1. No category

talentcampdk
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
14. januar 2015
Slide 1/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Indhold
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
1
Grundlæggende uligheder
2
Grænseovergange
3
Kontinuitet
4
Følger
5
Perspektivering
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
14. januar 2015
Slide 2/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende uligheder
Cauchy-Schwarz (u)lighed
Lad x , y ∈ R. Da gælder
|x · y | = |x | · |y |
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Kontinuitet
Trekantsuligheden
Lad x , y ∈ R. Da gælder
|x + y | ≤ |x | + |y |
Følger
Perspektivering
Sætning
Lad x ∈ R og antag ∀ε > 0 : |x | < ε. Da er
x=0
Bernoullis ulighed
Lad x ∈ R og n ∈ N. Da haves for x ≥ −1 at
(1 + x )n ≥ 1 + nx
AM-GM uligheden
Lad x1 , x2 , . . . xn ∈ R+ . Da haves
√
x1 + x2 + . . . + xn
≥ n x1 x2 . . . xn
n
14. januar 2015
Slide 3/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Intuition om Grænseovergange
Definition (Intuitiv):
Lad f : X → R, hvor X ⊂ R, være en funktion. Lad a ∈ R være et punkt, så f er defineret
vilkårligt tæt ved a. Vi siger da at f konvergerer mod et tal b ∈ R, hvis f (x ) nærmer sig b,
når x nærmer sig a. Vi skriver
Grænseovergange
f (x ) → b ,
Kontinuitet
for x → a
Følger
Perspektivering
Såfremt der ikke eksisterer et b ∈ R som herover, da siger vi f divergerer i a.
14. januar 2015
Slide 4/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Intuition om Grænseovergange - Eksemepl
Betragt funktionen f : [−1, ∞) \ {0} → R givet ved
√
Grundlæggende
uligheder
f (x ) =
x +1−1
x
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
x
f (x )
14. januar 2015
Slide 5/23
−0.1
0.5131
−0.01
0.5012
−0.001
0.5001
0
?
0.001
0.4998
0.01
0.4987
0.1
0.4880
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Intuition om Grænseovergange - Eksempel
Betragt funktionen g : R \ {0} → R givet ved
Grundlæggende
uligheder
g (x ) =
sin x
x
−0.01
0.9999
0
?
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
x
g (x )
14. januar 2015
Slide 6/23
−1
0.8415
−0.1
0.9983
0.01
0.9999
0. 1
0.9983
1
0.8415
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Intuition om Grænseovergange - Eksempel
Betragt funktionen h : R \ {0} → R givet ved
Grundlæggende
uligheder
h (x ) = sin
π
x
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
x
h (x )
14. januar 2015
Slide 7/23
−1
0
−0.1
0
−0.01
0
0
?
0.01
0
0.1
0
1
0
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Definition af Grænseovergange
Definition (Stringent)
Lad f : X → R, hvor X ⊂ R, være en funktion og lad a ∈ R. Vi siger da, at f konvergerer
mod b ∈ R, hvis
∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ ⇒ |f (x ) − b | < ε
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Vi noterer dette limx →a f (x ) = b.
Perspektivering
14. januar 2015
Slide 8/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Definition af Grænseovergange
Definition (Stringent fortsat)
Lad f : R → R være en funktion og lad a , b ∈ R. Vi siger da f går mod uendeligt for x
gående mod a, hvilket vi noterer limx →a f (x ) = ∞, hvis
∀K > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ ⇒ f (x ) > K
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
Tilsvarende siger vi f konvergerer mod b for x gående mod uendeligt, hvilket vi noterer
limx →∞ f (x ) = b, hvis
∀ε > 0∃M > 0∀x ∈ X : x > M ⇒ |f (x ) − b | < ε
14. januar 2015
Slide 9/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
Resultater om Grænseovergange
Entydighed af grænseovergange Antag f : X → R har en grænseværdi for x gående
mod a ∈ X . Da er denne grænseværdi entydigt bestemt.
Klemme-Lemma’et Lad f , g , h : X → R være funktioner med X ⊂ R. Antag at de opfylder
relationen
f (x ) ≤ g (x ) ≤ h (x ),
for alle x ∈ X
For et a ∈ X , antag limx →a f (x ) = limx →a h (x ) = b. Da gælder
lim g (x ) = b
x →a
Eksempel: Vi ser tilbage på grænseovergangen
lim
x →0
sin x
x
som vi nu har tilstrækkelige redskaber til at beregne.
14. januar 2015
Slide 10/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
Konstruktion af grænseovergange
Det viser sig, at konvergerende grænseovergange respekterer de sædvanlige
regneregler.
Sætning Lad f , g være defineret i nærheden af a ∈ R. Antag limx →a f (x ) = F og
limx →a g (x ) = G. Da gælder
a) limx →a f (x ) + g (x ) = F + G.
b) limx →a c · f (x ) = cF for et c ∈ R.
c) limx →a f (x ) · g (x ) = F · G.
d) limx →a
f (x )
g (x )
=
F
G,
forudsat G , 0.
e) Lad f : X → Y og g : Y → Z med X , Y , Z ⊂ R. Antag limx →a f (x ) = b og
limy →b g (y ) = G. Da gælder
lim g (f (x )) = G
x →a
14. januar 2015
Slide 11/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Intuition om Kontinuitet
Definition (Intuitiv)
Begrebet kontinuitet dækker over en formalisering af den intuitive egenskab at en
funktion kan være sammenhængende - vi kan med andre ord tegne grafen for en funktion
