1. No category

Examensarbete
Bilder och byggen är bra även
för de bästa
matematikeleverna
- en studie om femteklassare som löser rika
problem
Författare: Frida Gleisner
Handledare: Håkan Sollervall
Examinator: Torsten Lindström
Termin: VT 2014
Ämne: Matematik
Nivå: Magisterarbete
Kurskod: 4MA11E
Bilder och byggen är bra
även för de bästa matematikeleverna
- en studie om femteklassare som löser rika problem
Frida Gleisner
18 januari 2015
Sammanfattning
Elever med varierad matematisk förmåga finner matematisk utmaning i olika sorters uppgifter. För att ge alla möjlighet att utmanas hänvisas eleverna ofta till enskild
räkning i läromedel, en undervisningsform som kraftigt har kritiserats bland annat för
att den ger litet utrymme för interaktion eleverna emellan. Den här studien redogör för
hur elever i heterogena elevgrupper löser matematiska problem som är konstruerade
för att utmana alla gruppens elever, inklusive elever med särskild matematisk förmåga. Fokus ligger på elevernas användning av olika representationsformer samt sociala
och sociomatematiska normer i klassrummet. Studien bygger på lektionsobservationer,
skriftliga elevlösningar och intervjuer med elever från årskurs fem som löser rika problem med växande mönster. Resultaten visar att alla elever mötte matematisk utmaning i uppgifterna, delvis utifrån den tolkning de gjorde av problemen. Elever som
visade god problemlösningsförmåga sökte tidigt generella lösningar till problemen och
mötte på så sätt en annan form av utmaning än övriga elever. Representationer med
laborativt material samt ritade bilder bidrog till ökad interaktion mellan eleverna och
alla elever deltog i matematiska samtal. I de gemensamma diskussionerna välkomnade
läraren en variation av lösningar och uppmuntrade eleverna till att kritiskt granska och
argumentera för olika lösningar, detta bidrog till att lektionerna gav eleverna goda förutsättningar att utveckla olika matematiska förmågor, förmågor som finns beskrivna
i grundskolans läroplan.
ii
Abstract
Students with different degrees of mathematical ability are challenged by different
types of problems. In an effort to give everyone an opportunity to be challenged, students are often instructed to solve problems individually in their textbooks, a teaching
format that has been criticized because it leaves little room for student interaction.
This study investigates how students in heterogeneous student groups solve mathematical problems that are constructed to challenge each student in the group, including
students with exceptional mathematical abilities. An emphasis is placed on the students’ use of different representations and on social and sociomathematical norms in
the classroom. The study relies on classroom observations, on written student solutions, and on interviews with fifth graders who have solved rich problems of large
complexity. The results show that all students found the exercises challenging, partly
thanks to their own interpretation of the problems - students who exhibited a strong
ability to solve problems looked for general solutions early on, and hence faced a different type of challenge than other students. Activities involving manipulatives as
well as illustrative figures contributed to the interaction between students, and all
students participated in mathematical discussions. During classroom discussions, the
teacher welcomed different viewpoints and encouraged students to analyze and argue
for different types of solutions. This provided an opportunity for students to develop
different mathematical skills as outlined in the curriculum for the compulsory school.
iii
Innehåll
1 Inledning
1
2 Bakgrund och tidigare forskning
2.1 Svenska skolan idag . . . . . . . . . . . .
2.2 Begåvade elever . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Elever med särskild matematisk förmåga
2.4 Differentiering som undervisningsform .
2.5 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Studiens syfte och frågeställningar . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
4
5
6
3 Teoridel
3.1 Lärande . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Läroplanens matematiska förmågor .
3.3 Problemlösningens faser . . . . . . .
3.4 Rika problem . . . . . . . . . . . . .
3.5 Sociala och sociomatematiska normer
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
. 6
. 8
. 9
. 10
. 10
.
.
.
.
.
.
11
11
11
12
12
13
13
4 Metod
4.1 Urval . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Genomförande . . . . . . . . .
4.3 Datainsamling och bearbetning
4.4 Val av problem . . . . . . . . .
4.5 Etiska överväganden . . . . . .
4.6 Reliabilitet och validitet . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Resultat och analys
5.1 Lektionernas genomförande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Problemet Stenplattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Metoder eleverna använde för att lösa problemet Stenplattor . . . . . . . . .
5.4 Problemet Tornet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Metoder eleverna använde för att lösa problemet Tornet . . . . . . . . . . .
5.6 Tre fallbeskrivningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Adam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Linda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Emil och Albin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Sociala och sociomatematiska normer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Läraren tycker om matematik och är entusiastisk över elevernas arbete
5.7.2 Matematik ska kommuniceras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Det är bra att hjälpa varandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Det är viktigt att förstå och att kunna förklara en lösning . . . . . .
5.7.5 Alla elevlösningar är välkomna och det är bra med flera lösningar . .
5.7.6 Lösningar på matematisk symbolisk form är bättre än bilder och
byggen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7 Läraren uppmuntrar kontroll och värdering av svar och metoder . . .
5.7.8 Alla ska förstå vad som sägs framme vid tavlan . . . . . . . . . . . .
5.8 Interaktion i klassrummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Utvärdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Generalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Utveckling av matematiska förmågor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
13
13
14
15
16
18
18
18
22
24
25
25
26
26
26
27
27
27
28
28
30
32
33
35
6 Diskussion
6.1 Vikten av bilder och laborativt material
6.2 Rika problem . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Enskilt, Parvis, Alla . . . . . . . . . . .
6.4 Högpresterande elevers problemlösning .
6.5 Svagpresterande elevers problemlösning .
6.6 Avslutande sammanfattning . . . . . . .
Referenser
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
36
37
37
37
38
39
40
v
1
Inledning
I den svenska skolan ska enligt skollagen alla elever få möjlighet att stimuleras och utmanas på en lämplig nivå och utvecklas utifrån sina färdigheter. En matematiklärare behöver
därför ta hänsyn till den variation av förmåga som finns i en elevgrupp och anpassa undervisningen därefter. Genom att nivågruppera eleverna minskar nämnda variation och
anpassningsbehovet förenklas. Nivågruppering är dock kontroversiellt, bland annat av sociala skäl. Den svenska gymnasieskolan har sedan 2009 spetsutbildningar där elever kan
läsa utvalda högskolekurser, en skolform som föregicks av livlig debatt.
I grundskolan har enskilt arbete i läroboken gjort det möjligt för elever att arbeta i
egen takt, ofta enligt lärobokens olika spår som väljs utifrån elevens förmåga. Individuellt
arbete i läroboken, där läraren hjälper en elev i taget, är mycket vanligt i svenska klassrum
(Pettersson, 2011; Skolverket, 2012b). Detta är en arbetsform som ökar och som har blivit
starkt ifrågasatt (Skolverket, 2003, 2004; SOU 2004:97, 2004). Jämfört med andra länder
som studerades i TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 2011,
spenderar svenska elever mycket tid med tyst räkning i läroboken (Skolverket, 2012b).
