Newtons afkølingslov
miniprojekt i emnet differentialligninger
Teoretisk del
Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T (t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden t. I modellen betegnet Newtons afkølingslov vil temperaturfunktionen adlyde følgende differentialligning, hvor Tomg er omgivelsernes faste
temperatur og k er en positiv konstant.
(1)
dT
= − k ⋅ (T − Tomg )
dt
a) Giv en sproglig fortolkning af differentialligningen. Hvad udtrykker den sagt med
ord? Inddrag heri begrebet proportionalitet.
b) Hvornår i afkølingsprocessen vil temperaturen falde kraftigst i kaffen: I starten eller
senere? Begrund svaret ud fra differentialligningen?
c) Vi har tidligere studeret en forskudt eksponentiel vækst som løsning til differentialligningen y ′ = b − a ⋅ y . Redegør for, hvorfor differentialligningen (1) netop er på
denne form. Hjælp: Gang ind i parentesen i (1) og fortæl hvad y, a og b svarer til.
2
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
d) Som bekendt har differentialligningen y ′ = b − a ⋅ y følgende løsning:
(2)
f (t ) =
b
+ c ⋅ e − a⋅t
a
hvor c er en arbitrær konstant, som afhænger af begyndelsesbetingelserne. Vis ved
at oversætte hvad y, a og b svarer til, at den oprindelige differentialligning (1) har
en teoretisk løsning på følgende form:
(3)
T (t ) = c ⋅ e − k ⋅t + Tomg
Den arbitrære konstant c kan bestemmes, hvis man har en begyndelsesbetingelse.
Lad T0 betegne kaffens temperatur til tiden t = 0 . Vis nu, ved at indsætte t = 0 i
(3), at den arbitrære konstant c er lig med T0 − Tomg . Indsættes denne værdi for c i
(3), får vi alt i alt følgende teoretiske løsning til differentialligningen (1):
(4)
T (t ) = (T0 − Tomg ) ⋅ e − k ⋅t + Tomg
hvor kaffens starttemperatur er T0 og omgivelsernes temperatur er Tomg .
Eksperimentel del
Vi skal nu eksperimentelt undersøge, hvor godt modellen passer i praksis. Du skal have
fat i noget dataopsamlingsudstyr og et program til at behandle data. Det kan fx være en
Go Temp temperaturføler (fra firmaet Vernier) tilkoblet en computer via en USB
indgang. Som program kan benyttes Logger Pro.
a)
Lav først en stabil opstilling, hvor temperaturføleren fastgøres i et stativ, så det
hele tiden måler det samme sted i kaffen. Se evt. figuren på forsiden.
b) Indstil programmet, så temperaturføleren foretager en måling for hver 30 sekunder
(I Logger Pro kan det gøres via menuen Forsøg > Dataopsamling…).
c) Opvarm noget kaffe i en kaffemaskine eller vand i en elkedel. Hæld det over i
koppen, hvor temperaturføleren allerede er placeret. Start målingerne. Lad gerne
forsøget køre i 2-3 timer.
Databehandling
Vi skal nu foretage et fit med en funktion på formen (4) ovenfor. Du kan enten vælge at
gøre det direkte i dataopsamlingsprogrammet eller gøre det i CAS-programmet Maple.
Hver har deres fordele. Hvis du blot skal foretage et fit er det som regel nemmest bare at
blive i databehandlingsprogrammet. Skal du derimod foretage beregninger, er det bedst
at få tingene over i Maple.
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
3
I Logger Pro
Her har du allerede data stående. Klik på ikonen Kurvetilpasning i værktøjslinjen. Tryk
på knappen Definer funktion… og skriv fittet (4) ind, som vist nedenfor. I stedet for et
nedre indeks kan du skrive en underscore: (T_0-T_omg)*exp(-k*t)+T_omg .
