Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB/BMS ht11 Instuderingsfrågor inför delprov 2 på matematikens historia Johansson, Matematikens historia, kapitel 4-7 1. Redogör för hur man under antik tid skrev tal i Kina. Vilket system användes för att representera ta? Vilka praktiska orsaker fanns till hur talsymbolerna var uppbyggda? 2. Det mest kända antika verket om matematik i Kina är Nio böcker om räknekonsten. Redogör för dess historia, eventuella likheter med verk i Europa samt dess betydelse i Kina. 3. I bok 1 av Nio böcker om räknekonsten används ett approximativt värde på π, vilket? I samma bok ges en approximativ formel för beräkning av arean av ett cirkelsegment. Visa med figur hur approximationen såg ut geometriskt samt vilken formel den gav. 4. I bok 2 av Nio böcker om räknekonsten introduceras den s,k, treregeln. Vilket namn brukar den ha i europeisk matematik? Ge ett exempel på användningen. 5. I bok 6 av Nio böcker om räknekonsten finns ett problem: En vildand flyger från södra till norra havet på 7 dagar och en vildgås från det norra till det södra på 9 dagar. Antag att de 15 två fåglarna startar samtidigt. Säg : När möts de? Svar: 3 16 dagar. Hur löste Liu Hui denna uppgift? 6. I bok 9 av Nio böcker om räknekonsten behandlas en sats som kallas Gougu-regeln . Vilken känd sats rör det sig om? Ge ett exempel på något räkneexempel, från boken, som använder regeln. 7. Berätta om Liu Hui och något om den matematik han arbetade med. 8. Hur löser man modulo-problem och vad brukar man kalla den sats som lösningen bygger på? Det finns ett okänt antal föremål. Om man räknar dem tre och tre blir resten 2, om man räknar dem fem och fem blir resten 3 och om man räknar dem sju och sju blir resten 2. Hur många föremål finns det? Svar 23. 9. Redogör för verket Sulbasutra. Vad vet man om dess tillkomsttid. Vilken sorts matematik behandlas? Nämn ett exempel på en känd sats som finns med i verket. 10. Vilka två system använder man i Indien för talangivelse fr.o.m. de första århundradena e.Kr.? Vad är speciellt för Indien jämfört med andra kulturers sätt att ange tal? 11. Vad kunde anledningen vara till att man i Indien hade ett system med talnamn parallellt med siffersystemet? 12. Visa, med bokens uppställning, hur en division 1406/324 kunde gå till enligt Indisk algoritm. 13. När och var levde Aryabata? Vad handlade hans verk Arybhatiya om? 14. Berätta om Brahmagupta. När och var verkade han? Vad handlar hans verk Brahmasphutasiddhanta om? 15. I verket Brahmasphutasiddhanta finns en regel för hur man beräknar arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel. Formulera regeln med modernt skrivsätt och kommentera hur den hänger ihop med Herons formel. 16. Nämn något om verket Brahmasphutasiddhanta vad gäller algebra, negativa tal och talet noll. 17. Berätta om Bashkara och hans verk Lilavati. 18. Under 700-800 talen översattes flera grekiska verk till arabiska. Nämn några. Varför gjordes översättningarna? 19. Vad vet vi om al-Khwarizmi? När levde han? Var verkade han och varifrån härstammade han? 20. Vilken typ av siffror och talsystem behandlas i verket Dixit Algorizmi? 21. Redogör med ett exempel för metoden att kasta bort nior”. Vilka för- och nackdelar har den? 22. I en ”Kort Bok om Beräkning med Återställande och Reduktion” finns i titeln nämnt orden återställande samt reduktion. Visa med exempel vad dessa ord står för matematiskt. 23. Redogör för al-Khwarizmis geometriska metod att lösa ekvationen x2 + 10x = 39. Vilken eller vilka lösningar skulle al-Khwarizmi anse att ekvationen har? 24. Nämn några geometriska begrepp som tas upp i en ”Kort Bok om Beräkning med Återställande och Reduktion” . Vad behandlas i bokens andra hälft? Vad menas med retorisk algebra? 25. En mycket berömd vetenskapsman, filosof, läkare m.m. under medeltiden var Ibn Sina mera känd som Avicenna. Berätta om hans erfarenheter av utbildning. Varför var minnet så viktigt och hur lärde han sig indisk aritmetik? 26. Vad var det nya med Uqlidisis bok Boken i Kapitel om den Indiska Räknekonsten d.v.s.vad bidrog den främst med till utvecklingen av räknekonsten? 27. Vad innebar det att skriva tal med jummal-siffror? 28. Al-Kashi får i läroboken representera aritmetikens höjdpunkt. Varifrån kom han? Vid viken tid levde han? Vad arbetade han med? 29. I boken Nyckeln till räknekonsten presenteras en uppställning av en multiplikation i ett rutnät, där varje ruta är uppdelad av en diagonal i två delar. Visa hur man skulle beräkna 159 · 8741 med ett sådant rutschema. 30. I al-Kashis bok ”Nyckeln till aritmetiken” finns följande uttryck: Fem TAL och två TING och en KUB minus en KVADRAT och DEL AV TING multiplicerat med två KVADRATER och en KUB minus fyra och ett TING. Skriv det uttryck som det betyder med modern formulering. 31. Vad vet vi om binomialsatsens historia och den därmed sammanhängande Pacals triangel? 32. Nämn något om matematiken i Europa under det första millenniet e.Kr. 33. Under 1100-talet översattes en mängd vetenskaplig litteratur till latin. Ge några exempel på viktiga verk som översattes. 34. Redogör för biografiska data om Fibonacci. 35. Vilka olika matematiska områden behandlas i Liber abaci? 36. Beskriv Fibonaccis metod för multiplikation. Vilka svårigheter innehöll den? 37. Det mest kända räkneexemplet i Liber abaci handlar om kaniner. Redogör för exemplet. 38. Varför uppstod det räkneskolor mot slutet av 1200-talet? Vad var Treviso-aritmetiken? År 1456 var början på en utveckling som betytt mycket även för matematiken - vad gällde det? 39. Universitetens undervisning präglades från 1200-talet och lång tid framåt av en av antikens stora. Vem? Två ämnen diskuterades mycket dels oändligheten, dels rörelsens natur. Nämn något om de åsikter som förekom om dessa begrepp. 40. Vem var Girolamo Cardano? När och var levde han? Vad uträttade han inom matematiken? 41. Vad är Cardanos formel? Berätta något om de stridigheter som dess publicering vållade. 42. François Viète förändrade det algebraiska språket men inte så att det ännu liknar det moderna. Hur skrivs följande idag? 1C-6Q+11N är lika med 6. Gör 1N 1, 2 eller 3?