1. No category

Grundl€ggende
funktioner
for B-niveau i stx
Udgave 3
2014 Karsten Juul
Grundl€ggende funktioner for B-niveau i stx
Procent
1. Procenter p• en ny m•de.......................................... 1
2. V€kstrate................................................................. 2
3. Gennemsnitlig procent............................................. 2
LineÄr vÄkst
4. Line€r funktion. ...................................................... 3
5. Line€r v€kst. .......................................................... 3
6. Skriv ligning ud fra beskrivelse af line€r v€kst...... 4
7. Skriv hvad a og b i line€r forskrift fort€ller. .......... 4
Eksponentiel vÄkst
8. Eksponentiel funktion.............................................. 5
9. Eksponentiel v€kst. ................................................. 5
10. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel
v€kst........................................................................ 6
11. Skriv hvad a og b i eksponentiel forskrift fort€ller. 6
PotensvÄkst
12. Potensfunktion......................................................... 7
13. Potensv€kst. ............................................................ 7
14. Udregn procent€ndring for potensfunktion............. 7
Grafer
15. Graf for line€r funktion........................................... 8
16. Graf for eksponentiel funktion................................. 8
17. Graf for potensfunktion. .......................................... 8
Regression
18. Line€r regression. ................................................... 9
19. Regression, •rstal..................................................... 9
20. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges? ........................10
21. Fejl at bruge m•lt tal n•r vi skal bruge model ........10
22. Eksponentiel regression. .........................................11
23. Potensregression. ....................................................12
Bestem forskrift ud fra Åt eller to punkter
24. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter.......13
25. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter
givet ved tekst.........................................................14
26. Bestem b i f (x) = ax+b ud fra a og punkt. .........14
27. Bestem a i f (x) = ax+b ud fra b og punkt. .........14
28. Bestem a og b i y=bax ud fra to punkter. .........15
29. Bestem a og b i y=bax ud fra to punkter
givet ved tekst.........................................................16
30. Bestem b i y=bax ud fra a og punkt.................16
31. Bestem a i y=bax ud fra b og punkt.................16
32. bax og bexk ........................................................17
33. Bestem a og b i y=bxa ud fra to punkter ..........17
Fordoblings- og halveringskonstant
34. Fordoblingskonstant og halveringskonstant. ..........18
35. Afl€s fordoblingskonstant og halveringskonstant
p• graf.....................................................................19
36. Udregn fordoblings- og halveringskonstant ud fra
forskrift. ..................................................................19
37. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant
fort€ller. .................................................................20
38. Udregn y-v€rdier med T2 og T‚ . ........................... 20
Proportionale og omvendt proportionale variable
39. Proportionale variable.............................................21
40. Omvendt proportionale variable. ............................22
41. Opgave hvor variable fra virkeligheden er
omvendt proportionale............................................23
42. Proportional/omvendt proportional med udtryk .....23
Logaritmefunktioner
43. Naturlig logaritme og titalslogaritme......................24
Beviser
44. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fort€ller. ........25
45. Bevis for hvad a og b i y = bax fort€ller............25
46. Bevis for reglen om potensv€kst............................25
Polynomier
47. Polynomier og rƒdder. ............................................26
Andengradspolynomier
48. Andengradspolynomium. .......................................27
49. Toppunkt. ...............................................................27
50. Diskriminant. ..........................................................28
51. Betydning af a, b, c og d for grafen. .......................28
52. Nulpunkt. ................................................................29
53. Antal nulpunkter eller lƒsninger. ............................29
54. Lƒs andengradsligning............................................30
55. Ligninger af typen x2 = r .......................................31
56. Bevis for formlen for lƒsning af
andengradsligninger................................................32
57. Regel for at faktorisere andengradspolynomium....32
58. Eksempler p• faktorisering af
andengradspolynomium..........................................32
59. Find forskrift for andengradspolynomium..............33
En tidligere udgave af dette hÄfte har skiftet adresse til http://mat1.dk/grundlaeggende_funktioner_for_b_niveau_i_stx_udgave_2.pdf
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3, Å 2014 Karsten Juul . Nyeste version af dette hÄfte kan downloades fra
http://mat1.dk/noter.htm . Det mÇ bruges i undervisningen hvis lÄreren med det samme sender en e-mail til [email protected] som oplyser at
det bruges og oplyser hold, niveau, lÄrer og skole.
1/8-2015
Procent
1. Procenter p• en ny m•de.
1a. T er 34 % af 600
Du plejer nok at udregne 34 % ved at dividere
med 100 og gange med 34.
T = 34 % af 600
= 600 „ 0,34
34
100
da 34 % =
I nogle opgavetyper dur denne metode ikke.
= 0,34
= 204
1b. S er 34 % stÇrre end 600
S = 134 % af 600
= 600 „ 1,34
da 100 % + 34 % = 134 %
da 134 % =
134
= 1,34
100
Du er nƒdt til at v€nne dig til at gange med
0,34 for at udregne 34 %.
N•r du udregner det der er 34 % stƒrre end et
tal, s• plejer du nok at udregne 34 % af tallet
og l€gge til tallet.
I nogle opgavetyper dur denne metode ikke.
Du er nƒdt til at v€nne dig til at gange med
1,34 for at udregne det der er 34 % stƒrre.
= 804
1c. R er 34 % mindre end 600
R = 66 % af 600
= 600 „ 0,66
da 100 % – 34 % = 66 %
da 66 % =
66
= 0,66
100
N•r du udregner det der er 34 % mindre end
et tal, s• plejer du nok at udregne 34 % af
tallet og tr€kke fra tallet.
I nogle opgavetyper dur denne metode ikke.
Du er nƒdt til at v€nne dig til at gange med
0,66 for at udregne det der er 34 % mindre.
= 396
1d. Hvor mange procent er 52 af 126 ?
52
 0,412698  41,2698  41,3 %
126
52 er 41,3 % af 126 .
1e. Oversigt over grundlÄggende procentregning
y  0,30
y  0,30
y  1,30
y
0,30  0,70  1
y 1
y
y
y  0,70
y  0,30
A
B
A
B er 30 % af A
B er 30 % stÇrre end A
B er 130 % af A
141
 0,30
470
470
B
A
B
B er 30 % mindre end A
B er 70 % af A
141 er 30 % af 470
141
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 1
2014 Karsten Juul
2. V€kstrate
2a. Hvad er vÄkstrate?
At den •rlige v€kstrate er 18 % betyder at stƒrrelsen bliver 18 % stƒrre hvert •r .
N•r v€kstraten er r = 18 % = 0,18 , s• er fremskrivningsfaktoren a = 1+r = 1,18 , dvs.
hvert •r bliver stƒrrelsen ganget med 1,18 .
At den m•nedlige v€kstrate er –3 % betyder at stƒrrelsen bliver 3 % mindre hver m•ned .
N•r v€kstraten er r = –3 % = –0,03 , s• er fremskrivningsfaktoren a = 1+r = 0,97 , dvs.
hvert •r bliver stƒrrelsen ganget med 0,97 .
2b. Eksempel
Der g€lder Antal ansatte skal stige med en •rlig v€kstrate p• 10 %.
Dvs.
Antal ansatte skal stige 10 % hvert •r. 100 %  45 %  145 %  145  1, 45
100
I •r er antal ansatte
820
Om 1 •r er antal ansatte
820  1,45  1189
2
1, 45  1,45  1, 45
Om 2 •r er antal ansatte
820  1,45  1,45  1724
820 1, 45 6  7621
Om 6 •r er antal ansatte
Om x •r er antal ansatte
x
x
8201,45
8201,45
Antal ansatte
2500
1724
1189
820
1,45
1,45
1,45
•r
3. Gennemsnitlig procent
3a. Metode til at udregne gennemsnitlig procent
Hvis en stƒrrelse stiger fra A til B p• n •r, s• kan
den gennemsnitlige •rlige procentvise stigning r
udregnes ved hj€lp af formlen A(1+r)n = B .
3b. Eksempel pÉ udregning af gennemsnitlig procent
Hvis A = 158 , B = 221 og n = 10 , er 158(1+r)10 = 221 .
Nspire lƒser denne ligning mht. r for r > 0 og f•r r = 0,034126 ,
dvs.
Den gennemsnitlige •rlige procentvise stigning er 3,41 % .
3c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent
