Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Delprøven uden hjælpemidler
Opgave 1
a) Se graf:
Opgave 2
a) ! f (x) = −25000x + 475000
−25000x + 475000 = 150000
År hvor værdien er 150000: −25000x = −325000
!x = 13
I år 2025 vil værdien være faldet til 150000 kr.
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Opgave 3
Undersøg om ! f (x) er løsning til differentialligningen: !x ⋅ f ′(x) = 4x 4 + 3
!
f ′(x) = 4x 3 +
3
x
⎛
3⎞
Venstre side af ligningen giver: x ⋅ ⎜ 4x 3 + ⎟ = 4x 4 + 3
x⎠
⎝
!
Da venstre side er lig med højre side i ligningen er ! f (x) løsning til differentialligningen.
Opgave 4
a) !F(x) = x 3 − 3x 2 + 9x + k
10 = 8 −12+18 + k
!k = −4
Stamfunktionen gennem punktet P: !F(x) = x 3 − 3x 2 + 9x − 4
Opgave 5
a) GROMK(x)=!C ′(x) = x 2 − 4x +10
x 2 − 4x +10 = 15
x 2 − 4x −5 = 0
−(−4)± (−4)2 − 4⋅1⋅−5
2⋅1
4 ±6
x=
2
!x = 5!eller!!x = −1
x=
Produktionsmængden er 5 ton.
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Delprøven med hjælpemidler
Opgave 6
a)
Forklaringer:
1. linie: Parametrene indsættes i formlen
2. linie: Gennemføre udregninger
3. linie: Vi kvadrerer på højre og venstre side.
4. Linie: n isoleres i ligningen.
b)
Vha. Nspire fås følgende:
Bemærk: Parameteren z1− α = z i formlen.
! 2
Løsning er: n =
!
( )
−4⋅ p̂⋅( p̂ −1)⋅ z1− α
2
2
L
2
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Opgave 7
a) Pivottabel:
Antal af Svar Rækkenavne arbejdsløs offentlig sektor pensionist privat sektor studerende (tom) Hovedtotal Kolonnenavne Ja, i Danmark i udlandet Nej Ja, (tom) Hovedtotal 36 21 13 70 77 134 5 216 177 294 55 526 85 170 15 270 57 70 13 140 432 689 101 1222 b)
Vi gennemfører en !χ 2 -test på 5%.
H0 : !Ingen!sammenhæng!mellem!svar!og!beskæftigelse
H : !Sammenhæng!mellem!svar!og!beskæftigelse
! 1
Testresultat:
"Titel"
"χ²"
"PVal"
"df"
"χ²-uafhængighedstest"
44.689862467452
4.2130656185589E-7
8.
Som det fremgår af udskriften er p-værdien stort set nul, hvorfor vi kan afvise nulhypotesen og det
derfor antages, at der er sammenhæng mellem svar på spørgsmålet og beskæftigelse.
Opgave 8
(
)
Givet normalfordelingen: X ∼ N 1000,55
!
a) normCdf(1100,3000,1000,55)= 0.034518117186526
Sandsynligheden for at en pose vejer mere end 1100 g er 0,035 eller ca. 3,5%.
b)
Udskrift fra CAS:
"!x "
"Σx"
"Σx²"
"sx := sC₋₁x"
995.3375
79627.
79555249.
61.57324417906
Som det fremgår af udskriften er gennemsnitsvægten 995,3 g og spredningen (St.afv.) på 61,6 g.
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Opgave 9
a) Restgæld på lånet efter 6 år:
bal(72,84,0.33,320000) = 51310.1
Som det fremgår af udskrift fra CAS er restgælden på lånet efter 6 år på 51310,10 kr.
b) Vha. finansregner i CAS fås følgende: Pmt = 3944,80
Den månedlige ydelse er på 3944,80 kr.
c) Familiens samlede ydelse over 6 år ved belåning hos bilforhandler er i alt på
3944,80 + 1031,90 kr. = 4976,70 kr.
Sammenlignes dette med billånet i banken med en ydelse på 4368,13 kr. over 7 år, afhænger det af,
om familien kan betale ca. 1000 kr. ekstra om måneden og derved have afviklet lånet 1 år tidligere.
Ydermere vil den samlede betaling på banklånet andrage 422025 kr. sammenlignet med den
samlede betaling til bilforhandler på 401890 kr. Sidstnævnte beregnet vha. CAS.
Familien kan altså spare ca. 20000 kr. ved at vælge lånet hos bilforhandleren.
