Download Report

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460,
2015.
Begrepp och definitioner
Reella tal. Rationella tal.
Irrationella tal. Slutna
intervall. Öppna intervall.
s. 3-5 Koordinater i plan.
Funktion, definitionsmängd,
värdemängd Def. 1, s. 24.
Sammansatta funktioner,
s. 35
Graf av en funktion s. 26,
och dess egenskaper. s. 26-29
Injektiva (one-to-one)
funktioner. Def. 1
Inversa funktioner Def. 2,
s. 166, kap. 3.1.
Gränsvärde av en funktion.
Kap. 1.2, s. 66, s. och s. 89
Def. 8, Höger- och
vänster-gränsvärde Def .9,
s. 91
Gränsvärden när x går mot
oändligheten. x → ±∞.
Def 3, s. 75, def. 10, s. 91.
Oändliga gränsvärden ±∞.
s. 75, Def. 11, s. 92
Egenskaper och satser
a(b + c) = ab + ac
Bråkräkning:
a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
(ac + bc)/c = (a + b)
Egenskaper hos olikheter s. 9
Typiska problem
Bråkräkning.
Lösa olikheter. s. 9-11
Bestäm definitionsmängd och
värdemängd av en funktion
Kap. 3.1 kancellations
identiteter: f (f −1 (y)) = y
och f −1 (f (x)) = x. Injektiva
funktioner har invers.
Monotona funktioner är
injektiva och har invers. Graf
till en funktion och dess
invers är spegelbild av
varandra med avseende på
linjen y = x. s. 167
Relation mellan ensidiga
gränsvärden och gränsvärde.
Th. 2, s. 68. Regler för
gränsvärden. Kap. 1.2,
Th. 2, s. 69.
Gränsvärde av summa
(med bevis), Ex. 4, s. 90
Gränsvärde av produkt
(med bevis), Ex. 33 s. 93
Gränsvärde av sammansatta
funktioner Th. 7, s. 82
Instängningssatsen (Squeeze
theorem) kap. 1.2, Th. 4,
s. 71 (med bevis) Ex. 38
s. 93. Tips för bevis finns i
boken och diskuterades på
föreläsning.
Gränsvärde av summa,
produkt, kvot av funktioner.
Gränsvärden när x → ±∞.
Gränsvärde av sammansatta
funktioner.
1
Rita grafer till enkla
funktioner.
Bestäm om en funktion har
invers. Rita grafen till en
funktion och dess invers.
Beräkna gränsvärde, högeroch vänster-gränsvärden av
en funktion. Kunna bevisa
att en funktion saknar
gränsvärde, vänster-, eller
höger-gränsvärde. Måste
kunna använda konjugat,
beräkna gränsvärden av
rationella funktioner o.s.v.
Beräkna ett gränsvärde med
hjälp av instängningssatsen.
Beräkna gränsvärde när
x → ±∞.
Beräkna gränsvärden då
f (x) → ∞ eller f (x) → −∞.
Begrepp och definitioner
Asymptoter till graf.
Egenskaper och satser
Funktion kontinuerlig,
vänster/höger-kontinuerlig i
en punkt, diskontinuerlig i en
punkt. Kap. 1.4,Def. 4, 5, 6
s. 79, 80
Kontinuerlig utvidgning
(continuous extension) s. 82
Hävbar diskontinuitet
(removable discontinuity)
s. 32
Samband mellan vänster-,
höger-kontinuitet och vanlig
”tvåsidig” kontinuitet.
Kap. 1.4, Th. 5, s. 79
Summa, produkt, kvot av
kontinuerliga funktioner och
sammansatta kontinuerliga
funktioner ger en kontinuerlig
funktion. Th. 6, 7 s. 81, 82.
Sammansättning av
kontinuerliga funktioner ger
en kontinuerlig funktion.
Th. 7, s. 82
Funktion kontinuerlig på ett
begränsat slutet intervall
[a, b] antar sitt maximala och
sitt minimala värde på [a, b]
kap. 1.4, Th. 8 s. 83
Satsen om mellanliggande
värde (Intermediate value
theorem) kap. 1.4, Th. 9,
s. 85
Th. 1 om kontinuitet av
deriverbara funktioner. s. 109
Derivata av:
summa Th. 2 s. 109,
produkt (med bevis) Th. 3,
s. 110,
reciprok Th. 4, s. 112,
kvot (med bevis) Th. 5,
s. 113
Derivator av funktioner: xa ,
ex , ln x, sin x, cos x, tan x,
inverser för sin, cos, tan.
