2015 - EscapeCrisis.dk
En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde Aktiv eller Passiv Investering? Thomas Peter Clausen www.EscapeCrisis.dk [email protected] 1 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Abstrakt1 Det danske marked for aktivt forvaltede fonde, er de senere år blevet intenst analyseret, med henblik på at vurdere forvalterens evner ("Skills"), og om investor får værdi ved aktiv-, frem for passiv forvaltning.2 Oftest er det dog kun aktieuniverserne der bliver testet. En af årsagerne til at obligationsmarkedet ikke får samme opmærksomhed, som de øvrige aktivklasser, er at det kan virke empirisk uoverskueligt, med mange forskellige fonde, skiftende benchmarks, og ikke mindst "Survivorship Bias".3 Saxo Bank har i oktober 2015 dog lavet en analyse, der viser at 98% af de aktivt forvaltede obligationsfonde på dansk grund performer.4 I denne artikel implementerer vi en enkel metode til at teste det danske obligationsunivers, hvor vi kommer uden om problemerne. Vi tester udelukkende eliten, blandt de aktivt forvaltede danske obligationsfonde. Ud fra Morningstar's kriterier, tester vi konkret gruppen af 4 og 5 stjernede fonde i kategorierne, "Korte Danske Obligationer", "Øvrige Danske Obligationer" og "Lange Danske Obligationer". Vi kalibrerer til de statistiske tests, to stokastiske Geometric Brownian modeller (GBM I og GBM II) til at teste historisk henholdsvis fremtidig performancedynamik. Vi opstiller en nulhypose, om at eliten ikke kan skabe "Gross-Fee" CAPM Alpha, og kan med gruppeaggregrede p-værdier mellem 30%-75%, ikke afvise nulhyposen. Med afsæt i Morningstars relative karakterdeling, ekstrapolerer vi resulatet til at gælde hele det danske aktivt forvaltede obligationsunivers. Vi viser, at der har været CAPM ligevægt i det danske obligationsmarked de seneste 10 år. Fondene er derfor historisk blevet performancemålt statistisk, hvor Alpha er testet under en spuriøs nulhypotese, som ikke har efterlevet ex-ante og ex-post betingelsen for et "Zero-Sum Game" på forventet performance på 0. Konkret argumenterer vi for, at det høje kreditoverlay i fondene generelt, er en betarisiko, og dermed de-facto også en risiko der skal kompenseres for i afkastkravet på benchmark. Vi finder således, at der ikke er statistisk belæg for, at eliten blandt de aktivt forvaltede fonde i Danmark kan skabe slå deres benchmark, når den systematiske risiko inddrages. Hverken før eller efter omkostninger. Artiklens konklusion om manglende "Gross-Fee" Alpha 1 Artiklens forfatter er ekstern lektor i finansiering på CBS og Niels Brock. Artiklens forfatter har været ansvarlig for performance, som CIO, i en lang årrække fra 2004-2014, hos BNP Paribas, Fortis Investments, ABN AMRO og Alfred Berg. Fondene, som forfatteren har været ansvarlig for, er ikke direkte omfattet af analysen. Fondene er nu adminstreret af Absalon Invest A/S, og forvaltet af Formuepleje A/S. 2 http://finans.dk/finans/opinion/debatindlaeg/ECE7153143/Aktiv-forvaltning-er-end%C3%B8dssejler/?ctxref=ext 3 http://www.miranova.dk/wp-content/uploads/2015/08/Miranova-Analyse-lukkede-fonde.pdf 4 http://finans.dk/protected/finans/penge/ECE8085818/Obligationsfonde-scorer-topkarakter-påhjemmebane/ 2 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 skabelse er nyt på danske obligationer, og specielt, da det er de top-performende fonde, der er udvalgt. Vi finder, at "Gross-Fee" performance kan replikeres med et møntkast, qua en p-værdi på næsten 50%. "Net-Fee" performance befinder sig i den dårligste kvartil for den aggrerede gruppe. Konkret betyder dette, at investorerne i gennemsnit, de sidste 10 år, årligt har betalt 80bp., alene, for at få fingrene i markedsafkastet. Nykredit Invest fondene, skiller sig særdeles markant ud fra resten af fondene, og har med "Nykredit Korte Obligationer", Danmarks eneste fond, der kan statistisk fremvise ren Alpha. Vi finder også, at fondene fremadrettet, kan levere stærk, og OAS robust performance. Men som vi viser, kan dette tilskrives spuriøsitet i porteføljernes sammenligninger med benchmark.5 5 "Spurious" er et matematisk-statistisk begreb, der dækker over, at 2 eller flere variable, tilsyneladende kan sammenlignes, men at det, hvis man dykker ned i det, skyldes forkerte kausaliteter. Ofte anvendes udtrykket også i forbindelse med negativ merafkast i Sharpe ratios, da negativ merafkast belønner højere risiko, da Sharpe Ratioen er relativt højere ved højere risiko. Det samme gælder for Information Ratioen. 3 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Introduktion De aktive fonde er stadig, trods de seneste års innovation inden for passiv forvaltning stadig klart dominerende. Ifølge en Morningstar redegørelse fra 2014, er retail markedsandelen i passive produkter generelt i Danmark kun 2%, hvilket i international sammenligning er meget lavt.6 De aktive obligationsfonde er generelt store aktører på det danske obligationsmarked. Investeringsforeningerne er storinvestorer i danske obligationer Måler man på traditionelle danske realkreditobligationer, er markedsandelen så høj som 25 pct. Inden for kommuneobligationer, skibskredit og indeksobligationer er andelen endnu højere. Mere end 40 procent af de danske indeksobligationer er ejet af investorerne i de danske investeringsforeninger. 7 Tabel 1: Investeringsforeningernes andel af danske obligationer Små forventede afkast og store omkostninger "Aktiv-passiv" diskussionen foregår typisk mellem de kommercielle interessenter fra branchen selv, og ikke-kommercielle interessenter fra akademiaen.8 Opmærksomheden er dog som oftest i andre aktivklasser end højt ratede danske obligationer. Det kan synes paradoksalt, da et de-fact 0%-rentemiljø, betyder at de aktive fondes omkostninger alene kan generere negative forventede afkast. De korte renter er "frosset" i ECB- og Nationalbankpolitikken og er meget tæt på 0%. Den 10 årige statsrente ligger på omkring 1%, og den 30 årige realkreditrente på 3%. 6 http://www.morningstar.dk/dk/news/127975/kan-aktiv-forvaltning-overleve.aspx http://www.investering.dk/danske-investeringsforeninger-ejer-hver-fjerde-realkreditobligation 8 http://finans.dk/finans/opinion/debatindlaeg/ECE7153143/Aktiv-forvaltning-er-enhttp://www.morningstar.co.uk/static/UploadManager/Other/Performance%20%20Aktivt%20forvaltede%20aktiefonde%20v3.pdfd%C3%B8dssejler/?ctxref=ext, http://finanswatch.dk/Finansnyt/article5351824.ece, http://www.finanshus.dk/morningstar-aktivt-forvaltedefonde-er-overraskende-gode, http://www.morningstar.dk/dk/news/92796/baghjul-til-passive-fonde.aspx 7 4 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Grafen nedenfor viser forventet forskel i nettoafkast mellem en aktiv og en passiv investering i fonde med højt ratede danske obligationer. Vi sammenligner to fonde, en aktiv og en passiv, med hver ca. 75% realkreditobligationer, og 25% statsobligationer i porteføljen. Det forventede afkast er eksklusiv omkostninger 2,5% p.a. på begge fonde. Den årlige omkostningsforskel (fee)9 på de to typer porteføljevalg er på 0,5% p.a.10 Som det ses, stiger det løbende merafkast med tiden eksponentielt i den passive fond. De aktive forvaltere skal derfor, for at nå break-even, hente den eksponentielt udviklende omkostningsforskel.11 Tabel 2: Nettoafkast mellem aktiv og passiv fond over tid. (2,5% afkast og 0,5% fee forskel. Afkastudvikling på aktiv fond mod passiv portefølje Prisudvikling på aktiv fond mod passiv portefølje 220 Pris (index=100) Pris (index=100) 200 180 160 140 120,00% 35,00% 100,00% 30,00% 25,00% 80,00% 20,00% 60,00% 15,00% 40,00% 120 20,00% 100 0,00% 10,00% 5,00% 0,00% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Prisudvikling (Index=100 start) uden omkostninger Forskel i Afkast Prisudvikling (index=100) med omkostninger Afkastudvikling (Index=100 start) uden omkostninger Linear (Prisudvikling (Index=100 start) uden omkostninger) Afkastudvikling (index=100) med omkostninger De aktive fondes afkast og performance under luppen De danske aktivt forvaltede obligationsfonde er berømte for deres performance og har gennem årene fået mange priser.12 Men hvordan er den performance skabt? Er den blot skabt med markedsrisiko, altså det vi kalder systematisk risiko, som man naturligt skal have en beta præmie for. Eller er den skabt med forvalternes evne til at udnytte markedsinefficiens (mis-prisninger i markedet), usystematisk risiko, Alpha. Det er Alpha'en investor i fondene vil betale for, ellers 9 Bemærk, det er omkostningsforskel, hvorfor der er taget højde for omkostningen i alternativet til den aktive fond, nemlig omkostningen i en indeksfond. 10 Vi viser i artiklen, at netop denne sammmensætning er gennemsnitsbeskrivende for de danske fonde. Omkostningningsprocenten er ligeledes repræsentativ. Da det er en lang horisont, vil omkostningen bedst kunne approximeres ved "Total Expenditure Expense", som er den indre omkostning i fonden, eg. forvaltersalær, advokat, revision, etc. ÅOP indeholder udover TER, også emissions- og indløsnings fee, men med tiden udvandes naturligvis betydningen af disse tillæg. Forskellen er eksponentiel i tiden, t, πππ‘π‘ππ΄ππππ π‘π‘ = π ln β‘1βπππππ π‘ πππ‘ππ£ +πππππ π‘ πππ π ππ£ +πππππ π‘ πππ afkastene er konstante og annualiserede. 12 https://www.nykredit.dk/assetmanagement/info/afdeling-obligationsforvaltning.xml 11 http://absalon-invest.dk/information/nyheder/lipper-awards-2009-priser-til-alfred-berg-fonde/ http://www.majinvest.dk/media/57975/introduktiontilmajinvest2015_web.pdf 5 π‘ β 1, hvor En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 kunne investor selv replikere risikoen væsentligt billigere ved at købe passivt forvaltede indeksfonde (eg. ETF'er), eller måske endda via en egenhandlet portefølje med få "outright" obligationer i AAA universet.13 Der har ikke været nogen explicit analyse af de danske obligationsfondes strategiske overlay i danske realkreditobligationer, hverken akademisk eller i branchen. Men det er centralt fordi ex-post performance bliver målt mod fondenes benchmark, som typisk er 100% danske statsobligationer. Det gør, at performancemålingen bliver som at sammenligne æbler med pærer, hvis det viser sig, at det store overlay i danske realkreditobligationer, er en betaeksponering. I det tilfælde er det ikke tiltrækkeligt, at korrigere for tracking error eller standardafvigelse efterfølgende. Under aftagelse er, at det er betarisiko, der styrer performance, så er de statistiske tests ikke for Alpha, men for Beta. Vi vil undersøge, om de danske fonde i mange år har været evalueret, under forkerte risikomål, hvor spuriøsitet har sendt forkerte performancesignaler. Er det tilfældet skal expost afkastkravet hæves i henhold til den eventuelle betarisiko. Dvs. benchmark skal korrigeres. Vi derfor undersøge om tendensen, til høj realkredit andel, er for at udnytte den matematiskstatistiske "motor", der ligger i betamismatchet. I substansen svarer det til, at have en aktieportefølje mod en kontantplacering, som benchmark. Her vil tiden også med et passivt overlay, generere eksponentielt bedre og bedre risikojusterede nøgletal. Alene fordi det forventede moment, ex-ante mer-carry, er positiv. Vi kalder dette, at "ride den statistiske kurve".14 Opbygning Artiklen beskriver først metode og data for analysen. Vi gennemgår de udvalgte fondens historiske resulater, og diskuterer den historiske sammensætning af porteføljen mod benchmark. Fokus er på performance, kreditoverlay og omkostninger. Vi tester for historisk Alpha mellem danske realkreditobligationer og danske statsobligationer, og udleder at der ikke er belæg for Alpha, hvorfor merafkastet i realkreditoverlayet kan tilskrives systematisk risiko. Det er derfor nødvendigt at rekalibrere fondenes historiske track record til en proxy for samme systematiske risiko. Rekalibreringen kan dog ikke foregå ex-post med korrektion via standard IR eller Sharpe Ratio. Det kræver ændring i afkastkravet på benchmark. 13 Normalt i "Moderne Porteføljeteori" vil man købe mange enkeltaktiver for at reducere den idiokratiske risiko, men denne risiko er ikke oplagt i danske AAA stats- eller realkreditobligationer. Så det kunne være en fordel, at replikere en given varighed (markedsrisiko), i få obligationer (med ønsket korrelation), med færre faste handelsomkostninger til følge. 14 Vi vil vise, at det er under NIID forudsætningen. Altså normalfordelte stokastiske udfald, som er uafhængige, og har konstant varians (og dermed standardsafvigelse). 6 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Vi opstiller efterfølgende en nulhyposen om, at fondene ikke kan generere positiv gross-fee performance ud over det, som den systematiske risiko statistisk signalerer. Vi opbygger en simplifiseret modelporteportefølje og et simpliciseret benchmark, som begge er gennemsnitligt repræsentativ for gruppen af fondene, under hensyntagen til den systematiske risiko. De relative modelporteføljenøgletal for forventet merafkast (mercarry) og tracking error, er de to momenter vi anvender i de statistiske horisontbetragtninger. Udgangsporteføl Det statistiske grundlag for historisk performance, ekstrapolereres fra en Geometric Browninan Motion model, GBM I, som vi viser kan beskrive en indekseret stokastisk performance dynamik. Givet modelporteføljens momenter parametriserer vi denne Geometric Brownian Motion model, og tester nulhypotesen under horisontfordelingerne af performance. I vurderingen af fremtidig performance og robusthed overfor OAS ændringer, implementeres GBM II modellen, som rekalibreres i driften, på baggrund af historisk performance. Modelresultater findes både ved Monte Carlo kørsler og simulering med de analytiske løsninger for horisontmomenterne i GBM setuppet. Modellen viser stærke statisk performance gross-fee ved forskellige realkreditoverlays. Kun ved lav realkreditandel, kan GBM I modellen ikke slå sit "benchmark" net-fee. Fondenes performance sammenholdes med modellens resultater. Aggregeret er der ikkesignifikant, men positiv relativ gross-fee performance mod modellens performance, på 3 årsog 5 års horisont. Efter omkostninger, er resulatat dog væsentligt anderledes. Her er det gennemsnitlige tab 80bp. i forhold til til modellen. De statistiske resultater dækker dog stor spredning i feltet, hvor Nykredit Invest med deres korte obligationsfond, har Danmarks eneste fond der kan generere klassisk CAPM Alpha, med p-værdi under 5%. Sidst viser vi med GBM II simulationer, at fondenes fremtidige performance mod deres egne benchmark, er særdeles robust overfor ændringer i OAS-swap spændet. Næsten uafhængigt af realkreditandelen. 