Perioden behƒver ikke v€re et •r.
Fra uge 10 til 15 er indt€gten steget fra 1,7 mio. kr. til 2,4 mio. kr.
Vi regner som vist ovenfor og f•r: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %.
Dette betyder: Ved at stige med 7,14 % hver uge kan et belƒb stige fra 1,7 til 2,4 mio. kr.
Procentstigningen har m•ske ikke v€ret den samme hver uge. Derfor ordet ”gennemsnit”.
3d. Advarsel om gennemsnitlig procent
Vi kan IKKE udregne gennemsnitlig procent ved at l€gge procenter sammen og dividere med
antallet. Dette skyldes at procenterne ikke tages af lige store tal.
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 2
2014 Karsten Juul
LineÄr vÄkst
4. Line€r funktion.
En funktion f er line€r hvis den har en forskrift af typen
f ( x)  ax  b
B•de a og b kan v€re ethvert tal.
Definitionsm€ngden (dvs. de tal vi kan inds€tte for x) er alle tal.
Tallet a i en line€r forskrift f ( x)  ax  b kaldes h€ldningskoefficienten.
5. Line€r v€kst.
5a. Reglen for line€r v€kst (reglen for hvad a i en line€r sammenh€ng y  ax  b fort€ller):
Hver gang vi gƒr x ‡n enhed stƒrre, bliver der lagt a til v€rdien af y.
5b. Reglen for hvad b i line€r sammenh€ng y  ax  b fort€ller:
N•r x er 0, er y lig b.
5c. Af 5b og 5a f•r vi: P• grafen for y = 0,3x+0,9
ligger punkterne (-1 , 0,6), (0 , 0,9), (1 , 1,2), (2 , 1,5) osv.
y
Den skr• sorte linje er graf for
funktionen y = 0,3x +0,9 .
0,3x +0,9
1,5
Figuren viser at der l€gges 0,3 til
y-koordinaten (sƒjlehƒjden) n•r x
bliver 1 stƒrre.
1,2
+ 0,3
0,9
+ 0,3
0,6
+ 0,3
+1
x:
y:
–1
0,6
+1
0
0,9
+0,3
+1
1
1,2
+0,3
2
1,5
x
0,3x+0,9
+0,3
5d. Hvis vi afl€ser punkterne (0,7), (1,11), (2,15), (3,19) p• en line€r graf,
kan vi af 5a og 5b slutte at y = 4x+7 .
5e. For y = 3x+5 g€lder: Hvis vi 10 gange gƒr x en stƒrre, vil der 10 gange blive lagt 3 til y, s•:
Hver gang vi gƒr x 10 enheder stƒrre, bliver der lagt 30 til v€rdien af y.
Dvs. p• grafen ligger punkterne (–10,–25), (0,5), (10,35), (20,65) osv.
+10
x:
y:
–10
–25
+10
0
5
+30
+10
10
35
+30
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
310 = 30
20
65
x
3x+5
+30
Side 3
2014 Karsten Juul
6. Skriv ligning ud fra beskrivelse af line€r v€kst.
Opgave
Man skal betale 10 kr. for at starte p• et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr. pr.
minut man spiller.
Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen for at spille n•r vi kender antal minutter vi
spiller.
Besvarelse
Vi bruger x og y til at betegne fƒlgende talstƒrrelser:
x = antal minutter
y = prisen i kr.
S• kan vi overs€tte oplysningerne til fƒlgende:
N•r x  0 er y  10
Hver gang vi gƒr x ‡n enhed stƒrre, bliver der lagt 0,50 til y .
Af reglerne for hvad a og b i f ( x)  ax  b fort€ller, f•r vi:
y  0,50  x  10 n•r x = antal minutter og y = prisen i kr.
7. Skriv hvad a og b i line€r forskrift fort€ller.
Opgave
For en cirkel p• et elektronisk billede kan radius udregnes ved hj€lp af formlen
y   2 x  80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm.
Hvad fort€ller tallene  2 og 80 om radius?
Besvarelse
Af reglerne for hvad a og b i y  ax  b fort€ller, f•r vi:
 2 er det tal der bliver lagt til radius y hver gang vi gƒr temperaturen x en grad
stƒrre .
N•r temperaturen x er 0, er radius y lig 80 .
Dvs.:
Radius er 80 mm ved 0 C og bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger .
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 4
2014 Karsten Juul
Eksponentiel vÄkst
8. Eksponentiel funktion.
En funktion f er eksponentiel hvis den har en forskrift af typen
f ( x )  ba x
a og b skal v€re positive tal.
Definitionsm€ngden (dvs. de tal vi kan inds€tte for x) er alle tal.
Tallet a i en eksponentiel forskrift f ( x)  ba x kaldes fremskrivningsfaktoren.
9. Eksponentiel v€kst.
9a. Reglen for eksponentiel v€kst (reglen for hvad a i eksponentiel sammenh€ng y  b a x
fort€ller):
Hver gang vi gƒr x ‡n enhed stƒrre, bliver v€rdien af y ganget med a.
9b. Reglen for hvad b i en eksponentiel sammenh€ng y  b a x fort€ller:
N•r x er 0, er y lig b.
x
9c. Af 9b og 9a f•r vi: P• grafen for y = 241,5 ligger punkterne (–1,16), (0,24), (1,36), (2,54)
osv.
y
241,5
x
Den sorte kurve er graf for
x
funktionen y = 241,5 .
Figuren viser at y-koordinaten
(sƒjlehƒjden) ganges med 1,5
n•r x bliver 1 stƒrre.
54
36
24
16
1,5
1,5
1,5
+1
x:
y:
–1
16
+1
0
24
1,5
+1
1
36
1,5
2
54
x
x
241,5
1,5
9d. Hvis vi afl€ser punkterne (0,2), (1,6), (2,18) p• en eksponentiel graf,
x
kan vi af 9a og 9b slutte at y = 23 .
x
9e. For y = 5,81,043 g€lder: Hvis vi 8 gange gƒr x ‡n enhed stƒrre, vil y 8 gange blive ganget
8
med 1,043, s•: Hver gang vi gƒr x 8 enheder stƒrre, bliver y ganget med 1,043 = 1,40047 .
+8
x:
y:
–8
4,14
+8
0
5,8
1,4
8
+8
8
8,12
1,4
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
16
11,37
1,4
1,043 = 1,400
x x
5,81,043
Side 5
2014 Karsten Juul
10. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel v€kst.
10a. Opgave Kl. 9 er der 275 celler, og hver time bliver antal celler 20 % stƒrre.
(voksende)
Opstil en model der beskriver udviklingen i antallet af celler.
Svar N•r
x = antal timer efter kl. 9
og
y = antal celler
g€lder:
N•r antal timer x bliver 1 stƒrre, vil antal celler y blive 20 % stƒrre, dvs. antal celler y
bliver ganget med 1,20 . (Start: 100 %. Efter stigning: 120 % = 120:100 = 1,20).
N•r antal timer x er 0 , er antal celler y lig 275 .
Af reglerne for hvad a og b i y  b a x fort€ller, f•r vi
y  275  1,20 x
10b. Opgave Den 1. maj er afgiften 860 kr. Afgiften neds€ttes med 2,5 % pr. uge
(aftagende)
Opstil en model der beskriver udviklingen i stƒrrelsen af afgiften.
Svar N•r
x = antal uger efter 1. maj
og
y = afgiften i kr.
g€lder:
N•r antal uger x bliver 1 stƒrre, vil afgiften y blive 2,5 % mindre, dvs. afgiften y bliver
ganget med 0,975 . (Start: 100 %. Efter fald: 97,5 % = 97,5:100 = 0,975).
N•r antal uger x er 0 , er afgiften y lig 860 .
Af reglerne for hvad a og b i y  b a x fort€ller, f•r vi
y  860  0,975 x
11. Skriv hvad a og b i eksponentiel forskrift fort€ller.
11a. Opgave Om en figur p• sk€rmen g€lder at
y  300 1,072 x
(voksende)
x = temperaturen
og
y = arealet
Hvad fort€ller tallene 300 og 1,072 om figuren.
hvor
Svar Af reglerne for hvad a og b i y  b a x fort€ller, f•r vi
N•r temperaturen x bliver 1 grad stƒrre, bliver arealet y ganget med 1,072 , dvs.
arealet y bliver 7,2 % stƒrre. (Start: 100 %. 100 %1,072 = 107,2 %. 107,2 %–100 % = 7,2 %)
N•r temperaturen x er 0 , er arealet y lig 300 .
Dvs. N•r temperaturen er 0 grader, er arealet 300, og
arealet bliver 7,2 % stƒrre for hver grad temperaturen stiger.
11b. Opgave Antallet af dyr €ndres s•dan at
y  270  0,90 x hvor
(aftagende)
x = antal dage efter 1. juni
og
y = antal dyr
Hvad fort€ller tallene 270 og 0,90 om antallet af dyr.
Svar Af reglerne for hvad a og b i y  b a x fort€ller, f•r vi
N•r antal dage x bliver 1 stƒrre, bliver antal dyr y ganget med 0,90 , dvs. antal dyr y
bliver 10 % mindre. (Start: 100 %. 100 %0,90 = 90 %. 90 %–100 % = –10 %)
N•r antal dage x er 0 , er antal dyr y lig 270 .
Dvs. Den 1. juni er antallet af dyr 270, og hver dag bliver antallet af dyr 10 % mindre.
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 6
2014 Karsten Juul
PotensvÄkst
12. Potensfunktion.
f ( x)  b x a .
En funktion f er en potensfunktion hvis den har en forskrift af typen
b skal v€re et positivt tal. a kan v€re ethvert tal.
Definitionsm€ngden (dvs. de tal vi kan inds€tte for x) er de positive tal.
Tallet a i potensforskriften f ( x)  b x a kaldes eksponenten.
13. Potensv€kst.
13a. Reglen for potensv€kst: Om en potenssammenh€ng y  b  x a g€lder for et positivt tal k:
a
N•r x bliver ganget med k , s• bliver y ganget med k .
13b. Eksempel
y = 1,2x0,7
1,25
x:
y:
1,14
1,32
N•r x ganges med 1,25 , s• ganges y med 1,250,7 = 1,17 .
N•r x ganges med 2 , s• ganges y med 20,7 = 1,62 .
1,25
1,43
1,54
1,250,7
2
1,79
1,80
1,250,7
3,80
3,06
7,60
4,96
20,7
14. Udregn procent€ndring for potensfunktion.
14a. Opgave (udregn €ndring af y) Et dyr vokser s•dan at y = 2,7x1,6 hvor y er v€gt i gram,
og x er l€ngde i cm. N•r dyret er 40 % l€ngere, hvor mange procent tungere er det s•?
Besvarelse At x bliver 40 % stƒrre, er det samme som at x bliver ganget med 1,40 .
(Start: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40)
Bem€rk at vi IKKE
s€tter 1,40 ind i
ligningen. Vi bruger
eksponenten fra ligningen.
N•r x bliver ganget med 1,40 , s• bliver y ganget med
