K
Kinematik
Den del af fysikken, der handler om at beskrive
bevægelser hedder kinematik.
Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration,
men disse ting må altid angives i forhold til noget.
Fysikere siger, at man må vælge et referencesystem.
I denne lærebog vil vi kun se på bevægelser der foregår langs rette linier, eller langs baner, hvor
positionen kan beskrives ved en enkelt koordinat, en stedkoordinat s som funktion af tiden, altså
en tidskoordinat t . Vi benytter sådan en stedakse - fx et målebånd på jorden - som vores
referencesystem.
Vi kalder dette for en lineær bevægelse, selv om det strengt taget ikke foregår langs en ret linie:
Lad os betragte en cyklist der kører
hen ad en cykelsti.
Vi kan beskrive cyklistens køretur
ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:
t/s
0
20
40
60
80
100
120
s/m
0
180
330
450
550
630
700
For at få et overblik
over bevægelsen
afbilder vi tabellens
data i et koordinatsystem.
Det er mest praktisk at
have tiden t som
førstekoordinat.
Vi kalder en sådan
afbildning for en (t,s)graf for bevægelsen.
Vi siger også, at vi har
grafen for s(t) , dvs. s
som funktion af t.
Opgave 1:
Af tabellen fås, at fx s(80s) = 550m.
Find på samme måde s(20s), s(60s) og s(120s).
Løs ligningen s(t) = 330m og ligningen s(t) = 630m .
Af (t,s)-grafen ses, at fx s(50s) = 395m.
Find ved aflæsning på grafen på samme måde s(10s), s(30s) og s(110s).
Løs ved aflæsning på grafen ligningerne s(t) = 120m og s(t) = 590m
Opgave 2:
Grafen er en (t,s)-graf for en cykeltur, hvor cyklisten vender om to gange.
Beskriv denne cykeltur med ord.
Opgave 3:
Tegn (t,s)-graferne for en 100m-løber, og for en bybus, der kører fra et stoppested til det næste.
Opgave 4:
Buslinierne fra Jernbanestationen i Sunshine til Caroline Springs, Caroline Springs Tennis Club og
til Melton illustreres her af busselskabet i Australien nær Sidney.
Prøv at beskrive med dine egne ord hvad det hele går ud på:
1. Bevægelse med
konstant hastighed
Den simpleste lineære bevægelse er en bevægelse
som hele tiden foregår med den samme hastighed.
En sådan bevægelse kaldes jævn.
Når en partikel bevæger sig jævnt, vil den tilbagelagte vejstrækning være proportional med den tid
det tager at tilbagelægge strækningen, og proportionalitetsfaktoren vil være den konstante
hastighed v , (af latin: velocitas).
Hvis vi lader stedfunktionen s(t) være 0 ved det sted, hvor partiklen befinder sig til tidspunktet
t = 0s , altså har s(0s) = 0m får vi en særlig enkel sammenhæng:
s
(1.1)
v.t
=
Hvis derimod partiklen befinder sig et andet sted so til tidspunktet t = 0s får vi sammenhængen
s
(1.2)
v . t + so
=
Disse udtryk kan også skrives som funktionsudtryk, lidt mere omstændeligt:
(1.3)
s(t)
=
v.t
og (1.4)
s(t)
=
v . t + s(0s)
idet s(0s) er det samme som so
(t,s)-grafen for en jævn bevægelse er en ret linie, hvor hastigheden v er hældningskoefficienten.
Med begyndelsessted 0:
s
=
v.t
Med begyndelsessted so:
s
=
v . t + so
Da hastigheden v er hældningenskoefficienten på (t,s)-grafen, kan vi også sige, at hastigheden er
vejlængden pr. sekund. Den grundlæggende SI-enhed for v er meter pr. sekund, m/s = m.s-1 .
Hvis man ikke kender hastigheden, kan den findes ud fra to sæt sammenhørende værdier af t og
s . Hvis vi kalder de to sæt værdier for (t1 , s1) og (t2 , s2) har vi:
s1
=
v . t1 + s o
s2
=
v . t2 + s o
(1.5)
v =
s2 - s1
=
=
,
hvor vi som sædvanligt har ladet det græske
bogstav
betyde "Tilvæksten af …..".
Fx betyder
tilvæksten af stedkoordinaten,
eller med andre ord vejstrækningen fra stedet med
koordinaten s1 til stedet med koordinaten s2 .
Opgave 5:
Opgave 6:
v . t2 -
v . t1
=
v . (t2 - t1)
2. Bevægelse med
varierende hastighed
Hvis vi vender blikket tilbage til side 1, kan vi se, at
for denne cykeltur er hastigheden ikke konstant.
Men hvis den ikke er konstant, må den jo ændre sig.
Hvordan kan vi tale om hastigheden på et bestemt
tidspunkt, en øjeblikshastighed? Spørgsmålet optog
de gamle grækere, som påpegede, at der var et
dilemma: Hvis hastighed er et vejstykke divideret
med en tid, hvad så med øjeblikshastighed - hvordan
kan man dividere med et øjeblik, altså en tid der er 0?
Dilemmaet løses i differentialregningen, der blev
opfundet i slutningen af
1600-tallet, men den lærer I
nærmere om i matematik.