7 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Data og metode Vi trækker afkastdata og benchmarkdata fra Morningstar, samt investeringsforeningernes egne hjemmesider. Yderligere, trækker vi fra Morningstar, oplysninger om ratingen på de danske, aktivt forvaltede obligationsfonde. Ratingen ser således ud; Tabel 3: Morningstar Rating, den 24-10-15. Kategori DKK Korte DKK Øvrige DKK Lange Total antal Gennemsnit* Kumuleret* Antal 30 13 13 56 - * 3 0 0 3 6,1% ** 7 5 5 17 34,7% *** 7 3 3 13 26,5% **** 5 2 2 9 18,4% ***** 3 2 2 7 14,3% No rating 5 1 1 7 - - 6,1% 40,8% 67,3% 85,7% 100,0% - * Uden "No Rating" Vi vælger at fokusere på 12 af de absolut bedste fonde herhjemme ud fra Morningstars rating kriterier15, hvorfor vi vælger de 4 (****) og 5 (*****) stjernede fonde inden for kategorierne, "Danske Obligationer Korte", "Danske Obligationer Øvrige" og "Danske Obligationer Lange". Dog med en lille "unbiased" frasortering af nogle enkelte specialfonde.16 I tabellen ses, at ud af samlet 49 ratede fonde, har 16 fonde 4 eller 5 stjerner. Dette svarer til den øverste tredjedel, som er Morningstars statistiske kalibrerering. Vi udvælger denne gruppe tester performance, på horisonterne, 3 år, 5 år og 10 år, som også er horisonterne Morningstar anvender i deres vægtede ratingtildeling. Den samlede, og dermed aggregerede, konklusion, bygger på det simple gennemnit af de 3 horisonters statistiske resultater.. Muligheder og begrænsninger ved metodevalg Ved at anvende et begrænset fondsunivers med de stærkeste fonde, opnår vi række fordele, udover en kraftig reduktion i det empiriske arbejde med at indsamle konsistente data. Ved at udvælge "unbiased" de absolut bedste fonde, og teste dem, giver det nemlig også mulighed for ekstrapolere resultatet til de øvrige fonde. Principielt er stikprøvens størrelse underordnet i denne ekstrapolation, da hver er de 12 fonde har forventet moment højere end hver af de andre i fondsuniverset. Ekstrapolationen er mulig, hvis det empiriske resultat bliver at der ikke er belæg for statistisk signifikant (betakorrigeret) performance i de bedste fonde. I dette tilfælde vil vi ekstrapolativt kunne udlede, at de øvrige fonde heller ikke kan performe. 15 http://corporate.morningstar.com/US/documents/MethodologyDocuments/MethodologyPapers/Morningst arFundRating_Methodology.pdf 16 Fonde der har særlige skattemæssige- eller investorprofiler. 8 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Bliver resulatet omvendt, at vi kan afvise statistisk underperformance, kan vi naturligvis ikke udlede, at det samme gælder for resten af fondene. Altså, med andre ord, hvis resultatet bliver, at de udvalgte fonde kan performe, kan vi ikke sige noget om de øvriges fondes performance. Det eneste vi ved, det er, at de relativt er dårlige end flagskibsfondene i følge Morningstars kriterier. En anden fordel ved ikke at dykke ned i hele universet og teste for gennemsnitlig performance er, at vi kommer uden om, den såkaldte "Survivorship Bias", som essentielt er et fænomen, der dækker over, at investeringsforeningerne har en tilbøjelighed til at lukke dårligt performende fonde, alene fordi de er dårligt performende. Det vil med andre ord betyde at de opnåede "momenter" ved, at teste alle fonde i universet vil være biased opad. "Survivorship Bias" opstår når der flyttes eksisterende AuM fra en dårlig fond over i en ny, eller en anden eksisterende fond, med nogenlunde samme investeringsprofil. Det er nemlig den eksisterende fonds performance, der bliver stående. Den lukkede fonds performancehistorik forsvinder offentligt irrevokabelt. Nedenstående tabel illusterer mekanismen. Investeringsforeningen har 5 fonde, og vælger at lukke "Mellemlange Obligationer", pga. * ratingen, og flytte AuM'en over i "Korte Obligationer" med ***** rating. Herved hæves den gennemsnitlige rating med en karakter (1 stjerne) Tabel 4: "Survivorship Bias" - illustration. Særligt små fonde hos små investeringsforeninger er eksponeret for dette, bla. fordi det er adminstrativt lettere, men også fordi den samlede rating på en investeringsforenings fondsparaply, let kan manipuleres med denne mekanisme, da fondene vægter det samme i den aggregerede rating tildeling. Særligt, hvis flere fonde kører efter samme investeringsstil. Her kan "Survivorship Bias" generere markante skift i rating. 9 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Afkast- og performanceberegninger på fondene Vi anvender to typer beregningsteknikker for performance. Den ene når vi beregner på tværs af tid, altså mellem to tidspunkter, start og slut, og den anden, når vi beregner på tværs af fondene. Beregning af performance på tværs af tid Antag i det følgende at ππ‘ repræsenterer en indekseret performance til tidspunkt t, og at πππππ π‘ππππ‘ π‘ , πππππ π‘ππππ π π‘ , πππππ π‘πππ , repræsenterer det geometrisk annualiserede π‘ "afkast" for porteføljen, benchmark og omkostningerne (fee). Empirisk såvels om teoretisk i modellerne i analysen, beregnes gross-fee performance, ππππ_ππππ π ππππ‘ , mellem tidspunkt 0 og t, da som: ππ‘ β π0 ππππ_ππππ π ππππ‘ = = π0 1 + πππππ π‘_ππππ‘π‘ 1 + πππππ π‘_ππππ‘ 1 + πππππ π‘_ππππππ‘ π‘ β1 Er perioden mellem t=0 og t opdelt af π‘ underperioder med π‘ periodeafkast π, således at, π = 1,2, β¦ , π‘ kan horisontperformance også beregnes som: ππππ_ππππ π ππππ‘ = ππ‘ βπ0 π0 = π‘ π=1 1+πππππ π‘ _ππππ‘ π 1+πππππ π‘ _πππ π π‘ π=1 1+πππππ π‘ _ππ ππ π π β1 Anvendes den naturlige logaritme fås: ππππ_ππππ π ππππ‘ = ππ‘ βπ0 π0 = πΈππ 1 π‘ π‘ π=1 πΏπ 1+πππππ π‘ _ππππ‘ π 1+πππππ π‘ _πππ π 1+πππππ π‘ _ππππ π π -1 , hvor , π = 1,2, β¦ , π‘ I beskrivelsen antages, at starttidpunktet er t=0, da vi skal bruge det til simulering. Formlerne beskriver dog performance mellem arbitræt valgte tidspunkter, kun forudsat er starttidspunktet er mindre end t, og selvfølgelig større end eller lig med 0. Kalder vi starttidspunktet i beregningen for s, gælder altså at 0 β€ π < π‘ : 10 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 ππππ_ππππ π ππππ‘,π = ππ‘ β ππ 1 = πΈππ ππ π‘βπ π‘ πΏπ π=π +1 1 + πππππ π‘_ππππ‘π 1 + πππππ π‘_ππππ 1 + πππππ π‘_ππππππ Beregning af performance på tværs af fonde Når vi beregner horisontafkast- og performance på de enkelte fonde, sker det med udgangspunkt i formlerne ovenfor. Når vi beregner på tværs af fonde, beregner vi afkast og performance, som det simple gennemsnit af de enkelte fondes geometriske afkast eller performance. Nedenfor er vist, hvordan den gennemsnitlige performance, for π fonde beregnes til tidspunkt t. π = 1,2, β¦ , π‘ er perioderne, der akkumuleres over, mens π = 1,2, β¦ , π er fondene, der beregnes på tværs af. I analysen er m = 12. Vi kalder denne performance for πΏπ‘ ; 1 πΏπ‘ = π π π‘ π=1 1 + πππππ π‘_ππππ‘ππ 1 + πππππ π‘_πππππ π‘ π=1 π =1 1 + πππππ π‘_πππππππ β1 I bedømmelsen af den statistiske performance anvender vi p-værdierne, som kritiske mål for tilfældighed eller ej. Her tager vi også hensyn til at performance under nulhypotesen alt andet lige er lettere på længere horisonter, i det tilfælde at det forventede førstemoment på porteføljen er større end på benchmark. Vi vil senere vise det velkendte fænomen at Sharpe ratioen eller IR rationen, er faldende over tid i en passiv portefølje, under netop antagelsen om positivt førstemoment. Derfor sandsynlighedsvægter vi de 3 horisonter for hver enkelt fond, ud fra en lineariseret model, som "fanger", denne indbyggede mekanisme i IR, og dermed sandsynligheden for (under) performance. Dette gælder dog, som sagt kun når vi ikke beta-korrigerer. Dvs. det simple p-værdi gennemsnit bliver brugt på den beta-korrigerede performance. På en given horisont t, beregnes den aggregerede p-værdi for alle fonde, Ξ₯t , som simpelt gennemsnit af de individuelle p-værdier Οtj ; 1 Ξ₯t = π π π =1 1 ππ‘π = π π π =1 1 β π(πΌπ π‘π ) , π~π(0,1) 11 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 På tværs af k horisonter, vægtes der ikke-simpelt med πΏπ .17 1 Ξ₯k,t = π π π =1 π π=1 1 πΏπ πππ = π π π =1 π π=1 πΏπ 1 β π(πΌπ ππ ) , π = 1,2,3 , π~π(0,1) Fondenes stamdata og historik Tabel 6 opsummerer de 12 udvalgte fondes stamdata, samt det, som er essentielt for analysen, nemlig den store kreditandel i forhold til benchmark. Altså, måske en proxy for betarisikoen i de danske porteføljer, da investor alt andet lige kræver CAPM præmie for at investere i papirer, der ikke har den danske stat som udsteder. Flere af de danske realkreditobligationer har i lighed med den danske stat en AAA rating, men det betyder ikke, at der ikke skal være en præmie. Tabel 6: Fondenes rating og realkreditandel Navn Morningstar Kategori Rating Fondskode ÅOP Kredit andel * LPI Obligationer Europa Maj Invest Danske Obligationer Danske Invest Dannebrog Mellemlange Jyske Invest Lange Obligationer Nordea Invest Mellemlange Obligationer Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Nykredit Invest Lange obligationer Danske Invest Danske Lange Obligationer Nykredit Invest Korte Obligationer Danske Invest Fonde Obligationer Nordea Invest Korte Obligationer Sparinvest Korte Obligationer Gennemsnit Mellemlange Mellemlange Mellemlange Mellemlange Mellemlange Lange Lange Lange Korte Korte Korte Korte ***** ***** **** **** **** **** ***** **** ***** **** **** **** DK0060240414 DK0060005098 DK0010078070 DK0015855332 DK0015168686 DK0060187342 DK0060034007 DK0016105380 DK0060033975 DK0015989610 DK0060268506 DK0060105203 0,45% 0,35% 0,58% 0,58% 0,61% 0,63% 0,60% 0,63% 0,36% 0,72% 0,43% 0,30% 0,52% 83% 93% 85% 85% 98% 97% 60% 93% 85% 88% 99% 88% 88% Statsbenchmark** Kredit Overlay 40% 100% 75% 100% 100% 100% 100% 75% 100% 75% 100% 100% 89% 23% 93% 60% 85% 98% 97% 60% 68% 85% 63% 99% 88% 77% Dato 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 16-10-2015 * Nuværende ÅOP Det ses, at med undtagelse af LPI (Lægernes PensionsInvestering) og Danske Invests fonde, har alle et benchmark med 100% danske stater. Danske invest offentliggør ikke detajler i deres benchmark, hvorfor vi har estimeret et benchmark med 75% stater og 25% realer. Den gennemsnitlige overvægt af kreditobligationer, primært danske realer, men også virksomhedsobligationer, er ca. 75%. Det er naturligvis et øjebliksbillede, men tendensen har været sådan i mange år i det danske investeringsmarked. Obligationsporteføljer bliver bygget op omkring benchmark med en meget høj strategisk og passiv (real)kreditandel.18 17 I appendix har vi vist beregningen af vægtene. En senere analyse må underbygge mere solidt antagelsen om det store kreditoverlay. Det er et relativt stort arbejde at trække beholdningslister på alle fonde, på eksempelvis månedsbasis i 10 år. 18 12 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Desuden ses det, at omkostningerne, målt ved ÅOP19, i gennemsnit er på ca. 0,5%-point. ÅOP anvendes fordi det er en offentlig tilgængelig størrelse, og at den i øvrigt ligger meget tæt på "Total Expenditure Rate", som er den forvalteren kæmper imod. TER er nemlig den "indre" omkostning, der geometrisk udvander fondenes AuM over tid, mens ÅOP også er en "ydre"omkostning, der udover at indeholde TER, indeholder et 7 årig lineært tilskrevet indløsning- og emissionsbidrag. Da ÅOP adskiller sig fra TER med faste omkostninger 2 gange (ind og ud af fonden), betyder det selvfølgelig også at; Åππ β ππΈπ πππ π‘ β β TER'en er således umiddelbart relevant for forvalterne, mens ÅOP er relevant for investor. På de lange horisonter er interessen sammenfaldende. Omkostningerne er faldet over årene, og vi vil derfor i modelanalysen arbejde med en omkostning på 0,77%-point, som gennemsnitlig 10 årig annualiseret ÅOP.20 Nedenstående tabeller opsummerer fondenes performance annualiseret, både med (Perf Net), og uden (Perf Gross) omkostninger. 19 http://www.investering.dk/om-aop Altså en kvalitativ ÅOP parallelforskydning på tværs af fondene. Alle fonde bliver således stadig målt imod deres individuelle ÅOP. 20 13 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 7 : Fondenes historik p.a. Navn LPI Obligationer Europa Maj Invest Danske Obligationer Danske Invest Dannebrog Mellemlange Jyske Invest Lange Obligationer Nordea Invest Mellemlange Obligationer Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Nykredit Invest Lange obligationer Danske Invest Danske Lange Obligationer Nykredit Invest Korte Obligationer Danske Invest Fonde Obligationer Nordea Invest Korte Obligationer Sparinvest Korte Obligationer Aritmetisk Gennemsnit Port 2,6% 3,6% 2,2% 2,2% 3,0% 3,7% 3,7% 3,1% 1,8% 1,5% 1,7% 1,2% 2,5% Bench 1,7% 1,8% 1,7% 1,8% 1,6% 2,5% 2,2% 2,4% 0,1% 0,4% 0,5% 0,5% 1,4% 3Y Perf Gross* 1,6% 2,3% 1,3% 1,2% 2,2% 2,1% 2,3% 1,6% 2,2% 2,1% 1,9% 1,2% 1,8% Perf Net 0,9% 1,7% 0,5% 0,4% 1,4% 1,2% 1,4% 0,7% 1,6% 1,1% 1,2% 0,6% 1,1% Port 3,8% 4,0% 3,0% 3,2% 3,7% 4,6% 4,9% 4,1% 2,8% 2,2% 2,0% 3,5% Bench 3,1% 2,9% 3,1% 3,4% 2,9% 4,0% 3,7% 3,8% 0,8% 1,1% 1,5% 2,7% 5Y Perf Gross* 1,4% 1,7% 0,8% 0,7% 1,7% 1,5% 2,1% 1,2% 2,5% 2,0% 1,1% 1,5% Perf Net 0,7% 1,1% -0,1% -0,1% 0,8% 0,6% 1,2% 0,3% 1,9% 1,0% 0,5% 0,7% Port 3,9% 3,5% 5,7% 4,5% 3,0% 3,0% 3,9% 10Y Bench Perf Gross* Perf Net 4,8% -0,2% -0,9% 4,8% -0,4% -1,3% 4,8% 1,7% 0,8% 4,1% 1,2% 0,3% 2,7% 1,3% 0,3% 2,7% 0,8% 0,2% 4,0% 0,7% -0,1% * ÅOP=0,77% korrektion For de fonde, som ikke har offentlig tilgængelig information om benchmark, har vi anvendt gennemsnittet af de andre fondes benchmark i samme kategori. Tabel 8: Fondenes historik på horisonter. Navn Port LPI Obligationer Europa 8,1% Maj Invest Danske Obligationer 11,0% Danske Invest Dannebrog Mellemlange 6,8% Jyske Invest Lange Obligationer 6,7% Nordea Invest Mellemlange Obligationer 9,2% Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer 11,5% Nykredit Invest Lange obligationer 11,4% Danske Invest Danske Lange Obligationer 9,7% Nykredit Invest Korte Obligationer 5,4% Danske Invest Fonde Obligationer 4,6% Nordea Invest Korte Obligationer 5,2% Sparinvest Korte Obligationer 3,6% Aritmetisk Gennemsnit 7,8% Bench 5,3% 5,5% 5,3% 5,6% 4,8% 7,8% 6,8% 7,3% 0,4% 1,2% 1,6% 1,6% 4,4% 3Y Perf Gross* 5,0% 7,7% 3,8% 3,4% 6,6% 5,9% 6,7% 4,6% 7,4% 5,8% 5,9% 4,3% 5,6% Perf Net 2,6% 5,2% 1,5% 1,1% 4,2% 3,5% 4,3% 2,2% 5,0% 3,4% 3,5% 2,0% 3,2% 14 Port 20,4% 21,7% 15,9% 17,2% 19,8% 25,1% 27,1% 22,5% 14,6% 11,3% 10,2% 18,7% Bench 16,2% 15,5% 16,2% 18,0% 15,2% 21,5% 19,7% 20,6% 4,3% 5,9% 7,5% 14,6% 5Y Perf Gross* 7,7% 9,5% 3,6% 3,2% 8,1% 6,9% 10,3% 5,5% 14,2% 9,3% 6,5% 7,7% Perf Net 3,6% 5,4% -0,3% -0,7% 4,0% 2,9% 6,1% 1,5% 9,9% 5,2% 2,5% 3,7% Port 46,7% 41,3% 74,1% 55,0% 34,8% 34,3% 47,7% 10Y Bench Perf Gross* 60,4% -1,2% 60,4% -4,9% 60,4% 17,2% 49,9% 11,7% 31,0% 11,1% 31,0% 10,6% 48,9% 7,4% Perf Net -8,5% -11,9% 8,5% 3,4% 2,9% 2,5% -0,5% En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 9: Aggregeret fondshistorik Summary Statistics (horisont) Afkast Portefølje Afkast benchmark Performance Gross (ÅOP=0,77% snit) Performance Net 3Y 7,8% 4,4% 5,6% 3,2% 5Y 18,7% 14,6% 7,7% 3,7% 10Y 47,7% 48,9% 7,4% -0,5% Summary Statistics p.a. Afkast Portefølje Afkast benchmark Performance Gross (ÅOP=0,77% snit) Performance Net 3Y 2,5% 1,4% 1,8% 1,1% 5Y 3,5% 2,7% 1,5% 0,7% 10Y 3,9% 4,0% 0,7% -0,1% Gennemsnittet af den geometriske performance er positiv, både med og uden omkostninger, bortset fra på den 10 årige horisont. Performance er solid, men som tidligere anført er det ikke nogen overraskelse, da fondene netop er udvalgt udfra deres solide performance, de sidste op til 10 år. Statistisk test af Alpha Der anvendes som anført næsten 100% statsbenchmark på tværs