Den nya läroplanen för grundskolan från 2011, lyfter fram olika matematiska förmågor
som undervisningen ska syfta till att eleverna utvecklar, inklusive kommunikativa förmågor.
Hur ska en lärare kunna utmana och stimulera en hel elevgrupp samtidigt, inspirera till
matematiska samtal och ge en god undervisning till alla?
2
2.1
Bakgrund och tidigare forskning
Svenska skolan idag
Den svenska skolan och elevers lärande debatteras flitigt och matematikämnet har som
ett av kärnämnena hamnat i fokus. Rapporter som PISA-undersökningar och TIMSS har
uppmärksammats i skolvärlden, i media och av politiker.
Enligt den senaste PISA-undersökningen går de svenska resultaten i matematik nedåt.
År 2003 var resultaten signifikant högre än OECD-genomsnittet, 2006 och 2009 låg de på en
genomsnittlig nivå, medan de vid senaste mätningen, 2012, låg signifikant lägre (Skolverket,
2013). Sverige presterar även under genomsnittet i PISA-undersökningens digitala prov
avsett att mäta kreativ problemlösning, något som många trott Sverige skulle klara bra
(Skolverket, 2014). Samma nedgång kan ses i läsförmåga och i naturvetenskap vilket gör
det troligt att de bakomliggande orsakerna knappast är ämnesspecifika. Samtidigt presterar
svenska elever bra i engelska och samhällsvetenskap1 , ämnen som inte mäts i PISA och
kunskaper i dessa ämnen tycks heller inte ha försämrats över tid (Skolverket, 2013).
Resultaten från TIMSS, som undersöker kunskaperna i matematik och naturvetenskap
bland elever i årskurserna 4 och 8, visar att de svenska elevernas kunskaper i matematik
ligger under genomsnittet både år 2007 och år 2011, de visar också att för årskurs 8 sker
en försämring över tid. Skolverkets rapport lyfter fram problemet med en svag kunskapsutveckling mellan de två undersökta årskurserna, svenska elever lär sig inte tillräckligt
mycket mellan årskurs 4 och 8 (Skolverket, 2012b).
Försämrade resultat noteras även på högskolenivå. På diagnostiska prov, skrivna av nya
ingenjörsstudenter vid KTH och Chalmers, visar resultaten från 2014 att en tredjedel av
eleverna misslyckas med uppgifter på grundskolenivå. År 1992 löstes de svåraste problemen
av 27 procent av studenterna, 2014 har den andelen sjunkit till fem procent (Sundén
Jelmini, 2014, 21 april).
1
Skolverket refererar till sina två rapporter Morgondagens medborgare (2010) och Internationella språkstudien 2011 (2012).
1
Vid arbetet med den nya läroplanen, som togs i bruk 2011, låg resultaten från PISA och
TIMSS delvis till grund för innehållet, bland annat kritiseras omfattningen av elevernas
tysta räkning:
”Utvärderingarna och granskningarna visar att undervisningen i matematik i
stor utsträckning är präglad av enskild räkning, vilket får till följd att eleverna
i undervisningen har begränsade möjligheter att utveckla förmågan att lösa
problem. Det innebär också att eleverna sällan har fått möjlighet att använda
matematiken i vardagen och inom olika ämnesområden. Mot bakgrund av detta
är ambitionen med den nya kursplanen att betona vikten av att eleverna ges
möjlighet att använda matematiken i olika sammanhang, utveckla förmågan att
lösa problem, använda logiska resonemang samt att kommunicera matematik
med hjälp av olika uttrycksformer.” (Skolverket, 2011a, sid. 6)
Svenska matematiklektioner inleds ofta med en kortare gemensam genomgång av läraren
som följs av tyst räkning i läroboken där rutinartade uppgifter ska lösas, uppgifter som
liknar dem läraren tagit upp. På detta sätt får läraren snarare en handledande roll än en
undervisande (Pettersson, 2011). Det är en undervisningsform som innehåller få variationer
av innehåll och arbetssätt (Skolverket, 2003).
Jämfört med den tidigare kursplanen lyfter den nuvarande fram vikten av att kommunicera matematik med olika uttrycksformer. I kommentarerna till kursplanen poängteras att kommunikationen ska vara såväl muntlig som skriftlig. Läroplanen är skriven
för att uppmuntra till en kreativ och problemlösande verksamhet där eleverna utmanas
tillsammans och får uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att hitta egna
lösningar till problem (Skolverket, 2011a).
En elevgrupp som ofta saknar utmaningar i skolan är begåvade elever och tvärtemot
vad många tror är det en grupp som inte bör lämnas ensamma i sitt arbete (Pettersson,
2011). Den senaste PISA-undersökningen visar att andelen femtonåringar, som benämns
högpresterande i matematik, har halverats sedan 2003 (Skolverket, 2013). Problemet har
uppmärksammats och i många kommuner uttrycks en vilja att arbeta aktivt för att kunna
erbjuda en god, anpassad undervisning för dessa elever (Sveriges kommuner och landsting,
2014).
2.2
Begåvade elever
Människan har alltid fascinerats av extrema prestationer och exceptionell förmåga. Att
vara begåvad har historiskt sett betraktats som något inneboende i människan, medfött
och statiskt, att vara begåvad har setts som gudomlig gåva (Pettersson, 2011).
När begåvning, giftedness, i slutet av 1800-talet blev föremål för forskning, antogs det
generellt att begåvning kunde likställas med intelligens som var mätbar med test och fram
till 1980-talet mättes begåvning vanligtvis med IQ-test (Mattsson, 2013). Dessa test och
betoningen på logiskt tänkande kom att ifrågasättas. Gardner presenterade 1983 sju olika
typer av intelligens; språklig, musikalisk, logisk-matematisk, spatial, kroppslig-kinetisk,
självkännedom, och social intelligens. Breddas begreppet intelligens på detta sätt går den
inte att mäta med ett traditionellt IQ-test.
Antagandet om att begåvning var statisk ifrågasattes också och vissa menade att begåvning kunde visa sig vid en tidpunkt men vara dold vid en annan. Allteftersom avtog
även idén att begåvning automatiskt visade sig i goda skolresultat. En begåvad elev kunde vara kreativ och produktiv på ett sätt som inte passade in i en traditionell skolmiljö
(Mattsson, 2013).
Nutida modeller betraktar begåvning som något utvecklingsbart (Mattsson, 2013) och
den antas vara en frukt av både arv och miljö och orsakas av många olika faktorer (Pettersson, 2011). En del forskare beskriver begåvning som en potential för framstående presta2
tioner, med andra ord kan en person vara begåvad utan att detta har kommit till uttryck
(Pettersson, 2011).
