1. No category

Sammanfattning
Föreläsning 6 - Digitalteknik
I boken: avsnitt 3.3 (kap 3 i Hemert)
Booleska ringar och Boolesk algebra
Målet med dagens föreläsning är att visa hur Boolesk algebra kan användas för att beskriva och
omformulera de Boolska funktioner som vi tidigare har stött på vid konstruktion av sekvensnät.
Denition.
Ett element
Denition (3.8).
En
Theorem (3.16).
Om
a
(R, +, ·)
i en ring
Boolesk ring
(B, +, ·)
kallas
idempotent
om
a2 = a.
är en ring där alla element är idempotenta.
är en Boolesk ring och
a∈B
så måste
a+a=0
Vi säger att
(6=
0)
karakteristiken är 2.
måste adderas för att få
Karakteristiken denieras som minsta antal gånger ett element
0.
Alla element är sina egna inverser, −a = a. Alltså, minus och plus är detsamma.
Theorem (3.17).
En Boolesk ring
(B, +, ·)
är en kommutativ ring. Alltså, om
a, b ∈ B
så är
a · b = b · a.
Vi introducerar nu Boolesk algebra som härstammar från George Booles arbete år 1854 om
satslogik.
Denition (3.9).
Boolesk algebra (B, ∧, ∨,0 ) består av en mängd B och tre operationer
AND (∧), OR (∨), och NOT (0 ), där följande gäller:
En
a∧1=a
a∨0=a
0
a ∨ a0 = 1
a∧a =0
a∧b=b∧a
a∨b=b∨a
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
B = {0, 1} och ∧, ∨,0 denierade som de AND, OR, NOT grindar vi tidigare introducerat ger
oss en Boolesk algebra.
En Boolesk ring och en Boolesk algebra är ekvivalenta begrepp, enligt följande:
Theorem.
Om
(B, +, ·)
är en Boolesk ring, så ges de Booleska operationerna AND, OR, och
NOT av
a∧b=a·b
AND
a∨b=a+b+a·b
OR
0
a =1+a
NOT
Ringoperationerna ges på motsvarande sätt av
Theorem.
Om
(B, ∧, ∨,0 )
är en Boolesk algebra, så ges operationerna
+
och
·
av
a·b=a∧b
a + b = (a ∧ b0 ) ∨ (a0 ∧ b)
En användbar observation är den så kallade dualitetsprincipen:
Theorem (3.18).
Med varje ekvation med
0, 1, ∧, ∨,
och
0 i en Boolesk algebra
(B, 0, 1, ∧, ∨,0 )
så får vi en ny korrekt ekvation om vi byter operationerna enligt:
0⇔1
∧⇔∨
Sammanfattning av regler för Boolesk algebra:
00 = 1
10 = 0
a00 = a
a0 = 0
a∨1=1
a1 = a
a∨0=a
0
a ∨ a0 = 1
aa = 0
(Idempotent)
aa = a
(de Morgan)
(ab)0 = a0 ∨ b0
(Kommutativ)
ab = ba
(Associativ)
a(bc) = (ab)c
(Distributiv) a(b ∨ c) = ab ∨ ac
a∨a=a
(a ∨ b)0 = a0 b0
a∨b=b∨a
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
a ∨ bc = (a ∨ b)(a ∨ c)
(Absorbtion) a ∨ ab = a
(Konsensus) ab ∨ a0 c = ab ∨ a0 c ∨ bc
a(a ∨ b) = a
(a ∨ b)(a0 ∨ c) = (a ∨ b)(a0 ∨ c)(b ∨ c)
En metod för att göra ett Booleskt uttryck mindre är
alla konsensus termer,
iterativ konsensus.
Expandera först med
ab ∨ a0 c = ab ∨ a0 c ∨ bc.
Förenkla sedan med absorbtion,
a ∨ ab = a.
Mängdlära
Denition.
U . Snittet of M och N är M ∩ N = {x | x ∈
M and x ∈ N }; unionen av M och N är M ∪ N = {x | x ∈ M or x ∈ N }; komplementet av
M är M0 = {x | x ∈ U and x 6∈ M}; och potensmängden av U är P(U) = {X | X ⊆ U}.
Låt
M
Theorem (3.21).
1 =
U.
och
N
vara delmängder av
Det algebraiska systemet
(P(U), ∩, ∪,0 )
är en Boolesk algebra med 0 =
∅
och