af fondene, mens porteføljerne ligger med strategiske realkreditoverlay fra 20% og op til næsten 100%. For nogle fonde er det kun konstantsaldoen og de registrerede førtidsindfrielser af de konverterbare realkreditobligationer, der ikke er kredit. Sidstnævnte udtrukne realer er de-facto pengemarkedspapirer (nulkuponobligationer) og har dermed Macaulay varighed svarende til næste termin, hvor kurs 100 (call optionens strike i de konverterbare realer) afregningen foregår. Traditionelt vurderes forvalterens evne til at "slå markedet" ved at korrigere performance mod benchmark, korrigeret for standardafvigelsen mellem afkast på porteføljen og benchmark. Har benchmark 0 i standardafvigelse (i tekstbøgerne den helt korte risikofrie statsrente eller kontanter på anfordring med statsindskydergaranti), er standardvigelsen imellem dem, defacto, standardafvigelsen på porteføljen. I dette specialtilfælde, er den risikokorrigerede performance den berømte Sharpe Ratio. Alternativt, hvis benchmark har standardafvigelse forskellig fra 0, kaldes korrektionen for Information Ratioen (IR). I det tilfælde kalder vi standardafvigelsen for tracking error (TE). IR er som statistisk mål, de-facto også Sharpe Ratioen. Givet Gaussiske antagelser om afkastdynamikken, kan disse ratios, da de i statistisk sammenhæng er standardiserede størrelser, naturligvis anvendes til at estimere om fonden, 15 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 har performet statistisk signifikant. Testen er essensielt om der er forskel på afkastet på portefølje og afkast på benchmark.21 Tabel 10: Eksempel på statistisk anvendelse. Horisont 3Y 5Y 10Y Performance, P 1,0% 3,0% 5,0% Tracking Error 2,0% 3,0% 2,0% IR 0,50 1,00 2,50 Prob(P<0) 30,9% 15,9% 0,62% p-værdi 30,9% 15,9% 0,62% På den 10 årige horisont er der ikke bare performance, men også statistisk performance. Med en p-værdi på 0,62% er der således statistisk signifikans for outperformance med signifikansniveau på 5%.22 Altså p-værdien er mindre end 5%. Sandsynligheden for underperformance samt p-værdi er sammenfaldende, da testen er i forhold til en forventet populationsværdi på nulperformance. π β π£æπππ10 = 1 β π§ πΌπ 10 = π§ ππππ10 0,05 = 1βπ§ = 0,62% ππΈ10 0,02 I en markedsefficient verden, ligevægt, giver metoden dog kun mening, hvis benchmark exante eller ex-post korrigeres for betarisiko. Ellers kan der i halen af normalfordelingen ligge ren betaperformance. Statistisk signikans ved lave p-niveauer øger naturligvis sandsynligheden for, at der er forvalter "skills" involveret. Men igen, det kan ikke udelukkes det betaeksponeringen der har drevet den statistiske signifikans. Betakorrigerende performancemål Denne problemstilling adresserer performancemålet Jensen's Alpha for, ved lineært at faktorisere betarisikoen (dog kun med 1 faktor, nemlig benchmark). Udvider vi med flere systematiske faktorer, er det den klassiske Arbitrage Pricing Theory model (APT). Er π π‘ porteføljens afkast mellem peride t og periode t-1, bliver ex-post Alpha performance beregnet som konstanten, πΌ, i en linær regression med π betavariable, X, og tilhørende faktorloadings, π½ (beta risk)23; π π‘ = πΌ + π π π½π πππ‘ + ππ‘ , ππ‘ ~ π 0, π 2 , π = 1,2, β¦ , π 21 Estimatorerne for IR og Sharpe Ratios ændres væsentligt med ikke-normalfordelte antagelser om afkastet. http://www.craig.csufresno.edu/IJB/Volumes/Volume%2013/V134-4.pdf 22 1 sidet test, med nulhypose, at der ikke er performance. 23 Estimeres med simpel lineær regression (OLS). 16 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Er alpha, som konstantled, statistisk signifikant, konkluderes det, at forvalteren har leveret Alpha, der må tilskrives dygtighed og/eller held. Metodens kredibilitet, er dog afhængig af valget af betafaktorer (benchmarks). Det er oplagt blot at justere benchmarket historisk med højere realkreditandel, ogdermed højere carry. Altså, opstille et pseudo eller skyggebenchmark, og re-kalibrere fondenes performance i forhold til dette. I forlængelse af denne metode, anvender vi en stokastisk model for performance, under hensyntagen til systematisk risiko. Metoden har den fordel, at vi kan simulere over tid fondenes performance fair, i forhold til statistiske tilfældigheder. Konkret, som vi vil vise senere, kan der anvendes en klassisk Geometric Brownian Model parametriseret med fair momenter for mer-carry og tracking error. Lidt basics om carry på dansk realkredit Risikofyldte aktivklassers præmie til statsobligationer kendes også som Z-spændet. Zspændet måler en carry på det risiko aktiv i forhold til nulkuponrentekurven for statsobligationer. I Danmark er der ikke mange nulkuponobligationer, og dem der er, er i den helt korte ende af statskurven. Her findes Skatkammerbeviser, og selvfølgelig også den korteste kuponobligation (med een betaling tilbage). Den korteste statkuponobligation i Danmark pt. Stat 4% 2015 15/11/15. Den handler også de-facto som nulkuponobligation. Derfor må der "boot-strappes" i det omfang, det er muligt, og så i øvrigt ekstrapolere med en ex-ante defineret funktionsform for nulkuponrenterne, eg. Nelson Siegel modellen. For de konverterbare realkreditobligationernes vedkommende, kan Z-spændet dekomponeres i en OAS-præmie og i en konverteringspræmie (Call præmie). OAS-præmien kan fortolkes som realkreditobligationes konverteringsfrie spænd til nulkuponstatsrentekurven. Altså en risikopræmie, indeholdende risici fra de sædvanlige kanaler som eg. kredit og likviditet. OAS spændet indeholder altså ikke konverteringspræmien. Det ligger i den måde OAS er beregnet på. OAS-spændet beregnes generelt, dvs. også på de inkonverterbare realkreditobligationer24 , ved at antage, at markedsprisen (dirty prisen) på realkreditobligationen, er den teoretisk rigtige, hvorefter spændet ved "trial-and-error", kan estimeres ved at sætte nutidsværdien af de fremtidige cashflow, diskonteret med de relevante nulkuponrenter + et konstant spænd, lig med markedsprisen. 24 Det er markedsstandard er kalde de inkonverterbares spænd til statskurven for OAS, selv om der selvfølgelig ikke er nogen option i de konverterbare obligationer. I de konverterbare, er Z-spændet lig OAS, da konverteringspræmien (call præmien) er 0. 17 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Altså, principielt samme teknik som ved beregning af effekive renter, blot med den forskel at markedsprisen kalibreres til de diskonterede cashflow med nulkuponkurven + konstant spænd (præmien over den "risikofrie" statsrente). Det er således umiddelbart en triviel øvelse. Eller det er det, hvis cashflowet er kendt. Det er det på de inkonverterbare, men på de konverterbare er cashflowet ukendt, da låntager har en konverteringsret. Den teoretiske pris på den konverterbare realkreditobligation, er dermed prisen på det inkonverterbare cashflow, fratrukket prisen på konverteringsretten. Konverteringsretten, er en Call Option med strike på kurs=100. Havde man kunne antage rationelle låntagere, kunne man umiddelbart prisfastsætte call optionen (og dermed realkreditobligationen) trivielt med lukkede løsninger for optioner. Men låntager er ikke rationelle, dvs. de indfrier forskelligt ud fra heterogent vægtede kriterier. Derfor anvendes der en realkreditmodel, som dels simulerer renten ud i fremtiden25, og dels beregner sandsynlighed for konvertering med afsæt i denne rente, samt mange andre kriterier, som omkostninger, lånets størrelse, og om det er erhverv/privat. Simulationen af renten foregår i en rentestrukturmodel og simulation af udtræk, foregår i en prepayment model. Med disse sandsynligheder, som er fundet i en normalfordelt gevinstkravsmodel26, kan man simulere det "ukendte" cashflow, og dermed beregne værdien af call optionen og realkreditobligationen. Ved at beregne OAS kan man sammenligne præmien med andre præmier i markedet. OAS har dog også modelrisiko i sig. Derfor er det ofte sådan, at når forventet mer-afkast eller mer-carry, om man vil, skal beregnes på konverterbare, da bruges istedet det forventede kuponafkast på realkreditobligationen. Altså kupon over dirty pris. Når mer-carry mod varighedsækvivalente statsobligationer skal estimeres, bruges i sammenligningen, den effektive rente på statsobligationen, som proxy for forventet statscarry. Ved typisk at bygge porteføljerne i fondene med stor overlayrisiko i realkreditobligationer, eksponeres afkast og performance kraftigt til dynamikken i Z-spændet. Nogle forvaltere arbejder primært med call præmien, andre med OAS præmien. Når man arbejder med call præmien, er det med udgangspunkt i break-even beregnninger på korte horisonter over udtrækninger, til en enkelt eller to terminer frem i tiden. Der opstilles et afkastkrav og så beregnes der en break-even udtrækning. Det er typisk kun ved korte horisonter, da analysen som oftest kun indebærer holdninger til udtrækket. 25 Forfatter anvender no-arbitrage BDT modellen, som kalibreres til obligationsrenter og "at the money" cap vol. Modellen løses simpelt, ikke som baglæns rekursion, men som forlæns rekursion. 26 Med ex-ante holdninger til, hvor meget låntager i gennemsnit skal "spare" i nutidsværdi ved at omlægge, kan man lave en normalfordelingsmodel, som styrer konverteringssandsynligheden. Det kræver også en exante bestemt standardafvigelse. 18 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Slutkurs og startkurs antages i udgangspunktet at være ens, da meget konverteringstruede realkreditobligationer har lav varighed. Afkastkravet er derfor også tæt på pengemarkedesrenten. Dekomponering af mer-carry på realer mod stater. Kvalitativt vurderer vi at mer-carryen kan dekomponeres i det følgende faktorer, og med den opgivne Alpha/Beta kategorisering. Tabel 11: Kvalitativ dekomponering af mer-carry i realer mod stater.27 Mer-Carry Kredit Likviditet Indlåsning Konvertering Konveksitet Udstedelse Alpha Beta X X X X X X Vi postulerer kvalitativt, at præmien, målt på det løbende afkast, primært skal tilskrives systematiske faktorer, hvorved præmien approximativt er en betafaktor. Derfor skal denne naturligvis, jævnfør Moderne Portefølje Teori, CAPM, korrigeres i sammenligninger af porteføljens afkast mod benchmark. Med andre ord afkastkravet i benchmark er systematisk underestimeret i de danske obligationsfonde, i forhold til de strategiske profiler med med realkreditoverlay. 27 Der kan også argumenteres for en regulatorisk præmie. Særligt siden 2008, hvor mange nye tiltag, som LCR og NSFR, påvirker prisdannelsen. Det er dog ikke umiddelbart klart, hvordan præmien skal dekomponeres i Alpha og Beta. 19 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Vi kan underbygge postulatet kvantitativt ved at trække tidsserier 5-10 år tilbage. Tabel 12: Statistiske nøgletal for realer og stater.28 Summary statistics Real CM5 indeks Stat CM5 indeks Daglige logafkast fra 13-08-2009 Standardafv* Korrelation 3,00% 1 0,75 2,00% 0,75 1 Mer-Carry** BETA (CAPM) 1,75% 1,26 *1 Afrundet. Stat std = 1,80%, real std =3,07%, korrelation=0,74 ** Gennemsnit mellem real-stat. Kuponrente på syntetisk kurs 100 30årig konverterbar real fra 01.01.2005. Kombination af 3,4,5,6% obligation. Effektiv rente på syntetisk 5årig stat Tabel 13: Test for Alpha og Beta med CAPM29 Faktor Alpha Beta (H0: Beta=0) Beta (H0: Beta=1) R^2 Adj. n dage Faktor Alpha Beta (H0: Beta=0) Beta (H0: Beta=1) R^2 Adj. n dage Daglige logafkast fra 13-08-2009 Koefficient Standard Error 0% 0,00% 126% 2,97% 100% 2,97% 74% 1516 - Daglige logafkast fra 29-12-2006 Koefficient Standard Error 0% 0,00% 71% 1,03% 100% 2,97% 82% 2201 - t Stat 2,08 42,57 8,86 P-value 3,79% 0,00% 0,00% - - t Stat 0,00 0,01 -9,93 P-value 0,00% 1,03% 0,00% - - Analysen for Alpha og Beta, er beregnet ud fra den tidligere viste regression, hvor Alpha og Beta estimeres lineært i en CAPM model, med statsindeksafkastet, som den eneste exogene variabel. 28 Beta er beregnet korrekt, mens de øvrige nøgletal for simplicitetens skyld i artiklen er afrundet. Så lille forskel i Beta på 1,125 (afrundet) og beta 1,26 eksakt. 29 En senere analyse må dykke ned i Hedge fondenes performance, og vurdere Alpha i realkredit nøjere. De danske hedgefonde benytter sig i høj grad af, long-short dansk realkredit mod danske statsobligationer. Men, hvis ikke andre af realkredittens betafaktorer (se i artikel for dekomponering) er hedget i disse fonde, er resultatet nok det samme som i denne artikel. Hedge fonde kalder ofte deres betafølsomme "Alpha" afkast for alternativ beta. 20 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 πΆππππ¦π ππππ‘ = πΌ + π½πΆππππ¦ππ‘ππ‘π‘ + ππ‘ , ππ‘ ~ π 0, π2 , Estimeret bliver CAPM således, πΆππππ¦π ππππ‘ = 0 + 1,26πΆππππ¦ππ‘ππ‘π‘ , hvor Ξ±^, er Alpha i CAPM (Jensen's Alpha). Interessant er det, at Alpha i begge datasæt er beregnet til 0, og opfylder statistiske betingelser for, at vi kan ikke kan afvise 0. Derved har prisdannelsen mellem stats- og realkreditobligationer, historisk været i CAPM ligevægt. Risikoen kan forklare lineært afkastet. Ergo, må det også betyde at den relative afkastudvikling, mer-carryen, mellem realer og stater kan forklares ud fra den systematiske risiko beta alene. Efter vores vurdering, er der således både kvantitativt og kvalitativt, ex-ante og ex-post belæg for at konstatere, at der er 1:1 systematisk risiko i præmien, hvorfor det giver mening at stokastisk modellere forventede nøgletal, med mer-carry'en som drift. 21 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Indlåsningseffekt som Alpha kilde Ifølge testen for alpha i en CAPM model, er denne kvalitative Alpha indlåsningseffekt, ikke tilstrækkelig til at hæve testens Alpha signal over 0. Ikke desto mindre er den interessant, i dens egenskab af, i følge vores vurdering, at være den mest oplagte Alpha kilde mellem statsog realkreditobligationer. Indlåsningsfaktoren er et fænomen, der kan tilskrives realkreditobligationens "delivery option", hvor låntager til hver tid kan indfri (ved termin på fastforrentede) obligationsgælden til markedskurs, ved at opkøbe obligationen i markedet. Teoretisk vil den rationelle låntager på fastforrentede konverterbare realkreditobligationer, derfor købe den nominelle restgæld tilbage til MAXβ‘ (πππππππ ππ’ππ , 100). Indlåsningseffekten gælder derfor under kurs 100 på konverterbare realkreditobligationer, mens den gælder til markedskurs på inkonverterbare realkreditobligationer, hvor indfrielsen af kontantlånet pr. definition skal ske til markedspris, uagtet prisen. Indlåsningseffekten fik for alvor opmærksomhed under den store finansielle innovationsbølge i 2004-2007, hvor de danske realkreditinstitutter, lancerede mange nye produkter, der sigtede mod at beskytte låntager mod rentestigninger. Vi var på det tidspunkt under FED's kommunikative statement om "Low interest rates for a considerable period". Det er standard i dagens de-facto 0% rentemiljø, men dengang var det usædvanligt og det trak renterne, og rentekurvehældningen langt ned. De såkaldte FlexGarantiobligationer (Floating-to-Fixed, FF), med "knock in" option, var obligationer med en variabel rente bundet op på CIBOR, og et renteloft, hvor den variable obligation, hvis den blev "knocked in", blev permanent fastlåst på den givne kupon (FF'er havde konverteringsret på kurs=100). Udstedelsen var stor i nogle serier, men små i andre serier, såsom i BRF og Nordeas serier i 6% - FF'eren. Cashflowprofilen sammen med markedsudviklingen medførte, at kursen driftede langt over kurs 100, uden "knock-in". Da låntagere ville indfri gælden, kunne det således ikke ske til kurs 100, da konverteringsretten først ville træde i kraft ved "knock in". Likviditeten i serierne var lille, forstået som en kombination af lav udstedelsesmængde og høj koncentration af investorer, og derfor blev kursen skubbet langt over et "fair" teoretisk niveau, hvor låntagere kun kunne indfri ved at betale teoretisk unfair pris. Der var tale om 4-6 kurspoint's misprisfastsættelse og dermed DKK 40,000-60,000 pr. lånt million. Dette var også tilfældet på mange af de såkaldte Cap-Floatere, hvor låntagers variable CIBOR + spænd betaling blev cappet på forskellige niveauer, men hvor den variable betaling igen trådte i kraft ved rentefald, altså en midlertidig fastlåsning. Mange af CF'erne havde/har konverteringsret på kurs 105. 