uden at løfte blyanten, såfremt funktionen er kontinuert!
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
14. januar 2015
Slide 12/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Definition af Kontinuitet
Definition (Stringent) Lad f : X → R være en reel funktion, hvor X ⊂ R. Vi siger da f er
kontinuert i a ∈ X hvis
Grundlæggende
uligheder
∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ ⇒ |f (x ) − f (a )| < ε
Grænseovergange
Kontinuitet
I termer af grænseovergange kan vi formulere dette
Følger
lim f (x ) = f (a )
x →a
Perspektivering
Hvis f er kontinuert i alle punkter x ∈ X , da siger vi f er kontinuert.
14. januar 2015
Slide 13/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Konstruktion af kontinuerte funktioner
Det viser sig, at kontinuerte funktioner respekterer de sædvanlige regneoperationer.
Sætning Lad f , g : X → R være kontinuerte i a ∈ X . Da gælder
Grænseovergange
a) Funktionen x 7→ f (x ) + g (x ) er kontinuert i a.
Kontinuitet
b) Funktionen x 7→ f (x ) · g (x ) er kontinuert i a.
Følger
c) Funktionen x 7→
f (x )
g (x )
er kontinuert i a, hvis g (a ) , 0.
Perspektivering
d) Sæt Y = f (X ) og definer h : Y → R og antag h er kontinuert i f (a ). Da er h ◦ f
kontinuert i a.
14. januar 2015
Slide 14/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Intuition om Følger
En talfølge er en uendelig følge af tal
a1 , a2 , a3 , a4 , . . .
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
ai ∈ R
som vi noterer (an )n∈N eller blot (an ).
Kontinuitet
Følger
Følgende er mere eller mindre eksotiske eksempler på følger:
Perspektivering
(an ), hvor ai = i 2
1
i
(cn ), hvor c1 = 1, c2 = 1 og ci = ci −2 + ci −1 for i ≥ 3
(bn ), hvor bi =
(dn ), hvor di =
14. januar 2015
Slide 15/23
i−1
i
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Definition af Følger
Definition (Stringent)
En følge (xn ) kan formuleres i termer af en funktion f : N → R givet ved forskriften
Grundlæggende
uligheder
f (n) = xn
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
Definition Lad (xn ) være en følge. Vi siger at (xn ) er konvergent med grænseværdi
x ∈ R såfremt
∀ε > 0∃N ∈ N∀n ∈ N : n ≥ N ⇒ |xn − x | < ε
Hvis ikke der findes et sådant x siger vi (xn ) er divergent.
14. januar 2015
Slide 16/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Følgekonvergens og Kontinuitet
Sætning Lad f : X → R med X ⊂ R være en funktion. Da er f kontinuert hvis og kun hvis
der om enhver følge (xn ) med limn→∞ xn = a gælder limn→∞ f (xn ) = f (a ).
Eksempel: Vi viser at funktionen f : R \ {0} → R givet ved
Kontinuitet
f (x ) = sin
Følger
Perspektivering
ikke kan plomberes, så den bliver kontinuert.
14. januar 2015
Slide 17/23
π
x
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Resultat om konvergens af Følger
Definition Lad (xn ) være en begrænset følge, det vil sige der finde M ∈ R, så
|xn | < M ,
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
for alle n ∈ N
Da findes et tal x, som er det mindste tal, der er større end xn for alle n ∈ N. Vi noterer
dette
x = sup{xn | n ∈ N}
Sætning Lad (xn ) være en voksende, begrænset følge. Da er (xn ) konvergent med
lim xn = sup{xi | i ∈ N}
n→∞
14. januar 2015
Slide 18/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Definition af e
Betragt følgen (xn ) bestemt ved
xn = 1 +
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Kontinuitet
1
n
!n
Vi viser (xn ) er strengt voksende.
Betragt følgen (yn ) bestemt ved
Følger
Perspektivering
yn = 1 +
Vi viser (yn ) er strengt aftagende.
14. januar 2015
Slide 19/23
1
n
!n+1
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Definition af e
Definition Det naturlige tal e defineres ved
Grundlæggende
uligheder
e := lim 1 +
n→∞
1
n
!n
Grænseovergange
Kontinuitet
og kan approksimeres til e ' 2, 7183.
Følger
Perspektivering
Sætning For alle x ∈ R gælder følgende ulighed
ex ≥ x + 1
Sætning Funktionen f : R → R+ givet ved forskriften f (x ) = e x er bijektiv.
14. januar 2015
Slide 20/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Definition af ln
Definition Lad stadig f : R → R+ være givet ved f (x ) = e x . vi definerer nu funktionen
g : R+ → R som den entydigt bestemte funktion, der opylder
Grundlæggende
uligheder
∀x ∈ R : g ◦ f (x ) = x
og
∀y ∈ R+ : f ◦ g (y ) = y
Grænseovergange
Kontinuitet
Vi vil fremover angive betegne g som ln (læs: den naturlige logaritme).
Følger
Perspektivering
Sætning For alle x ∈ R+ gælder følgende ulighed
ln(x ) ≤ x − 1
14. januar 2015
Slide 21/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Definition af Metrik
Definition Lad M være en ikke-tom mængde. En funktion d : M × M → R kaldes en
metrik, hvis d opfylder følgende betingelser for vilkårlige x , y , z ∈ M.
Grundlæggende
uligheder
M1) d (x , y ) ≥ 0 og d (x , y ) = 0 ⇔ x = y
Grænseovergange
M2) d (x , y ) = d (y , x )
Kontinuitet
Følger
M3) d (x , z ) ≤ d (x , y ) + d (y , z )
Eksempel: Lad os betragte funktionen d : R × R → R defineret ved
Perspektivering