Kedjeregeln: derivatan av
sammansatta deriverbara
funktioner. Th. 6, s. 115.
Formeln för derivatan av
invers funktion (med bevis)
s. 168 (lär beviset från
anteckningar, det är enklare)
Gränsvärde limx→0 sin(x)/x
(med geometriskt bevis)
Th. 8, s. 121
Kontinuerliga funktioner på
ett begränsat slutet intervall.
Lutning av graf kap. 2.1,
def. 1 s. 97.
Derivata kap. 2.2, def. 4,
s. 100
Singulära punkter, s. 101.
Deriverbar funktion, s. 101
Definition för ln, exp, Def. 6,
Th. 1, s. 172, 174.
2
Typiska problem
Bestäm horisontella, vertikala
och sneda asymptoter till
graf av en funktion.
För en funktion given med
formler eller med en graf,
bestäm i vilka punkter den är
kontinuerlig, diskontinuerlig,
vänster-, höger-kontinuerlig.
Bestäm om funktion har en
hävbar diskontinuitet i en
punkt.
Bestäm om en funktion f kan
utvidgas till en punkt utanför
dess definitionsmängd så att
funktionen f blir kontinuerlig
i den punkten.
Använd Th. 9 för att visa att
en ekvation f (x) = 0 med
kontinuerlig f har rötter på
ett intervall.
Derivera komplicerade
funktioner med hjälp av
formler för: summa, produkt,
reciprok, kvot, kedjeregeln.
Beräkna derivatan av inversa
funktionen till en given
funktion.
Begrepp och definitioner
Växande, avtagande
funktioner. Def. 6 s. 139.
Kritiska eller stationära
punkter. Kap. 2.8, Th. 13,
s. 140
Extrempunkter: absolut
maximum, minimum, lokalt
maximum, minimum.
Kritiska punkter,
ändpunkter, singulära
punkter. s. 234, 235.
Högre derivator. Kap. 2.6, s.
127
Funktion konkav uppåt,
neråt, inflexionspunkt. Kap.
4.5, def. 3,4, s. 240, 241.
Egenskaper och satser
Om f (x) har ett maximum
(minimum) i en punkt c på
ett öppet intervall (a, b) och
f är deriverbar i c så är c en
stationär punkt (f 0 (c) = 0)
kap. 2.8, Th. 14, s. 141
Rolles sats (med bevis):
kap. 2.8, Th. 15, s. 141
Medelvärdessatsen (Mean
value theorem) kap. 2.8,
Th. 14, s. 137, 141
(med bevis). Generaliserade
medelvärdessatsen kap. 2.8,
Th. 16, s. 142.
Kap. 4.4, Th. 5 s. 233
(existens av extrempunkter).
Th. 6, s. 234 (vilka punkter
som kan vara extrempunkter)
Test av förstaderivata:
Kap. 4.4, Th. 7, s. 236
Test av andraderivata:
Kap. 4.5, Th. 10, s. 243
Satser om funktion som är
konkav uppåt eller neråt.
Andraderivata i en
inflexionspunkt a är noll om
f 00 (a) finns. Kap. 4.5, Th. 9,
s. 242
Asymptoter till graf av en
funktion.
Linjär approximation
kap.4.9, def.8.
Felanalys. Kap. 4.9 s. 269
Feluppskattning för linjär
approximation (med bevis):
Kap.4.9, Th. 11 s. 270.
Taylorpolynom, kap. 4.10,
s. 272.
Obestämda uttryck
(Indeterminate forms)
kap. 4.3.
Stora O(xn ) beteckning för
x → 0, Def. 9, s. 276
l’Hopitals första och andra
regler
Allmän formel för
Taylorpolynom s. 273.
Restterm på Lagranges form
Kap. 4.10, Th. 12, s. 275.
O(xn ) beteckningen och dess
egenskaper s. 277.
Taylorutveckla 1/(1 − x),
exp(x), sin(x), cos(x),
ln(1 + x) kring origo. s. 278.
l’Hôpitals första regel
(med bevis) och andra regel.
3
Typiska problem
Bestäm alla kritiska
(stationära) punkter av en
enkel funktion.
Använd medelvärdessatsen
för att uppskatta en funktion
med en linjär funktion.
Bestäm alla lokala och
absoluta extrempunkter till
en funktion på ett begränsat
intervall.
Beräkna högre derivator av
en funktion. Bestäm på vilka
intervall en funktion är
konkav uppåt, eller neråt.
Ange inflexionspunkter.
Bestäm horisontella, vertikala
och sneda asymptoter till
graf av en funktion.
Skissa graf till en funktion.