22 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Prisdannelsen, som følge af indlåsningseffekter, vurderer vi er en klassik Alpha kilde, forstået som en ukorreleret faktor, som følge af markedsinefficiens. 23 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Analysens statistiske udgangspunkt - nulhypotesen De statistiske tests af fondenes afkast mod benchmark, opfylder ikke betingelserne for at kunne udføre dem fair.30 Kravet er nemlig, at under antagelse af ingen gennemsnitlig Alpha, der skal afkastet på den aktivt forvaltede fond, give afkastet på den passive fond, før omkostninger.31 Det forventede moment, for gennemsnitsafkast, skal derfor være ens imellem porteføljen og benchmark. Dette gælder ikke for tracking error'en som qua den aktive dynamik er positiv. Under nulhypotesen (H0) postulerer vi: Danske obligationsfonde har ikke, statistisk signifikant (p-værdi <5%) kunnet skabe højere gross-fee performance, end en beta-rekalibreret stokastisk model, som inkluderer det gennemsnitlige realkreditoverlay.32 Altså, eliten blandt de danske obligationsfonde, kan ikke statistisk outperforme, en model der tager højde for mismatchet i betarisiko og afkastkrav. Benævnes Alpha, som πΌπ‘ , kan nulhyposen skrives som en 1-sidet hypotesetest, hvor; π»0 : πΌπ‘ β€ 0 π»π : πΌπ‘ > 0 Da betaelementet er filtreret ud, er det den rene Alpha vi tester for. Hvis vi antager at alle afkast-, performance- og omkostningstal er geometrisk beregnet til tiden, t, så findes Ξ±t som; πΌπ‘ = 1 + ππππππππππππΉππππ ,π‘ 1 + Åπππ‘ 1 + ππππππππππππππππ ,π‘ β1 eller i logaritmer; πΌπ‘ = π πΎπ‘ +ππ‘ βπ½π‘ β 1 , hvor 30 Dette gælder heller ikke i Morningstar. http://www.jasonhsu.org/uploads/1/0/0/7/10075125/theinformationratio.pdf 32 Vi korrigerer senere i ÅOP'en, alternativomkostningen i den passive forvaltning, for at teste Alpha mod et omkostningsretvisende indeks. 31 24 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 πΎπ‘ = ππ 1 + ππππππππππππΉππππ ,π‘ ππ‘ = ππ 1 + Åπππ‘ π½π‘ = ππ 1 + ππππππππππππππππ ,π‘ Vi kan også skrive performance, indekseret dekomponeret, i Alpha og Beta således; eΞ³ t = eΞ± t +Ξ² t βΞΈ t = ealpha t +beta t βÅOP t På afkastform kan vi skrive Alpha som; πΌπ‘ = 1 + π΄ππππ π‘πΉππππ ,π‘ 1 + Åπππ‘ 1 + π΅πππππππππΉππππ ,π‘ 1 + ππππππππππππππππ ,π‘ eller i logaritmer; πΌπ‘ = π π£π‘ +ππ‘ βπ½π‘ βπ π‘ β 1, ππ£ππ , π£π‘ = ππ 1 + π΄ππππ π‘πΉππππ ,π‘ ππ‘ = ππ 1 + Åπππ‘ π½π‘ = ππ 1 + ππππππππππππππππ ,π‘ ππ‘ = ππ 1 + π΅πππππππππΉππππ ,π‘ Dekomponeret i Alpha og Beta bliver det; π π£π‘ = π πΌ π‘ +π½π‘ +π π‘ βππ‘ = π πππ ππ π‘ +πππ‘π π‘ βÅπππ‘ 25 β 1, En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Analysens "ex-ante" fair" afkastkrav til benchmark Et fair afkastkrav på fondenes egne benchmark, bliver således ex-post og ex-ante korrigeret opad med 1 + PerformanceModel ,t . hvor Ξ±t eksklusiv omkostninger (net-fee) , er hvor ÅOPt =0. Da ÅOP'en ikke tager højde for investors alternativomkostninger, skal disse alternativomkostninger, trækkes ud. Med andre ord, en statistisk insignifikant Alpha, behøver ikke nødvendigvis, set med investorøjne, at være insignikant, da der også er omkostninger ved at anvende alternativ passiv investering i indeksfonde, eller for den sags skyld, i en replikeret outright portefølje, uden om fondsuniverset. Indeksfondes omkostninger på obligationer idag, er væsentligt lavere end ÅOP'en, måske 25bp. til 60bp. afhængig af aktivfond og indeksfond.33 Vi sætter en 10 årig historisk indeksomkostning til 0,15% p.a.34. I nedenstående illustration viser vi, hvordan det forventede eller realiserede afkast på porteføljen kan måles under to forskellige H0'er, hvor forskellen er korrektionen for betarisikoen. Vi antager linær sammenhæng mellem aritmetisk afkast og standardafvigelse, som antaget i Moderne Porteføljeteori (MPT). Altså, CML linjen, eller simpelthen Sharpe Ratioen. 33 http://www.danskeinvest.dk/web/show_download.kid?isin=DK0060175255&lang=da Senere analyse må vurdere specielt for det danske marked, hvad der har været af indeksmuligheder på fondsniveau de sidste mange år. Analysen må også vise beta'en mellem eg. tyske og danske risikoækvivalente fonde. Ligeledes, må der tages højde for skattemæssige hensyn i eg. tyske ETF'er. 34 26 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 13: Simulering af to benchmarks med lineært skalerbare momenter.35 Simulering under 2 H0'er Kumulativ sandsynlighed under H0 Forskellig forventet afkast (a) og standardafvigelse (b) Antaget MPT efficient rand 1,2 14 Kumulativ Norm tæthed 10 8 6 4 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 -15% -13% -11% -9% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15% 17% 19% 21% 2 -15% -13% -12% -10% -8% -7% -5% -4% -2% 0% 1% 3% 4% 6% 8% 9% 11% 12% 14% 16% 17% 19% 20% 22% Norm tæthed 12 Afkast (log) Afkast (log) H0 : a=0,02, b=0,03 H0:a=0,04, b=0,06 H0 : a=0,02, b=0,03 H0:a=0,04, b=0,06 Det der er interessant er, at sandsynligheden for at skabe merafkast mod benchmark er den samme, under de to afkastmål, og dermed risikomål. Det er ikke overraskende, da det ellers ville betyde, at der kunne skabes højere ex-ante risikojusteret afkast mod benchmark, ved at øge risikoen. Eller vice versa. Så umiddelbart under Sharpe målet, er ex-ante eller ex-post korrektionen fair, da den er linæer i afkastkravet til tidspunkt t=t0. Det ligger i den Moderne Portefølje Teori's DNA, at kun korrelationen kan ændre det risikojusterede resultat. For fondene, eller forvalterne, er dog alligevel to centrale svagheder i risikomålet. Den ene er, at måles forvalteren på den absolutte afkastperformance mod benchmark, har han carry'en med sig. Carry forstået som beta-carry, altså markedsrisiko-genereret carry. Grafen nedenfor illustrerer, at uden betakorrektionen, testes der for beta, mens der testet for alpha, når afkastkravet er implementeret. Tracking erroren er ex-post den samme. Tabel 14: Ex-post simulering af to benchmarks med forskellig drift og samme volatilitet Simulering under 2 H0'er Forskellig forventet afkast (a) 14 Norm tæthed 12 10 8 6 4 2 -15% 0 35 Rejection - Beta (5%) Rejection - Alpha (5%) H0 : a=0,04, b=0,03 H0:a=0, b=0,03 Første og andet moment, gennemsnit og standardafvigelse. 27 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Det andet er, at analysen ovenfor er til tidspunkt t=t0, og som vi vil vise senere, påvirkes performancesandsynlighederne ganske vist ikke statisk til t=t0, men det gør de dynamisk over tid. Således vil der over tid med en ex-ante mer-carry, genereres højere og højere sandsynlighed for et givet target performancemål, også tracking error justeret. Tabel 15: Simulering af Information Ratio (IR) og underperformance under H0. Simulering af Information Ratio vs. tid IR og sand synlighed for und erperformance 4 30% 3,5 25% 3 20% IR 2,5 2 15% 1,5 10% 1 5% 0,5 0 0% 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Tid - å r IR(a=0,02;b=0,03) Prob(IR<0) Uden, at foretage aktive dispositioner i porteføljen, vil risikojusteret performance over tid, stige, som følge af en slags slags matematisk-statistisk motor.36 I en "fair" baseret performancemåling, er den forventede mer-carry 0. Ex-ante, og CAPM konsistent, burde tracking error'en være 0. Altså 100% sandsynlighed for 0 i mer-carry, også over tid, da porteføljen og benchmark skal være identiske i udgangspunktet. Antages en CAPM fleksibilitet, hvor tracking error'en er positiv, er sandsynligheden for ikke at nå et 0 resultat er 50%/50%. Dette burde være kravet til en aktiv porteføljeforvalters udgangspunkt. At han skal slå et "Zero-Sum Game", på højre side af normalfordelingen. Det er ikke tilfældet når ex-ante forventet performance er positiv. I det tilfælde vil forvalteren, altid være en "Above Average Manager". Med horisontlængden37 vil denne spuriøsitet, med positiv forventet, ex-ante, Information Ratio, stige i henhold til "Square-Root" reglen, når det er aritmetisk beregnet, og en variant af "Square-Root" reglen, når det er geometrisk beregnet. Altså, ex-ante "Zero-Sum Game" betingelser for at vurdere forvalteren k's evner, udover det beta-styrede må dermed nødvendigvis være til tidspunkt t, for "Gross-Fee" performance, πΌπ‘ ; 36 Der er stor akademisk debat om dette emne. Vi senere vise problematikken, da det handler om beregningen af afkast, geometrisk eller aritmetisk. http://www.calpoly.edu/~ppatel29/SharpeRatioRun12082014.pdf, 37 Man taler om "horizon effect". http://www.calpoly.edu/~ppatel29/SharpeRatioRun12082014.pdf 28 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 πΈ 1 + π΄ππππ π‘πΉππππ ,π‘ 1 + Åπππ‘ 1 + π΅πππππππππΉππππ ,π‘ 1 + ππππππππππππππππ ,π‘ β1 =0 πΈ πΌπ‘π = 0 πΈ πΌπ‘π 0 =πΈ =0 ππΈπ‘π ππΈπ‘π πΈ Ξ₯tk = 0,5, hvor Ξ₯tk er p-værdi til tidspunkt t, af den k'te forvalter. Vi kalder også denne betingelse for "Abe" betingelsen. Dvs. hvor resulatet kunne relikeres med et møntkast. Uden disse betingelser, vil et passivt realkreditoverlay, kunne generere fordelagtige nøgletal over tid. I eksemplet, i tabel 15, er der således statistisk performance efter ca. 7 år, målt ved en-sidet p-værdi (IR=1,64) på 5%, også hvis forvalteren, i den aktive fond, ingen dispositioner laver. Den statistiske ex-post p-værdi test for Ξ±t signifikans på den enkelte forvalter bliver derfor om; Ξ₯kt < 5% 1 β π§ πΌπ ππ‘ < 5% 1βπ§ πΌππ‘ ππΈππ‘ < 5% πΌππ‘ ππΈππ‘ > 1,645 Skulle der være merformance mod modellens performance på horisonterne, må det ikke være udslag af statistisk tilfældighed. I udgangspunktet sætter vi "barrieren" for tilfældighed ved det typiske niveau for p-værdien, nemlig p=5%. Konkret tester vi den akkumulerede performance for elitefondene på horisonttidspunkterne, 3Y, 5Y og 10Y. Den akkumulerede og geometriske performance er som anført, beregnet som simpelt gennemsnit over de 12 fondes individuelt akkumulerede geometriske performance. Tabel 16: Fondenes gross-fee performance rullende de sidste 10 år 29 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Summary Statistics (horisont) Performance Gross (ÅOP=0,77% snit) 3Y 5,6% 30 5Y 7,7% 10Y 7,4% En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Modelporteføljens absolutte og relative karakteristika Porteføljen er simplifiseret til et investeringsunivers med to aktiver, et realkreditindeks, som vi antager er lidt konverteringstruet (embedded call option tæt på "in the moneyness"), og et mellemlangt statsindeks. Vi vælger disse, da den modifiserede varighed på disse obligationer er 5, og dermed respræsentativ for den gennemsnitlige varighed på tværs af fondskategorierne.38 Nedenfor er stamdata for modelporteføljen og benchmark skitseseret. Absolut, såvel som relativt. Tabel 17: Modelporteføljens absolutte sammensætning Aktiv DKK Andel CM Statsindeks (MDUR 5) 25 25% CM Realkreditindeks (MOAD 5) Total 75 100 75% 100% Portefølje MDUR* MDUR bidrag DKK Benchmark Andel MDUR 5 1,25 100 100% 5 5 5 5 3,75 5 0 100 0% 100% 0 5 0 5 MDUR bidrag * Modifiseret varighed, MOAD på realkreditobligation Tabel 18: Modelporteføljens relative sammensætning Aktiv Relativ varighed og andel Andel MDUR bidrag CM Statsindeks (MDUR 5) -75% -3,75 CM Realkreditindeks (MOAD 5) Total 75% 0% 3,75 0 Modelporteføljen måles mod et benchmark på 100% statsindeks med samlet modifiseret varighed på 5. Porteføljen må indeholde fra 0-100% realkreditobligationer og der investeres 75% i realkreditindekset og 25% i statsindekset. Headline (overlay varighed) risikoen på varigheden er neutral. Til gengæld er overlayvarigheden på realkredit 3,75. Dvs. spændrisikoen (Z-spænd eller OAS spænd) er 3,75. Konveksiteten er et kernenøgletal i enhver konverterbar realkreditportefølje, pga. låntagers call option, som ved faldende renter kommer "in the money" og dermed medfører stor asymmetri i prisdannelsen. 38 Varighed DKK Korte 3, Varighed DKK Øvrige 5, Varighed DKK Lange 7. Vi vægter simpelt, selvom der er en lille skævhed i varighedsbidragene mellem kategorierne, da der er lidt flere fonde i DKK Korte. Det har dog ikke analytisk indflydelse. 31 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Dvs. når renten falder, siver varigheden ud af obligationen (prepayment risiko), mens varigheden stiger ved stigende renter (extension risiko). I analysen er konveksiteten ikke afgørende og derfor udeladt. Nedenfor er nøgletal beregnet for modelporteføljen og benchmark på baggrund af ovennævnte sammensætning. Tabel 19: Modelporteføljens absolutte risikonøgletal Aktiv CM Statsindeks (MDUR 5) CM Realkreditindeks (MOAD 5) Carry* Risiko** 0,25% 2,00% 2,00% 3,00% Korrelation 1,00 0,75 0,75 1,00 * Carry på stat er effektive renter, carry på real er approximeret ved kuponafkast ** Standardafvigelse dagligt (252) Tabel 20: Modelporteføljens relative risikonøgletal Aktiv CM Statsindeks (MDUR 5) CM Realkreditindeks (MOAD 5) Portefølje Carry* Risiko** Benchmark Carry Risiko 1,56% 0,25% 2,65% 2,00% Relative nøgletal (ex-ante) Performance*** Tracking Error 1,31% 1,50% * Carry på stat er effektive renter, carry på real er approximeret ved kuponafkast ** Standardafvigelse dagligt (252) *** Geometrisk Vi antager i hele analysen at korrelationen mellem real- og statsindekset er 0,75, samt at standardafvigelsen er 2% p.a. og 3% p.a., henholdsvis på stats- og realindekset.39 Carry'en på de individuelle aktiver er en outright (absolut) carry, og er for statsobligationen approximeret ved den effektive rente, og for realens vedkommende approximeret ved kuponafkastet. Der er naturligvis elementer som "rul" på kurven, der ikke er taget med, men det påvirker ikke analysen. Den absolutte carry er ca. ud fra dagens markedskurser, men det betyder ikke at tallene ikke kan bruges i den "historiske" modellering vi vil lave. Det, som er input i modellen er nemlig mer-carry'en på 1,75% p.a. mellem de to aktiver. Dette er ca. den mer-carry investorerne har arbejdet med i mange år på denne varighed, både ex-post og ex-ante.40 39 40 Se appendix Se appendix. 