1. No category

Matematik 3b, Lektion 7 3 september 2015 [email protected] Rationella uttryck Idag ska vi titta på olika rationella uttryck. Det första vi då kan fundera över är; vad är ett rationellt uttryck? För att förstå detta kan det vara bra att gå tillbaka lite och minnas att tal som exempelvis 2/8, 7/9 och 12/19 har vi tidigare kallat för bråk, men sådana tal kallas även rationella tal. Man brukar säga att ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas på formen a/b där a och b är heltal och 𝑏 ≠ 0. På motsvarande sätt kallar vi kvoten av två polynom för ett rationellt uttryck. Så 3𝑥 + 4 𝑥 ! + 10
𝑥 ! − 3𝑥 + 7
,
och 𝑥
5𝑥 + 4
5𝑥 + 9
är exempel på rationella uttryck. ”Ett polynom delat med ett annat polynom”. Vi ska titta på ett rationellt uttryck och jag väljer då det rationella uttrycket 5𝑥 ! + 3
𝑓 𝑥 =
𝑥−5
Exempel: Beräkna 𝑓(3). Lösning: Som vanligt så betyder 𝑓(3) att vi ”byter vi ut” alla x mot 3. Så 5 ∙ 3! + 3 5 ∙ 9 + 3 45 + 3 48
𝑓 3 =
=
=
=
= −24. 3−5
−2
−2
−2
Detta har ni tränat på förut. Men vad händer om vi ska beräkna 𝑓 5 ?
Exempel: Beräkna 𝑓(5). Lösning: Som vanligt så betyder 𝑓(5) att vi ”byter vi ut” alla x mot 5. Så 5 ∙ 5! + 3 128
𝑓 5 =
=
=? 5−5
0
”Delat med noll”? STOPP! VI KAN INTE DELA MED NOLL! För att
Division med 0 är inte definierat. Därmed
gäller även att ett rationellt uttryck inte är
definierat om nämnaren är lika med 0. Exempel: För vilket/vilka värden på x är uttrycket !! ! !!! ! !!!!"
!!!
inte definierat? Lösning: Vi vet att ett rationellt uttryck inte är definierat om nämnaren är 0. Det vill säga om 𝑥 − 7 = 0. Så uttrycket är inte definierat när 𝑥 = 7. Matematik 3b, Lektion 7 3 september 2015 [email protected] Förkortning och förlängning av rationella uttryck Precis som med tal i bråkform kan vi förlänga och förkorta rationella uttryck. Kommer ni ihåg; 3 3∙2
6
=
=
är exempel på en förlängning. 6 6 ∙ 2 12
3 3/3 1
=
= är exempel på en förkortning. 6 6/3 2
Då vi förlänger eller förkortar ett bråk så ändras inte värdet på bråket. Så vi har att 6
3 1
= = alltså alla dessa bråk har samma värde; i detta fall 0,5. 12 6 2
Då vi inte kan förkorta ett bråk längre så säger vi att det är skrivet i enklaste form. I exemplet ovan är alltså 1/2 bråket som är i enklaste form. Detta eftersom vi inte kan förkorta bråket mer. Samma princip gäller för rationella uttryck. Exempel: Skriv i enklaste form utan negativ utan negativ exponent. 6𝑎!
−4𝑥 ! 𝑦 !
𝑥 𝑥−𝑦 !
a) b)
c)
12𝑎
−12𝑥𝑦 !
𝑥 ! (𝑥 − 𝑦)
Lösning: 6𝑎!
a) 12𝑎
Vi ska nu förkorta täljare och nämnare ”så mycket vi kan”. Om vi inte ser vad vi ska förkorta
med på en gång så kan vi dela upp täljare och nämnare i faktorer. De faktorer som är
gemensamma kan vi sedan förkorta med.
6𝑎!
2∙3∙𝑎∙𝑎
= 12𝑎
2∙2∙3∙𝑎
De faktorer som är gemensamma är 2, 3 och a. Vi kan alltså förkorta med 2 ∙ 3 ∙ 𝑎 = 6𝑎.
6𝑎!
6𝑎! /6𝑎 𝑎
= = .
12𝑎
12𝑎/6𝑎 2
Nu kan vi inte förkorta längre, så vi är klara.
Matematik 3b, Lektion 7 3 september 2015 [email protected] −4𝑥 ! 𝑦 !
b)
−12𝑥𝑦 !