Det råder ingen enighet kring hur begåvning ska definieras, definitionerna har bedömts
vara över hundra, det finns heller ingen enhetlig modell för hur begåvning kan identifieras
(Mattsson 2013; Pettersson 2011; Skolverkets, 2012a). Roland Persson (1997) väljer att
beskriva särbegåvade på följande sätt:
”Den är särbegåvad som kontinuerligt förvånar både kunskapsmässigt och tillämpningsmässigt genom sin osedvanliga förmåga i ett eller flera beteenden. Ett beteende i detta sammanhang förstås som en mänsklig prestation, aktivitet eller
funktion.” (sid. 50)
Villkoren för hur mycket en begåvad individ ska utmärka sig från andra varierar. Flera
forskare utgår från en övre percentil av det totala individantalet, där alltifrån de övre 20
till den övre 1 procenten benämns begåvade (Mattsson, 2013).
I sin avhandling Tracking mathematical giftedness in an egalitarian context skriver
Mattsson (2013) att begåvning är ett område som är mycket sparsamt undersökt i Sverige.
Vidare beskriver hon Sverige som en kultur med en filosofi av likhet där alla ska ges samma
möjlighet att nå samma resultat och följaktligen spenderas stora resurser på dem som har
svårt att nå resultat på en minimimnivå. Detta står i kontrast mot USA som är en kultur
med en filosofi av lika möjligheter där alla elever ska ges samma möjlighet att utveckla sin
begåvning. Utifrån denna filosofi finns det i den amerikanska kulturen större acceptans för
att premiera och uppmärksamma högpresterande elever.
I en svensk studie (Wistedt, 2008) tillfrågades rektorer på vilket sätt de stimulerade
begåvade elever. Flera av rektorerna visade förvåning över frågan och, även om de fann
frågan intressant, lämnade kommentarer om att den var känslig och politiskt inkorrekt.
En anledning till oviljan att spendera resurser på begåvade elever, som av många även
tros vara högpresterande, kan vara att högpresterande elever i större utsträckning kommer
från familjer som har hög socioekonomisk status och hög utbildningsnivå. Starten av de
nya spetsutbildningar som ges på gymnasial nivå har skapat utmaningar för den svenska
idén om vad jämlikhet i skolan innebär (Mattsson, 2013).
2.3
Elever med särskild matematisk förmåga
På samma sätt som det inte råder enighet kring begreppet begåvning, finns det ingen enhällig definition av matematisk begåvning eller hur dessa individer ska benämnas. Det talas
bland annat om elever som har fallenhet för matematik, matematikbegåvningar och elever
som är särbegåvade i matematik. Eftersom begreppet begåvad ofta förknippas med en egenskap som vissa barn har och andra barn saknar förespråkar Wistedt (2005) användandet
av begreppen förmåga eller förmågor vilka generellt betraktas som utvecklingsbara.
I Sverige finns en skollag2 och en läroplan som, nu mer än tidigare, lyfter fram hur
elever med särskild matematisk förmåga ska undervisas:
”Alla barn och elever ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt
lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. /.../
Elever som lätt når de kunskapskrav som minst ska uppnås ska ges ledning och
stimulans för att kunna nå längre i sin kunskapsutveckling”
(Skollagen, kap 3, 3 §)
”Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den ska
främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling med utgångspunkt i
elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper.”
(Skolverket, 2011b, sid. 8)
2
Utbildningsdepartementet (2009).
3
En vanlig myt om elever med särskild matematisk förmåga är att de är en grupp som
har så lätt för sig att de klarar sig själva och traditionellt har den svenska skolan inte velat
erbjuda någon särskild undervisning för elever som har förmåga att prestera långt mer än
vad som anses vara en normalprestation. Att dessa elever klarar sig på egen hand avvisas
i forskningen (Persson, 1997; Pettersson, 2011; Mattsson 2013). Den som har en specifik
förmåga har också ett specifikt behov (Persson, 1997).
Tvärt emot vad många tror mår elever med särskilda förmågor ofta dåligt i skolan och
har sociala problem, problem som ofta orsakas av brist på utmaning och stimulans (Persson, 1997; Pettersson, 2011). Petterson (2011) menar att det inte ger tillräcklig utmaning
att hänvisa eleverna till enskilt arbete i läromedel och att det är väsentligt att finna en
undervisningsmodell som utmanar och utvecklar dessa elevers förmågor.
Sveriges Kommuner och Landsting (SKL) har tillsammans med enskilda kommuner
publicerat en handlingsplan Handlingsplan Särbegåvade elever 2014 som ett led i att höja de svenska skolresultaten och att hjälpa kommunerna förbättra sina rutiner för dessa
elever. Utgångspunkten för arbetet med planen är tre frågeställningar som tar upp identifikation av särbegåvade elever, anpassad undervisning för dessa samt kompetensutveckling
för skolans personal. Tre olika strategier för att höja motivationen hos särbegåvade elever
presenteras; acceleration, berikning och aktiviteter utanför skoldagen. Acceleration kan
innebära att eleverna tillåts fortsätta framåt i ett högre tempo, det kan ske genom hastighetsindividualisering, nivågruppering, tidigare skolstart eller överflyttning till en högre
årskurs, varav de två senare är relativt ovanliga i Sverige. Vid berikning kan eleven få arbeta med fördjupningsuppgifter inom samma område som sina kamrater. Ibland betraktas
felaktigt även arbete med fler liknande uppgifter, som de redan avklarade, som berikning
(Pettersson, 2011). I handlingsplanen från SKL ges exempel på aktiviteter utanför skoldagen, exempelvis kan det röra sig om att träffa en mentor, delta i spetsundervisning, delta i
tävlingar eller ta jägarexamen. Sammanfattningsvis exemplifieras de tre strategierna för att
öka särbegåvade elevers motivation främst med aktiviteter som skiljer ut den särbegåvade
eleven från den övriga klassen.
2.4
Differentiering som undervisningsform
Elever med särskild matematisk förmåga behöver, precis som andra elever, utmanas i skolan
(Pettersson, 2011). Ett sätt att strukturera undervisningen för att skapa möjlighet för
att högpresterande elever ska utmanas är nivågruppering. En sådan differentierad undervisningsform har beskrivits som komplex och svårstuderad och effekterna kan vara både
positiva och negativa, (Wallby, Carlsson, & Nyström, 2001).
Det finns forskningsresultat som tyder på att en heterogen gruppsammansättning, där
högpresterande och lågpresterande elever blandas, är bra. Dessutom är det svårt att dela
in elever i homogena grupper eftersom elever som delas in utifrån vissa prestationer inte
behöver vara lika för övrigt och kan uppvisa skilda matematiska förmågor. Samtidigt finns
de som menar att heterogena grupper inledningsvis är bra, men att en senare indelning i
homogena grupper gör att kompetenta elever utmanas och lågpresterande elever får möjlighet att få mer utrymme i undervisningen och exempelvis leda arbetet i en mindre grupp
(Ahlberg, 1991).
Det är osäkert om nivågruppering blivit mer eller mindre vanligt över tid, men mycket
tyder på att det sker en differentiering på skolnivå genom att högpresterande och mer
motivierade elever gör ett aktivt skolval medan många lågpresterande elever går i sin
anvisningsskola (Skolverket, 2014).
