1. No category

Statistik og
sandsynlighedsregning
DLF-Kursus Frederikshavn
24.-25.9 2015
Eva Rønn
UCC
Indhold og mål
Mål
At I får
 får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen
 får indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik og
sandsynlighed
 får konkrete ideer til undervisning i statistik og sandsynlighed.
Fagområdet statistik og sandsynlighed
Handler om at
 Beskrive variationer
 Undersøge sammenhænge i data
 Opstille modeller over, hvordan tilfældige tal opfører sig
Forskningen
Castro (1998)(Spanien): Tre krav som forudsætning for at undervisningen i sandsynlighed
skal lykkes:
 Elevernes forforståelser og overbevisninger om sandsynlighed skal tages i betragtning
 Der skal benyttes en statistisk tilgang til sandsynligheder
 Der skal arbejdes specifikt med ræsonnementer - ikke kun med mere traditionelle
beregninger vedrørende sandsynlighed, for at udfordre misopfattelser.
Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Eksempel på oplæg til elever
Castro
Tre kort lægges i en kasse:
- et er rødt på begge sider
- et er sort på begge sider
- et er rødt på den ene side og sort på den anden side.
Et kort trækkes, - man ser kun den ene side.
En spiller tilbyder dig et væddemål, hvor I begge satser det samme beløb. Han vinder, hvis den anden side har
samme farve som den viste. Hvis den anden side har en anden farve vinder du. Er det et fair væddemål?
Eleverne skal selv afgøre, om det er et retfærdigt væddemål, ved gentagne gange at trække et kort og notere
resultatet.
Eleverne benytter så frekvensfortolkning, dvs. statistiske sandsynlighed som udgangspunkt for afgørelsen.
Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Tre slags sandsynligheder
Det statistiske
 En landmand vil have forsikret sin gård. Værdien af gården anslås at være 10 millioner.
Hvad skal det koste at forsikre gården?
Det kombinatoriske
 I en slikpose er der 12 karameller, 9 skolekridt og 4 lakridser.
To stykker slik tages op. Hvor stor er chancen for, at det netop er en lakrids og et skolekridt,
der bliver trukket.
Det subjektive
 X lider af en meget sjælden hjertesygdom. Rigshospitalet tilbyder en ny behandlingsform,
som aldrig har været prøvet før. Den er ikke ufarlig. Skal X prøve den nye behandling?
Statistisk sandsynlighed
Eksperiment
 En række handlinger eller hændelser, der gentages, - fx kast med mønt, centicube
eller terning
Sandsynligheden for et udfald (ved et stort antal forsøg)