1,401,6 = 1,71319  1,71
At y bliver ganget med 1,71 , er det samme som
at y bliver 71% stƒrre. (Start: 100%. 100%1,71=171%. 171%–100%=71%)
Dyret bliver 71 % tungere n•r det bliver 40 % l€ngere.
14b. Opgave (udregn €ndring af x) f ( x)  240  x 0,51 hvor x er rutes l€ngde i km, og f (x) er
antal deltagere. Hvor mange procent kortere skal rute v€re for at fordoble antal deltagere?
Besvarelse N•r vi ganger x med k, bliver antallet f (x) ganget med k 0,51 . Da vi vil gange f (x)
med 2, skal vi v€lge k s• k 0,51  2 . Nspire lƒser denne ligning mht. k og f•r k = 0,256889 .
At l€ngden x skal ganges med 0,257, er det samme som at l€ngden bliver 74,3 % mindre.
(Start: 100% . 100%0,257 = 25,7%. 25,7%–100% = –74,3%)
Ruten skal v€re 74,3 % kortere for at antal deltagere fordobles.
14c. Forskellige formuleringer
Det er ikke altid at der st•r at x eller y €ndres med en procent. I stedet kan der st• at x eller y
ganges med et tal. S• slipper vi for at oms€tte mellem procent og tal n•r vi bruger 13a
ovenfor.
I 14b ovenfor blev y ganget med 2. Det er det samme som at y bliver 100 % stƒrre.
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 7
2014 Karsten Juul
Grafer
15. Graf for lineÄr funktion f ( x)  ax  b
d
Grafen er en ret linje.
P• grafen ser vi:
Definitionsm€ngde:
alle tal
Voksende: a positiv
Aftagende: a negativ
dvs. alle tal kan inds€ttes for x.
eksempel: d
eksempel: g
g
Hvis a  0 i f ( x)  ax b eller i f ( x)  b x a , eller a  1 i f ( x)  b a x ,
s• er f ( x)  b , s• grafen er en vandret linje.
Hvis a  1 i f ( x)  b x a , er f ( x)  bx , s• grafen er en skr• linje.
16. Graf for eksponentiel funktion f ( x)  ba x hvor a og b er positive
P• grafen ser vi:
h
Definitionsm€ngde:
Voksende:
Aftagende:
alle tal
a stƒrre end 1
a mellem 0 og 1
dvs. alle tal kan inds€ttes for x.
eksempel: h
eksempel: k
Grafen kommer vilk•rlig t€t p• x-aksen, men n•r den aldrig.
k
Bem€rk at grafen krummer s•dan:  eller s•dan: 
IKKE s•dan:  , og IKKE s•dan: 
17. Graf for potensfunktion f ( x)  b x a hvor b er positiv
P• grafen ser vi:
Definitionsm€ngde:
de positive tal
Voksende og graf krummer op:
Voksende og graf krummer ned:
Aftagende:
dvs. alle positive tal kan inds€ttes for x.
a over 1
a mellem 0 og 1
a negativ
Aftagende potensfunktion:
grafen kommer vilk•rlig t€t p•
x-aksen, men n•r den ikke.
eksempel: m
eksempel: n
eksempel: p
m
n
p
Bem€rk at graferne IKKE
krummer s•dan: 
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 8
2014 Karsten Juul
Regression
18. Line€r regression.
Opgave
SÉdan taster vi pÉ Nspire
Vi har m•lt l€ngde og bredde for nogle komponenter:
l€ngde i cm
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
bredde i cm
5,1
5,3
5,9
6,1
6,6
Bredden f (x) , m•lt i cm, er med god tiln€rmelse
givet ved
f ( x)  ax  b
Vi v€lger vindue af
type ”Lister og Regneark”
og taster tabel s•dan 
Lad ikke markƒr st• i sidste
felt du €ndrer.
I menuen v€lger vi
Statistik/
Statistiske beregninger.../
LineÄr regression (mx+b)...
hvor x er l€ngden m•lt i cm.
S• fremkommer et vindue vi udfylder
som vist nedenfor. I X-liste-feltet og
Y-liste-feltet, skal du ikke taste navnet,
du skal v€lge det.
Find tallene a og b.
Besvarelse
Vi indtaster tallene s•dan at
l€ngde kommer p• den vandrette akse og
bredde kommer p• den lodrette akse.
Nspire laver line€r regression p• de indtastede tal
og f•r
f ( x)  0,38 x  0,67 .
Dvs.
a  0,38 og b  0,67
N•r vi i et matematikfelt i et
notevindue taster f (x) og trykker
p• Ä f•r vi
19. Regression, •rstal.
Opgave
Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt omr•de.
ˆrstal
1998
2000
2002
2004
2006
2008
Antal boliger
133
170
186
218
232
247
Antallet af boliger kan med god tiln€rmelse beskrives ved en ligning af typen y  ax  b
hvor y er antallet af boliger, og x er antal •r efter 1998.
Find tallene a og b.
Besvarelse
Vi taster fƒlgende tabel:
x
0
2
4
6
8
10
y
133
170
186
218
232
247
Vi taster ikke •rstal
da x ikke er •rstallet.
Nspire laver line€r regression p• hele denne tabel og f•r y  11,2571 x  141,381
Dvs. a  11,3 og b  141
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 9
2014 Karsten Juul
20. Hvorfor skal alle tal i tabel bruges?
Tabel:
x:
y:
1
2
3
3
5
6
7
9
De fire punkter i tabellen er vist som rƒde prikker.
Hvis vi bruger alle punkter til at bestemme line€r graf,
s• f•r vi den fuldt optrukne linje.
Hvis vi kun bruger de to fƒrste punkter,
s• f•r vi den punkterede linje
som passer d•rligere med tabellen.
21. Fejl at bruge m•lt tal n•r vi skal bruge model.
For en type vare er y oms€tning x dage efter annoncering.
MÉlte tal:
x:
y:
6
65
12 18 24
103 151 209
Model:
y = 8x +12
Opgave: Brug model til at bestemme stigning i oms€tning fra 6 til 10 dage efter annoncering.
Forkert svar:
Af tabel: n•r x = 6 er y = 65
Af y = 8x +12 : n•r x = 10 er y = 810 + 12 = 92
Stigning 92 – 65 = 27
Rigtigt svar:
Af y = 8x +12 : n•r x = 6 er y = 86 + 12 = 60
Af y = 8x +12 : n•r x = 10 er y = 810 + 12 = 92
Stigning 92 – 60 = 32
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 10
Det er en fejl at bruge tallet fra
tabellen da vi skal besvare
spƒrgsm•let ved hj€lp af modellen.
2014 Karsten Juul
22. Eksponentiel regression.
Opgave
Tabellen viser antallet af indbyggere i et omr•de i perioden 2000-2005.
ˆr
Antal (i tusinder)
2000
2001
2002
2003
2004
2005
8,5
8,8
9,1
9,4
9,8
10,2
Udviklingen kan med god tiln€rmelse beskrives med en funktion af typen
f ( x)  ba x
hvor f (x) er antallet af indbyggere (m•lt i tusinder), og x er antal •r efter 2000.
Find a og b .
Besvarelse
Ud fra den givne tabel laver vi tabellen nedenfor hvor •rstallet er erstattet af v€rdien af x.
x
0
1
2
3
4
5
y
8,5
8,8
9,1
9,4
9,8
10,2
Denne tabel taster vi. Nspire laver eksponentiel regression p• hele tabellen og f•r
f ( x)  8,47906  1,03686 x
Dvs.
a  1,037
og
b  8,48
BemÄrk
Hvis vi ikke bruger hele tabellen, s• duer besvarelsen ikke.
Grafen for y  8,47906  1,03686 x g•r ikke gennem tabel-punkterne,
men det er den eksponentielle graf der afviger mindst fra punkterne.
SÉdan taster vi pÉ Nspire
Vi v€lger et vindue af typen ”Lister og Regneark” og taster tabellen
som vist til hƒjre.
I menuen v€lger vi
Statistik/Statistiske beregninger.../Eksponentiel regression...
S• fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hƒjre.
Du skal ikke taste det der st•r i X-liste-feltet og Y-liste-feltet,
du skal v€lge det.
N•r vi i et matematikfelt i et notevindue
taster f (x) og trykker p• Ä
f•r vi
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 11
2014 Karsten Juul
23. Potensregression.
Opgave
De m•lte tal i tabellen viser for et bestemt dyr sammenh€ngen mellem alder og l€ngde .
Alder i dƒgn
10
15
20
30
40
50
L€ngde i mm
43
60
74
105
132
155
Sammenh€ngen kan med god tiln€rmelse beskrives med en funktion af typen
f ( x)  b x a
hvor f (x) er l€ngde (m•lt i mm), og x er alder (m•lt i dƒgn).
Bestem a og b .
Besvarelse
Denne tabel taster vi s• alder er i x-sƒjlen og l€ngde er i y-sƒjlen . Nspire laver
potensregression p• hele tabellen og f•r
f ( x)  6,79203  x 0,802027
Dvs.
a  0,802
og
b  6,79
BemÄrk
Hvis vi ikke bruger hele tabellen, s• duer besvarelsen ikke.
Grafen for f ( x)  6,79203  x 0,802027 g•r ikke gennem tabel-punkterne,
men det er den potensgraf der afviger mindst fra punkterne.
SÉdan taster vi pÉ Nspire
Vi v€lger et vindue af typen ”Lister og Regneark” og taster tabellen
som vist til hƒjre.
I menuen v€lger vi
Statistik/Statistiske beregninger.../Potensregression...
S• fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til hƒjre.
Du skal ikke taste det der st•r i X-liste-feltet og Y-liste-feltet,
du skal v€lge det.
N•r vi i et matematikfelt i et notevindue
taster f (x) og trykker p• Ä
f•r vi
Hvis potensfunktionen er aftagende, skriver Nspire en brƒk:
Dette skal du selv skrive om til formen b  x a . Husk at tilfÇje et minus foran eksponenten:
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 12
2014 Karsten Juul
Bestem forskrift ud fra Åt eller to punkter
24. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter.
24a. Opgave Punkterne ( x, y )  (7 , 1) og ( x, y )  (8 , 4) ligger p• grafen for sammenh€ngen
y  ax  b . Find tallene a og b .
Oplysningen om de to punkter
er nogle gange skrevet s•dan:
Metode 1: Vi inds€tter i formler for a og b :
f (–7) = 1 og f (8) = 4 .
Af ( x1 , y1 )  (7 , 1) og ( x 2 , y 2 )  (8 , 4) f•r vi
y  y1
4 1
3
a  2


