Diagnostiskt test 1
M0029M-HT14
Betygsgränser: 0-12 U, 13–17 3, 18-21 4, 22-26 5
Skrivtid: 240 min
Inga hjälpmedel tillåtna.
1. Använd induktion för att bevisa
n
X
k3−k =
k=1
3 2n + 3
−
, n ≥ 1.
4
4 · 3n
(5 p)
2. Beräkna följande gränsvärden om de existerar, i de fall gränsvärdena inte
existerar motivera varför.
a)
lim
x→2
|x − 2|
x3 − 8
(2 p)
b)
lim
√
x→−∞
x6 + 4x3 + x3
(2 p)
c)
x + x2 + sin(3x)
x→0 tan(2x) + 3x
lim
(2 p)
3. Trigonometriska funktioner.
a) Låt u = tan(x/2). Beskriv cos x med hjälp av u. Ledning: cos x =
cos(x/2 + x/2) = . . .
(3 p)
b) Härled en formel för tan(u + v) endast innehållande tan u och tan v.
0
Svar: 2. a) Existerar
ej. b) −2, c) 4/5, 3. a) (1 − u2 )/(1 + u2 ) b) (tan u + tan v)/(1 −
√
2
tan u tan v) 4. a) x/ x + 1 b) y = 3π(π − x)/(π + 1)
1
(2 p)
4. Derivata.
a) Beräkna
d√ 2
x +1
dx
med hjälp av derivatans definition. Derivera ”som vanligt” och jämför. (3 p)
b) Låt
x sin(3x)
.
x + cos2 x
Bestäm tangenten till y = f (x) i den punkt där x = π.
f (x) =
(2 p)
5. Lös en (och endast en) av följande uppgifter:
I) Låt f vara en funktion som är deriverbar i punkten x0 . Visa att f är
kontinuerlig i x0 . Gäller omvändningen? bevisa eller ge ett motexempel.
II) Definiera vad som menas med att f är deriverbar i en punkt x0 . Antag
att f är deriverbar i x0 och bestäm, med hjälp av derivatans definition,
d
2
(f (x)) dx
x=x0
d
cos x = − sin x. Man får utnyttja kända gränsvärden för
III) Bevisa att dx
sin och cos.
2
(5 p)