En risk som lyfts fram med nivågruppering är att den skapar låga förväntningar hos
lärarna på lågpresterande elever och att dessa härav presterar under sin förmåga (Wallby m.fl., 2001). Det finns visst stöd för att högpresterande vinner mer på nivågruppering
än lågpresterande (Skolverket, 2014). Nivågruppering verkar gynna de duktigaste eleverna
mest om de får läsa ett annat kursinnehåll än den övriga klassen och lära sig matematik
4
inom områden som de annars inte skulle komma i kontakt med (Wallby m.fl., 2001). Däremot går forskningsresultaten isär om huruvida begåvade elever gynnas mest av att arbeta
med fördjupning bland sina jämnåriga kamrater eller av att lyftas ur klassen för att arbeta
med den gemensamma kursen i egen takt (Wistedt m.fl., 2012). Att på detta sätt erbjuda
individuella fördjupningsuppgifter eller tillåta eleven arbeta på egen hand framåt i läroboken är vanligt i Sverige. I en enkätstudie, där svenska lärare fick berätta vad de gör för att
stimulera elever med särskild matematisk förmåga, anger 80 procent att de använder något
av de två nämnda alternativen (Pettersson 2011). Båda alternativen innebär individuellt
arbete för eleven, en arbetsform som anses ha negativ påvekan på elever i allmänhet och
även på elever med särskild matematisk förmåga (Skolverket, 2012a).
Elever med särskild matematisk förmåga klarar sig inte på egen hand, de behöver pedagogiskt stöd och behöver lära sig att kommunicera matematik (Wistedt, 2008; Mattsson,
2013).
Elevernas sociala behov behöver också bli tillgodosedda. I Vetenskapsrådets rapport
Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik i en skola för alla (2012)
förordar Wistedt m.fl. arbete i klustergrupper där barn från olika klasser vid vissa tillfällen
samlas, ges berikande uppgifter och träffar kamrater som delar deras intressen. Vidare
föreslår de att en mentor ger individuellt stöd genom att träffa barnet under någon eller
några timmar i veckan. De förordar även pedagogiska lösningar för hela klassen, som att
arbeta med laborativa och problemlösande övningar.
2.5
Problemlösning
Problemlösning är central inom matematiken och nämns många gånger i den svenska läroplanen, dess roll i skolan har dock förändrats över tid. Wyndhamn, Riesbeck, and Schoultz
(2000) beskriver en övergång från lärande av matematik för att lösa problem där matematiken är ett medel och problemlösningen ett mål, till en undervisning om problemlösning
där strategier lärs ut, och vidare till lärande av matematik via problemlösning där problemlösning ses som en väg till lärande av matematiska begrepp, principer och metoder.
Synen på problemlösning som ett medel för lärande av matematik presenteras i Lgr-94.
Ska lärande ske på detta sätt behöver problemen vara valda för att eleverna ska upptäcka
ett visst innehåll och det kan vara svårt att hitta och välja ut lämpliga problem (Taflin,
2007).
Skolverket beskriver matematiska problem som:
”situationer eller uppgifter där eleverna inte på förhand känner till hur problemet ska lösas. Istället måste de undersöka och prova sig fram för att finna en
lösning. Matematiska problem kan också beskrivas som uppgifter som inte är
av rutinkaraktär.” (Skolverket, 2011a, sid. 25)
Taflin (2007) delar upp matematikuppgifter i rutinuppgifter och problemuppgifter beroende
på om eleven i förväg vet hur uppgiften kan lösas. Ett lästal kan vara en rutinuppgift för
en elev och en problemuppgift för en annan. Vad som kan definieras som ett matematiskt
problem beror således på individen som ska lösa uppgiften. Taflin påpekar att uppgifter
som innehåller text ibland skapar språkliga svårigheter utan att uppgiften för den skull
kan beskrivas som ett matematiskt problem.
Att utmanas genom problemlösning anses bra för alla elever inklusive de med särskild
matematisk förmåga (Hagland, Hedrén & Tafin, 2005; Pettersson, 2011; Wistedt m fl, 2012)
och matematisk begåvning beskrivs ofta i termer av förmåga att lösa matematiska problem
(Mattsson, 2013). Problemlösande aktiviteter tros också vara ett bra arbetssätt om man vill
upptäcka elever med särskild matematisk förmåga (Dahl, 2011). Elever som löser problem
tillsammans blir medvetna om hur de tänker och lär sig att styra sitt eget tänkande och det
är viktigt att alla elever uppmuntras att delta i diskussionen och bidra med idéer (Ahlberg,
1991). För att öka tryggheten och öppenheten i en grupp som löser matematiska problem
5
ska inte sammansättningen av medlemmar ändras alltför ofta. Grupper som ges chans att
arbeta tillsammans under längre tid arbetar som regel bäst. För att samarbetet ska bli
produktivt är det även viktigt att eleverna delar på ansvaret för att gruppen ska nå sitt
mål och lösa problemet, de behöver ha tillit till sin egen och andras förmåga (ibid.).
Sammanfattningsvis kan sägas att det finns stöd för att alla elever behöver möta matematisk utmaning i undervisningen, att de får arbeta med matematiska problem och att
detta arbete får ta tid. Alla elever verkar gynnas av att lösa uppgifter tillsammans och
att inte lämnas ensamma med individuellt arbete. Gemensamt arbete kan ske i nivåindelade grupper men forskning visar att en sådan differentiering kan medföra vissa risker för
lågpresterande elever.
2.6
Studiens syfte och frågeställningar
Studiens syfte är att undersöka hur elever i heterogena elevgrupper löser matematiska
problem som är konstruerade för att utmana alla gruppens elever, inklusive elever med
särskild matematisk förmåga. Forskningsfrågorna som ställs är:
• Hur stimulerar en interaktiv undervisning med rika problem utveckling av alla elevers
matematiska förmågor?
• Hur understöds eller hindras denna utveckling av sociala och sociomatematiska normer?
3
3.1
Teoridel
Lärande
Lärande genom interaktion och vikten av matematiska samtal lyfts fram i flera teoribildningar. En inflytelserik teoretiker som betonar kommunikationens betydelse är Vygotskij. Vygotskij, som skrev sina texter i Ryssland under tidigt 1900-tal, vände sig emot
dåtidens undervisningsteorier vilka han ansåg inte tog hänsyn till elevernas potential till
utveckling och lärande (Lindqvist, 1999). Ett barn, menade han, är tillsammans med en
vuxen eller annan mer kunnig person i stånd att utföra sådant som det inte kan göra på
egen hand. Denna typ av kunskap och förmåga är inte mätbar hos barnet självt men är
ett uttryck för vad barnet snart kommer kunna klara av på egen hand. Vygotskij använde
begreppet den proximala utvecklingszonen för den zon inom vilken ett barn har potential att utvecklas. Genom att låta barnet lära tillsammans med en vuxen i den proximala
utvecklingszonen stöds barnet i sin utveckling (Vygotskij, 1935).