32 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Givet disse input og en relativ fordeling på -75% stater 75% realer, er de for hovedmodellen afgørende nøgletal, en annualiseret mer-carry på 1,31% og en annualiseret tracking error (TE) på 1,5%. Tallene skal betrages i forhold til den historiske analyse, som ex-post nøgletal, og i forhold til den fremadrettede analyse som ex-ante nøgletal. 33 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Den Geometiske Brownian Motion hovedmodel (GBM I) Performance mellem to arbitrærer tidspunkter modelleres i det følgende, udfra en kontinuer stokastisk process, med IID normalfordelte relative værdier og IID log-normalfordelte absolutte værdier for performance. I forhold til Black&Scholes modellen, svarer deres log-normale aktiekursudvikling til denne models, ligeledes log-normale udvikling af et "indekseret" niveau for performance. De relative ændringer, altså performance %, i modellen er normalfordelte. Vi anvender således, en standard Ito (kontinuer) process, eller som den også hedder, en Geometrisk Brownian Proces (GBM), for udviklingen af den indekserede performance ππ‘ . πππ‘ = π ππ‘ , π‘ ππ‘ + π ππ‘ , π‘ πππ‘ Driftsleddet π ππ‘ , π‘ repræsenterer den statiske porteføljes mer-carry mod benchmark for en given periode, og antages konstant, π ππ‘ , π‘ = π. Det stokastiske led, π ππ‘ , π‘ πππ‘ , repræsenterer randomiserede svingninger mellem benchmark og porteføljen, og hvor π er tracking error. Denne antages ligeledes konstant, π ππ‘ , π‘ = π . Det giver god mening at holde disse to komponenter konstante, da det er i overenstemmelse med både empiri og praksis i markedet. Yderligere er det naturligvis teoretisk og empirisk konsistent, at anvende den geometriske Brownian og ikke en simpel Browninan, da vi antager long only porteføljer, med maksimalt tab på 100% af AuM.41 Den stokastiske udvikling i performanceindekset, ππ‘ . kan således ikke blive negativ. Hvis ππ‘ = 0 er hele AuM tabt. Altså 100% underperformance. Der er dermed 100% sandsynlighed for en ikke-negativ fremtidig værdi af performance indekset, ππ‘ . Wienerprocessen πππ‘ er NIID og beregnes som πππ‘ = π β ππ‘ . Epsilion, π , "trækkes" fra en standardnormalfordeling π(0,1). Bidraget fra den determistiske mer-carry er lineær i i ππ‘ og t, mens tracking error'en er lineær i ππ‘ men "square root" i t. Bidraget fra det stokastiske led, stiger således ikke som driften proportionalt med ππ‘ , men altså "square root". Vi får med antagelserne om drift og diffusionskoefficienten, følgende stokastiske differentialligning (SDE): πππ‘ = πππ‘ ππ‘ + πππ‘ πππ‘ = πππ‘ ππ‘ + πππ‘ π β ππ‘ SDE'en kan Monte Carlo simuleres, hvorved de første 2 momenter, for mer-carrry og tracking varians kan findes på forskellige horisonter, både geometrisk og aritmetisk. 41 En simpel Brownian Motion kan give negative værdier for den simulerede proces, altså i det her tilfælde, indeksniveauet. 34 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Imidlertid er der relativt simple løsninger til SDE'en, hvor forventet mer-carry og tracking error kan findes analytisk. Identifikation af første og andet moment Med Ito's lemma kan det let vises at;42 dLN ππ‘ = LN ππ‘ β LN π0 = π β 0,5π 2 π‘ + πππ‘ LN 43 Pt ~ π π β 0,5 β π 2 π‘, π 2 β π‘) P0 Den relative udvikling, performance i %, er i denne estimation aritmetisk. Log-afkastene tager ikke højde for "rentes-rente" (compounding) effekten. Det sker først når afkastene eksponentialiseres. Tæthedsfunktion for det forventede afkast er dermed;44 π π‘, ln ππ‘ ln π0 = π β ln ππ‘ βπ+0,5π 2 ln π0 2 π 2ππ‘ Således at den kontinuerte SDE, løses analytisk som; ππ‘ = π0 π ππ‘ hvor, ππ‘ = π β 0,5 β π 2 π‘ + π β ππ‘ = π β 0,5 β π 2 π‘ + ππ ππ‘ Da ππ‘ er normalfordelt, er ππ‘ lognormalfordelt med følgende momenter for forventet værdi og varians, hvor π = πΏπ(1 + πππ β πππππ¦); 45 42 http://www.math.nyu.edu/faculty/goodman/teaching/StochCalc2012/notes/Week9.pdf Driften korrigeres for konveksitetsbias mellem mer-carryen, som er aritmetisk og den kontinuerte mer-carry, som er vilkåret i LN performance. Korrektion approximeres ved 0,5π 2 44 http://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/SM/MATH3075/r/Slides_8_Black_Scholes_Model.pdf 43 45 http://www.math.umn.edu/~grayx004/pdf/FM5002/BMandGBMdoc.pdf 35 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 πΈ ππ‘ = π0 π ππ‘ πππ ππ‘ = π0 2 π 2ππ‘ π π 2π‘ β1 Tæthedsfunktionen, π π‘, ππ‘ , er derfor; π π‘, ππ‘ = π β ππ ππ‘ βππ π0 βπ+0,5π 2 / 2π 2 π‘ πππ‘ 2ππ‘ Den forventede geometriske performance i % til horionttidspunkt t, kan på baggrund af ovenstående formler, beregnes som; πΈ ππ‘ = π ππ‘ β 1, π0 og den geometriske varians i %; πππ ππ‘ 2 = π 2ππ‘ π π π‘ β 1 β 1 2 π0 Vi skal i analysen ikke annualisere disse geometriske momenter, da vi så ender tilbage ved vores ex-ante parametrisering. Vi kunne således bare anvende de antagede parametre og sætte et annualiseret konfidensinterval op. Det er naturligvis horisontbetragtningen vi er interesserede i. Analyse af horisontmomenterne For tracking error er den aritmetiske beregning (altså uden rentes-rente effekten) velkendt, i form af "Square Root of Time" reglen, altså; 46 ππΈπ‘ = ππΈ0 π‘ , hvilket også betyder at; 46 "Square Root of Time" reglen, har kun anvendelse I Gaussiske fordelinger, hvorfor anvendelsen af den i VaR modeller naturligvis er stærkt debatteret givet empirisk fede haler i de finansielle data. http://web.econ.ku.dk/fru/conference/Programme/friday/a4/provizionatou_empirical%20scaling%20rule.pdf 36 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 ππ‘ π πΌπ π‘ = ππΈ 0 π‘ = π‘ ππΈ = πΌπ 0 π‘, hvor r er aritmetisk afkast.47 0 Dette ses i følgende figur, hvor TE simuleres over 100år : Tabel 21: Simuleret TE over 100 år. Tracking Error Dynamik Aritmetisk og geometrisk 60,00% Tracking Error 50,00% 40,00% 30,00% y = 0,015x 0,5 R² = 1 20,00% 10,00% 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 0,00% TE - Aritmetisk TE Geometrisk Model "Square Root of Time" - Aritmetisk Bemærk den "fittede" model til aritmetisk TE over tid, som har en 100% forklaringsgrad i ππΈ0 π‘, hvor ππΈ0 = 1,5%, som er modellens antagede annualiserede TE. TE geometrisk er straks mere kompliceret, og i følge flere analyser, har den et ikke-monotont forløb, hvor den først stiger og senere falder.48 Bemærk også, at TE er næsten identisk mellem de to beregningsmetoder helt frem til 10 år, som er ultimotidspunktet i vores analyse. Sammenhængen mellem på den ene side den forventede performance udvikling, og på den anden side tracking error udviklingen, har stor betydning for IR rationen, som jo afspejler det relative forhold mellem dem. Nedenstående tabeller viser, under H0, hvordan tiden øger sandsynligheden for statitisk signifikans i performance. Konkret viser simuleringen, at fondene burde levere statistisk signikans ved en p-værdi på 5% efter ca. 7 år. Altså break-even er 7 år ved bare at lade momenterne, og tiden gøre arbejdet. Denne mekanisme får betydning senere i artiklen, hvor vi skal vægte performance på tværs af horisonterne. Som vi senere også vil vise, har realkreditandelen kun under det geometriske mål, en anelse betydning for IR, og kun på horisonterne. 47 48 https://web.stanford.edu/~wfsharpe/art/sr/sr.htm Se eksempelvis http://www.calpoly.edu/~ppatel29/SharpeRatioRun12082014.pdf 37 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 22: IR og sandsynlighed for underperformance ved p-værdi=5% Ex-ante Information Ratio vs. tid Sandsynlighed for underperformance vs. tid (Under nulhypotesen) 10,00 (Under nulhypotesen) 25,00% Sandsynlighed IR Ratio 8,00 6,00 4,00 2,00 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% IR (Aritmetisk) 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 96 91 86 81 76 71 66 61 56 51 46 41 36 31 26 21 16 6 11 0,00% 1 0,00 IR (Geometrisk) IR (Aritmetisk) IR (Geometrisk) Statistisk signifikans (95% KI) Monte Carlo simulation af GBM Selv om det med de beregnede momenter principielt ikke er nødvendigt med MC simulation, vælger vi alligevel at lave kørsler på horisontnøgletallene for performance. Om ikke andet, så for at få bekræftet at de forventede momenter er korrekte (dvs. korrekt skrevet op i EXCEL!). Monte Carlo simuleringer af performance, ππ‘ , kan foretages med udgangspunkt i den diskrete version af SDE'en, hvor ππ‘ = π β 0,5 β π 2 βπ‘ + πππ‘ βπ‘ , ππ‘ ~ π(0,1) I analysen opererer vi kun med integiserede tider, hvorfor βπ‘ kan erstattes med t. Parametrisering af GBM modellerne Vi parametriserer to modeller af GBM'en. Den ene, GBM I, skal simulere historiske nøgletal på baggrund af et ex-ante "fair" sæt af momenter. Dens formål er, at replikere udviklingen af performance tilbage i tiden, givet dette "fair" sæt af momenter. GBM I er altså det korrigerede benchmark, som fondene aggregeret og individuelt skal måles imod. GBM II dynamikken tager i momenterne afsæt i fondenes historiske performance, og simulerer fremtidig performance muligheder mod eget benchmark, bla. under hensyntagen til spreadrisiko dynamik. For begge modeller gælder det, at fondenes gennemsnitlige ÅOP omkostninger vil blive korrigeret annualiseret i driftskoefficienten. Altså i lighed med korrektion for dividende i en aktiemodel. 38 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 GBM Model I : Historisk Simulering Den første parametrisering er for at vurdere fondenes Alpha performance historisk i forhold et ex-post "fair" sæt af betastyrede koefficienter for driften, mer-carry, og standardafvigelsen, tracking error. Altså et nyt benchmark. Vi indsætter således blot på den generelle GBM form, de konstante momenter, som estimeret i udgangsporteføljen. GBM Model II : Fremtidig Simulering Den anden parametrisering anvendes i estimationen af fondenes fremtidige muligheder for at skabe Alpha mod deres eget benchmark. Her kunne vi implementere på den historiske performance, en Ordinary Least Squares (OLS) estimation eller en Maksimum Likelihood (ML) estimation (ML og og OLS har samme momenter) for samtlige udvalgte fonde, og tage gennemsnittet. Derefter simulere fremtiden med de estimerede koefficienter. Imidlertid er det svært at fremskaffe de mange dataserier, som det kræver for at få et retvisende billede af eksempelvis tracking error. Derfor vælger vi en alternativ teknik, hvor vi re-kalibrerer GBM I modellens drift fra den første parametrisering. Konkret betyder dette, at GBM Model I skal korrigeres for den fundne relative performance historisk i fondene. Korrektionen bliver implementeres på annualiseret basis i driften i GBM Model II. Omkostningerne bliver i begge modeller korrigeret for i driften, på samme måde som dividende i en standard kontinuer GBM for aktier. Modelporteføljen på GBM I og GBM II form GBM I Vi indsætter driften, mer-carry'en, og tracking error'en fra modelporteføljen, hvor der som tidligere anført blev antaget 75% på realkreditoverlay, π = 0,0131, π = 0,015: πππ‘ = πππ‘ ππ‘ + πππ‘ πππ‘ = πππ‘ ππ‘ + πππ‘ ππ‘ β ππ‘ πππ‘ = 0,0131ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ = 0,0131ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ ππ‘ ππ‘ 39 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 GBM II Vi kender ikke driftkorrektionen endnu, da den som anført, afhænger af fondenes historiske performance i forhold til performance resultaterne fra GBM model I. Altså resultatet på πΈ πππππ‘ , som udtrykt i relative ændringer. Hvis fondenes faktiske (ex-post) annualiserede performance til tidspunkt t, kaldes πππππ‘,ππππ‘ππ π bliver GBM II modellen: πππ‘ = πππππ‘,ππππ‘ππ π β πΈ πππππ‘ + πΈ πππππ‘ ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ πππ‘ = πππππ‘,ππππ‘ππ π ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ Vi vælger ikke at re-kalibrere tracking error'en. Dette ville kræve en grundigere historisk kalibrering af GBM modellen, hvilket som sagt forudsætter et større datasæt, som vi ikke har adgang til. Vi kender naturligvis forventningerne umiddelbart til det første år: πΈ ππππ1 = 0,0131 og i log form; πΈ ππππ1 = πΏπ 1 + 0,0131 . I hele analysen substituerer vi π‘ = Ξπ‘, da vi simulerer i hele år, π‘ = 1,2, β¦ ,10. 40 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 GBM I modellens resultater - historisk simulering Den nedenstående tabel opsummerer GBM I modellens simulering af horisont performance, på basis af modelporteføljens annualiserede "fair" parametrisering. Tabellen indeholder Gross- og Net Fee beregninger. Modellen er simuleret med de forventede (geometriske) momenter.49 Bemærk, det hele er beregnet geometrisk. Dette gør bla., som vi analyserer efterfølgende en forskel i det relative forhold mellem performance og tracking error over tid, jævnfør den tidligere simulering. I det geometrisk setup, udvikler tracking erroren sig exponentielt over tid i forhold til udgangspunktet, mens tracking error i det aritmetiske setup følger den berømte (og berygtede) "Square-Root of Time" regel. 50 Tabel 22 : Forventet performance og tracking error på horisonttidspunkt Net Fee Gross Fee Horisont Simulering RealOverlay/Performance 25,00% 50,00% 75,00% 100,00% Exp. Perf 1,31% 2,64% 3,98% 5,33% 3Y Exp. TE 0,88% 1,78% 2,70% 3,65% 95% confidens 3,03% 6,13% 9,28% 12,48% Exp. Perf 2,20% 4,44% 6,72% 9,04% 5Y Exp. TE 1,14% 2,24% 3,58% 4,88% 95% confidens 4,44% 8,82% 13,74% 18,60% Exp. Perf 4,45% 9,08% 13,89% 18,89% 10Y Exp. TE 1,65% 3,45% 5,41% 7,53% 95% confidens 7,69% 15,84% 24,49% 33,65% Horisont Simulering RealOverlay/Performance 25,00% 50,00% 75,00% 100,00% Exp. Perf -1,00% 0,31% 1,63% 2,96% 3Y Exp. TE 0,88% 1,74% 2,70% 3,57% 95% confidens 0,72% 3,71% 6,92% 9,95% Exp. Perf -1,66% 0,52% 2,73% 4,97% 5Y Exp. TE 1,10% 2,25% 3,58% 4,70% 95% confidens 0,50% 4,92% 9,74% 14,18% Exp. Perf -3,29% 1,03% 5,53% 10,20% 10Y Exp. TE 1,53% 3,20% 5,01% 6,98% 95% confidens -0,29% 7,30% 15,34% 23,87% Vi markerer med blåt data for 75%-overlayet, som er udgangspunktet for den statistiske test af de udvalgte fondes gennemsnitsperformance. Kollonen "95% Confidens" er det kritiske niveau for, om der er statistisk signifikant performance på den enkelte horisont ved et 5% signikansniveau i højre side af normalfordelingen. Teststatistikken mod fondenes gennemsnitsperformance på de 3 horisonter bliver følgelig: πΆππππππππ π‘ = πΈπ₯π. πππππ‘ + 1,64 β ππΈπ‘ Modellen (GBM I) performer over hele linjen, både med og uden omkostninger. Kun ved et overlay på 25% er der problemer. Her er der underperformance net-fee på alle horisonter. 49 Se tidligere i artikel for analytiske formler. De aritmetiske afkast bestemmes i GBM'en som logafkast mellem perioderne. Denne er normaltfordelt med "square-root of time" som standardafvigelse/tracking error og forventet gennemsnit, som driften korrigeret for logprofilens konveksitets bias. Se tidligere i artiklen. 