KVUC flex mat A Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen Den logistiske differentialligning Vi betragter den logistiske differentialligning hvor og er positive tal. I A‐bogen side 245 præsenteres samtlige løsninger til denne differentialligning. Vi vil her spørge: For hvilket er væksthastigheden størst? Da væksthastigheden er givet ved ′, kan vi spørge på en anden måde: For hvilket er størst mulig? I udtrykket dvs. er og positive tal. Vi kan betragte . Det kan også skrives som en funktion af . Tegner man grafen for , får man en parabel hvor grenene vender nedad da koefficienten til er negativ. Vi kan vise at funktionen har rødderne 0 og M idet 0 ⟺ 0 ⟺ [nulreglen anvendes] 0 ∨
∨
0 ⟺ 0 Funktionen har dermed nul‐
punkter M og 0, og grafen er en parabel hvor vender grene‐
ne nedad. Da er toppunktet for f placeret midt mellem 0 og M dvs. i . Der gælder altså sæt‐
ningen: SÆTNING I den logistiske differentialligning heden størst for . , hvor og er positive tal, er væksthastig‐
Den logistiske differentialligning Side 1 af 2 KVUC flex mat A Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen Eksempel Vi betragter differentialligningen 0,000193
139,6
. 139,6. Vi ser at Ifølge ovenstående sætning er væksthastigheden størst når ,
69,8. Hvis grafen for V går gennem punktet (0;7,3), fås ifølge løsningsformlen s. 245 i bogen: ,
,
hvor 0
,
⋅
,
,
7,3 dvs.: 7,3
,
⟺
18,1. Da har vi: ,
,
,
. Det t hvor væksthastigheden er størst, er altså det t, hvor 69,8
,
,
,
, får man 69,8. Løser man 107,5. Graf for Den logistiske differentialligning Side 2 af 2