Vi vil her indføre en
gennemsnitshastighed
eller middelhastighed i et
tidsrum:
I det tidsrum, der går fra t1
= 40s til t2 = 100s har
cyklisten bevæget sig fra s1
= 330m til s2 = 630m , og
vi siger derfor at cyklistens
gennemsnitshastighed er:
vg =
=
= 5
= 5m.s-1 .
På grafen ovenfor kan vi se, at dette svarer til hældningen af den gule linie, der hedder en sekant.
På en (t,s)-graf er en gennemsnitshastighed altså hældningskoefficienten af en sekant, der tegnes
ind på grafen i det pågældende tidsrum.
Vi vil her definere en øjeblikshastighed, eller hastigheden i et punkt som en gennemsnitshastighed over et meget lille tidsrum omkring øjeblikket / punktet.
Det ses, at når tidsrummet bliver
meget lille, kommer sekanterne
tættere og tættere på den såkaldte
tangent i et punkt. Vores
hastighed i et punkt er derfor
hældningskoefficienten for
tangenten i dette punkt.
På tegningen her kan øjeblikshastigheden til t = 60s findes
som hældningen af den blå
tangent, da denne er grænsestilling for de gule sekanter hvis
hældninger er gennemsnitshastigheder for tidsrum, der
snævrer sig mere og mere
sammen on tidspunktet t = 60s .
Vi definerer nu en hel hastighedsfunktion, v(t) , som angiver øjeblikshastigheden til tidspunktet t.
Opgave 7:
Find ved aflæsning øjeblikshastigheden v(60s) på grafen ovenfor.
Opgave 8:
Find ved aflæsning gennemsnitshastigheden over tidsrummet fra t1 = 10s til t2 = 30s for
cykelturen hvis (t,s)-graf er bragt i opgave 2, side 2.
Find ligeledes gennemsnitshastigheden over tidsrummet
fra t1 = 90s til t2 = 110s .
Find ved aflæsning øjeblikshastighederne v(20s) ,
v(50s) , v(80s) og v(100s)
Beskriv endnu en gang cykelturen med ord, idet du gør
rede for hastighedens variation i løbet af turen.
Når man har hastighedsfunktionen v(t) kan man afbilde dennes graf i et (t,v)-diagram. Nedenfor
ses et eksempel på en (t,s)-graf og den tilhørende (t,v)-graf . Bemærk at anden-akserne har
forskellige enheder. Bliv fortrolig med sådanne grafer, og prøv selv at tegne sammenhørende (t,s)grafer og (t,v)-grafer:
Opgave 9:
Stedfunktionen for en bevægelse er
s(t) = 3,7
.
Beregn bevægelsens hastighed v(t) .
t
3. Bevægelse med
konstant acceleration
Hvis (t,v)-grafen for en bevægelse er en ret linie, siger
vi, at vi har en jævnt voksende bevægelse eller en
bevægelse med konstant acceleration.
Accelerationen er defineret som hældningskoeficienten
på (t,v)-grafen , dvs. som hastighedstilvæksten pr.
sekund.
Vi har altså
(3.1)
a =
=
,
Enheden for acceleration bliver enheden
for v divideret med enheden for t , altså
= m/s2 = m . s-2 .
I et frit fald uden luftmodstand er alle
legemer her ved jordoverfladen udsat for
en konstant acceleration på g
10m/s2 .
I ligningerne (1.1) - (1.4) så vi, hvordan vi
kunne finde den tilbagelagte vej ud fra
hastigheden gange tiden, men hvad gør vi i
dette tilfælde, hvor der ikke er en hastighed,
men forskellige hastigheder?
Svaret er, at så må vi bruge
gennemsnitshastigheden vg , som også
benævnes
, idet det i matematikerkredse er
almindeligt, at man lader kantede parenteser om
en variabel betyde gennemsnittet af variablen.
Gennemsnitshastigheden ved en ujævn hastighed kan - ligesom i
(1.5) findes som:
= vg =
(3.2)
=
,
altså den totale afstand / totale tid , hvis vi lader situation 1 være
starten og situation 2 være slutningen på et forløb. Denne kan
omformes til
(3.3)
= s2 - s1
=
vg . (t2 - t1) =
vg . t
altså: tilbagelagt vej er gennemsnitshastighed gange forløbet tid.
Dette gælder for alle ujævne bevægelser, Men det bliver særligt simpelt at regne på, når vi har at
gøre med en bevægelse med konstant acceleration. dvs. en jævnt voksende bevægelse. Her kan
gennemsnitshastigheden nemlig findes som middelværdien af starthastigheden og sluthastigheden:
= vg = ½ . (vstart + vslut ) = ½ . (v1 + v2 )
(3.4)
Under et frit fald, der starter fra hvile (vstart = 0) er sluthastigheden
(3.5)
vslut = g . t .
I dette simple tilfælde bliver:
(3.6)
vg = ½ . (vstart + vslut ) = ½ . g . t .
og så bliver den tilbagelagte vej
(3.7)
s = vg . t = ½ . g . t . t = ½ . g . t2
også kendt som Galileis faldlov.
Opgave 10:
En ond lærer falder ned fra et 11,25m højt vindue. Hvad er hans faldtid, og med hvilken
hastighed rammer han jorden?