 0,2
x 2  x1
8  ( 7 )
15
b  y1  a  x1  1  0,2  (7)  2,4
Metode 2: Nspire lƒser ligningssystem:
Da ( x, y )  (7 , 1) og ( x, y )  (8 , 4) ligger p• grafen, er
1  a  ( 7 )  b
4  a 8  b
Nspire lƒser dette ligningssystem
mht. a og b og f•r
a  0,2 og b  2,4
Nspire:
Metode 3: Vi lƒser ligningssystem uden hj€lpemidler:
Da ( x, y )  (7 , 1) og ( x, y )  (8 , 4) ligger p• grafen, er
(1)
1  a  ( 7 )  b
(2)
4  a 8  b
Af (1) f•r vi
(3)
1  7a  b
Vi inds€tter dette i (2) og f•r
4  8a  (1  7 a )
hvoraf
3  15a
3 15a

15 15
0,2  a
Dette inds€tter vi i (3) og f•r
1  7  0,2  b
hvoraf
2,4  b
Metode 4: Nspire laver line€r regression:
Nspire laver line€r regression p• punkterne ( x, y )  (7 , 1) og ( x, y )  (8 , 4) og
f•r y  0,2 x  2,4
24b. Konklusion
Hvis der st•r at vi skal finde a og b , s• skal vi skrive konklusionen s•dan:
a  0,2 og b  2,4
Hvis der st•r at vi skal finde forskriften for f , s• skal vi skrive konklusionen s•dan:
f ( x)  0,2 x  2,4
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 13
2014 Karsten Juul
25. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter givet ved tekst.
Opgave
Der er en line€r sammenh€ng mellem temperatur og overskud.
N•r temperaturen er –3 C , er overskuddet 12 mio. kr.
N•r temperaturen er 5 C , er overskuddet 28 mio. kr.
Skriv en ligning der viser sammenh€ngen mellem temperatur og overskud.
Besvarelse
Vi s€tter
x = temperatur (m•lt i C)
Det er nƒdvendigt ogs• at skrive dette!
y = overskud (m•lt i mio. kr.)
Der er oplyst to x-v€rdier og tilhƒrende y-v€rdier:
Til x1  3 svarer y1  12 .
Til x 2  5 svarer y 2  28 .
Da sammenh€ngen er line€r, er den sƒgte ligning p• formen y  ax  b , og
a 
y 2  y1
28  12
16


 2
x 2  x1
5  (3)
8
Alle fire metoder
fra ramme 24 kan
bruges her.
b  y1  a x1  12  2  (3)  18
Dvs.:
Ligningen
y  2 x  18 viser sammenh€ngen mellem
temperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr.
26. Bestem b i f (x) = ax+b ud fra a og punkt.
Opgave
Punktet (4 , 35) ligger p• grafen for funktionen f ( x)  8 x  b . Find tallet b .
Besvarelse
Vi inds€tter 4 for x og 35 for f (x) i f ( x)  8 x  b og f•r 35  8  4  b .
Vi lƒser denne ligning mht. b og f•r b  3 .
Dvs.
b3
27. Bestem a i f (x) = ax+b ud fra b og punkt.
Opgave
Punktet (5 , 8) ligger p• grafen for sammenh€ngen f ( x)  ax  18 . Find tallet a .
Besvarelse
Vi inds€tter 5 for x og 8 for f (x) i f ( x)  ax  18 og f•r 8  a  5  18 .
Vi lƒser denne ligning mht. a og f•r a  2 .
Dvs.
a  2
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 14
2014 Karsten Juul
28. Bestem a og b i y  ba x ud fra to punkter.
28a. Opgave Punkterne ( x, y )  (4 , 3) og ( x, y )  (7 , 24) ligger p• grafen for
sammenh€ngen y  b a x . Udregn tallene a og b .
Oplysningen om de to punkter
er nogle gange skrevet s•dan:
f (4) = 3 og f (7) = 24 .
Metode 1: Vi s€tter ind i formler for a og b
Af ( x1 , y1 )  (4 , 3) og ( x 2 , y 2 )  (7 , 24) f•r vi
a

b

x 2  x1 y2
y1
y1
3
24

a x1

7  4 24
3
3

8

2
3
16

Metode 2: Vi lƒser ligningssystem med elektronisk hj€lpemiddel
y  b a x , s•
Punkterne ( x, y )  (4 , 3) og ( x, y )  (7 , 24) ligger p• grafen for
3  b  a 4 og 24  b a 7
Nspire lƒser dette ligningssystem mht. a og b og f•r
a  2 og b  3
16
Metode 3: Vi lƒser ligningssystem uden hj€lpemidler
Punkterne
( x, y )  (4 , 3)
3  ba4
og
( x, y )  (7 , 24) ligger p• grafen for y  b a x , s•
og
24  b a 7
Vi dividerer hƒjre ligning med venstre:
ba7
24

3
ba4
N•r vi forkorter de to brƒker, f•r vi
8  a3
3
s•
a 
dvs.
a  2
Nspire:
a7
a
4
 a 74
a7
da
a
4
aaaaaaa
aaaa