50 41 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Da "gross fee" nøgletallene for 75%-overlayet er de kritiske nøgletal for analysens konklusion, vælger vi som sagt at køre en Monte Carlo simulation på alle 3 horisonter med 75% overlay for at være sikker på, at de forventede momenter, som der er simuleret med, er korrekte, og at de iøvrigt er korrekt skrevet op i EXCEL (nok mest det sidste).51 Er der sammenfald mellem Monte Carlo resultaterne og de forventede værdier, bør vi naturligvis kunne stole på resultaterne. Tabel 23 : Monte Carlo Simuleringer (n=10,000) af momenter Forventet Performance (5år) -Gross Fee Sample Dist Exp. Dist Sample Dist 51 Exp. Dist Sample Dist 26,89% 25,00% 23,10% 21,20% 19,31% 17,41% 15,51% 6,03% 4,14% 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,34% 120 100 80 60 40 20 0 -3,45% 18,82% 17,49% 16,15% 14,82% 13,49% 0 12,16% 2 0 9,49% 4 20 8,16% 40 10,83% 6 -4,49% 0 8 60 6,83% 20 80 5,50% 40 10 4,17% 60 100 2,83% 80 Monte Carlo (10Y horisont - n=10000) 12 -1,16% 100 120 -2,49% 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -0,03% Forventet Performance (10år) -Gross Fee Monte Carlo (5Y horisont - n=10000) Monte Carlo (3Y horisont - n=10000) Diff -0,03% 0,06% 5,44% 2,24% Forventet Performance (3år) -Gross Fee 120 5,41% 13,62% 10Y 9,82% -0,01% 13,90% 11,72% 13,89% Diffusion (Tracking Error) E(TE) Sample TE 2,70% 2,73% 3,58% 3,52% 7,93% Horisont 3Y 5Y 1,50% 10Y Diff 0,00% -0,01% 0,17% Horisont 3Y 5Y Drift (Performance%) E(Perf) Sample 3,98% 3,98% 6,72% 6,73% Exp. Dist En ny Lenovo PC kan udmærket klare 60.000 rand() funktioner. Dog ikke når VBA programmeret funktion for betydning af realkreditandele skal testes fra 0-100%. 42 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Fondenes aggregerede resultater mod GBM Model I For ikke bare at vurdere Alpha i forhold til modellens markedskalibrerede momenter, implementerer vi også i det følgende alternativomkostningen ved at investere passivt. Vi har sat denne omkostning til 0,15% p.a.52 Det betyder selvfølgelig, at forvalterne for "gratis" 15bp. p.a, som de ikke skal slå. Derfor er performance mod modellen, uden disse omkostninger, ikke nødvendigvis ensbetydende med, at forvalterne kan slå betarisikoen. Omkostningen bliver ligesom alle de andre "afkast", beregnet geometrisk over tid. Resultaterne for aggregeret og gennemsnitlig performance, er således de officielle, bortset fra, at der naturligvis kan være forskel i omkostningskalibreringen. Den kan være lidt mindre eller lidt større, bla. også afhængig af investeringshorisont, da der ligesom i ÅOP'en, er nogle faste "ydre" omkostinger, udenom de "indre" omkostninger i indeksfonde. Teknisk, korrigerer vi for omkostningen ved, at trække den fra i modellens gennemsnitsresultater. På den måde sikrer vi, at data på fondene er de rigtige, ifølge Morningstar og investeringsforeningernes hjemmesider. Tabel 24: Fondenes aggregerede historiske resultater mod GBM I modellen - horisont Fonde Vs GBM I (historisk) - horisont Horisont 3Y 5Y 10Y Fondes Perf Gross* Fondes Perf Net 5,6% 7,7% 7,4% 3,2% 3,7% -0,5% GBM I Perf** 3,5% 5,9% 12,2% 1,00 ** Der er korrigeret med ÅOP=0,77% for aktiv investering ** Der er korrigeret med ÅOP=0,15% for passiv investering 52 Se Data og Metode. 43 Mer-perf Gross Mer-perf Net 2,0% 1,7% -4,3% -48,36% -0,3% -2,1% -11,3% FALSE En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 25: Teststatistik53 af fondsperformance mod GBM I - horisont Statistik - hypotese test p-værdi (under H0: Fonde kan ikke skabe Alpha med 5% i signifkans) P-værdier (vægtet ens) Konklusion på test statistik Horisont Fondes Perf Gross Fondes Perf Net Fondes Perf Gross Fondes Perf Net 3Y 21,9% 54,6% Ikke Afvis H0 Ikke Afvis H0 5Y 30,8% 73,6% Ikke Afvis H0 Ikke Afvis H0 10Y 81,3% 99,1% Ikke Afvis H0 Ikke Afvis H0 Aggregeret* 44,7% 75,7% Ikke Afvis H0 Ikke Afvis H0 * Ens vægt (1/3) Vi kan hermed ikke afvise, under den opsatte nulhypotese, at de bedste danske fonde ikke kan generere værdi udover statistiske tilfældigheder omkring den systematiske risiko. Der er altså ikke nogen Alpha-signaler. Med gross-fee p-værdi på ca. 45% og net-fee p-værdi på ca. 75%, er resulatet statistisk stærkt. På den lange horisont er resultatet overskyggende, for det ellers nogenlunde resultat på specielt den 3 årige horisont. Tabel 26: Annualiseret resultat Alpha for forvalter mod alternativ betamodel Horisont 3Y 5Y 10Y Aggregeret Aggregeret Mer-perf Gross 0,5% 0,2% -0,6% 0,0% 0,0% Mer-perf Net -0,2% -0,6% -1,3% -0,7% -0,7% Alpha for investor mod alternativ indeksprodukt* Horisont 3Y 5Y 10Y Aggregeret Mer-perf Gross 0,7% 0,3% -0,4% 0,2% Mer-perf Net -0,1% -0,4% -1,2% -0,6% I gennemsnit, på tværs af fonde og horisonter, har fondene givet et årligt bruttoafkast på nøjagtig 0%, dvs. de har leveret markedssafkastet på ca. 4% p.a. i snit. Efter omkostninger bliver resultatet, dermed den gennemsnitlige 77bp. Altså nøjagtig ÅOP's udvanding af resulatet. Inkluderes alternativomkostningen for investor, ved passiv investering, bliver resulatet +20bp. gross, og på -60bp., efter at den passive strategis omkostninger er trukket fra. Det betyder at en indeksinvestering ville have været den bedste strategi historisk set. 53 p-værdier er som nævnt under Metode, ikke vægtet med; π€3 π€3 0,67 0,33 π€5 = 0,26 men derimod, π€5 = 0,33 π€10 π€10 0,07 0,33 44 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Udover tabet på 60bp. p.a. får investor, heller ikke en præmie for at have påtaget sig den idiosynkratiske risiko, ved at vælge en aktiv forvalter, i forhold til et passivt alternativ. Med idiosynkratisk risiko, mener vi præmien for, at den aktive forvalters afkast er volatil omkring markedsafkastet. Investorene har altså betalt i gennemsnit omkring 80bp. om året, for at få adgang til indeksmarkedsafkastet, som vi vurderer kunne købes for 15bp.54 Givet fremtidig ekstrapolation af nettoresulatet, er forskellen muligvis større da indeksprodukter er blevet, og bliver billigere, særligt hvis betarisikoen i danske obligationer kan replikeres i udenlandske indeksprodukter.55 Samtidig er resultatet for de top-performende fonde udelukkende. Resulatet dækker dog over store fondsindividuelle resultater, som vi dekomponerer i det følgende. 54 55 https://etf.deutscheawm.com/GBR/ENG/Product-Overview/Fixed%20Income Det må en anden analyse belyse. 45 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Fondenes individuelle resultater mod GBM Model I56 Dekomponeringen af fondenes individuelle resultater er med individuelle omkostninger. Analysen er igen under H0, altså, at performanceresultatet bliver statistisk evalueret under H0. Vi korrigerer også her GBM I modellen for 15bp., svarende til indeksomkostningen. De 15bp. er trukket fra i GBM modellens resultater, og ikke i performance på de enkelte fonde, hvorfor disse således forbliver de officielle resultater. I tabellerne nedenfor, er fondene rangeret efter deres performanceevne, med og uden omkostninger. "Gross-Fee" resultatet:57 Tabel 27: Fondenes individuelle statistik på horisonter under H058: Gross-Fee individuel Gross-Fee resultat under H0 LPI Obligationer Europa Maj Invest Danske Obligationer Danske Invest Dannebrog Mellemlange Jyske Invest Lange Obligationer Nordea Invest Mellemlange Obligationer Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Nykredit Invest Lange obligationer Danske Invest Danske Lange Obligationer Nykredit Invest Korte Obligationer Danske Invest Fonde Obligationer Nordea Invest Korte Obligationer Sparinvest Korte Obligationer Aritmetisk Gennemsnit 3Y 5Y 10Y Performance P-værdi Performance P-værdi Performance P-værdi 5,0% 7,7% 3,8% 3,4% 6,6% 5,9% 6,7% 4,6% 7,4% 5,8% 5,9% 4,3% 5,6% 29,0% 6,1% 45,6% 51,0% 12,5% 18,5% 11,8% 34,3% 7,5% 20,3% 18,4% 38,2% 24,4% 7,7% 9,5% 3,6% 3,2% 8,1% 6,9% 10,3% 5,5% 14,2% 9,3% 6,5% 7,7% 31,0% 15,7% 74,1% 77,6% 27,5% 38,8% 11,2% 54,8% 1,0% 17,4% 43,1% 35,6% -1,2% -4,9% 17,2% 11,7% 11,1% 10,6% 7,4% 99,4% 99,9% 17,9% 54,0% 58,3% 61,4% 65,2% Ens vægtet P-værdi 53,1% 10,9% 73,2% 64,3% 19,3% 28,7% 11,5% 47,7% 4,2% 32,0% 18,4% 47,6% 34,2% Tabel 28: Rangering af fonde under H0 : Gross-Fee individuel Gross-Fee resultat under H0 Nykredit Invest Korte Obligationer Maj Invest Danske Obligationer Nykredit Invest Lange obligationer Nordea Invest Korte Obligationer Nordea Invest Mellemlange Obligationer Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Danske Invest Fonde Obligationer Sparinvest Korte Obligationer Danske Invest Danske Lange Obligationer LPI Obligationer Europa Jyske Invest Lange Obligationer Danske Invest Dannebrog Mellemlange Aritmetisk Gennemsnit 56 Rank P-Værdi for Fonde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4,2% 10,9% 11,5% 18,4% 19,3% 28,7% 32,0% 47,6% 47,7% 53,1% 64,3% 73,2% - 34,2% Der er ikke taget højde for individuelle mer-carry forskelle. Bemærk at de aggregerede p-sandynligheder er forskellig fra "bottom-up sandsynlighederne, da p-værdien er ikke-lineær i afkastet/performance. 58 Altså sandsynligheder er beregnet i forhold til GBM I modellens momenter på horisonterne. 57 46 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 "Nykredit Invest Korte Obligationer" kommer på en suveræn førsteplads med en p-værdi på under det kritiske niveau på 5%. Dvs. "Nykredit Invest Korte Obligationer", kan som det eneste produkt i Danmark, slå signifikant et passivt indeksprodukt, og der er således klassisk Alpha for investorer i denne fond, når alternativet er et indeksprodukt med 15bp. i årlige omkostninger. Renser vi for de to Nykredit fonde, så må vi konkludere, at der er Nykredit Invest, og alle de andre. Resten af fondene har gennemsnitlig p-værdi på 40%. Resulatet efter omkostninger er selvfølgelig relativt dårligere, men hvor meget? "Net-Fee" resultatet: Tabel 29: Fondenes individuelle statistik på horisonter under H059: Net-Fee individuel Net-Fee resultat under H0 LPI Obligationer Europa Maj Invest Danske Obligationer Danske Invest Dannebrog Mellemlange Jyske Invest Lange Obligationer Nordea Invest Mellemlange Obligationer Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Nykredit Invest Lange obligationer Danske Invest Danske Lange Obligationer Nykredit Invest Korte Obligationer Danske Invest Fonde Obligationer Nordea Invest Korte Obligationer Sparinvest Korte Obligationer Aritmetisk Gennemsnit 3Y 5Y 10Y Performance P-værdi Performance P-værdi Performance P-værdi 2,6% 5,2% 1,5% 1,1% 4,2% 3,5% 4,3% 2,2% 5,0% 3,4% 3,5% 2,0% 3,2% 63,0% 26,1% 77,7% 81,5% 40,1% 49,9% 38,7% 68,3% 29,6% 52,4% 49,7% 71,8% 54,1% 3,6% 5,4% -0,3% -0,7% 4,0% 2,9% 6,1% 1,5% 9,9% 5,2% 2,5% 3,7% 73,8% 55,7% 95,9% 96,7% 70,4% 79,9% 47,7% 89,0% 13,1% 58,3% 82,8% 69,4% -8,5% -11,9% 8,5% 3,4% 2,9% 2,5% -0,5% 100,0% 100,0% 75,2% 94,8% 95,8% 96,4% 93,7% Ens vægtet P-værdi 78,9% 40,9% 91,2% 89,1% 61,9% 64,9% 43,2% 84,0% 21,3% 68,8% 49,7% 83,7% 64,8% Tabel 30: Rangering af fonde under H0 : Net-Fee individuel Net-Fee resultat under H0 Nykredit Invest Korte Obligationer Maj Invest Danske Obligationer Nykredit Invest Lange obligationer Nordea Invest Korte Obligationer Nordea Invest Mellemlange Obligationer Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Danske Invest Fonde Obligationer LPI Obligationer Europa Sparinvest Korte Obligationer Danske Invest Danske Lange Obligationer Jyske Invest Lange Obligationer Danske Invest Dannebrog Mellemlange Aritmetisk Gennemsnit Rank P-Værdi for Fonde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21,3% 40,9% 43,2% 49,7% 61,9% 64,9% 68,8% 78,9% 83,7% 84,0% 89,1% 91,2% - 64,8% Den gennemsnitlige p-værdi stiger til det dobbelte og er ca. 65%. Korrigeret for omkostningerne ændrer ikke på top-placeringerne, som igen domineres massivt af Nykredit Invest. Men 2/3 af feltet kan ikke slå indeksforvaltningen (inkl. omkostninger på denne), pværdi=50%. 59 Altså sandsynligheder er beregnet i forhold til GBM I modellens momenter på horisonterne. 47 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 P-værdi 50% under luppen Statistisk er ekstrapolationen, at en tilfældighedgenerator med to udfald kunne gøre det lige så godt. Den såkaldte "Abe" betingelse er hermed opfyldt. 2/3 af fondene havde givet bedre resultat med et møntkast. Tabel 31: Test mod "Abens" forventede performance (P-værdi=50%) - net-fee Fondenes Performance Kumulativ fordeling af p-værdi Kan de slå en "Abe"? Sandsynlighed 100,0% 90,0% 80,0% 70,0% 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% P-Værdi for Fonde P-værdi P-Værdi for "Aben" Resultaternes implikationer for investor For det første, har investor ikke fået markedsafkastet på deres betarisiko, som de kunne have fået (pr. definition) 100% i et indeksprodukt, eller i en replikeret betaportefølje med få obligationer. Måske endda kun 2-4 obligationer.60 Det løbende tab er 80bp. p.a. Fratrækkes indeksomkostningen er tabet omkring 65bp. p.a. For det andet, løber investor i forhold til indeksforvaltningen en idiosynkratisk risiko på forvalterens aktive dispositioner omkring indekset. Principielt og teoretisk skal investor have en positiv præmie for denne usikkerhed, selv om det ofte hævdes, at præmien skal være negativ, fordi den aktive forvaltning sikrer "en hånd på rattet". 60 Bemærk, at vi tidligere dokumenterede at korrelationerne mellem de aktiver, der ligger i fondene, er meget høje, omkring 75%, og derfor bliver replikationen lettere. 48 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Fondenes performancemæssige udsigter under GBM II I denne sektion tester vi aggregeret fondenes mulighed for, at skabe fremtidig gross-fee og net-fee performance i forhold til deres eget benchmark. Det er en triviel øvelse at simulere under GBM I, da vi kender momenterne. Men denne gang simulerer vi med udgangspunkt i fondenes historiske performance. Vi korrigerer således driften i GBM I med fondenes aggregerede og annualiserede performance i forhold til GBM I. GBM II dynamikken repræsenterer derfor i denne version fondenes simulerede merafkast mod eget benchmark. Vi får derfor for GBM II modellen at; πππ‘ = πππππ‘,ππππ‘ππ π ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ , og indsætter πππππ‘,ππππ‘ππ π for fondene på de 3 horisonter; 3Y: ππ‘ = 0,018ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ 5Y: ππ‘ = 0,015ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ 10Y: ππ‘ = 0,0072ππ‘ ππ‘ + 0,015ππ‘ πππ‘ 49 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 32 : Fremtidig performance (gross-fee) - horisont Sandsynlighed for fremtidig underperformance (gross of fee) Horisont E(Perf) E(TE) Prob(Perf<0) 3Y 5,6% 2,7% 1,9% 5Y 7,7% 3,6% 1,6% 10Y 7,4% 4,9% 6,5% Tabel 33 : Fremtidig performance (net-fee) - horisont Sandsynlighed for fremtidig underperformance (net of fee) Horisont E(Perf) E(TE) Prob(Perf<0) 3Y 3,1% 2,7% 12,4% 5Y 3,7% 3,6% 15,2% 10Y -0,5% 4,9% 54,1% Tabellerne viser, at der er udsigt til stabil performance både på 3 års og 5 års sigt, mens det bliver svært at hale den hjem over de næste 10år. Som det ses, er der, bortset fra på 10 år, en særdeles god chance for at performe mod deres egne indeks. Ca.85% chance er der for, at det lader sig gøre på 3-5 års sigt. Det ses også, at omkostningerne har stor indflydelse på resulatet, men trods alt ikke mere end, at der "kun"er et net-fee tab på 0,5% på den lange horisont. Det er stabile tal, men benchmark her, er ikke betakorriget, som det var tilfædet da GBM I blev anvendt som pseudo benchmark. Da performancesandsynligheden, under H0, mod eget benchmark, stiger med tiden, korrigerer vi som tidligere argumenteret for, ved at tildele større vægtning på de korte horisonter. Anvender vi π€3 , π€5 , π€10 = 0.67,0.26,0.07 , får vi en gennemsnitssandsynlighed for underperformance på ca. 2%, og 16%, for gross-fee net-fee henholdsvis.61 Det er fristende at tro at den høje sandsynlighed kan tilskives realkreditoverlayet. Men som vi analyserer os frem til nedenfor, er det ikke sådan det forholder sig. 61 Se også appendix. 