1. No category

Svängningar
Svängningar
Innehåll
Inledning ................................................................................................................
Litteraturhänvisning ..............................................................................................
Förberedelseuppgifter ............................................................................................
Utförande ...............................................................................................................
Det dämpade men odrivna systemet ..............................................................
Det drivna systemet .......................................................................................
En elektrisk svängningskrets ………………………………………………..
1
1
1
2
3
3
4
Inledning
I naturen hittar man mängder av saker som svänger. De mekaniska delarna på en bil svänger
då bilen kör, dina armar pendlar då du går, molekylerna i luften vibrerar liksom elektronerna i
antennen i din mobiltelefon. I detalj är dessa system inte lätta att studera, men ofta duger en
så enkel modell som en harmonisk oscillator som en första approximation. Syftet med denna
laboration är att du genom att experimentera med svängande system skall få känsla och
förståelse för de egenskaper som dessa system har, t.ex. begreppen frekvens, amplitud,
fasförskjutning, dämpning, resonans mm. Målsättningen är också att ge dig träning i att
använda datorer för insamling och behandling av mätdata. Under laborationen ska du
använda programmen DataStudio för insamlingen och MatLab för bearbetningen. Om du är
intresserad kan du hitta en manual till programmet DataStudio på Hemsidan/Laborationer/
Svängningar. Du får också träna på att använda ett oscilloskop för att studera transienta
fenomen.
Litteraturhänvisning
Physics for scientists and engineers (sixth edition), Kap 14.
Förberedelseuppgifter
1.
2.
Massan 100 g hänger i en fjäder med fjäderkonstanten 40 N/m. Massan sätts i svängning
genom att fjädern sträcks 14 mm. Försumma alla energiförluster.
a)
Använd MatLab och rita ett diagram som visar avståndet från jämviktsläget som
funktion av tiden med begynnelsevillkoren x(0) = 14 mm och v(0) = 0 mm/s
b)
Bestäm hastigheten som funktion av tiden.
c)
Rita ett s.k. fasdiagram som illustrerar svängningen. I diagrammet avsätter du
hastigheten som funktion av läget, v = f(x).
Låt oss nu titta på det svängande systemet i uppgift 1 med tillägget att svängningen är
dämpad, med konstanten b = 0,4 kg/s.
a)
Hur lång tid tar det för amplituden att halveras?
b)
Använd MatLab och rita ett diagram som visar avståndet från jämviktsläget som
funktion av tiden. Markera halveringstiden i diagrammet.
c)
Rita ett fasdiagram som illustrerar svängningen. (Obs du måste derivera en produkt
för att få hastigheten i detta fall!)
Laborationsinstruktioner För E1
1
Svängningar
3.
På svängningen i föregående uppgift appliceras en drivande kraft med frekvensen .
a)
För liten dämpning inträder det vi kallar för resonans då   0. Vad händer då med
amplituden A?
b ) Skissa hur systemets amplitud varierar med drivfrekvensen.
4.
En elektrisk krets består av en spole (induktansen L = 12 mH), en kondensator
(kapacitansen C = 1,6 F) och ett motstånd (resistansen R) i serie. Genom att ladda upp
kondensatorn tillför vi energi till kretsen. Enligt Kirchoffs lag är summan av alla
spänningar i en sluten krets lika med noll, dvs.
L
d 2q
dt
2
 R
dq 1
 q  0
dt C
a)
Bestäm R så att kretsens svängningsfrekvens, med hänsyn till energiförlusterna,
blir f = 1 kHz .
b)
Hur lång tid tar det för svängningens amplitud att halveras.
Svar:
2a: 0,35 s. 4a: 85,2 Ω. 4b: 0,195 ms.
Utförande
Det svängande mekaniska systemet som du skall undersöka består av en figur som hänger i
en lång fjäder. Du kan sätta detta system i svängning antingen genom att dra ut fjädern och
släppa den eller med hjälp av en motor vars varvtal regleras genom att varierar motorns drivspänning. På detta sätt har du alltså tillgång till ett drivet och dämpat system.
2
Laborationsinstruktioner För E1
Svängningar.
För att inhämta mätdata använder du två givare som är kopplade till en dator. Den ena
givaren är en vinkelgivare (Rotary Motion Sensor, RMS) som ger den drivande motorns
vinkelposition och den andra givaren är en ultraljudssändare (Motion Sensor, MS) som ger
dig figurens höjd över marken. Med hjälp av programmet DataStudio kan du samla in
mätvärden och delvis bearbeta dem, övrig analys av mätdata genomför du i MatLab. Då
laborationen börjar kommer laborationshandledaren att ge dig en demonstration av hur du
använder DataStudio.
Uppgift 1. Det dämpade men odrivna systemet
I detta fall beskrivs rörelsen av ekvationen:
d 2 x b dx k
k