8
Vi inds€tter denne v€rdi af a i ligningen 3  b a 4 og f•r
Ved at dividere begge sider med 2 4 f•r vi
3  b 24
3
 b
24
3
16
b 
s•
Metode 4: Vi bruger eksponentiel regression
Nspire laver eksponentiel regression p• punkterne
og f•r a  2 og b  0,1875
( x, y )  (4 , 3)
og
( x, y )  (7 , 24)
28b. Konklusion
Hvis der st•r at vi skal finde a og b , s• skal vi skrive konklusionen s•dan:
a  2 og b  0,1875
eller s•dan:
a  2 og b 
3
16
Hvis der st•r at vi skal finde forskriften f or f , s• skal vi skrive konklusionen s•dan:
f ( x)  0,1875  2 x
eller s•dan:
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
f ( x) 
3 x
2
16
Side 15
2014 Karsten Juul
29. Bestem a og b i y = bax ud fra to punkter givet ved tekst.
Opgave En plantes v€gt kan med god tiln€rmelse beskrives med en funktion af typen y = ba x
hvor y er v€gt i kg, og x er •r efter udplantning.
Efter 2 •r er v€gten 1,60 kg. Efter 5 •r er v€gten 4,10 kg.
Udregn a og b .
Der st•r: Efter 2 Ér er vÄgten 1,60 kg. Efter 5 Ér er vÄgten 4,10 kg.
Dvs.
N•r x = 2 er y = 1,60 . N•r x =5 er y = 4,10 .
Vi inds€tter punkterne ( x1, y1 )  (2 , 1,60) og ( x2 , y2 )  (5 , 4,10) i formlerne for a
og b og lader Nspire udregne udtrykkene:
Svar
Dvs. .a = 1,368. og .b = 0,854. .
30. Bestem b i f (x) = bax ud fra a og punkt.
Opgave
x
Punktet (2 , 36) ligger p• grafen for funktionen f (x) = b3 . Find tallet b .
Svar
N•r vi inds€tter 2 for x i forskriften, s• er resultatet 36 , dvs. b32 = 36 .
2
Nspire lƒser ligningen b3 = 36 mht. b og f•r b = 4 .
31. Bestem a i f (x) = bax ud fra b og punkt.
Opgave
x
Punktet (3, 40) ligger p• grafen for funktionen f (x) = 5a . Find tallet a .
Svar
N•r vi inds€tter 3 for x i forskriften, s• er resultatet 40 , dvs. 5a3 = 40 .
Nspire lƒser ligningen 5a3 = 40 mht. a og f•r a = 2 .
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 16
2014 Karsten Juul
32. bax og bexk .
30a. Regel
Vi kan skrive en eksponentiel forskrift p• to m•der:
f ( x)  ba x
og
Vi kan omskrive fra den ene m•de til den anden ved hj€lp af formlen:
30b. Opgave
Svar
f ( x)  20  e 0, 274 x
Svar
a  ek
Skriv f ( x)  20  0,76 x p• formen f ( x)  be k x .
a  ek
0,76  e k
Nspire lƒser denne ligning mht. k og f•r k  0,274437 .
30c. Opgave
f ( x)  be k x
Almindeligt e kan ikke bruges!
Nspire:
Skriv f ( x)  3,8  e1,4 x p• formen f ( x)  ba x .
a  ek
a  e1, 4
Nspire udregner hƒjre side og f•r a  4,0552 .
f ( x)  3,8  4,06 x
33. Bestem a og b i y  bxa ud fra to punkter.
33a. Opgave Punkterne ( x, y )  (2 , 5) og ( x, y )  (3 , 7) ligger p• grafen for sammenh€ngen
y  b  x a . Udregn tallene a og b .
Oplysningen om de to punkter
er nogle gange skrevet s•dan:
f (2) = 5 og f (3) = 7 .
Metode 1: Vi lƒser ligningssystem med elektronisk hj€lpemiddel
Punkterne ( x, y )  (2 , 5) og ( x, y )  (3 , 7) ligger p• grafen for
5  b  2a og 7  b  3a
Nspire lƒser dette ligningssystem mht. a og b og f•r
a  0,829843
og b  2,81295
y  b  x a , s•
Nspire:
Metode 2: Vi bruger potensregression
Nspire laver potensregression p• punkterne
a  0,829843
og b  2,81295
( x, y )  (2 , 5)
og
( x, y )  (3 , 7) og f•r
33b. Konklusion
Hvis der st•r at vi skal finde a og b , s• skal vi skrive konklusionen s•dan:
a  0,829843 og b  2,81295
Hvis der st•r at vi skal finde forskriften for f , s• skal vi skrive konklusionen s•dan:
f ( x)  2,81295  x 0,829843
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 17
2014 Karsten Juul
Fordoblings- og halveringskonstant
34. Fordoblingskonstant og halveringskonstant.
34a. OplÄg
Tabellen viser hvordan hƒjden af en plante er vokset eksponentielt.
Antal uger efter kƒb:
0
1
2
3
4
5
6
Hƒjde i cm:
12
15
19
24
30
38
48
I tabellen ser vi:
1 uge efter kƒbet er hƒjden 15 cm.
3 uger senere er hƒjden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm.
2 uger efter kƒbet er hƒjden 19 cm.
3 uger senere er hƒjden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm.
Uanset hvorn•r vi starter, s• vil der g• 3 uger fƒr hƒjden er fordoblet.
Man siger at hƒjdens fordoblingskonstant er 3 uger.
34b En eksponentielt voksende sammenh€ng har en fordoblingskonstant T2 .
N•r x-v€rdien bliver T2 enheder stƒrre, s• bliver y-v€rdien fordoblet.
34c En eksponentielt aftagende sammenh€ng har en halveringskonstant T12 .
N•r x-v€rdien bliver T12 enheder stƒrre, s• bliver y-v€rdien halveret.
34d. Eksempel
6
T2 = 7 , dvs.
y (sƒjlehƒjden) fordobles
n•r x bliver 7 stƒrre.
+7
x:
y:
–3
1,5
+7
4
3
2
T2=7
3
+7
11
6
2
18
12
1,5
2
7
34e. Eksempel
7
8,4
TÑ = 4 , dvs.
y (sƒjlehƒjden) halveres
n•r x bliver 4 stƒrre.
+4
x:
y:
–2
8,4
+4
2
4,2
Ñ
TÑ =4
6
2,1
Ñ
4, 2
+4
10
1,05
2,1
1,05
Ñ
4
4
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 18
4
2014 Karsten Juul
35. Afl€s fordoblingskonstant og halveringskonstant p• graf.
Opgave (halvering)
Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende
sammenh€ng.
Hvad er halveringskonstanten for denne sammenh€ng?
Besvarelse
Resultatet bliver det samme uanset hvilken x-v€rdi vi
starter med. Vi kan f.eks. starte med x  1 :
N•r x  1 er y  3,1 (se figur)
3,1
Det halve af 3,1 er
 1,55 .
2
N•r y  1,55 er x  3,7 (se figur)
For at halvere y skal vi alts• ƒge x med 3,7  1  2,7 s•
halveringskonstanten er 2,7 .
BemÄrkning (fordobling)
Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten afl€ses p• n€sten
samme m•de: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinaten til det andet. Forskellen p• de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten.
36. Udregn fordoblings- og halveringskonstant ud fra forskrift.
For funktionen f ( x)  ba x g€lder:
36a. Regel
Hvis f er voksende ( a 1 ),
er
T2 
ln(2)
ln(a)
36b. Regel
Hvis f er aftagende ( 0a 1 ),
er
T12 
ln( 12 )
ln(a )
T2 
For funktionen f ( x)  be k x g€lder:
36c. Regel
Hvis f er voksende ( k 0 ),
er
36d. Regel
Hvis f er aftagende ( k 0 ),
er
ln(2)
k
ln( 12 )
T12 
k
ln(2)
 11,3454  11,3
ln(1,063)
36e. Eksempel
Hvis
f ( x)  12,5  1,063x
er
T2 
36f. Eksempel
Hvis
f ( x)  400  0,85 x
er
T12 
36g. Eksempel
Hvis
f ( x)  0,622  e0, 25 x
er
T2 
er
ln( 12 )
T 
 0,53319  0,533
 1,3
36h. Eksempel
Hvis
f ( x)  3,08  e
1,3 x
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
ln( 12 )
ln(0,85)
 4,26502  4,27
ln(2)
 2,77259  2,77
0,25
1
2
Side 19
2014 Karsten Juul
37. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fort€ller.
Opgave
Der er en eksponentiel sammenh€ng y  b  a x mellem de variable
x = l€ngden (i cm)
y = omkredsen (i cm)
Vi har f•et at vide at
fordoblingskonstanten er 7 .
Hvad fort€ller dette om l€ngde og omkreds.
Besvarelse
At fordoblingskonstanten er 7 betyder:
N•r x-vÄrdien bliver 7 enheder stƒrre, s• bliver y-vÄrdien fordoblet.
Dvs:
N•r lÄngden bliver 7 cm stƒrre, s• bliver omkredsen fordoblet.
Hvis vi i stedet havde f•et at vide at
halveringskonstanten er 7
ville svaret v€re
N•r lÄngden bliver 7 cm stƒrre, s• bliver omkredsen halveret.
38. Udregn y-v€rdier med T2 og T‚ .
38a. Opgave
Om en eksponentiel funktion f er oplyst at f (4) = 9 og at T2 = 3 .
Udregn f (10) .
Besvarelse
+3
+3
x:
4
7
10
f (10) = 36
f (x):
9
18
36
2
2
38b. Opgave
Om en eksponentiel funktion f er oplyst at f (0)  12 og at halveringskonstanten er 1.
Udregn f (3) .
Besvarelse
f (1)  12  12  6 ,
f (2)  12  6  3 og
f (3)  12  3  1,5 .
f (3)  1,5
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 20
2014 Karsten Juul
Proportionale og omvendt proportionale
variable
39. Proportionale variable.
39a. Definition
Om to variable x og y siger vi at
y er proportional med x
hvis
y  k x
og
k er det samme tal for alle v€rdier af x .
39b. Opgave
De to variable x og y er proportionale.
Tabellen viser nogle sammenhƒrende v€rdier af x og y.
Hvad er y n•r x er 10 ?
Hvad er x n•r y er 15?
x
24 36 92
y
18 27 69
I opgaven st•r ikke at vi skal udregne k.
Vi skal selv vide at vi skal udregne k fƒrst,
s• vi kan bruge k til at udregne de tal der er spurgt om.
Besvarelse
Udregne k :
Da x og y er proportionale, er der et tal k s•
(1)
y  kx .
I tabellen ser vi at n•r x  24 er y  18 .
Dette inds€tter vi i (1):
18  k  24
Vi kan lƒse ligningen ved at