Vad Vygotskij menar med den proximala utvecklingzonen har tolkats av flera. Bruner
tillhör dem som använder termen stöttning, scaffolding, där den vuxne ses som ett stöd
för eleven som exempelvis får se hur ett problem kan lösas. När stödet sedan tas bort är
det meningen att eleven ska kunna klara uppgiften utan hjälp (Lindqvist, 1999). Enligt
Bruner (1966) behöver den vuxne hjälpa eleven genom att använda ett begripligt språk och
uppmuntra till korrigering genom att uppmärksamma information som ges i problemet.
Stöttning kan ställas i kontrast till lotsning som innebär att eleven, utan att förstå
varför, blir hjälpt att utföra olika moment som leder fram till en lösning. Lotsning kan
ske genom en vuxen men också genom mönster i typexempel, rubriken på avsnittet eller
begrepp i uppgiften (Wyndhamn, 2000).
För att undervisning ska leda fram till en form av kunnande där eleven kan utvärdera
sin egen insats behöver läraren korrigera eleven på ett sätt som gör det möjligt för eleven att
själv ta ställning till resultatet, i annat fall riskerar han eller hon att utveckla färdigheter
som är beroende av hjälpen från en lärare (Bruner, 1966).
I sin bok Toward a Theory of Instruction (1966) beskriver Bruner hur människan har
utvecklat tre parallella system för att bearbeta information och representera världen; med
6
handling, med bilder och med symboler. Dessa tre former kallas enaktiv, ikonisk och symbolisk representationsform. Människan representerar världen genom handlingsrutiner (enaktiv), genom bilder (ikonisk) eller genom symboler (symbolisk) och går i sin utveckling
från att använda handlingsmönster och fysiska objekt till bilder och vidare från dessa två
till symbolisk representation. De enaktiva och ikoniska representationsformerna beskrivs
som ett villkor och ett stöd för symbolspråket men det omvända kan även förekomma;
språket och abstrakta symboler blir ett stöd för att tolka en företeelse eller en bild. Enligt
Bruner (1966) följer lärandet denna ordning men han vill inte knyta utvecklingen till en viss
ålder. Senare kommenterar Bruner (1996) sin tidigare syn på progression från en enaktiv
via ikonisk till symbolisk representation och säger sig ha övergett tanken att övergången
endast sker i den riktningen.
I kommentarerna till Lgr-11 (Skolverket, 2011a) beskrivs övergången från att uttrycka
matematik med konkret material och bilder till att använda mer precisa och välutvecklade
matematiska symboler som en progression. Ett av matematikundervisningens mål är att
förstå och kunna uttrycka sig med ett abstrakt symbolspråk. Men enligt Bruner (1966) kan
en lärare inte utgå från att en elev som behärskar symbolsystemet enbart kan förlita sig på
det, för då har eleven ingenting att falla tillbaka på när de symboliska representationerna
inte räcker till vid problemlösning. En elev som har lärt sig att abstrahera kan i viss
mån lämna behovet av att använda fysiska objekt eller använda ritningar men kommer
fortfarande att förlita sig på det förråd av inre bilder som skapades innan eleven lärde sig
att abstrahera. Det är dessa bilder som gör det möjligt att arbeta på ett heuristiskt sätt
vid problemlösning (Bruner, 1966).
I jämförelse med Bruner har Duval delat upp matematiska representationer i register,
där enaktiva och ikoniska representationer utgör ett register, diagram och grafer ett andra register och numeriska beräkningar och matematiska uttryck på symbolform ett tredje
register (Markkanen, 2014). Duval beskriver även ett fjärde register som innefattar bl.a.
benämning av objekt, argumentation och slutsatser. Detta register kommer inte tas upp
ytterligare i denna uppsats. Innehåll i ett register kan behandlas till en liknande representationsform inom samma register. I registret med enaktiva och ikoniska representationer
kan ett bygge av klossar behandlas genom att det avbildas på papper, en bild som sedan
kan behandlas, exempelvis genom att byggets olika delar ritas var och en för sig. Ett matematiskt uttryck, som 7+7+5+5, kan behandlas och skrivas om till 2 · 7 + 2 · 5. Att
på detta sätt behandla innehåll inom ett och samma register är enligt Duval (2006) vad
elever övar mest på i skolan. Att istället överföra innehåll från ett register till ett annat,
något Duval benämner konvertering, är en större kognitiv utmaning. Ska kuberna i ett torn
beräknas kan innehåll från bilden av tornet konverteras till matematisk symbolform, där
kuber och beräkningar representeras med tal och andra symboler. Konvertering kan även
ske åt andra hållet; för att förstå en lösning skriven på symbolform kan symbolerna tolkas
med en bild. Elever har som regel svårare att konvertera innehåll mellan register än att
behandla innehåll inom ett register eftersom konvertering kräver att eleven har två eller
fler register aktiva samtidigt (Duval, 2006).
De två representationsformer som Bruner (1966) benämner som enaktiva och ikoniska
placerar Duval i ett och samma register (Markkanen, 2014). Trots detta kommer övergångarna mellan ikonisk och enaktiv form inte jämställas med behandling i analysen av denna
studies resultat, utan snarare ses som konvertering mellan två olika register.
En diagrammatisk bild, som är ett mellanting mellan en ikonisk bild och ett diagram,
se figur 1, kräver minst två aktiva register eftersom bilden och symbolerna behöver tolkas
tillsammans. Denna typ av bild kan vara praktisk att rita eftersom symbolerna tillför information som bilden i sig inte behöver innehålla, exempelvis behöver en diagrammatisk
bild inte vara proportionerligt ritad om proportionerna anges med symboler. Ska en metod
generaliseras kan en bild användas som i figur 1, där symboler i den högra bilden skiljer
sig från de i den vänstra utan att bilden ritats om. Vid en sådan generalisering behöver
7
4
15
1
1
Figur 1: Diagrammatiska bilder.
innehållet i det ursprungliga registret, här kunskap om bilden, hållas aktivt för att symbolerna ska kunna tolkas på rätt sätt och eventuell vidare generalisering vara möjlig. Om den
vänstra bilden i figur 1 illustrerar ett torn byggt av fyra kuber är den proportionerlig på så
sätt att tornets bas står i proportion till dess höjd. Om bilden till höger illustrerar ett torn
som är 15 kuber högt finns informationen om tornets höjd endast i talet 15. Tolkningen
av den högra bilden kan bli fel om detta inte hålls i minnet.
3.2
Läroplanens matematiska förmågor
I den svenska läroplanen för grundskolan sammanfattas matematikundervisningens syfte
med fem förmågor som eleven ska ges förutsättningar att utveckla:
• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
och metoder,
• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa
rutinuppgifter,
• föra och följa matematiska resonemang, och
• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra
för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011b, sid 63).
