1. No category

Rationella och reella tal
Olof Bergvall
Algebra och Kombinatorik
Stockholms Universitet
1 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Rationella tal
Definiera en mängd Q:
Q = Z × (Z \ {0}) .
Med andra ord, Q är mängden av par av heltal (a, b) där b 6= 0.
Vi inför en relation R på Q. Vi säger att
(a, b)R(c, d)
⇐⇒
ad = bc.
Med andra ord: ((a, b), (c, d)) ∈ R ⊂ Q × Q precis om ad = bc.
2 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Lemma: Relationen R är en ekvivalensrelation.
Bevis: Vi måste visa:
(Reflexivitet) att (a, b)R(a, b) för alla (a, b) ∈ Q,
(Symmetri) att (a, b)R(c, d) om och endast om (c, d)R(a, b),
(Transitivitet) att om (a, b)R(c, d) och (c, d)R(e, f ) så gäller även
(a, b)R(e, f ).
3 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Bevis av reflexivitet: Vi har (a, b)R(a, b) om och endast om ab = ba.
Likheten gäller för alla (a, b) så vi är klara.
4 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Bevis av symmetri: Anta att (a, b)R(c, d). Då gäller ad = bc. Alltså
gäller cb = da. Detta ger att (c, d)R(a, b).
5 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Bevis av transitivitet: Anta att (a, b)R(c, d) och att (c, d)R(e, f ). Då
gäller
ad = bc och cf = de.
Multiplicera den andra ekvationen med b:
bcf = bde.
Den första ekvationen ger att bc = ad. Använder vi detta i ekvationen
ovan får vi:
adf = bde.
Eftersom d 6= 0 kan vi dela med d. Då får vi af = be. Alltså gäller
(a, b)R(e, f ).
6 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Hur ser ekvivalensklassen [(2, 3)] ut?
Vi har (a, b) ∈ [(2, 3)] om och endast om 3a = 2b. Delar vi båda
sidorna med 3b får vi
(a, b) ∈ [(2, 3)]
⇐⇒
a
2
= .
b
3
Alltså:
[(2, 3)] = {(2k , 3k ) | k ∈ Z \ {0}}.
7 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Definition: De rationella talen Q är mängden av ekvivalensklasser av
Q under relationen R.
Alltså, Q är mängden av ekvivalensklasser av par av heltal (a, b) där
b 6= 0 under relationen (a.b)R(c, d) precis om ad = bc.
Ekvivalensklassen av (a, b) skrivs ba .
8 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Definition: Vi definierar addition av rationella tal genom
a
c
ad + bc
+ =
.
b d
bd
Vi definierar multiplikation av rationella tal genom
a c
a·c
· =
.
b d
b·d
Vi säger att
a
b
<
c
d
om
ad < bc.
Egentligen måste vi kolla att dessa definitioner inte beror på val av
representanter av ekvivalensklasser. Exempelvis måste vi visa att
2
1
4
3
3 + 4 = 6 + 12 .
9 / 15
Rationella och reella tal
a
b
Rationella tal
c
d
Sats 1: Låt och vara två rationella tal sådana att
ett rationellt tal q sådant att
a
b
< dc . Då finns
a
c
<q< .
b
d
Med andra ord, mellan varje två rationella tal finns ytterligare ett
rationellt tal.
Bevis: Vi tar q = 12 ba + dc . Vi måste först visa att ba < q. Vi vet att
a
c
a
b < d . Adderar vi b till båda sidorna får vi
2
a
a
c
< + .
b
b d
Delar vi båda sidorna med 2 får vi ba < q. Om vi adderar
olikheten ba < dc får vi
a
c
c
+ <2 .
b d
d
Delar vi båda sidorna med 2 får vi q < dc .
c
d
till
10 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Sats 2: Det finns inget rationellt tal q sådant att q 2 = 2.
Bevis: Anta motsatsen, d.v.s. att det finns ett rationellt tal q = ba sådant
att q 2 = 2. Om vi “dividerar bort” gemensamma faktorer kan vi anta att
sgd(a, b) = 1. Speciellt kan vi anta att inte både a och b är jämna.
Vi har
q2 =
a2
= 2.
b2
Alltså gäller a2 = 2b2 . Då 2 är ett primtal måste alltså 2 dela a. Alltså
finns ett heltal c sådant att a = 2c.
Då a2 = 2b2 följer 4c 2 = 2b2 . Alltså gäller 2c 2 = b2 . Då 2 är ett primtal
måste alltså 2 dela b.
Vi har nu visat att 2 delar både a och b trots att inte båda är jämna.
Detta är en motsägelse.
11 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Även rationella tal kan skrivas i positionssystem.
Exempel:
37
= 4 · 100 + 6 · 10−1 + 2 · 10−2 + 5 · 10−3 = 4, 625.
8
Kommatecknet delar upp talet i en heltalsdel (positioner svarande mot
potenser med icke-negaiv exponent) och en decimaldel (positioner
svarande mot potenser med negaiv exponent). Decimaldelen är ett
625
.
rationellt tal 0 ≤ q < 1. I exemplet är decimaldelen 1000
Alla tal får inte ändligt många decimaler. Dessa tal har periodiska
framställningar.
Exempel:
410
= 1, 23123123 . . . = 1, 231
333
Strecket ovanför 231 betyder att denna följd upprepas i oändlighet.
12 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Exempel: Skriv 0, 89797 . . . = 0, 897 som ett bråk.
Låt x = 0, 89797 . . ..
Vi har då
1000x = 897, 9797 . . .
och
10x = 8, 9797 . . .
Alltså gäller
1000x − 10x = 990x = 889.
Alltså är x =
889
990 .
Observation: Ett tal är rationellt om och endast om det har ändlig eller
periodisk decimalutveckling.
13 / 15
Rationella och reella tal
Rationella tal
Tal som inte har en periodisk decimalutveckling kallas irrationella tal.
Exempel: Talet
0, 101001000100001 . . .
är irrationellt.
Talet
0, a1 a2 a3 . . .
ai =
1, om i är ett primtal,
0, annars,
är irrationellt.
De reella talen R är mängden av alla tal som har en
decimalframställning. De reella talen består alltså av de rationella och
de irrationella talen.
14 / 15
Rationella och reella tal
Nya termer och beteckningar:
Rationella tal, Q
Decimalframställning
Heltalsdel
Decimaldel
Periodisk framställning, 1, 123123123 . . . = 1, 123
Irrationella tal
Reella tal, R
15 / 15