dividere begge sider med 24.
Denne ligning lƒser vi mht. k og f•r
0,75  k
Dette tal inds€tter vi i (1) og f•r ligningen for sammenh€ngen mellem x og y:
(2)
y  0,75  x
Udregne y :
For at finde y n•r x er 10, s€tter vi x til 10 i (2):
y  0,75 10
Heraf f•r vi y  7,5 s•
y er 7,5 n•r x er 10
Udregne x :
For at finde x n•r y er 15, s€tter vi y til 15 i (2):
15  0,75  x
Vi lƒser denne ligning mht. x og f•r
20  x
s•
x er 20 n•r y er 15
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Vi kan lƒse ligningen ved at
dividere begge sider med 0,75.
Side 21
2014 Karsten Juul
40. Omvendt proportionale variable.
40a. Definition
Om to variable x og y siger vi at
y er omvendt proportional med x
hvis
y 
k
x
k er det samme tal for alle v€rdier af x .
og
40b. Opgave
x
De to variable x og y er omvendt proportionale.
Hvad skal der st• p• de tomme pladser i tabellen?
y
12 36
9
6
I opgaven st•r ikke at vi skal udregne k.
Vi skal selv vide at vi skal udregne k fƒrst,
s• vi kan bruge k til at udregne de tal der er spurgt om.
Besvarelse
Udregne k :
Da x og y er omvendt proportionale, er der et tal k s•
k
(1)
y 
.
x
I tabellen ser vi at n•r x  12 er y  6 . Dette inds€tter vi i (1):
k
6 
12
Vi kan lƒse ligningen ved at
gange begge sider med 12.
Vi lƒser denne ligning mht. k og f•r
72  k
Dette tal inds€tter vi i (1) og f•r ligningen for sammenh€ngen mellem x og y:
(2)
y 
72
x
Udregne y :
For at finde y n•r x er 36, s€tter vi x til 36 i (2):
72
y 
36
Heraf f•r vi y  2 s•
y er 2 n•r x er 36
Udregne x :
For at finde x n•r y er 9, s€tter vi y til 9 i (2):
72
9 
x
Vi lƒser denne ligning mht. x og f•r
x 8
s•
x er 8 n•r y er 9
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Vi kan lƒse ligningen ved
fƒrst at gange begge sider
med x og derefter at
dividere begge sider med 9.
Side 22
2014 Karsten Juul
41. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt
proportionale.
Opgave
P• en sk€rm er et rektangel som vi kan €ndre ved at tr€kke med musen.
Hƒjde og bredde er omvendt proportionale.
Hƒjden er 2,5 n•r bredden er 8
Hvad er hƒjden n•r bredden er 3,2 ?
Besvarelse
Vi kalder hƒjden for h og bredden for b.
Udregne k :
Da h er omvendt proportional med b, findes et tal k s•
k
h 
b
Da h  2,5 n•r b  8 m•
k
8
Vi ganger begge sider med 8 og f•r k  20 , dvs.
20
(1)
h 
b
2,5 
Udregne h :
Vi s€tter b  3,2 i (1):
h 
20
3,2
Heraf f•r vi h  6,25 s•
hƒjden er 6,25 n•r bredden er 3,2
42. Proportional/omvendt proportional med udtryk.
42a. Opgave
En variabel y er proportional med kvadratet p• en variabel x .
Bestem en forskrift for y som funktion af x .
Besvarelse
"Kvadratet p• x" er "x2". At y er proportional med noget, betyder at y er lig en konstant k
gange dette noget. Dvs. y = kx2 .
42b. Opgave
En variabel V er omvendt proportional med en variabel a i 3. potens.
Skriv en formel der angiver V udtrykt ved a .
Besvarelse
At V er omvendt proportional med noget, betyder at V er lig en konstant k divideret med
dette noget. Dvs. V = ak3 .
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 23
2014 Karsten Juul
Logaritmefunktioner
43. Naturlig logaritme og titalslogaritme.
Funktionen ln(x) hedder den naturlige logaritmefunktion.
Funktionen log(x) hedder titalslogaritmefunktionen.
Funktionerne ln(x) og log(x) er p• Nspire.
Logaritmereglerne:
ln(a  b)  ln(a)  ln(b)
log(a  b)  log(a )  log(b)
ln( a )  ln(a)  ln(b)
b
log( a )  log(a )  log(b)
b
ln(a x )  x  ln(a)
log(a x )  x  log(a )
ln(1)  0
log(1)  0
ln(e)  1
log(10)  1
Grafer:
ln
log
Definitionsm€ngden
for ln og log er de positive tal, dvs. alle positive tal kan inds€ttes for x.
Eksempler pÉ brug af logaritmereglerne:
ln(e4 )  4  ln(e)  4  1  4
ln(e x )  x
log(1000)  log(103 )  3  log(10)  3  1  3
log(120)  log(0,12)  log(
120
)  log(1000)  3
0,12
log(5)  log(2)  log(5  2)  log(10)  1
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 24
2014 Karsten Juul
Beviser
44. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fort€ller.
For en line€r sammenh€ng y  ax  b g€lder:
SÄtning
44a. N•r vi lÄgger 1 til x , s• lÄgges a til y .
44b. N•r x=0 , er y=b .
Bevis for 44a
Fƒrste x kalder vi t . Andet x er 1 stƒrre.
+1
x:
ax+b :
t
at+b
t+1
a(t+1)+b
Fƒrste y f•r vi ved at inds€tte t for x i ax+b og
andet y f•r vi ved at inds€tte t+1 for x i ax+b
= at+a1 + b
Vi ganger a ind i parentes.
= at+a + b
a gange 1 er a.
= at+b + a
Bevis for 44b
Om y  ax  b g€lder:
N•r
Dette er fƒrste y plus a , s• 44a er bevist!
x=0
er y = a0 + b = 0 + b = b , s• 44b er bevist!
45. Bevis for hvad a og b i y = bax fort€ller.
For en eksponentiel sammenh€ng y  ba x g€lder:
45a. N•r vi lÄgger 1 til x , s• ganges y med a .
45b. N•r x=0 , er y=b .
SÄtning
Bevis for 45a
Fƒrste x kalder vi t . Andet x er 1 stƒrre.
+1
x:
t
x
ba
ba :
x
t+1
t
Fƒrste y f•r vi ved at inds€tte t for x i ba og
x
andet y f•r vi ved at inds€tte t+1 for x i ba
t+1
ba
t
Ifƒlge potensreglen ar+s = ar as .
t
Ifƒlge potensreglen a1 = a .
= ba a1
= ba  a
Dette er fƒrste y gange a , s• 45a er bevist!
Bevis for 45b
Om y  ba x g€lder:
N•r
x=0
0
er y = ba = b1 = b , s• 45b er bevist!
46. Bevis for reglen om potensv€kst.
Om en potenssammenh€ng y  b  x a g€lder for et positivt tal k:
SÄtning
a
46a. N•r x bliver ganget med k , s• ganges y med k .
Bevis
Fƒrste x kalder vi t . Andet x er k gange fƒrste.
k
x:
t
a
bt
bx :
a
tk
a
Fƒrste y f•r vi ved at inds€tte t for x i bx og
a
andet y f•r vi ved at inds€tte tk for x i bx .
a
b(tk)
a
= bt  k
a
r
r r
Ifƒlge potensreglen (ab) = a b .
a
Dette er fƒrste y gange k , s• 46a er bevist!
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 25
2014 Karsten Juul
Polynomier
47. Polynomier og rƒdder.
47a. Polynomier
Et fƒrstegradspolynomium er en funktion af typen
f ( x)  ax  b hvor a  0 .
Et andengradspolynomium er en funktion af typen
f ( x)  ax 2  bx  c hvor a  0 .
Et tredjegradspolynomium er en funktion af typen
f ( x)  ax3  bx 2  cx  d hvor a  0 .
Osv.
47b. Nulpunkter og rÇdder
Hvis vi i f ( x)  ax 2  bx  c s€tter
f
a   14 , b  3 og c  5 , f•r vi
andengradspolynomiet
f ( x)   14 x 2  3x  5
Til hƒjre har vi tegnet grafen for dette
andengradspolynomium.
P• grafen ser vi at hvis vi s€tter 4 ind for x i forskriften og regner ud, s• f•r vi y-v€rdien 3.
P• grafen ser vi ogs• at hvis vi s€tter 10 ind for x og regner y-v€rdien ud, s• f•r vi 0.
Et tal kaldes et nulpunkt for f hvis vi f•r 0 n•r vi inds€tter tallet for x i forskriften og regner
ud. Et nulpunkt kaldes ogs• en rod. At finde rƒdderne er det samme som at lƒse ligningen
f ( x)  0 .
P• grafen ser vi at rƒdderne er 2 og 10. Hvis vi lƒser ligningen  14 x 2  3x  5  0 , s• f•r vi
alts• lƒsningerne 2 og 10.
47c. Opgave
Vis at 10 er rod i polynomiet f ( x)   14 x 2  3 x  5 .
Besvarelse
f (10)   14  102  3  10  5   14  100  30  5   25  25  0
Da f (10)  0 , er 10 rod.
47d. Regel om antal rÇdder, antal fÄllespunkter med x-akse og antal lÇsninger
Et polynomium af grad n kan hƒjst have n rƒdder.
Eksempel
Et tredjegradspolynomium kan ikke have mere end 3 rƒdder.
Grafen for et tredjegradspolynomium kan hƒjst have 3 punkter f€lles med x-aksen.
En tredjegradsligning kan hƒjst have 3 lƒsninger.
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 26
2014 Karsten Juul
Andengradspolynomier
48. Andengradspolynomium.
48a. Et andengradspolynomium er er en funktion af typen
2
f ( x)  a x  b  x  c
(1)
hvor a  0
Hvis vi skriver 0 p• a 's plads,
s• bliver det ikke et andengradspolynomium da x2 forsvinder.
48b. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?
Vi s€tter
a 1
b  2
c0
i
f ( x)  a x 2  b  x  c
og f•r
f ( x)  1 x 2  (2)  x  0
s•
f ( x)  x 2  2 x
I dette og andre andengradspolynomier skal vi kunne se hvad
a, b og c er for at kunne inds€tte i formler med a, b og c .
er et andengradspolynomium.
49. Toppunkt.
49a. Grafen for et andengradspolynomium
f ( x)  ax 2  bx  c ,
a0
f
er en parabel.
Grafens toppunkt har x-koordinaten
xT 
b
2a
xT
49b. Eksempel Udregn toppunkt
f ( x)   0,4 x 2  1,2 x  3,4
Vi ser at
f ( x)  ax 2  bx  c
og
a  0,4
b  1,2
c  3,4
f
Toppunktets x-koordinat er
b
 (1,2)
xT 