50 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Betydningen af realkreditoverlayet for performance under GBM II62 I det følgende vil vi kort analysere trade-off', negativ eller positiv, mellem sandsynlighed for performance, realkreditandel samt spændrisiko i forhold til benchmark. Vi vil samtidig vurdere, om det kan svare sig at have så høj realkreditandel, som det er tilfældet i markedet. Med andre ord om fondene, af andre grunde end performancemålings fairness, burde re-kalibrere deres benchmark til også at indeholde realkredit Overlayets andel - betydning for statistisk performance under GBM II Tabel 34: Simulationer af overlayet - betydning for mer-carry og tracking error (p.a.), t=t0. Realkredit Overlay 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% 0,00% 1% 6% 11% 16% 21% 26% 31% 36% 41% 46% 51% 56% 61% 66% 71% 76% 81% 86% 91% 96% Mer-Carry, Tracking Error Betydning f or forventet Mer-Carry og Tracking Error Forventet Mer-Carry p.a. Forventet Tracking Error p.a. Bemærk at "gappet" mellem mer-carry og tracking error stiger. Dette er IKKE tidsaspektets indflydelse under H0 63, da tiden ikke har indflydelse i denne sammenhæng. Både performance og TE er lineære i andelen (til tidspunkt t=0), hvor ex-ante IR altså ikke ændrer sig til et enkelt tidspunkt (som grafen viser) . Gappet" afspejler således den relative hældning som lineær funktion af realkreditandelen, π€1 . Simuleringen i grafen er derfor en ex-ante simulering på porteføljen mod benchmark nu og her. πΌπ 0 = πΈπ₯π πππππππππππ 0 ππΈ0 = 1+π€ 1 βπππππ¦ 1 +(1βπ€ 1 )βπππππ¦ 2 1+πππππ¦ 2 2 π€ 1 π1 2 + (1βπ€ 1) π2 +2π€ 1 (1βπ€ 1 )π1 π2 π12 ππΌπ 0 = 0, βπ‘ = 0 ππ€1 Grafen kører til 100%. I praksis er der naturligvis en kontantandel, og måske udtrukne realkreditobligationer, som de-facto er risiko-frie og ses som max. 2 måneders tidsindskud eller kontantandel.64 62 Det er GBMI I kørsel på 3Y, altså drift p.a. på 1,8% og TE på 1,5% ved 75% realkreditandel. Se tidligere i artikel om simuleringer med den geometriske tracking error. 64 Der går ca. 2 måneder fra offentliggørelse af udtrækninger til kurs 100 redemption incl. kupon. 63 51 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Historien er lidt en anden, hvis vi antager geometrisk performance (som vi gør i hele anlysen), og kigger på tidspunkter forskellig fra t=0. Tabel 35: Simulationer af overlayet - betydning for sandsynlighed for underperformance Realkredit Overlay Sandsynlighed f or underperformance 3,50% Sandsynlighed 3,00% 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% 1% 6% 11% 16% 21% 26% 31% 36% 41% 46% 51% 56% 61% 66% 71% 76% 81% 86% 91% 96% 0,00% Prob (P<0)-3Y Prob (P<0)-5Y Prob (P<0)-10Y Tabellen her fortæller naturligvis nogle interessante historier. For det første, er der meget lille sandsynlighed for at fondene under eet ikke performer, givet deres historiske performance. Bemærk skalaen. Nemlig, at sandsynligheden for underperformance (1-prob(performance)), næsten ikke ændrer sig med andelen i realkredit. Den ændrer kun sig med tiden. Den falder og er helt i tråd med, hvad der kunne forventes, givet IR ratio'ens faldende dynamik (under H0) i tiden. Denne logik er naturligvis i tråd med moderne porteføljeteori, som viser, at et risikojusteret afkast, eller performance, målt ved Sharpe Ratio, henholdvis IR Ratio, ikke kan forbedres ved at øge risikoen per se. Det kan kun lade sig gøre ved lavere korrelationer, ex-ante eller ex-post. Der er en lille stigning på hver af horisonterne, da TE er beregnet under et geometrisk gennemsnit, jf. tidligere i artiklen. Så hvis de danske forvaltere kender til den statistiske modellering, under NIID antagelserne, og det går vi udfra de gør, så ved de også at sandsynligheden for performance på et givet tidspunkt ikke ændrer sig med realkreditandelen. Hvorfor er realkreditandelen så så stor i forhold til benchmark? Altså, hvorfor re-kalibreres benchmark ikke til, hvad der er passende i forhold til realkreditandelen? Særligt når der samtidig er tradition for at opbygge skyggeporteføljer, som porteføljerne i det daglige forvaltes imod. Skyggeporteføljer med væsentligt højere realkreditandel, og dermed lavere pseudo tracking error. 52 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Det ene kan være fordi branchen ser mer-afkastet som en Alpha kilde. Det andet kan være fordi forvalterne/fondsmæglerselskabet ikke bliver målt på statistiske vurderinger af deres afkast mod benchmark. Hverken af investor i fonden, eller investor på et diskretionært mandat, eller for den sags skyld i den brede offentlighed, hvor absolut afkast er afgørende. Dette gælder også delvist Morningstars ratingkalibrering. Det er den "absolutte" performance eller det absolutte afkast det drejer sig om, og den stiger selvfølgelig kraftigt med højere realkreditandel, da driften/mer-carryen trækker igennem geometrisk. Principielt kan der også være et par andre forklaringer. Afregningen til forvaltere eller fondsmæglerskab, er ofte at sammenligne med en Call Option med strike på benchmarkafkastet. Når det forventede merafkast og tracking error, stiger med højere realkreditandel, genereres der ex-ante, også en højere værdi af optionen, pga. positiv delta og vega, og dermed forventet bonus/indtjening. Omkostningsafspektet er også afgørende. For at holde driften i forventet net-fee mer-afkast positiv over tid, er det nødvendigt, at skrue op for risikoknappen. Den sidste forklaring kan være, at forvalterne ikke tør løbe under-carry risikoen i forhold til konkurrenterne. Ved at re-kalibrere benchmark til højere realkreditandel, påtager forvalteren sig også en "undercarry" i forhold til konkurrenterne. Det svarer lidt til at lægge i kontanter mod et aktieindex. Der er man også bagud hver dag, indtil en korrektion eventuelt indtræffer. Overlayets varighed - betydning for statistisk performance under GBM I Nedenfor har vi sat realkreditandelen op mod skift i OAS-spændet opad (kunne også være Zspænd) på 3Y horisont. Bag ved realkreditandelen ligger der selvfølgelig den lidt skjulte spændrisiko65, som ofte ikke får så meget opmærksomhed. Typisk er alt fokus på headline varighedsrisiko. I vores udgangsportefølje mod benchmark er nettovarigheden 0. Vores udgangsportefølje har med 75% realkreditandel, dog en spændrisiko, målt ved modifiseret varighed på 3,75. BPV'en eller Kronevarigheden er 3,75kr, da AuM værdien er DKK 100. Det betyder, at kommer der 1%-rentestigning i spændet, isoleret set, så taber porteføljen 3,75% (3,75kr) i forhold til benchmark. 65 Der ligger andre betafaktorer under realkreditprisen, herunder rentekurvens hældning og volatilitet (Vega), som vi ikke arbejder med i denne analyse. 53 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Da benchmark er 100% statsobligationer beregnes overlayets modifiserede varighed (Spreadrisk) som; πππππππππ π = π€1 πππ΄π·, hvor π€1 er absolut andel i realkredit, og MOAD66 er realkreditobligationens modifiserede varighed. I de følgende tabeller simulerer vi performance mod fondenes eget benchmark, både med og uden omkostninger (ÅOP=0,52%), og vurderer samtidig, OAS- swap chocks, robustness, og betydningen af andelen for performance. Sidst, sammnfatter vi den forventede performance givet, at OAS-swap spændet meanreverter, fra det nuværende +25bp. niveau, mod dets 3 årige rullende gennemsnit på -9bp. For nemhed skyld sker mean-reversion 100% til horsionttidspunktet. 67 Vi begrænser analysen til den 3 årige horisont, og antager, at swap-stat spændet er konstant, således at OAS-swap ændringer 1:1, påvirker den relative prisning mellem realer og stater. Vi tilfører ekstra drift i fremskrivningen fra den historisk performance på 3Y (1,56%) mod GBM I modellen.68 Den opnåede merformance mod GBM modellen, var med 75% realkredit andel, og vi antager i det følgende en lineær skalering af denne merformance i forhold til andelen i realkredit, dvs.driften, a, bliver; π π, π‘ πΊπππ π _πππ π π, π‘ πππ‘ _πππ = π = 0,0131 + 1 + 0,0156 = π = 0,0131 β 0,0052 + 1/3 β1 1 + 0,0156 66 π€1 0,75 1/3 β1 π€1 0,75 MOAD beregnes i realkreditmodellen ved at holde OAS konstant mens nulkuponkurven chokkes med små ændringer op og ned (typisk +/- 10bp). Chokket aktiverer call optionen, således at MOAD tager højde for den asymmetriske teoretiske prisdynamik omkring "At the Money" kursen 100. Dvs. så godt som det kan lade sig gøre når nu MOAD er en lineær approximation af den teoretiske kursændring ved renteændringer. 67 Vi kunne her også have eksempelvis lineært fordelt OAS ændringen, men det er ikke af analytisk betydning i denne artikel. 68 Det kunne også være simuleret med fondenes historiske performancemod deres eget benchmark. 54 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Fondenes forventede performance om 3 år - givet chocks på spreadet Tabel 36: Forventet performance samt OAS-swap (ændrings)scenarier Realandel E(TE) - 3Y 25% andel 50% andel 75% andel 100% andel Vægt (OAS=-0,09bp) Vægt (OAS=-0,99bp) Vægt (OAS=+162bp) Vægt (OAS=-35bp) 0,9% 1,8% 2,7% 3,7% Gennemsnit Minimum Maximum Mean-reversion Realandel E(TE) - 3Y 25% andel 50% andel 75% andel 100% andel Vægt (OAS=-0,09bp) Vægt (OAS=-0,99bp) Vægt (OAS=+162bp) Vægt (OAS=-35bp) 0,9% 1,8% 2,7% 3,7% Gennemsnit Minimum Maximum Mean-reversion -2,00% 4,3% 8,6% 12,9% 17,3% 17,9% 52,9% 3,2% 36,2% Forventet performance ved forskellige OAS scenarier - 3Y (Gross of Fee, 0,52% p.a.)) -1,00% -0,50% -0,35% 0,00% 0,25% 0,50% 1,00% 3,0% 2,4% 2,2% 1,8% 1,5% 1,2% 0,5% 6,1% 4,9% 4,5% 3,6% 3,0% 2,4% 1,1% 9,2% 7,3% 6,8% 5,4% 4,5% 3,6% 1,7% 12,3% 9,8% 9,1% 7,3% 6,1% 4,8% 2,3% 13,4% 11,2% 10,1% 9,0% 7,8% 6,7% 4,5% 11,4% 8,2% 6,5% 4,9% 3,3% 1,6% 0,0% 2,4% 2,0% 1,9% 1,6% 1,4% 1,2% 0,8% 3,6% 5,3% 5,9% 7,1% 8,0% 8,9% 10,7% 100,00% -2,00% 2,7% 7,1% 11,4% 15,7% 17,9% 52,9% 0,0% 36,2% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Forventet performance ved forskellige OAS scenarier - 3Y (Net of Fee, 0,52% p.a.)) -1,00% -0,50% -0,35% 0,00% 0,25% 0,50% 1,00% 1,5% 0,9% 0,7% 0,2% -0,1% -0,4% -1,0% 4,6% 3,3% 2,9% 2,1% 1,4% 0,8% -0,4% 7,6% 5,8% 5,2% 3,9% 2,9% 2,0% 0,1% 10,7% 8,2% 7,5% 5,7% 4,5% 3,2% 0,7% 13,4% 11,2% 10,1% 9,0% 7,8% 6,7% 4,5% 11,4% 8,2% 6,5% 4,9% 3,3% 1,6% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 5,9% 29,1% 3,6% 5,3% 5,9% 7,1% 8,0% 8,9% 10,7% 2,00% -0,7% -1,4% -2,1% -2,7% 19,3% 11,2% 85,4% 14,3% 0,00% 2,00% -2,3% -2,9% -3,6% -4,3% 19,3% 11,2% 65,0% 14,3% Det første, der springer i øjne er, at selv med den laveste realkredit andel på 25% kan fondene holde performance over 0, selv når omkostninger er trukket fra. Altså, fondene vil skabe værdi i forhold til deres statsbenchmark. Dette ses under kolonnen med 0 i OAS ændringer, hvor det er den rene forventede performance, der træder frem. Det andet er betydningen af ændringer i OAS'en. Vi har opstillet 9 scenarier, for den rullende ændring over 3 år i spændet. Vi tager udgangspunkt i historikken fra 1999 (altså start 2002), og stress-tester performance på tværs af scenarierne med implitte sandsynligheder for den den gennemsnitlige ændring, maksimum ændring, minimum ændring og mean reversion. Tabel 36: Historiske 3års ændringer i OAS-swap OAS-swap ændring (3Y rullende) 2002-2015 175 125 75 25 -25 -75 MIN OAS ændring MAX OAS ændring Gennemsnit OAS ændring OAS ændring 55 26-05-2015 01-04-2014 05-02-2013 13-12-2011 19-10-2010 25-08-2009 01-07-2008 08-05-2007 14-03-2006 18-01-2005 25-11-2003 -125 01-10-2002 OAS-swap ændring rullende 225 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Det rullende gennemsnit har været -9bp. og det største fald har været -99bp. Spændhistorikken topper ikke overraskende under kollapset i kredit i efteråret 2008 i forbindelse med Lehman Brothers kollaps. Et kollaps der lagde dansk realkredit i graven med massive tab mod statsobligationer. OASswap ændringen steg til 162bp.69 . Det absolutte niveau var massive 180bp. i november 2008. En "bail-out" pakke fra den daværende VK regering i slutningen af novemver 2008, løsnede op i det der var et mareridt i det danske realkreditmarked.70 Ikke mindst, fordi der på det tidspunkt, også var gearede investorer i hedgefonde involveret med massive, lang real- short statsspænd på bøgerne.71 Problemet blev selvfølgelig, at de små og illikvide papirer, hedge-fondene forventede låntagere skulle købe (indlåsningseffekten som Alphakilde), dem skulle de selv pludselig sælge. "Jyske Invest Markedsneutrale Obligationer", som senere måtte lukke, var det mest prominente eksempel på denne dynamik.72 Tvangslukninger af disse hedge fond positioner, forstærkede presset i markedet. Det nuværende OAS-swap ændringsniveau er på 26bp. Vi analyserer i de følgende nogle af disse scenarier mod performance. Vores samlede forventninger, vores hovedscenarie, bygger på mean-reversion til ændringsgennemsnittet, altså en outright mean-reversion på -35bp. For at denne mean-reversion på de relative OAS ændringer, skal have indflydelse på afkastet, skal den naturligvis komme i enden af tidsserien.73 69 Der var yderligere udvidelse i swap-stat spændet. http://borsen.dk/nyheder/privatoekonomi/artikel/1/143724/en_realkreditpakke_stiller_flexlaan_i_et_nyt_lys.html 71 I praksis foregår den simple long-short med repo-reverse handler, hvor realen bliver købt (long) med funding fra repoen af den selv, og staten bliver "shortet", ved at sælge staten outright, og lave en reverse repo. Prisen er repo-reverse spreadet. Derudover er der hair-cut betragtningen. 72 Hedge fonden "Jyske Invest Markedsneutrale Obligationer", havde gearingmulighed på op til x30 af AuM på anslået DKK 800mill. Dvs. brutto på DKK 34mia. 73 Vi kunne også have lidt mean-reversion på det absolutte niveau, som er 110, mod gennemsnit på 48. 