 x  0 med den ostörda egenvinkelfrekvensen 0 
.
2
dt
m dt m
m
Ekvationen har lösningen:
x(t )  A0  e
a)

b
t
2m
2
 b 
cos( ' t   ) där  '  02  
 .
 2m 
Registrera den dämpade svängningen med DataStudio och rita den i ett diagram. Bestäm
systemets egenvinkelfrekvens. Hur skulle den kunna ändras?
b) Använd DataStudio och rita ett fasdiagram, d.v.s. avsätt hastigheten som funktion av
läget, för det svängande systemet. Varför ser det ut som det gör? Kan du få det att rotera
på andra hållet? Varför eller varför inte?
c)
Studera den totala energin E = K + U som funktion av tiden.

Flytta över data ( t, x ) till MatLab, t.ex. via en fil (File / Export Data).

Transformera de uppmätta absolutpositionerna x(t) till positioner relativt viloläget.

Beräkna hastigheterna.

1
1
2E
k
Etot  K  U  mv 2  kx 2 
 v 2  x 2  v 2  02 x 2 .
2
2
m
m
2
2 2
Rita i samma diagram v , 0 x och summan.
d) Bestäm ur detta diagram vilken tidskonstant systemet har. Vad blir halveringstiden för
energin?
Uppgift 2. Det drivna systemet
I detta fall beskrivs rörelsen av ekvationen:
F
d 2 x b dx k

 x  0 cos( t)
2
dt
m dt m
m
Ekvationen har en transient lösning (den exponentiellt dämpade lösningen ovan) och den
stationära lösningen:
xstat (t )  A  cos(t   )
Laborationsinstruktioner För E1
3
Svängningar
där
A
a)
F0
m2 (02   2 )2  b2 2
och  

2
-  med tan 
m(02   2 )
b
Sök upp den frekvens vid vilket systemet uppnår resonans. Stämmer frekvensen med den
ni förväntade er?
b) Studera kvalitativt systemets fasförskjutning för någon frekvens under, vid och över
resonansfrekvensen. Vad säger teorin?
Uppgift 3. En LCR-krets.
Enligt Kirchhoffs spänningslag lag uppfyller laddningen q i en elektrisk RCL-krets:
d 2q
dt
2

R dq
1


q  0
L dt LC
Vilket ju är ekvationen för en dämpad svängning, där dämpningen uppkommer pga energiförlusten via värmeutveckling i kretsens resistans.
Koppla upp kretsen i figuren nedan och ställ in funktionsgeneratorn på att ge en fyrkantsvåg
med en frekvens omkring 200 Hz. Observera att ett oscilloskop refererar spänning till en
absolut jordreferens - alltså inte relativt, som en voltmeter. Detta innebär att du måste se till
att kondensatorn och bägge oscilloskopkanalerna är kopplade till samma jordpunkt.
Oscilloskop
kanal 2
Oscilloskop
kanal 1
a)
Studera spänningen över kondensatorn samtidigt som du varierar resistansen, R.
Hitta läget för det svaga-, det kritiska- och det över-dämpade fallet.
b) Välj det svagt dämpade fallet och bestäm svängningens frekvens. Jämför med teorin
beräknad på komponenternas angivna parametrar.
c)
Bestäm den exponentiella dämpningen. Jämför med teorin beräknad på komponenternas
angivna parametrar.
d) Variera frekvensen på fyrkantssignalen och hitta den frekvens där svängningsamplituden
blir maximal. Jämför med resonansfrekvensen beräknad från komponentvärdena.
4
Laborationsinstruktioner För E1