 1,5
2a
2  (0,4)
Toppunktet ligger p• grafen og har x-koordinaten 1,5 s• y-koordinaten er
yT   0,4  (1,5) 2  1,2  (1,5)  3,4
Vi udregner hƒjresiden og f•r
yT  4,3
Toppunktet er
T  (1,5 , 4,3)
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 27
2014 Karsten Juul
50. Diskriminant.
50a. Diskriminanten for et andengradspolynomium
f ( x)  ax 2  bx  c ,
a0
er tallet
d  b 2  4ac
50b. Eksempler Udregn diskriminanten d
50c.
f ( x)  3 x 2  x  5 er p• formen
f ( x)  ax 2  bx  c og a  3
b  1
c5
b2
c  3
d  b 2  4ac  (1) 2  4  3 5  1  60  59
50d. f ( x)  x 2  2x  3 er p• formen
2
f ( x)  ax 2  bx  c og a  1
2
d  b  4ac  2  4 1 (3)  4  4  (3)  4  (12)  4
 12  16
51. Betydning af a, b, c og d for grafen.
f ( x)  ax 2  bx  c ,
a0
d er diskriminanten
a2
a:
a positiv: grene vender op
a negativ: grene vender ned
parablen er bredere n•r a er t€ttere p• nul
b:
b er h€ldningskoefficient for tangent til
graf i sk€ringspunkt med y-akse
a  0,5
a  1
l
b0
f
b positiv: graf g•r op mod hƒjre i sk€ring med y-akse
b nul:
grafs toppunkt er p• y-akse
b negativ: graf g•r ned mod hƒjre i sk€ring med y-akse
c:
l er tangent til f-grafen i dennes
sk€ringspunkt med y-aksen.
b er lig l 's h€ldningskoefficient.
Graf sk€rer y-akse i punktet (0 , c)
c0
c positiv: graf sk€rer y-akse over x-akse
c nul:
graf g•r gennem punktet (0 , 0)
c negativ: graf sk€rer y-akse under x-akse
d:
c0
d positiv: graf har to punkter p• x-akse
d nul:
graf har ‡t punkt p• x-akse
d negativ: graf har ingen punkter p• x-akse
d 0
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 28
d 0
d 0
2014 Karsten Juul
52. Nulpunkt.
52a. At
Ordet nulpunkt er misvisende.
Et nulpunkt er IKKE et punkt.
Et nulpunkt er et tal.
et tal er nulpunkt for en funktion
betyder at
n•r vi inds€tter tallet for x i forskriften og regner ud,
s• f•r vi nul.
52b. Eksempel Nulpunkt
At
f
1,5 er nulpunkt for f ( x)  2 x 2  3x
betyder at
2  1,5 2  3  1,5  0
Dette er det samme som at
1,5 er lƒsning til ligningen 2 x 2  3x  0
og det samme som at
grafpunktet med x-koordinat 1,5 ligger p• x-aksen.
0 og 1,5 er nulpunkter for f
53. Antal nulpunkter eller lƒsninger.
53a.
f ( x)  ax 2  bx  c ,
d er diskriminanten
a0
Der g€lder at
antallet af nulpunkter for andengradspolynomiet
dvs.
antallet af lƒsninger til andengradsligningen
er
2 hvis d  0
1 hvis d  0
0 hvis d  0
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c  0
53b. Eksempel Antal nulpunkter eller lÄsninger
Vi vil bestemme tallet k s• andengradsligningen
k x 2  2x  3  0
har netop ‡n lƒsning.
Ligningen er p• formen
s• diskriminanten er
ax 2  bx  c  0
med
a  k , b  2 , c  3 ,
2
2
d  b  4ac  (2)  4k 3  4  12k
Vi vil finde ud af hvorn•r der er ‡n lƒsning, dvs. vi vil finde ud af hvorn•r d er 0:
4  12k  0 er ensbetydende med at k 
1
3
Ligningen k x 2  2 x  3  0 har netop ‡n lƒsning n•r k 
1
3
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 29
2014 Karsten Juul
54. Lƒs andengradsligning.
54a. En andengradsligning
ax 2  bx  c  0 ,
a0
kan vi lƒse s•dan:
Fƒrst udregner vi diskriminanten:
d  b 2  4ac
S• bruger vi fƒlgende regel:
Hvis d  0 har ligningen ingen lƒsninger.
Hvis d  0 har ligningen lƒsningen
b
2a
Hvis d  0 har ligningen lƒsningerne
b  d
2a
og
b  d
2a
Bem€rkning
B•de n•r d  0 og d  0 er lƒsningerne
b  d
2a
Formlen for at lƒse andengradsligninger.
54b. Eksempel LÄs andengradsligning
Ligningen
3x 2  2 x  1  0
er af typen
ax 2  bx  c  0
med
a  3 , b  2 og c  1
Diskriminanten er
d  b 2  4ac  ( 2) 2  43(1)  16
Da d > 0 har ligningen lƒsningerne
b  d
2a