70 56 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Det giver følgende sammenvejede resultater for performance i ekstremscenarierne. Tabel 37: Scenarievægtet performance Realandel 25% andel 50% andel 75% andel 100% andel Realandel 25% andel 50% andel 75% andel 100% andel Min OAS=-0,99% 3,0% 6,1% 9,2% 12,3% Vægtet Performance (Gross Fee) Max OAS=+1,62% Gnms OAS=-0,09% Reversion OAS= - 0,35% -0,2% 1,9% 2,2% -0,4% 3,6% 4,5% -0,6% 5,4% 6,8% -0,8% 7,3% 9,1% Min OAS=-0,99% 1,5% 4,5% 7,6% 10,7% Vægtet Performance (Net Fee) Max OAS=+1,62% Gnms OAS=-0,09% Reversion OAS= - 0,35% -1,8% 0,4% 0,7% -2,0% 2,1% 2,9% -2,2% 3,9% 5,2% -2,4% 5,7% 7,5% Tabellen viser, at selv med den maksimale historiske ændring i spændet klarer porteføljerne sig ok, med årligt tab på 10-20bp gross fee og årligt tab på 60bp-80bp net fee. Det fortæller også, hvor stor en buffer mer-carryen i realer er, når benchmark ikke er betakorrigeret. Robusheden kommer særligt til udtryk i grafen her, hvor breakeven på tværs af andele ligger omkring 150bp. udvidelse; Tabel 38: OAS robusthed på tværs af andele Performance følsomhed p å 3Y OAS Chocks (Break Even ca. +150bp) 20,0% Performance 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% -2,00% -1,00% -0,50% -0,25% 0,00% 0,25% 0,50% 1,00% 2,00% -5,0% 25% andel 50% andel 75% andel 57 100% andel En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 39: Hovedscenariet, under mean-reversion, dekomponeret. Realandel 25% andel 50% andel 75% andel 100% andel Realandel 25% andel 50% andel 75% andel 100% andel Forventet performance og dekomponering 3Y (Gross Fee) - Mean Reversion OAS (- 35bp.) Akkumuleret på horisont Annualiseret E(TE) - 3Y Forventet performance Carry-bidrag OAS-bidrag Fee bidrag Forventet performance Carry-bidrag OAS-bidrag 0,9% 2,2% 0,2% 0,4% 1,6% 0,8% 0,1% 0,2% 1,8% 4,5% 2,1% 0,9% 1,6% 1,5% 0,7% 0,3% 2,7% 6,8% 3,9% 1,3% 1,6% 2,3% 1,3% 0,5% 3,7% 9,1% 5,7% 1,8% 1,6% 3,0% 1,9% 0,7% Fee bidrag 0,5% 0,5% 0,5% 0,5% Forventet performance og dekomponering 3Y (Net Fee) - Mean Reversion OAS (-35bp.) Akkumuleret på horisont Annualiseret E(TE) - 3Y Forventet performance Carry-bidrag OAS-bidrag Fee bidrag Forventet performance Carry-bidrag OAS-bidrag 0,9% 0,7% 0,2% 0,4% 0,0% 0,2% 0,1% 0,1% 1,8% 2,9% 2,1% 0,9% 0,0% 1,0% 0,7% 0,3% 2,7% 5,2% 3,9% 1,3% 0,0% 1,7% 1,3% 0,4% 3,7% 7,5% 5,7% 1,8% 0,0% 2,4% 1,9% 0,6% Fee bidrag 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% Performance dekomponering P.a. - Gross Fee Performanc pa. OAS-Swap Mean Reversion (-35bp) 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 25% andel 50% andel Carry-bidrag 75% andel OAS-bidrag 100% andel Fee bidrag Performance dekomponering P.a. - Net Fee OAS-Swap Mean Reversion (-35bp) Performanc pa. 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 25% andel 50% andel Carry-bidrag 75% andel OAS-bidrag 58 Fee bidrag 100% andel En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Konklusion I artiklens hovedanalyse tester vi for om de Morningstar top-performende, og aktivt forvaltede danske obligationsfonde, har kunnet performe historisk. Vi tester også fondenes fremtidsudsigter på en 3 årig horisont, under forskellige scenarier for OAS-swap'en. Vi argumenterer for, at fondenes benchmark, ikke er tilstrækkeligt repræsentative for fondenes gennemsnitsrisiko, hvorfor der implementeres simuleret performance, under et nyt sæt af ex-ante momenter. Performancemålingen i branchen er generelt statistisk spuriøs. Vi forsøger dermed, at bidrage yderligere til den akademiske og praktiske diskussion om, hvorvidt det kan svare sig for investorer, private som institutionelle, at anvende aktivt forvaltede danske obligationsfonde, fremfor potentielt billigere indeksprodukter. Vi har konkret udvalgt, 12 top-performende og prisbelønnede fonde i Morningstar's 3 kategorier, DKK Korte Obligationer, DKK Mellemlange Obligationer og DKK Lange Obligationer. Byggstenene i de statistiske tests er 2 Geometriske Brownian Motion Modeller (GBM). Den ene, GBM I, som er hovedmodellen i artiklen, parametriseres med "fair" historisk betajusterede momenter, for at teste fondenes historiske performance mod GBM I modellens performance. Den anden, GBM II, parametriseres med "fair" fremtidige momenter, for at simulere fondenes fremtidige muligheder for performance mod eget benchmark, under indflydelse af markedsimplicitte sandsynligheder for OAS-swap ændringer. Ved, at teste på de top-performende fonde, og samtidig opstille en statistisk nulhypose om, at disse fonde i gennemsnit ikke har kunnet levere Alpha, giver metoden mulighed for at ekstrapolere resulatet til resten af fondene i universet, da de øvrige fonde, jævnfør Morningstar rating, er dårligere performende. Hovedresultat: Fondene underperformer "Abe" betingelsen Vi kan i analysen ikke afvise nulhyposen om manglende Gross-Fee og dermed også Net-Fee Alpha i de danske top-performende fonde. Efter omkostninger er det særlig problematisk. Der får investor ikke det markedsafkast, som risikoen ellers tilsiger. Da vi under H0, ikke kan afvise værdiskabelse for investor hos de top-performende forvaltere, må vi intuitivt og ekstrapolativt, konstatere, at det også må gælde for de øvrige fonde i universet, da de som sagt pr. definition i Morningstar er dårligere. 59 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Havde vi kunnet afvise nulhyposen, kunne vi intuitivt ikke foretage denne ekstrapolation, da performance på de top-performende fonde, ikke nødvendigvis ville gælde resten af universet i kategorierne. Fondene er testet aggregeret, og individuelt, før og efter omkostninger. Centralt er p-værdi testen, som er vægtet simpelt over tid, i forhold til vurderingen af fondenes performance historisk mod modellen. P-værdien er vægtet ikke-simpelt i vurderingen af performance mod deres egne benchmarks fremadrettet. "Gross-Fee" resultatet: Før omkostninger, har performance i gennemsnit en p-værdi på ca. 30%, sammenvægtet over fonde og horisonter. Det indikerer absolut performance, men ikke udover statistisk tilfældighed. Desuden er der stor forskel i de rullede performancetal. På den 10 årige horisont har fondene underperformet væsentligt. "Net-Fee" resultatet: Efter omkostninger, har performance i gennemsnit en p-værdi på ca. 65%, sammenvægtet over fonde og horisonter. Det indikerer absolut underperformance. Altså, at markedsindekset, målt ved det betakorrigerede index, har givet et bedre resulatat. I forhold til et alternativ, i form af indeksforvaltning, har vi inkluderet en omkostning på 15bp. p.a. Testen er således mod indeksforvaltning og ikke modellen per se. Resulatet er signifikant. Det har bedre kunnet svare sig at købe et indekseret produkt. Omkostningstrukturen ændrer væsentligt performance. Statistisk er ekstrapolationen, at en tilfældighedgenerator med to udfald kunne gøre det bedre. Den såkaldte "Abe" betingelse er opfyldt, da p-værdien i gennemsnit er over 50%. Implikationer for investor i danske obligationer For det første, får investor ikke markedsafkastet på betarisikoen, som investor ellers med 100% sikkerhed kan få i et indeks, eller i en replikeret outright betaportefølje med få obligationer.74 Det løbende årlige tab er 80bp. Fratrækkes indeksomkostningen er tabet omkring 65bp. p.a. For det andet, løber investor i forhold til indeksforvaltningen en idiosynkratisk risiko på forvalterens aktive dispositioner omkring indekset. 74 Bemærk, at vi tidligere dokumenterede at korrelationerne mellem de aktiver, der ligger i fondene, er meget høje, omkring 75%, og derfor bliver replikationen lettere. 60 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Principielt skal investor have en positiv præmie for denne usikkerhed, selv om det ofte hævdes, at præmien skal være negativ, fordi den aktive forvaltning sikrer "en hånd på rattet". Underresultat 1: Mer-carryen i realer er beta-risiko Kontraintuitivt, og dermed imod standard opfattelse, viser vi, at præmien i dansk realkredit ikke er en Alpha kilde. Bortset fra den kvalitative "indlåsningseffektekt", er der historisk, og kvantitativt, de sidste 5-10 år ikke opbakning til hypotesen om ukorrelerede mer-afkast i danske realkreditobligationer mod statsobligationer. Vi estimerer en 1-faktor APT model, CAPM, hvor Alpha er 0 og beta over 1. Begge statistisk signifikant. Det betyder med andre ord, at mer-afkastet i realkreditobligationer mod statsobligationer er ren beta. Mer-afkastet udløber af systematisk risiko, som investor skal regulere sit afkastkrav efter. Derfor er det spuriøst, at danske fonde opstiller 100% statsindeks, men har 75% passivt realkreditoverlay i porteføljen. Underresultat 2: Realkreditandelen Vi viser, i overenstemmelse med Moderne Portefølje Teori (MPT), at de statistiske nøgletal, som Sharpe- og IR ratioen, til et givet tidspunkt, ikke ændrer sig med andelen (ellers ville det være en gratis omgang at påtage sig mere risiko). Vi viser også, ligeledes i overenstemmelse med MPT, at to porteføljer med hver forskellig risikoprofil, har samme sandsynlighed for performance over tid. Årsagen er den lineære skalerbarhed i afkast/risiko, som udløber af Sharpe ratioen (CML linjen). Det er kun korrelationer, der ændrer IR til tidspunkt t=t0. Til gengæld over tid, og som anført, forbedres IR- rent matematisk for en given risikoprofil. Under H0 er der statistisk performance (ved p-værdi = 5%) efter 7 år, hvis forvalteren, holder fingrene fra knappen. Vi kommer med et par forklaringer på den høje relative andel. Det kan være for at holde driften i forventet performance positiv, efter omkostninger. Det kan også være et relativt konkurrenthensyn, hvor alle er modvillige mod at påtage sig ex-ante undercarry. Sidst, kan det også fremføres, at den høje andel kan tilskrives asymmetri i fee strukturen, hvor bonus/indtjening, kan ses, som Call Option på benchmarkafkastet (strike). Højere exante forventet mer-afkast og tracking error, øger værdien af optionen over tid, qua positiv vega- og deltaafledede i optionen. 61 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Der er dermed en asymmetrisk risiko for firma og forvalter, ved at øge porteføljens relative ex-ante momenter for performance og tracking error. Underresultat 3: Nykredit Invest - Danmark suverænt bedste obligationsforvalter "Nykredit Invest Korte Obligationer" og "Nykredit Invest Lange Obligationer" har høstet mange priser gennem årene. Og ifølge analysen, ikke uden grund. Med distance, er Nykredit Invest Danmarks bedste forvalter, og har med den "korte" fond, den eneste fond i Danmark der kan generere statistisk signifikant merværdi for investor. Altså ved et signifikansniveau på 5%.75 "Nykredit Invest Korte Obligationer formår dermed som den eneste fond, at levere klassisk Alpha, mod et indeksalternativ. Der er stor spredning, men trækker vi de to Nykredit fonde ud, er gennemsnilig p-værdi 40% mod Nykredit Invest's 7,5%. Der er altså Nykredit og alle de andre. Underresultat 4: Stor spreadrisko, men mer-carry er stærk buffer Vi viser, at bag neutrale "outright" varighedseksponeringer, gemmer der sig stor betarisko, qua det store realkreditoverlay, som vi i gennemsnit finder til 75%, og dermed typisk i en dansk portefølje, ca. 3-4 i overlay varighed (spreadrisiko) mod benchmark. Fremadrettet har vi modelleret fondenens evne til at skabe performance mod eget benchmark. Når vi inkluderer i driften fondenes historiske gennemsnitsperformance på de 3 horisonter, skal det gå meget galt for, at de ikke performer. Selv under hensyntagen til store OAS-swap udvidelser. Vi viser, at på tværs af den relative realkreditandel, er der ca. break-even for performance på 150bp. udvidelser (antaget at swap-stat spændet er konstant). Også efter omkostninger, er der robusthed. Vi har kalibreret implicitte markedssandsynligheder for mulige ændringer i OAS-swappen og robustheden er stærk i porteføljerne overfor realkreditandele. I vores hovedscenarie for subjektiv/objektiv 3 års performance, kommer vi frem til et lovende resultat. Vi antager mean-reversion i OAS-swap spændet med -35bp., med chock på horisonttidspunkt. Det giver følgende beta-ukorrigerede forventninger annualiseret, Gross-Fee og Net-Fee; 75 http://www.nykreditinvest.dk/nykreditinvestdk/info/produkter/produkt.xml?Id=F0GBR06TS2&SecurityToken= F0GBR06TS2%5d2%5d1%5dFODNK%24%24ALL_997&ClientFund=1&LanguageId=daDK&CurrencyId=DKK&UniverseId=FODNK%24%24ALL_997&BaseCurrencyId=DKK 62 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 40: ´Hovedscenariet, under mean-reversion, Gross Fee performance p.a. Performance dekomponering P.a. - Gross Fee Performanc pa. OAS-Swap Mean Reversion (-35bp) 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 25% andel 50% andel Carry-bidrag 75% andel OAS-bidrag 100% andel Fee bidrag Tabel 41: ´Hovedscenariet, under mean-reversion, Net Fee performance p.a. Performance dekomponering P.a. - Net Fee OAS-Swap Mean Reversion (-35bp) Performanc pa. 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 25% andel 50% andel Carry-bidrag 75% andel OAS-bidrag 63 Fee bidrag 100% andel En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Appendix: Tabel 1 : Data for modelporteføljen: Summary statistics* Real CM5 Stat CM5 Standardafv** 3,00% 2,00% Korrelation 1 0,75 0,75 1 Mer-Carry*** BETA (CAPM) 1,75% 1,26 * Daglige log afkast fra 13-8-2009 til 16-10-2015 til korrelation og standardafvigelse ** Afrundet. Stat std = 1,80%, real std =3,07%, korrelation=0,74 *** Gennemsnit 10 år mellem real-stat. Kuponrente på syntetisk kurs 100 30årig konverterbar real fra 01.01.2005. Kombination af 3,4,5,6% obligation. Effektiv rente på syntetisk 5årig stat Tabel 2: Rullende korrelation Korrelation Korrelation - stat/real index 0,83 0,81 0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 1 57 113 169 225 281 337 393 449 505 561 617 673 729 785 841 897 953 1009 1065 1121 1177 1233 0,65 Tabel 2: p-værdi vægte, under H0 med Alpha test mod fondenes eget benchmark Antag af p-værdiener under H0 på k horisonter (k=3,5,10) hedder, a, b og c, da er vægtene, w, beregnet således; 64 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 π€3 = π π€ π 5 π π€5 = π€10 π π€10 = 1 β π€3 β π€5 Beregnes dette, som 3 ligninger med 3 ubekendte bliver det; π€5 = π π 1 β π€5 β π€5 π π π€3 = π π π = ππ+π+π π+π+π π€10 = 1 β π€5 1 + π π π + = π π π π€5 = π π = π+π π+π+π π 1+ π π π πβπ β =1β π+π+π π+π+π π+π+π Under H0 beregner vi i analysen, følgende vægtning (afrunding): Horisont Prob(P<0) Vægt 3Y 5Y 10Y 7,0% 3,0% 0,5% 67,0% 26,0% 7,0% 65 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 3: Test for Jensen's Alpha i mercarry: OLS parametrisering (tidsserie fra 13-08-2009) Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error Observations 0,738126854 0,544831252 0,544530811 0,001306232 1517 ANOVA df Regression Residual Total SS MS F Significance F 1 0,003094 0,003094 1813,436 3,2E-261 1515 0,002585 1,71E-06 1516 0,005679 Coefficients Standard Errort Stat P-value Lower 95%Upper 95%Lower 95,0% Upper 95,0% 6,99316E-05 3,36E-05 2,078274 0,037852 3,93E-06 0,000136 3,93E-06 0,000136 1,262996121 0,029659 42,58446 3,2E-261 1,20482 1,321172 1,20482 1,321172 Intercept X Variable 1 Tabel 3: Test for Jensen's Alpha i mercarry: OLS parametrisering (tidsserie fra 29-12-2006) SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,8249832 R Square 0,6805973 Adjusted R Square 0,680452 Standard Error 0,0010625 Observations 2201 ANOVA df Regression Residual Total Intercept X Variable 1 1 2199 2200 SS MS F Significance F 0,005290021 0,00529 4685,725 0 0,002482595 1,13E-06 0,007772616 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Lower 95,0%Upper 95,0% 0,00 2,27224E-05 2,66 0,007976 1,58E-05 0,000105 1,58E-05 0,000105 0,71 0,01030481 68,45 0 0,68518 0,725597 0,68518 0,725597 66
© Copyright 2024