden
af nedturen længere end varigheden for opturen.
Vi kan nu forsøge at løse ligning (14) approksimativt for at
finde varigheden af nedturen.
(17)
−kt

mg
m 2 g 
t + 2 e m −1 ≈
k

k 
2 ymax
g
(18)
Vi begynder med det eksakte udtryk for ymax og foretager en
Taylor–rækkeudvikling af det:
1
< 1 ⇒ vnedtur (top ) < v0
kv
1+ 0
mg
−kt

mg
m 2 g 
ymax =
t + 2 e m −1
k

k 
Højresiden af ovenstående ligning rækkeudvikles.
tned =
 1
mg
m 2 g  kt k 2t 2
t + 2 1− + 2 −1 = gt 2
 2
k
k  m
m
En rækkeudvikling til højere orden i k vil resultere i en 3. grads
mkv02 + m 2 gv0 gm 2  kv0 
− 2 ln 1 +
≈

mg 
mkg + k 2 v0
k
k 2v 2
k 3v 3
k 4 v 4 
mkv02 + m 2 gv0 gm 2  kv0
− 2 
− 2 0 2 + 3 0 3 − 4 0 4 
2
mkg + k v0
k  mg 2m g
3m g
4m g 
Ovenstående rækkeudvikling gælder under forudsætning af, at
kv0
mg
≤ 1 ⇔ v0 ≤
= vslut
mg
k
Dette er opfyldt ved ikke for store værdier for begyndelsesfarten, hvor luftmodstanden er forudsat at være proportional
med farten. Ved store værdier for farten er det mere rimeligt
at regne med, at luftmodstanden er proportional med kvadratet på hastigheden.
mkv02 + m 2 gv0
ymax =
−
mkg + k 2 v0
gm 2  12m 3 g 3kv0 − 6m 2 g 2 k 2 v02 + 4mgk 3v03 − 3k 4 v04 



k 2 
12m 4 g 4
LMFK-bladet 4/2015
23
Matematik
Fysik
vned (top ) = avslut =
polynomium i t i højresiden af (17) og dermed en betydelig
vanskeligere ligning at løse.
mkv02 + m 2 gv0  12m 3 g 3kv0 − 6m 2 g 2 k 2 v02 + 4mgk 3v03 − 3k 4 v04 
−



12m 2 g 3k 2
mkg + k 2 v0
ymax =
mkv02 + m 2 gv0 )12m 2 g 3k 2 −(12m3 g 3kv0 − 6m 2 g 2 k 2 v02 + 4mgk 3v03 − 3kk 4 v04 )(mkg + k 2 v0 )
(
ymax =
(mkg + k 2v0 )12m2 g 3k 2
ymax =
2m 2 g 2 k 4 v03 + 6m 3 g 3k 3v02 − mgk 5v04 + 3k 6 v05
12m 3 g 4 k 3 + 12m 2 g 3k 4 v0
Ved bevægelse uden luftmodstand er ymax givet som:
ymax (k = 0) =
v02
2g
Denne størrelse faktoriseres i ymax og vi har derfor:
ymax =
ymax
v02 (6m 3 g 3k 3 + 2m 2 g 2 k 4 v0 − mgk 5v02 + 3k 6 v03
2g
6m 3 g 3 k 3 + 6 m 2 g 2 k 4 v
(
0
)
2 2
3 3 

 1 + kv0 − k v0 + k v0 
3mg 6m 2 g 2 2m 3 g 3 
v 2 

= 0 

kv0
2 g 

1+

mg


For at sammenligne med tned rækkeudvikles top.
top ≈
Ved indsættelse i (18) fås følgende udtryk for tned:
tned =
v0
g
1+
kv0
k 2v 2
k 3v03
− 2 02 +
3mg 6m g
2m 3 g 3
kv
1+ 0
mg
Af ovenstående defineres følgende funktion:
1
1
1
1+ x − x2 + x3
3
6
2
f ( x) =
1+ x
kv
I ovenstående er x givet som x = 0 .
mg
Taylorrækken for funktionen f er:
1
7 2
f ( x ) ≈ 1− x +
x
3
36
Vi har altså følgende resultat for tned:
tned ≈
7k 2 v02 
v0 
kv
1− 0 +
g  3mg 36m 2 g 2 
Matematik
Fysik
For top havde vi følgende udtryk:
top =
m  kv0 
ln 1 +

k 
mg 
24 LMFK-bladet 4/2015
k 2v 2
k 3v 3 
m  kv0

− 2 0 2 + 3 0 3 
k  mg 2m g
3m g 
=
k 2v 2 
v0 
kv
1− 0 + 2 0 2 
g  2mg 3m g 
Tidsforskellen mellem tned og top beregnes til første orden af k:
∆t = tned − top =
v0  kv0 

g  6mg 
kv02
ky
=
≈ max
3mg
6mg 2
(19)
Hermed fås, at nedturen tager længere tid end opturen. Ved
ingen luftmodstand, dvs. når k = 0 er Δt = 0, dvs. at opturen
og nedturen tager samme tidsrum. Desuden er forskellen mellem de to tider størst for lette genstande. Det er også interessant at bemærke, at tidsforskellen er kvadratisk med farten og
dermed proportional med den maksimale højde.
Eksperimenter, hvor en fjerbold bliver slået lodret op, viser,
at nedturen tager længere tid. Slaget blev filmet og indsat i
Loggerpro, og vha. dette program blev tiderne bestemt. For
en fjerbold, der blev slået ca. 6 m op var opturstiden ca. 0,80
s og nedturstiden ca. 1,12 s. For at eftervise sammenhængen
(19) kan videometoden benyttes med en systematisk variation af den maksimale højde (ymax) samt massen.