 (2)  16
23

24
6
 
b  d
2a

 (2)  16
23

24
6
 1
1
3
Konklusion:
Ligningen 3 x 2  2 x  1  0 har lƒsningerne 
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
1
og 1
3
Side 30
2014 Karsten Juul
55. Ligninger af typen x2 = r .
55a. OplÄg Ligninger af typen x2 = r
N•r x  3 er x 2  x x  33  9
N•r x  3 er x 2  x x  (3)(3)  9
x 2  9 netop n•r x  3 eller x  3
55b. Regel for at lÄse ligninger af typen x2 = r
N•r n er negativ:
N•r p er positiv:
x2 = n
har ingen lƒsninger da et tal ganget med sig selv ikke kan give
noget negativt ( +  + = + , 0  0 = 0 , –  – = + ).
x2 = 0
har lƒsningen x = 0 .
x2 = p
har to lƒsninger: --------------eller-----------x p
x  p da kvadratroden
af p er det tal som ganget med sig selv giver p .
55c. Eksempel Ligninger af typen ( udtryk )2 = r
Vi vil lƒse ligningen
( x  2) 2  9
Af regel 55b f•r vi
x2   9
eller
x2 
x  2  3
eller
x2  3
9
dvs.
x  5
eller x  1
55d. Eksempel Andengradsligning uden x-led
N•r en andengradsligning ikke har noget x-led, kan vi lƒse den ved at omskrive og bruge regel 55b:
2x 2  6  0
2x 2  6
x2  3
x   3 eller x  3
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 31
2014 Karsten Juul
56. Bevis for formlen for lƒsning af andengradsligninger.
(2ax  b) 2  (2ax) 2  b 2  2  2ax  b
(1)
(2ax  b) 2  4a 2 x 2  b 2  4abx
ifƒlge formlen (u  v) 2  u 2  v 2  2uv
Her har vi omskrevet hƒjre side
Vi omskriver andengradsligningen:
Vi bruger nu de tre dele af 55b:
I ligningen
Hvis d  0 :
(2ax  b) 2  d
har ingen lƒsninger
2
ax  bx  c  0 ,
a0
ganger vi begge sider med 4 a :


4a  ax 2  bx  c  4a  0
Hvis d  0 :
(2ax  b) 2  0
2ax  b  0
b
x 
2a
Vi ganger ind i parentesen:
4a 2 x 2  4abx  4ac  0
Vi l€gger diskriminanten d  b 2  4ac til begge sider:
4a 2 x 2  4abx  4ac  b 2 4ac  0  b 2 4ac
Hvis d  0 :
(2ax  b) 2  d
Vi reducerer:
4a 2 x 2  4abx  b 2  d
2ax  b   d
Af (1) f•r vi
(2ax  b)
2ax   b  d
2
 d
x 
b d
2a
Nu har vi bevist alle tre dele af
reglen i ramme 54a.
57. Regel for at faktorisere andengradspolynomium
Hvis andengradspolynomiet f ( x)  ax 2  bx  c , a  0 har nulpunkterne x1 og x 2 , er
f ( x)  a ( x  x1 )( x  x 2 )
formlen for at faktorisere et andengradspolynomium
N•r vi skriver andengradspolynomiet s•dan, s• har vi faktoriseret andengradspolynomiet.
Tal der ganges, kaldes faktorer. Her er der tre faktorer, nemlig a , x x1 og x x2 .
58. Eksempler p• faktorisering af andengradspolynomium
58a. Vi vil faktorisere andengradspolynomiet f ( x)  2 x 2  5 x  3
Vi bruger formlen for at lƒse andengradsligninger og f•r at
2x 2  5x  3  0
har lƒsningerne
1
2
og 3
Vi bruger formlen for at faktorisere et andengradspolynomium og f•r at


f ( x)  2 x  12  x  (3)
f ( x)  (2 x  1)( x  3)
Vi ganger 2 ind i parentesen for at undg•
brƒk. Ellers havde vi ikke ganget ind.
58b. I g ( x)  x 2  4 x  4 er a  1 og rƒdderne er begge  2 , s• faktoriseringen er
g ( x)  1  ( x  ( 2))  ( x  ( 2))  ( x  2)  ( x  2)  ( x  2) 2 .
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 32
2014 Karsten Juul
59. Find forskrift for andengradspolynomium
59a. Find forskrift nÉr der er givet nulpunkter og et punkt pÉ grafen
Vi har f•et at vide at
f ( x)  ax 2  bx  c
f (x) har nulpunkterne 2 og 5
punktet (3 , 8) ligger p• grafen for f (x)
Vi vil finde a , b og c .
(I stedet kunne v€re oplyst at f (2)  0 og f (5)  0 )
(I stedet kunne v€re oplyst at f (3)  8 )
Vi inds€tter i formlen for at faktorisere et andengradspolynomium:
f ( x)  a ( x  2)( x  5)
N•r vi inds€tter et grafpunkts x-koordinat i forskriften og regner ud,
s• f•r vi grafpunktets y-koordinat. Da (3 , 8) ligger p• grafen, er
a(3  2)(3  5)  8
dvs. a1(2)  8 , s• a  4 .
Vi f•r
s•
f ( x)   4 ( x  2)( x  5)   4 x 2  28 x  40
a  4 ,
b  28
og
Nedenfor er vist to m•der at udregne dette p•.
c   40
Uden hj€lpemidler:
 4 ( x  2)( x  5)  (4 x  8)( x  5)   4 x 2  20 x  8 x  40   4 x 2  28 x  40
Med Nspire:
59b. Find forskrift nÉr der er givet y-akse-skÄring og to andre andre punkter pÉ grafen
Vi har f•et at vide at
f ( x)  ax 2  bx  c
punkterne (0 , 5) , (2 , 1) , (4 , 5) ligger p• grafen for f (x)
(I stedet kunne v€re oplyst at
f (0)  5 , f (2)  1 , f (4)  5 )
Vi vil finde a , b og c .
Da grafen sk€rer y-aksen i (0 , 5) , er c  5 , s•
f ( x)  ax 2  bx  5
Da (2 , 1) og (4 , 5) ligger p• grafen, er
a2 2  b2  5  1
a4 2  b4  5  5
Nspire lƒser dette ligningssystem mht. a og b og f•r a  1 og b  4 ,
s•
a  1 ,
b   4 og c  5
Uden hj€lpemidler kan vi lƒse ligningssystemet s•dan:
I:
4a  2b  4
II: 16a  4b  0
Af II f•r vi
III: b  4a
Dette inds€tter vi i I og f•r
Dette inds€tter vi i III og f•r
b  4  1
b  4
4a  2  (4a )  4
 4a  4
a 1
GrundlÄggende funktioner for B-niveau i stx, udgave 3
Side 33
2014 Karsten Juul
A
andengradsligning ........................................30
andengradsligning uden x-led ......................31
andengradsligning, bevis..............................32
andengradsligning, lƒsninger .......................30
andengradspolynomium ...............................27
andengradspolynomium, find a, b og c........33
andengradspolynomium, find forskrift ........33
andengradspolynomium, graf.......................28
B
bevis .......................................................25, 32
D
diskriminant .....................................28, 29, 30
E
eee ....................................................17, 19, 24
eksponentiel funktion.....................................5
eksponentiel graf ............................................8
eksponentiel regression ..........................11, 16
eksponentiel v€kst .........................................5
eksponentiel, bestem forskrift/ligning6, 15, 16
eksponentiel, fort€ller....................................6
F
faktor ............................................................32
faktorisere.....................................................32
fordoblingskonstant................................18, 20
fordoblingskonstant, afl€s ...........................19
fordoblingskonstant, formel .........................19
fordoblingskonstant, fort€ller......................20
fremskrivningsfaktor..................................2, 5
G
gennemsnitlig procent ....................................2
graf .....................................................8, 24, 28
H
halveringskonstant .................................18, 20
halveringskonstant, afl€s .............................19
halveringskonstant, formel...........................19
halveringskonstant, fort€ller........................20
K
kvadratet p• ..................................................23
L
line€r funktion ...............................................3
line€r graf ......................................................8
line€r regression ............................................9
line€r v€kst .............................................3, 25
line€r, bestem forskrift/ligning..........4, 13, 14
line€r, fort€ller..............................................4
logaritme ......................................................24
logaritmefunktion, graf ................................24
logaritmeregler.............................................24
lƒsning..........................................................30
lƒsninger, antal.......................................26, 29
N
naturlig logaritme.........................................24
nulpunkt .................................................26, 29
nulpunkter, antal ....................................26, 29
O
omvendt proportional.............................22, 23
omvendt proportional med udtryk ...............23
P
polynomium .................................................26
potens, bestem forskrift/ligning ...................17
potensfunktion ...............................................7
potensfunktion, procent€ndring ..............7, 25
potensgraf.......................................................8
potensregression...........................................12
potensv€kst..............................................7, 25
procent ...................................................1, 6, 7
procent, gennemsnitlig...................................2
proportional............................................21, 23
proportional med udtryk ..............................23
R
regression, eksponentiel...............................11
regression, line€r ...........................................9
regression, potens.........................................12
regression, •rstal ......................................9, 11
rod ................................................................26
rƒdder ...........................................................26
rƒdder, antal ...........................................26, 29
T
titalslogaritme ..............................................24
toppunkt .......................................................27
V
v€kstrate ........................................................2