Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 stx 2011 dec – svar Opgave 7 Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P og Q. Find forskrift P og Q indtastes med de oplyste koordinater. Den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne, findes med kommandoen f(x) = fitLinje[P,Q] Hermed fås: f ( x )=3x+3 1 Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 Find funktionsværdi Funktionsværdien findes direkte ved at indtaste f(10) : f (10)=33 Løs ligningen Ligngen løses ved at finde skæringspunktet (A) mellem graf og linjen y=18. heraf ses: f ( x )=18 x=5 Opgave 8 Der er givet nedenstående boksplot, der viser længden af fangede tun i de respektive måneder. Kvartilsæt På tegningen er der markeret aflæsningen af kvartilsættet, som er: kvartilsæt = {171 , 199, 211} Kommentar I juni er der en ret stor variation i længden af de fangede tun fra 140 til 243 cm i modsætning til septemberfangsterne som kun varierer mellem 228 cm og 264 cm (dvs. ca. 3 gange mindre.) 2 Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 Det er tydeligt, at tun fanget i september er længere end tun fanget i juni: flere end halvdelen er længere end den længste fangst i juni og den korteste tun fanget i september er længere end mindst 75 % af junifangsten. Den store variation i junifangsten kan skyldes enkelte ekstreme fangster, men af kvartilsættet ses alligevel, at der er en væsentlig større variation i længderne. Opgave 9 Der er givet en tabel med samhørende data fra en dryppende hane vedr. tid og dybde af det opsamlede vand. Modellen er af typen: d =b⋅t a Parametre Sammenhængen (en potensfunktion) findes ved regresion med GeoGebra: De givne data indtastes i regnearket (se herunder) og funktionen findes med kommandoen fitPot: Funktionen f(x), hvor x svarer til t og f(x) til d har forskriften f ( x )=0,234 x 0,592 Dvs.: a = 0,592 og b=0,234 Tidspunkt for overløb Hvis der ses bort fra adhæsionskræfter mv. og det antages, at vandspejlet er plant samt at vandet løber over i det sekund, dybden når 3 cm, fås: 3 Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 Tidspunktet bestemmes som x-værdien (tiden) i skæringpunktet (J) mellem grafen og linjen y=3. Koordinaterne for J aflæses som (74,5 ; 3) og heraf fås: Vandet løber over kanten efter 74,5 minutter Opgave 10 Der er givet trekant ABC med de på figuren oplyste mål. Halvlinjen fra A gennem D (på BC) er vinkel A's vinkelhalveringslinje, Bestem |BC|=a a beregnes med cosinusrelationerne (der gælder for alle trekanter) i trekant ABC. 1 a=√ b 2+c 22 b c⋅cos ( A) Med indsættelse af de oplyste tal fås: a=√ 142 +722⋅14⋅7⋅cos ( A) a=9,41 1 Man kunne også fortælle, hvordan trekanten konstrueres med GeoGebra og så aflæse alle svar. 4 Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 5 Bestem vinkel C Vinkel C beregnes med cosinusrelationerne 2(der gælder for alle trekanter) i trekant ABC. ∠ 2 2 a +b c 2a b 2 Med indsættelse af de oplyste tal fås: ∠ 2 2 9,41 +14 7 2⋅9,41⋅14 2 ∠ = 26,6º Bestem vinkel ADC Af 180-gradersreglen anvendt på trekant ADC fås: ∠ADC 180º- (∠ ∠ AC )/2 ∠ADC Med indsættelse af de kendte tal fås: ∠ADC= 180º- 37º /2- 26,6º ∠ADC=134,9º Bestem |AD| |AD| beregnes med sinusrelationerne (der gælder for alle trekanter) i trekant ADC. ∣AD∣ ∣AC∣ = sin (C ) sin( ADC ) Med indsættelse af de kendte tal fås: ∣AD∣ 14 = sin (26,6) sin (134,9) 14 ∣AD∣= ⋅sin (26,6) sin (134,9) |AD| =8,85 2 Man kunne også benytte sinusrelationerne, men så bør man også begrunde, hvorfor den spidse vinkel vælges. Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 Opgave 11 En funktionen f er givet ved forskriften x f ( x )=5⋅2 x Bestem tangentligningen Funktionens graf findes i GeoGebra ved indtastningen af forskriften; punktet P tegnes med kommandoen P=(1,f(1)). Tangenten findes med tangentværktøjet. Ligningen for tangenten kan så aflæses som: y=5,93 x + 3,07 6 Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 7 Monotoniforhold I GeoGebra tegnes f'(x) og skæringspunktet S mellem grafen og x-aksen findes . f'(x) = 5*ln(2)*2^x-1 (Der er ikke andre skæringspunkter, da f''(x) = 5*ln(2)*ln(2)*2^x > 0) Heraf følger idet S = (-1,79 ; 0): x f'(x) f(x) x < -1,79 aftagende Monotoniforholdene er: I ] -∞ ; 1,79] aftager f I [1,79 ; ∞[ vokser f Opgave 12 En funktion er givet ved forskriften: f (x )=2x 2+20 x 32 Dennes graf afgrænser sammen med førsteaksen et område: M Bestem arealet af M Grafen for f indtegnes ved indtastning af forskriften. Skæringspunkter med x-aksen findes. Da der er tale om en parabel, er der kun de to viste: A og B. Arealet kan derfor findes som: x(B ) M = ∫ f ( x ) dx x( A) Med GeoGebra fås: M = 72 x = 1,79 0 lok. min. x > 1,79 + voksende Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 8 Bestem arealet af N Grafen for g indtegnes ved indtastning af forskriften. Skæringspunkter med grafen for findes. Da der er tale om en parabel og en ret linje er der højst to skæringspunkter, nemlig de to viste: C og D. Arealet kan derfor findes som: x( D) N = ∫ ( f ( x )g ( x)) dx - idet f ( x )≥g ( x) i intervallet. x (C ) Med GeoGebra fås: N= 9 Opgave 13 Et fuglebur skal bygges med 4 sider bestående af trådnet. Overfladens areal Forsiden=h∗6x Siderne i alt=2∗h∗x Loftet =6x∗x Den samlede overflade O O=h∗6x+2∗h∗x+6x 2=6x 2+8 h x idet alle sider inklusive loftet er rektangler. Volumen V af en kasse beregnes som: V =bredde⋅længde⋅højde Med betegnelser fra tegningen fås: V = x⋅6 x⋅h=6 h⋅x 2 hvormed formlerne er fundne. Ib Michelsen Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011 V(x) Hvis O = 80 fås 80=6x 2 +8 h x ⇔ 2 806x =8 h x ⇔ 2 806x =h 8x I så fald kan V skrives: 2 2 806x 2 ( 48036 x ) 2 3 V =6⋅ ⋅x = ⋅x =(604,5 x )⋅x=4,5 x +60 x 8x 8 V ( x)=4,5 x 3+60 x Maksimering af rumfang Funktionsforskriften for V indtastes og lokale ekstrema findes med kommandoen: Ekstremum[V] Heraf ses, at V har et lokalt maksimum for x= 2,11; maksimum er 84,3. Da x≥0 og V er voksende i [0 ; 2,11] og aftagende i [2,11 ; 3 [ har V sin størsteværdi for x=2,11. Heraf ses, at fugleburet hardet størst mulige rumfang, når x = 2,11 m. 9
© Copyright 2024