Två av dessa förmågor beskrivs som kommunikativa och i kommentarerna till läroplanen
står det att ”Först när eleverna har utvecklat förmågan att kommunicera matematik kan
matematiken utvecklas till ett funktionellt verktyg i olika sammanhang” (Skolverket, 2011a,
sid 11). Ämnet som helhet framställs i läroplanen och dess kommentarer som kommunikativt och kreativt. Eleverna ska med tilltro till sin matematiska förmåga våga pröva sig
fram förutsättningslöst och jämföra olika metoder, inte endast fokusera på ett ”rätt sätt”
att lösa en uppgift.
När matematik ska kommuniceras behöver den kläs i ord eller representeras på andra
sätt. I föregående avsnitt nämndes Bruners indelning av representationer i enaktiv, ikonisk och symbolisk form samt Duvals indelning av representationer i olika register. Att
kunna representera matematik i handling, tal och skrift är viktiga element i läroplanens
fem förmågor och nödvändigt för matematisk kommunikation. Representation är en av
fyra matematiska processer som nämns av Blume m.fl. (u. å.), de övriga tre är utvärdering, generalisering och definiering. Eleverna behöver kunna använda sig av alla dessa fyra
processer för att utveckla läroplanens förmågor. Strategier, metoder och andra elevers argument behöver utvärderas, begrepp definieras och metoder generaliseras. Vid studier av
elevers lärande har representation en särställning eftersom det är genom denna process
som de övriga tre processerna görs synliga.
8
Att generalisera kan beskrivas som att överföra egenskaper som tillskrivs en mängd
matematiska objekt till en större mängd objekt, en process som vanligtvis börjar med
upptäckter av likheter och skillnader mellan objekten. Observerade mönster av egenskaperna leder till antaganden om objektens egenskaper, mönstren kan vara visuella eller
symboliska (Blume m.fl., u.å.). Förmågan att generalisera är en av de egenskaper som Pettersson (2011) tar upp i sin studie av matematiskt särbegåvade barn. Det är en egenskap
som sägs känneteckna matematisk begåvning och som är framträdande bland de elever hon
har studerat.
3.3
Problemlösningens faser
Problemlösning har av olika teoretiker delats in i ett flertal faser. I sin bok How to solve it
(1945) delar Pólya in problemlösning i fyra olika faser:
1. Förstå problemet,
2. göra en plan,
3. genomföra planen,
4. utvärdera lösningen.
En elev kan ha tur och hitta en framgångsrik metod direkt och på detta sätt hoppa över
några av stegen, men det bästa är att gå igenom alla de fyra faserna. Det värsta som
kan hända, menar Pólya, är att eleven leds direkt till den tredje fasen och lotsas genom
beräkningarna utan att ha förstått problemet. Att på detta sätt fokusera på detaljer utan
att förstå hur planen valdes, eller förstå sambanden mellan problemets olika delar, beskrivs
som meningslöst (Pólya, 1945). Istället för att lotsas ska eleven arbeta själv så mycket som
möjligt men inte lämnas helt ensam, då det kan resultera i att det inte sker några framsteg.
Läraren ska enligt Pólya försöka förstå hur eleven tänker och hjälpa till, ”not too much and
not too little”. Eleven ska med fördel få uppleva hur han kan använda sina egna idéer,
istället för att matas med lärarens lösningar, en idé som eleven kommit på själv glöms inte
lika lätt bort (Pólya, 1945).
Problemet ska inte vara för lätt och inte för svårt utan ge eleven en lagom utmaning
genom de fyra faserna (Pólya, 1945). Men även ett väl valt problem kan få elever att hasta
igenom fas ett och två där problemet ska analyseras och lämpliga metoder väljas ut. Detta
sker om eleverna inte har fått ett riktigt förhållningssätt till problemlösning utan främst
värdesätter genomförandet av beräkningar.
Förmågan att utvärdera sina lösningar, Pólyas fjärde fas, tas även upp av Schoenfeld
(2011) som använder begreppet självreglering. Schoenfeld beskriver fyra faktorer som avgör
om en problemlösare är framgångsrik:
1. Elevens matematiska kunskaper,
2. strategier eleven behärskar,
3. självreglering och
4. synen på sig själv och matematik.
Självreglering beskrivs av Schoenfeld som en aspekt av metakognition och han menar
att det visat sig framgångsrikt att hjälpa elever att kritiskt granska sina valda strategier.
Metakognitivt tänkande kan uppmuntras genom att eleven lär sig ställa frågor som ”Vad gör
jag?”, ”Varför gör jag det?”, ”Hur hjälper det mig att lösa problemet?”. Bra problemlösare
förlorar sig inte långa stunder i felaktiga gissningar, de har en förmåga att utvärdera
sitt arbete och de ser om en gissning är fruktbar (Schoenfeld, 1987). Problemlösning och
självreglering är enligt Schoenfelt (1994) en social aktivitet. Lärandet sker i en gemenskap
9
och det är viktigt att eleverna får förklara sina idéer och gemensamt granska dessa (Taflin,
2007; Schoenfeld, 1994, 2013).
Utifrån de här beskrivna faserna i problemlösning kan problemlösningsförmågan, beskriven i läroplanen, anses innefatta förmågorna att förstå problemet, att hitta en strategi
och göra en plan, att utföra planen samt att kontinuerligt utvärdera det pågående arbetet.
3.4
Rika problem
En väl vald uppgift kan ge lämplig utmaning och leda till matematiska samtal kring metoder och uttrycksformer. För att närmare beskriva kvaliteterna hos uppgifter som fungerar
på detta sätt har Taflin (2007) undersökt vad hon kallar för Rika problem. Ett rikt problem
kan vara ett standardproblem som utvidgats så att det i högre grad uppmuntrar till kreativ
problemlösning och matematiska samtal i klassrummet. Utvidgningen ska möjliggöra flera
olika lösningar som elevgruppen kan diskutera gemensamt, jämföra och värdera. Egenskapen att vara ett rikt problem beror på individen och situationen, ett problem är inte rikt
i sig själv utan har potentialen att vara rikt. Taflin (2007) formulerar i sin avhandling sju
kriterier för rika problem:
1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det.
3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid.
4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer.
5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska
idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.
(Taflin, 2007, sid. 56)
Problemen, som används i denna studie, är valda med förhoppningen att de ska fungera
som rika problem, framför allt önskas de fem första kriterierna uppfyllas.
Ett rikt problem ska förstås av alla och erbjuda en utmaning för alla elever. För att
lyckas med detta i en heterogen elevgrupp kan problemet innehålla olika deluppgifter där
det första kan uppfattas som lättare än de följande, Taflin ger exempel på sådana i boken
Rika matematiska problem (Hagland m.fl., 2005).
En fördel med att utveckla ett problem som eleven löst istället för att direkt gå vidare
till ett nytt är att eleven känner tillfredsställelse och får självförtroende inför nästa problem.