Tryk på knappen OK. Du vil herefter se, at der er defineret en ny funktion ovre i listen
til venstre. Til højre ser vi tre parametre T_0, T_omg og k. Programmet skal nu forsøge
at afpasse disse, så grafen for fit-funktionen kommer til at ligge så tæt på målepunkterne
som muligt. Det gøres ved at trykke på knappen Prøv tilpasning.
4
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
Tryk på OK for at få gennemført handlingen:
Du kan nu læse værdierne for de tre parametre, der fik fittet til at blive bedst muligt.
I Maple
Vi skal først transportere data over i Micrrosoft Excel og derfra tage data over i Maple.
1. Marker alle måledata i Logger Pro ved at sætte cursoren i en af målepunkterne og
trykke Ctrl+A. Kopier så data over i udklipsholderen med Ctrl+C.
2. Lav på computeren en mappe med navnet "Newtons afkølingslov".
3. Åben Excel. Sæt cursoren i cellen A1 og kopier alt fra udklipsholderen ind ved
hjælp af Ctrl+V. Derved kommer tiderne i minutter ind i søjle A, mens temperaturerne i °C anbringes i søjle B. Noter dig lige hvor langt de går ned. Gem filen i
mappen fra punkt 2.
4. Åben Maple og gem filen i samme mappe som Excel filen. Skriv først en restart
kommando og kald derefter pakken Statistics med with kommandoen. Vælg
dernæst menuen Tools > Assistants > Import Data…. Gå hen til mappen hvor
Excel-filen ligger og tryk Next.
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
5
Angiv celleområdet i Excel, som du vil importere, her A1:A361 (sidste række er
361). Tryk på Next:
Tryk bare Next i næste dialogboks:
6
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
Undlad at skrive noget i Variable Name. Vi vil angive den på en anden måde
senere. Tryk blot Done:
Du skulle nu gerne have fået en mærkelig matrixting indsat i Maple. Højreklik på
den og vælg Assign to a Name. Skriv store X i boksen og tryk på OK. Det skulle nu
gerne så således ud i Maple:
Tryk på Enter for at få cursoren ned på næste linje i Maple. Importer derefter på
analog vis y-koordinaterne fra Excel-filen, altså start med Tools > Assistants >
Import Data…. Du skal importere området B1:B361 (eller hvor din søjle går til).
Assign to a Name Y. Det skal nu se således ud:
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
7
Vi skal nu til at foretage fit. Hertil har Maple en Fit kommando. Funktionen vi skal
fitte med er T (t ) = (T0 − Tomg ) ⋅ e − k ⋅t + Tomg fra (4). Maple vil forsøge at tilpasse de
tre frie parametre T0 , Tomg og k, så funktionen på bedst måde tilpasses målepunkterne. Skriv nedenstående i Maple. Bemærk, at man kan tildele fittet til et funktionsnavn T (t ) ved at højreklikke og vælge Assign to a Name. I plotdelen sammensættes et funktionsplot og et punktplot.
Hvis du vil have plottet større, kan du blot hale i håndtagene i plotfeltet! Det gode
ved at have det i Maple er, at du nu kan bruge CAS delen til at regne videre på fitfunktionen, om ønskeligt.
8
© Erik Vestergaard – www.matematikfysik.dk
For den avancerede læser
Til den avancerede læser vil vi slutte af med en teoretisk pointe: Argumenter hvorfor
(T (t ) − Tomg )′ = T ′(t ) og brug det til at forklare hvorfor differentialligningen (1) er ækvivalent med følgende differentialligning:
(5)
d
(T − Tomg ) = − k ⋅ (T − Tomg )
dt
hvilken simplere type differentialligning tilfredsstiller funktionen g (t ) = T (t ) − Tomg ?
Hvilken løsning fås for g (t ) ? Sæt udtrykket for løsningen lig med T (t ) − Tomg og isoler
T (t ) . Hvilket udtryk giver det for den fuldstændige løsningen til (1).
Konklusion: Hvis man ikke kender løsningerne til differentialligningen for den forskudte eksponentielle vækst i (1), kan man altså bruge dette lille fif til at reducere problemet
til ét man kender!