 1,
 0,
d (x , y ) = 

hvis x , y
hvis x = y
Eksempel
Betragt en funktion f : (R, | · |) → (R, d ). Antag f er kontinuert. Vi viser, at f er konstant.
Betragt en funktion f : (R, d ) → (R, | · |). Vi viser, at f er kontinuert.
14. januar 2015
Slide 22/23
talentcampdk
Kalkulus 2 Grænseovergange,
Følger og Kontinuitet
Mads Friis, stud.scient
Riemann Cirklen
Definition Definér χ : R∗ × R∗ → R ved


√ |x −y |
,



(1+x 2 )(1+y 2 )



1



 √1+x 2 ,
χ(x , y ) = 



√1 ,



1+y 2



0,
Grundlæggende
uligheder
Grænseovergange
Kontinuitet
Følger
Perspektivering
for x , y ∈ R
for x ∈ R, y = ∞
for x = ∞, y ∈ R
for x , y = ∞
Sætning Enhver funktion f : (R, | · |) → (R, d ) er kontinuert under d = | · | hvis og kun
hvis f ligeledes er kontinuert under d = χ.
Eksempel Vi viser slutteligt, at funktionen f : (R, | · |) → (R∗ , χ) givet ved



1,
∞,
x
f (x ) = 

er kontinuert i 0.
14. januar 2015
Slide 23/23
for x , 0
for x = 0