Eleven önskar använda tidigare erfarenheter i nästa situation (Taflin, 2007).
3.5
Sociala och sociomatematiska normer
Interaktionen i klassrummet, elever emellan och mellan lärare och elever, styrs av sociala
normer, och i ett matematikklassrum är vissa av dessa ämnesspecifika sociomatematiska
normer (Yackel & Cobb, 1996). Pettersson (2011) beskriver ett klassrums sociala normer
som ”regelbundna mönster som reglerar elevernas interaktion med varandra och som är
ämnesoberoende” (sid. 67). En förväntan på att eleverna ska kunna argumentera för sina
svar och att svaren ska skilja sig från redan givna svar är exempel på sociala normer. Vad
som bedöms vara en godtagbar matematisk lösning eller vad som anses vara en lösning som
10
skiljer sig matematiskt från tidigare presenterade lösningar är exempel på sociomatematiska
normer (Yackel & Cobb, 1996).
Normerna kan hamna i konflikt med varandra. Den sociomatematiska normen som säger
att eleverna ska föra matematiska samtal kan hamna i konflikt med normen att det ska vara
tyst i ett matematikklassrum och att matematikundervisning bör utgöras av individuellt
arbete i en lärobok. Normen som säger att läraren ska kunna förklara så att alla elever
förstår kan utmanas av normen att alla elever ska kunna bidra med lösningar, lösningar
som kanske vare sig lärare eller övriga elever förstår (Pettersson, 2011).
De sociala och sociomatematiska normerna styr matematikundervisningen och påverkar elevernas möjlighet till lärande. I sin avhandling studerar Pettersson (2011) hur elever
med fallenhet för matematik bemöts i skolan och vilken betydelse detta bemötande har
för deras utveckling. Hon finner att elever, särskilt de med fallenhet för matematik, gynnas av ett undersökande arbetssätt där eleverna löser utmanande uppgifter tillsammans
och där läraren förväntar sig kreativa och unika lösningar. Begåvade elever gynnas av ett
klassrumsklimat där individerna inte förväntas passa in i mängden.
4
4.1
Metod
Urval
Eleverna som deltog i studien är inte slumpvis utvalda utan gick i en klass, årskurs fem,
vars lärare jag fick kontakt med i samband med studien. Läraren hade beskrivits för mig på
ett mycket positivt sätt men jag visste inte hur hon arbetade. Det jag visste på förhand var
vilken årskurs hon undervisade i, att eleverna inte var nivågrupperade och att hon troligen
var öppen för att arbeta med rika problem.
Klassens 47 elever är uppdelade i två grupper som har separata lektioner i var sitt klassrum. Gruppindelningen är relativt fast, men vissa byten av grupp kan ske inför terminsstart,
indelningen är inte gjord för att samla elever med vissa förmågor i en grupp.
En förfrågan om tillåtelse för eleverna att delta i studien gick ut till alla vårdnadshavare
och jakande svar om tillåtelse mottogs för 35 av eleverna, 20 pojkar och 15 flickor, se
tabell nedan. Eleverna studerades vid sex tillfällen, tre lektioner per elevgrupp. Enskilda
intervjuer gjordes utanför klassrummet, elva elever intervjuades vid två tillfällen och åtta
elever vid ett tillfälle, sammanlagt 30 intervjuer, ca åtta minuter långa vardera.
Flickor
Pojkar
Totalt i
studien
Totalt i
klassen
Grupp 1
Grupp 2
7
8
11
9
18
17
23
24
Summa
15
20
35
47
Eleverna som intervjuades valdes ut för att ge en spridning av matematisk förmåga men
ska inte ses som ett representativt urval av eleverna. I flera fall valdes elever som jag fått
god kontakt med under lektionerna, i vissa fall var det en intressant elevlösning som gjorde
att eleven tillfrågades om en intervju. Bedömningen av elevernas matematiska förmåga
baserades på klassrumsobservationerna och inlämnade elevlösningar. Några elever ville inte
låta sig intervjuas utanför klassrummet utan ville endast observeras under lektionerna.
4.2
Genomförande
De tre lektionerna genomfördes i de två grupper som klassen vanligtvis var indelad i, vid
sammanlagt sex tillfällen. Lektionerna var 80 minuter långa varav matematikdelen var
drygt 60 minuter.
11
Besök i
Lektion I
Inter-
Lektion II
LektionIII
Inter-
klassen
Stenplattor
vjuer
Tornet I
Tornet II
vjuer
Figur 2: Studiens upplägg.
Läraren sammanställer vanligtvis sitt eget lektionsmaterial och utgår inte från ett enskilt läromedel. Klassen arbetar ofta med problemlösning och då enligt en arbetsmodell
som kallas EPA, där EPA står för Enskilt arbete, Parvis arbete och gemensam diskussion
med Alla. Vanligtvis genomgår klassen en cykel med EPA för ett problem men under var
och en av de studerade lektionerna gjordes två cykler av EPA.
Jag förde samtal under lektionerna med de elever som såg ut att vara bekväma med
att berätta om sina lösningar. Dessa samtal kom mestadels att ske med elever som tyckte
att uppgiften var rolig och som hade en lösning att förklara.
Två problem kom att användas i studien och intervjuer med eleverna gjordes efter
respektive problem, se figur 2.
4.3
Datainsamling och bearbetning
Datainsamling gjordes utifrån klassrumsobservationer, elevlösningar och intervjuer. Klassrumsobservationerna gjordes till största del med ljudupptagning och anteckningar samt i
några fall fotografier av tavlan och av elevlösningar med laborativt material. Efter lektionerna samlades elevernas lösningar in. Lösningarna innehöll i många fall delar som ett
elevpar gjort tillsammans samt lösningar avskrivna från tavlan. Intervjuerna spelades in
och transkriberades snarast efter intervjuernas genomförande. Anteckningar gjordes även
direkt efter intervjutillfället. Intervjuerna var semi-strukturerade och hade som huvuddel
att eleven skulle beskriva sin lösning (Kvale & Brinkmann, 2009).
Det inspelade materialet avlyssnades två eller flera gånger och en stor del transkriberades, valet att inte transkribera allt gjordes framför allt av tidsskäl. Det transkriberade
materialet och beskrivningar av elevernas lösningar sammanställdes för att följa individuella elever.
I vissa citat och dialoger som förekommer i uppsatsen har mindre grammatiska justeringar gjorts för att underlätta läsandet.
4.4
Val av problem
Inför studien söktes problem med potential att fungera som rika problem. Problemens
konstruktion skulle möjliggöra enskilt arbete för alla samtidigt som alla elever skulle finna
utmaning. Problemen som användes är omarbetningar av två problem, Stenplattor och
Tornet, från boken Rika matematiska problem av Hagland m.fl. (2005). Ett rikt problem
behöver vara anpassat till elevgruppen och frågeformuleringarna skrevs tillsammans med
läraren. Efter att eleverna arbetat med det första problemet justerades frågeformuleringarna för det andra. Problemens olika delproblem delades upp för att eleverna inte skulle
se alla direkt utan gemensamt ägna tid åt det första delproblemet. För respektive problem
gällde att delproblem 1 fanns på det första uppgiftspappret och de resterande på ett andra
papper.