Ange linjär approximation till
en funktion, feluppskattning
till den och det intervall där
dess värde måste ligga enligt
feluppskattningar.
Bestäm Taylorpolynom av
ordning två till en funktion
och intervall där funktionens
värde måste ligga,
feluppskattning till den.
Använd Taylorutveckling för
gränsvärdesberäkningar som i
Example 9, 10 s. 280.
Använd l’Hôpitals regel för
gränsvärdesberäkningar.
Begrepp och definitioner
Rummet Rn . Mängder,
punkter, vektorer. (ej öppna,
slutna mängder, inre, yttre
punkter) Kap. 10.1
Vektorer i planet och i
rummet Kap. 10.2 s.
570-573.
Absolutbelopp – längden av
vektor. s. 573.
Summa, multiplikation med
tal, skalärprodukt av två
vektorer Def. 3. S. 576,
Avstånd mellan två punkter.
Projektion av en vektor på
annan vektor Def. 4, s. 577.
Kryssprodukt, Def. 5 s. 580
geometrisk mening,
Determinant. s. 582
Trippelprodukt.
Egenskaper och satser
Typiska problem
Formler för summa av två
vektorer. Formel för
skalärprodukt, cos av vinkel
mellan två vektorer, Th. 1, s.
576.
Absolutbelopp, avståndet
mellan två punkter.
Formler för projektioner.
Beräkna avståndet mellan
två punkter.
Beräkna skalär och
vektorprojektion av en vektor
på annan vektor.
Beräkna cos av vinkeln
mellan två vektorer
Bestäm koordinaterna för
mittpunkten på en sträcka
mellan två punkter i rummet.
Formler för determinanter,
Användning av kryssprodukt
s. 582.
i geometriska problem t.ex.
Formler för kryssprodukt
för att beräkna volym, arean,
s. 584.
och vinklar mellan vektorer.
Geometrisk formel för
Bestäm en vektor vinkelrät
kryssprodukt, s. 580. Def. 5,
mot två givna vektorer eller
s. 580
linjer.
Arean av triangel med
Bestäm en vektor som är
kryssprodukt, Ex. 3 s. 584.
samtidigt parallell med två
Formeln för trippelprodukt
givna plan.
av tre vektorer. Def. 6
Beräkna trippelprodukt av
s. 584-585.
tre vektorer.
Volym av parallellepiped med
trippelprodukt, Ex. 4 s. 584.
Plan i rummet, räta linjer i
Ekvationer för ett plan på fyra former: standard, genom en
planet, ekvationer för dem.
given punkt s. 588, med sträckor (intercept form) s. 589,
Geometriska tolkning av
normal form s. 588, och deras geometriska mening.
koefficienter. s. 589
Ekvationer för en linje i rummet: på vektor form s. 590,
på skalär parametrisk form s. 590, i form av två ekvationer
Ex. 6, i standard form Ex. 5, s. 591.
Lösning av linjära ekvationssystem. Lay 1.1.
Typiska problem med plan och linjer:
Ange ekvation for ett plan: a) genom tre givna punkter; b) genom en punkt och en linje;
c) genom en punkt och vinkelrät mot en linje; d) genom en punkt och parallellt med annat
plan; e) genom en punkt och parallellt med två givna linjer.
Ange ekvation for en linje: a) genom två punkter; b) genom en punkt och vinkelrät mot
ett plan. d) som är skärningslinjen av två givna plan.
Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan (Ex. 7, s. 592) eller en linje (Ex. 8, p. 592).
Bestäm avståndet mellan två linjer (Ex. 9, s. 593) eller mellan två parallella plan.
Bestäm projektion av en punkt på ett plan eller en linje.
Bestäm projektionen av en linje på ett plan.
Bestäm om två linjer korsar varandra. Bestäm om fyra punkter ligger i samma plan.
Använd ekvationen för planet for att identifiera hur det ligger med avseende på koordinataxlarna.
4
Tentan kommer att bestå av följande typer av problem:
• Formulering av definitioner, begrepp och satser från listan kan komma som en del i
alla tentauppgifter.
• Formulera och bevisa en sats från listan.
• Formulera en sats eller definition.
• Beräkna ett gränsvärde av en funktion.
• Ange punkter där en given funktion är kontinuerlig, diskontinuerlig, vänster- eller
höger-kontinuerlig, eller en hävbar (removable) diskontinuitet.
• Använd satsen om mellanliggande värde för att visa att en ekvation f (x) = 0 har
lösningar (funktionen f har rötter) på ett intervall.
• Beräkna derivator av första eller högre ordning av en komplicerad funktion.