Opgave 10
Givet efterspørgsels – og udbuds funktionerne:
E(x) = −0,1x + 800
!U(x) = 0,05x +50
−0,1x + 800 = 150
x = 6500
a) Importen M:
0,05x +50 = 150
!x = 2000
!M = 6500− 2000 = 4500
b)
Ved løsning af tilsvarende ligninger som ovenfor fås:
X E = 6000
X = 3000
! U
Toldindtægten vil være: !50⋅(6000− 3000) = 150000 kr. (benyttet arealformel for rektangel).
Importen vil falde med: !4500− 3000 kr. = 1500 kr.
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Opgave 11
3
f (x) = − − 2x + 7
Givet funktionen f og ligningen for tangenten:
x
! y = x +1
a) Bestemmer koordinatsæt:
CAS udskrift:
solve((−3)/(x)-2*x+7=0,x)
x=1/2 or x=3
Koordinatsæt: Q( 12 ,0)!og!P(3,0)
!
CAS udskrift:
solve((−3)/(x)-2*x+7=x+1,x)
x=1
! y = 1+1 = 2
Koordinatsæt: !R(1,2)
b) Arealet af det grå område på figuren:
CAS udskrift:
Arealet er: 4,2.
Opgave 12
a) Vi beregner følgende:
28
= 350
2⋅−0,04
45
q=−
= 250
2⋅−0,09
2
2
!K = 0−(−0,04)⋅350 −(−0,09)⋅250 = 10525
p=−
Vi får nu følgende:
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
( x − 350)
2
6925−10525
−0,04
( y − 250)
2
+
6925−10525
−0,09
( x − 350) + ( y − 250)
2
!
3002
=1
2
2002
=1
Som det fremgår af ovenstående er N(6925) en ellipse med centrum i (350,250) og
storakse på 300 og lilleakse på 200.
b) Det størst mulige samlede dækningsbidrag opnås i centrum af ellipsen, det frie maksimum.
Der skal derfor sælges 350 stk. A og 250 stk. B.
c) Ellipse med begrænsningsområde:
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Som det fremgår af ovenstående graf ligger ellipsens centrum udenfor begrænsningsområdet.
Vi indsætter begrænsningen i f(x,y) og får følgende funktion i en variabel:
g(x)=−0.0625*x^(2)+37.*x+4725
Som det fremgår af CAS udskrift tangerer ellipsen begrænsningslinien i x = 296.
! y = 296⋅−0,5+ 350 = 202 .
Da koefficienten til !x 2 er negativ opnås maksimum i punktet (296,202).
Under hensyntagen til begrænsningerne opnås det størst samlede dækningsbidrag ved salg af 296 af
A og 202 af B.
Opgave 13A
I denne opgave er der tale en lineær funktion i to variable, dvs. lineær programmering.
Kriteriefunktionen: ! f (x , y) = 1200x +1000 y
Bi- og positiv betingelser:
1,5x + 0,5 y ≤ 100
y ≤ −3x + 200
x + y ≤ 100
y ≤ −x +100
!x ≥ 0∧ y ≥ 0
N(0): ! y = −1,2x
a) Vi indtegner begrænsninger og N(max):
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Som det ses, findes maksimum i skæringspunktet mellem de to begrænsningslinier.
For at opnå det størst samlede dækningsbidrag skal der sælges 50 ton af KOMPAKT og 50 ton af
NORMAL.
b) Følsomhedsanalyse for DB for NORMAL:
f (x , y) = 1200x + by = 0
1200
y=−
x
b
!
1200
1. grænse: − b = −3
!b = 400
1200
−
= −1
2. grænse:
b
!b = 1200
Dækningsbidraget på NORMAL må stige med 200 kr. pr. ton op til 1200.
Opgave 13B
a) Vi finder den partikulære løsning:
deSolve(y'=80-0.04*y and y(0)=0,x,y) ▸ y=2000-2000*(0.960789439152)^x
(
)
x
Løsning: y = 2000− 2000⋅ 0,961
!
b)
solve(2000-2000*(0.961)^(x)=1000,x) ▸ x=17.4241332669
Der går altså 17 timer og 25 minutter før 1000 personer har kendskab til begivenheden.
Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015
Peter Bregendal
Opgave 13C
a)
Lineær regressionsmodel:
"RegEqn"
"m"
"b"
"r²"
"r"
"m*x+b"
0.19527162254081
-0.070932529300962
0.24514023916553
0.49511638951415
Model: !A(x) = 0,195x − 0,07
Som det fremgår af koefficienterne er der hverken god overensstemmelse eller tilpasningsgrad
mellem stigning i arbejdsløshed og stigning i ulighed.
b)
Konfidensinterval for stigningstakten:
"RegEqn"
"CLower"
"CUpper"
"a+b*x"
0.039768891500465
0.35077435358116
95%-konfidensinterval for a ∈⎡⎣0,04;0,35⎤⎦ .
!
Jfr. svaret under a) må det antages at uligheden stiger når arbejdsløsheden stige.