Vi ska nu förkorta täljare och nämnare ”så mycket vi kan”. Om vi inte ser vad vi ska förkorta
med på en gång så kan vi dela upp täljare och nämnare i faktorer. De faktorer som är
gemensamma kan vi sedan förkorta med.
−4𝑥 ! 𝑦 !
−1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦
=
−12𝑥𝑦 !
−1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦
De faktorer som är gemensamma är -1, 2, 2, x, y och y. Vi kan alltså förkorta med
−1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 = −4𝑥𝑦 ! .
−4𝑥 ! 𝑦 !
−4𝑥 ! 𝑦 ! /−4𝑥𝑦 ! 𝑥𝑦
=
= −12𝑥𝑦 !
−12𝑥𝑦 ! /−4𝑥𝑦 !
3
Nu kan vi inte förkorta längre, så vi är klara.
𝑥 𝑥−𝑦 !
c) !
𝑥 (𝑥 − 𝑦)
Vi ska nu förkorta täljare och nämnare ”så mycket vi kan”. Om vi inte ser vad vi ska förkorta
med på en gång så kan vi dela upp täljare och nämnare i faktorer. De faktorer som är
gemensamma kan vi sedan förkorta med.
𝑥 𝑥 − 𝑦 ! 𝑥 ∙ (𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
!
=
𝑥 (𝑥 − 𝑦)
𝑥 ∙ 𝑥 ∙ (𝑥 − 𝑦)
De faktorer som är gemensamma är 𝑥 och 𝑥 − 𝑦 . Vi kan alltså förkorta med
𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 𝑦).
𝑥 𝑥 − 𝑦 ! 𝑥 𝑥 − 𝑦 ! /𝑥(𝑥 − 𝑦) 𝑥 − 𝑦
=
=
𝑥 ! (𝑥 − 𝑦) 𝑥 ! (𝑥 − 𝑦)/𝑥 𝑥 − 𝑦
𝑥
Nu kan vi inte förkorta längre, så vi är klara.
OBS! Vi kan bara förkorta faktorer. En faktor i täljaren kan ”strykas bort” mot samma faktor i nämnaren. Samma princip gäller inte för termer. Matematik 3b, Lektion 7 3 september 2015 [email protected] Att skriva om uttrycket före förenkling Ibland kan det vara svårt att se hur du ska kunna förkorta ett rationellt uttryck. Det kan då vara bra att skriva om täljare eller nämnaren för att på så sätt se om du kan hitta några gemensamma faktorer. Det är inte alltid detta är helt självklart och det finns ingen standardmetod så här kan man behöva prova sig fram. Våga prova och göra om. Exempel: Förenkla 5−𝑥
4−𝑦
a) b) !
2𝑥 − 10
𝑦 − 16
Lösning: a) Då vi först tittar på uttrycket kanske det inte ser ut som att de har så mycket gemensamt, men vi kan se att vi kan bryta ut 2 från nämnaren. Vi provar och ser vad som händer… 5−𝑥
5−𝑥
=
2𝑥 − 10 2(𝑥 − 5)
Notera nu att vi har faktorn 5 − 𝑥 i täljaren och 𝑥 − 5 i nämnaren. De är väldigt lika varandra men observera att det inte är samma faktor och därmed kan vi inte ”förkorta bort dem”. Däremot kan vi bryta ut −1 från en av dem så ska vi se vad som händer. 5−𝑥
−1(−5 + 𝑥) −1(𝑥 − 5)
1
= =
= − 2(𝑥 − 5)
2(𝑥 − 5)
2(𝑥 − 5)
2
I ovanstående måste vi komma ihåg att −5 + 𝑥 = 𝑥 − 5. (Precis som −5 + 2 = 2 − 5.) b) Då vi först tittar på uttrycket kanske det inte ser ut som att de har så mycket gemensamt, men vi kan se att vi kan faktorisera nämnaren med hjälp av konjugatregeln. Vi provar och ser vad som händer… 4−𝑦
4−𝑦
−1(𝑦 − 4)
1
=
=
=
−
𝑦 ! − 16 (𝑦 + 4)(𝑦 − 4) (𝑦 + 4)(𝑦 − 4)
𝑦+4
Vi använde först konjugatregeln för att faktorisera nämnaren. Då vi ser att faktorn 4 − 𝑦 och 𝑦 − 4 påminner om varandra kan vi inse att vi kan bryta ut −1 från täljaren för att avslutningsvis ”förkorta bort” 𝑦 − 4.