• Använd medelvärdessatsen för uppskattningar av typ: f (x − a) < L(x − a) för en
funktion.
• Bestäm singulära punkter, globala (om de finns) och alla lokala extrempunkter, och
inflexionspunkter av en funktion.
• Bestäm de intervall där en funktion är växande, avtagande, konkav upp eller ner.
• Ange Taylors formel eller linjär approximation till en given funktioner nära en punkt.
• Lös ett problem som innebär beräkning av: avstånd mellan punkter, projektioner
av vektorer, beräkning av vinklar mellan vektorer o.s.v. i samband med vissa geometriska frågor.
• Skriv en ekvation för ett plan eller en linje som uppfyller vissa geometriska villkor.
• Eller tvärtom: bestäm geometriska egenskaper eller parametrar (avståndet, vinklar
mellan plan, linjer, eller punkter givna med ekvationer)
• Beräkning av kryssprodukt kan ingå som delproblem i något geometriskt problem.
• Lösning av ett linjärt ekvationssystem kan ingå som delproblem i något geometriskt
problem.
• Varje uppgift kommer att ge ett visst antal poäng. Maxpoäng på hela tentan är 50.
Beroende på hur fullständig lösning du har skrivit, får du en viss del av poängen
för varje uppgift. Summan av dina poäng för hela tentan bestämmer ditt betyg: 20
poäng ger betyg 3; 30 poäng ger betyg 4; 40 poäng ger maximala betyget 5. För
mindre än 20 poäng kommer du att få underkänd.
• Oavsett dina poäng för tentan får du inte betyget för kursen före du har redovisat
tre obligatoriska laborationer i Matlab.
5
Att tänka på för att undvika onödiga fel:
• Kontrollera så ni kan grundläggande beräkningssteg som bråkräkning, faktorisering av andragrads-polynom, räkneregler för exponential och logaritm funktionerna,
derivata av produkt och kedjeregeln osv.
• Singulär punkt betyder att funktionen är definierad och kontinuerlig i punkten, men
inte deriverbar i punkten.
• Lokala extrempunkter: Lokala extrempunkter kan finnas i kritiska punkter, ändpunkter
och singulära punkter, så glöm inte kolla alla tre typerna om de finns.
• Lokala extrempunkter: En kritisk, singulär eller ändpunkt behöver inte vara lokal
extrempunkt. Kolla tecknet på derivatan på båda sidor för att avgöra ifall den är
det.
• Absolutbelopp kan normalt hanteras genom att dela upp i två fall. Ena när argumentet är positivt, det andra när det är negativt.
• Derivatan av en symmetrisk funktion är antisymmetrisk och vice versa.
• Om f (−x) = f (x) så är lim f (x) = lim f (x) och lim f (x) = lim f (x).
x→a+
x→−a−
x→a−
x→−a+
(
g(x) om x ≤ a
• Antag f (x) =
med deriverbara funktioner g(x) och h(x). Funkh(x) om x > a
tionen f (x) är kontinuerlig i a om lim f (x) = lim f (x) = f (a), vilket här är
x→a−
x→a+
samma sak som lim g(x) = lim h(x) = g(a). Derivatan för x 6= a blir f 0 (x) =
x→a
x→a
(
g 0 (x) om x < a
. Observera att x = a inte ingår i det uttrycket. Derivatan f 0 (a)
0
h (x) om x > a
existerar om vänster och högerderivatan av f är lika (f−0 (a) = f+0 (a)), så om g 0 (x)
och h0 (x) är kontinuerliga så existerar f 0 (a) = g 0 (a) = h0 (a) om den sista olikheten
gäller. Om f 0 (a) inte existerar men f är kontinuerlig i a så är x = a en singulär
punkt.
• Om lim f (x) är mindre än alla lokala extrempunkter saknas minsta värde på grund
x→∞
av att funktionen inte antar gränsvärdet. Motsvarande gäller även för största värde,
gränsvärde mot öppen ändpunkt osv. För att funktionen ska ha ett största eller
minsta värde måste det finnas en punkt a ∈ Df så att f (a) är största eller minsta
värdet. Nära räcker inte.
• Använd l’Hôpitals regler endast för gränsvärden av typ [0/0] eller [∞/∞].
• Ofta är det enkelt att kontrollera svaret. Om man t.ex. räknat ut skärningslinjen
mellan två plan så kan man sätta in lösningen i båda ekvationerna för planen som
en kontroll. Kontroller kan göras på kladdpapper om man vill. Kontroller kan
elliminera många onödiga räknefel.
6