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑𝑒𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑒𝑘𝑜𝑚𝑚𝑒𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 𝑢𝑑𝑓ø𝑟𝑒𝑠
Kombinatorisk sandsynlighed
Laplaces princip:
hvis n udfald i et eksperiment er symmetriske, så er sandsynligheden for hvert udfald
Sandsynligheden for en hændelse, der består af m udfald
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑖 ℎæ𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑖 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑𝑠𝑟𝑢𝑚𝑚𝑒𝑡
=
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑
=
1
𝑛
Sandsynlighedsforståelsen hos elever
Jones m.fl. (Illinois State University) har undersøgt forståelsen hos elever i 3.
klasse. De identificerede 4 niveauer i elevernes tænkning. Udgangspunkt et
lykkehjul med røde og hvide felter.
 Et niveau med subjektiv sandsynlighedstænkning
Den lander på rød for det er min
yndlingsfarve
 Et overgangsniveau fra subjektiv til naivt kvantitativ
sandsynlighedstænkning Der er mere rødt end hvidt
 Et niveau med en uformel, kvantitativ tænkning om sandsynligheder
der er tre
røde dele over for en hvid
 Et niveau med numerisk sandsynlighedstænkning
er kun en ud af fire.
Undervisning kan rykke elevernes niveau.
Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Røds chance er tre ud af fire, og hvids
Elevers forventninger ved stikprøver
Forsøg i 5. klasse
Asta: Der er lige stor chance i Den højre er der dobbelt
så mange af hver farve som i den anden.
Mikkel: Først tæller jeg hvor mange sorte der er i hver
krukke. Når jeg har talt dem, også tæller jeg de hvide
kugler, og derefter finder jeg ud af, at der er størst
chance i krukke 1. fordi der er færest sorte
Sofia: Der er størst chance i den højre, for der er flest
hvide
Ona: Der er lige stor chanse fordi at i den en kruke er de
1
5
2
hvid og 10 i den anden. Det gir det samme fordi en
brøkstreg er det samme som divider.
Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
En anden undersøgelse af elevers
forventninger ved stikprøver
Watson m.fl. (Australien)undersøgte
elever i 3., 6. og 9. klasse
Æske A og B er fyldt med røde og blå
marmorkugler som beskrevet nedenfor. Hver
æske rystes. Du ønsker at få en blå
marmorkugle, men du må kun tage en enkelt
kugle op uden at se. Hvilken æske vil du
vælge? Forklar dit valg?
Æske A (med 6 røde og 4 blå)
Svarene blev inddelt i 4 niveauer
N 1: valgte (=) af forkerte grunde, både røde
og blå favoritfarver, så lige meget
N2: både blå og røde i hver æske, så alt kunne
ske
N3: Opmærksomhed mod det faktiske antal,
præference for B, da der var flest blå kugler.
N4: Sammenligning af antallet i de to æsker.
Men nogle kunne vælge (=) fordi der var flest
røde i begge æsker.
Æske B ( med 60 røde og 40 blå)
(=) det kan være lige meget
3. – 6. klasse: flest i N1- N3
9. klasse: den korrekte forklaring dominerende
Fra Schou m.fl. (2013), Matematik for lærerstuderende, Stokastik 1.-10. klasse
Fra Undervisningsvejledningen
Indskolingen
Arbejdet med statistik og sandsynlighed skal ses i en tæt sammenhæng.
I starten af skoleforløbet arbejdes der med enkel deskriptiv statistik, samtidig
med at eleverne gør sig grundlæggende erfaringer med chancebegrebet ud
fra intuitive overvejelser og systematiske observationer af stokastiske
eksperimenter, fx i forbindelse med spil.
Færdighedsmål - Indskolingen
Statistik
Sandsynlighed
 Eleven kan anvende tabeller og enkle
diagrammer til at præsentere
resultater af optællinger
 Eleven kan udtrykke intuitive
chancestørrelser i hverdagssituationer
og enkle spil
 Eleven kan gennemføre statistiske
undersøgelser med enkle data
 Eleven kan udtrykke chancestørrelse
ud fra eksperimenter
 Eleven kan gennemføre statistiske
undersøgelser med forskellige typer
data
Eksempler indskolingen
Statistik
 Tabel over fritidsinteresser
 Tabel over kæledyr
 Undersøgelse af antal søskende
Sandsynlighedsregning og statistik
 Kast med to terninger, udregne sum eller forskel
 Udtræk af kugle fra ikke gennemsigtig pose. Hvilken farve er mest
sandsynlig?
Fra Undervisningsvejledningen
Mellemtrinnet
På mellemtrinnet skal eleverne gennemføre og præsentere statistiske
undersøgelser samt analysere og tolke resultater af undersøgelser fra fx
medierne og internettet.
Sideløbende arbejdes der med statistiske undersøgelser af
chanceeksperimenter ved simulering, og eleverne knytter beregning af
frekvenser til sandsynlighedsbegrebet.
Færdighedsmål - mellemtrinnet
Statistik
 Eleven kan anvende og tolke grafiske
fremstillinger af data
 Eleven kan gennemføre og
præsentere egne statistiske
undersøgelser
 Eleven kan sammenligne datasæt ud
fra hyppigheder, frekvenser og enkle
statistiske deskriptorer
Sandsynlighed
 Eleven kan undersøge tilfældighed og
chancestørrelser gennem
eksperimenter
 Eleven kan undersøge
chancestørrelser ved simulering af
chanceeksperimenter
 Eleven kan beskrive sandsynlighed
ved brug af frekvens
Fra undervisningsvejledningen
Udskolingen
I udskolingen arbejder eleverne videre med en mere kritisk stillingtagen til forskellige
anvendelser af statistik både ved at gennemføre egne undersøgelser og ved at
analysere og tolke præsentationer af resultater af statistiske undersøgelser.
 Det teoretiske (kombinatoriske) sandsynlighedsbegreb introduceres ud fra erfaringer
med det statistiske sandsynlighedsbegreb samt overvejelser over udfaldsrum og
tællemåder, og eleverne arbejder bl.a. med sammensatte sandsynligheder.
 I statistik anvendes overvejelser om sandsynligheder til at analysere og vurdere
stikprøveundersøgelser.
Færdighedsmål - Udskolingen
Statistik
Sandsynlighed
 Eleven kan vælge relevante
deskriptorer og diagrammer til
sammenligning af datasæt
 Eleven kan anvende udfaldsrum og
tællemåder til at forbinde enkle
sandsynligheder med tal
 Eleven kan undersøge
sammenhænge i omverdenen med
datasæt
 Eleven kan beregne sammensatte
sandsynligheder
 Eleven kan kritisk vurdere statistiske
undersøgelser og præsentationer af
data
 Eleven kan anvende
sandsynlighedsregning
Gruppearbejde
Diskussionspunkter
Aktiviteter
Fra indskoling

Hvem holder længst

Snurretop

Trække centicubes

Overvej, om I mener aktiviteten kan bruges i
undervisningen og på hvilket trin

Hvad kan komme før og efter?

Overvej, hvilke kompetencer arbejdet med
denne aktivitet kan bidrage til at udvikle?

Hvilke andre mål kan den medvirke til at
udvikle?
Fra mellemtrin

Befri fangerne

Simulering i regneark

Fair spil

Kast med centicube
Fra udskoling

Livsforsikring

Femkamp

Terningespil