För det tredje lektionstillfället hade ett tredje problem valts ut men det kom aldrig att
12
användas. I slutet av lektionen med problemet Tornet var många elever fullt upptagna med
att lösa uppgiften och tillsammans med läraren beslutades då att eleverna skulle arbeta
med samma problem ytterligare en lektion.
4.5
Etiska överväganden
Alla elever i studien har lämnat in ett skriftligt tillstånd från en vårdnadshavare. Vid de
enskilda intervjuerna har alla informerats om att deras deltagande är frivilligt och att
de när de vill under studiens gång kan välja att ångra sin medverkan. Alla uppgifter har
behandlats med konfidentialitet och ingen elev benämns med sitt riktiga namn.
I klassrummet behandlades jag som en hjälplärare. Även om jag försökte tydliggöra
min roll som intervjuare och berättade att samtalen spelades in kan flera elever tänkas ha
glömt bort att de befann sig i en intervjusituation. Materialet har behandlats med detta i
åtanke.
Under de enskilda intervjuerna anpassades frågorna till intervjupersonerna för att dessa
skulle känna sig trygga och inte kritiseras för felaktiga lösningar, eller obekväma över att de
inte kunde svara på frågor. Vid flera tillfällen hjälpte jag elever att förklara sina lösningar.
I uppsatsens resultatdel beskrivs fyra elever mer ingående än övriga, dessa visade alla
god förmåga att lösa problemen. Valet att inte på samma sätt närmare beskriva elever som
hade svårare att lösa problemen har gjorts av etiska skäl.
4.6
Reliabilitet och validitet
Som intervjuare påverkar man respondanten och risken för sådan påverkan är ännu större
när respondenten är ett barn (Kvale & Brinkmann, 2009). Jag har så långt som möjligt
ställt öppna frågor för att motverka detta.
Generellt kom elever som presterade fler korrekta lösningar i högre grad ihåg vad de
gjort, därför finns mer intervjumaterial med dessa elever än med elever som fann uppgifterna svåra.
Eftersom eleverna inte löst problemen enskilt utan gemensamt i klassrummet var det
svårt att veta om lösningarna på de inlämnade pappren kom från eleven själv eller var
avskrivna från någon annan eller från tavlan. Ofta var klassrumsobservationerna till hjälp
men ibland var det svårt att veta hur mycket en elev gjort på egen hand. Elever som under
intervjuerna hade svårt att förklara sina lösningar fick hjälp vilket gjorde att det i flera fall
var oklart vad eleven själv hade förstått och kunde berätta om.
5
Resultat och analys
I detta avsnitt redovisas hur lektionerna genomfördes samt de två rika problem som användes i studien. I avsnitt 5.6 beskrivs och analyseras lösningar av fyra elever som i studien
kallas Adam, Linda, Emil och Albin. Dessa elever förekommer även i andra delar av resultatdelen under dessa namn. Vidare tas sociala och sociomatematiska normer upp samt
elevernas interaktion i klassrummet. Eleverna använde byggen, ritningar, matematisk text
och muntlig representation när de löste problemen. Avslutningsvis beskrivs hur elevernas
arbete med de rika problemen bidrar till utveckling av de fem förmågor som beskrivs i
läroplanen.
5.1
Lektionernas genomförande
De sex observerade lektionerna var alla som tidigare nämnts 80 minuter långa varav matematikdelen var 60 minuter. Denna matematikdel inleddes av läraren som introducerade
problemen eleverna skulle arbeta med. Varje lektion kom sedan att genomgå två cykler av
EPA-modellen med enskilt arbete, parvis arbete och gemensam diskussion för alla, se figur
13
3. I praktiken kom det enskilda och det parvisa arbetet bara att vara separerat vid den
Problemet introduceras och precenteras
Enskilt arbete
Parvis arbete
Gemensam diskussion
Enskilt/parvis arbete
Gemensam diskussion
Figur 3: Ungefärlig fördelning av tid under lektionernas matematikdel.
första cykeln, vid den andra cykeln flöt dessa moment ihop så att det parvisa samarbetet
inte behövde initieras av läraren som annars styrde byte av arbetsform. Paren i klassen
var vid problemet Stenplattor sammansatta av läraren utifrån likartad förväntad förmåga
att lösa problemen, och vid Tornet utifrån elevernas placering i klassrummet. I vissa fall
kom tre elever att utgöra ett ”par”.
5.2
Problemet Stenplattor
Problemen som användes är, som nämnts ovan, omarbetningar av två problem från boken
Rika matematiska problem av Hagland m.fl. (2005). Båda problemen behandlar växande
mönster.
I problemet Stenplattor, se figur 4, presenteras en växande sekvens av kvadratiska mönster där de tre första figurerna är avbildade. I deluppgifterna efterfrågas antalet mörka och
ljusa plattor samt det totala antalet plattor i figur 5, 10, 50 och n, framöver refererade till
som F5 , F10 , F50 och Fn .
Problemet kan lösas på flera olika sätt. För en given figur kan plattorna ritas och
pekräknas, de kan också beräknas med utgångspunkt i ett givet figurnummer eller utifrån
en rekursiv ökning.
Antalet ljusa plattor är kvadraten av figurnumret, n2 , se figur 5. Ökningen kan även
beräknas rekursivt, för antalet ljusa plattor, Ln , i figur Fn , blir ökningen
Ln = Ln−1 + 2n − 1.
En alternativ lösning är att se de ljusa plattorna som skillnaden mellan det totala
antalet plattor och antalet mörka plattor.
Den mörka ramen kan delas in på olika sätt och plattorna adderas i olika mängder, se
figur 6. Även de mörka plattorna kan beräknas rekursivt, till skillnad från de ljusa plattorna
är ökningen linjär och ramen växer med fyra plattor per figur.
Till sin hjälp för att lösa problemet hade eleverna de tre figurerna på uppgiftspappret,
centimeterrutat papper, linjal samt miniräknare.
14
-Ìi˜«>Ì̜À
-Ìi˜«>Ì̜À
Stenplattor
ÌÌʓŸ˜ÃÌiÀʏB}}Ãʓi`ʅB«Ê>ÛʎÛ>`À>̈Î>ÊÃÌi˜‡
«>Ì̜À]ʓŸÀŽ>ʜV…ʏÕÃ>°Ê-FʅBÀÊÃiÀʓŸ˜ÃÌÀiÌÊÕÌ\
mönster
läggs med hjälp av kvadratiska stenplattor,
Ett
mörka ÌÌʓŸ˜ÃÌiÀʏB}}Ãʓi`ʅB«Ê>ÛʎÛ>`À>̈Î>ÊÃÌi˜‡
och ljusa. Så här ser mönstret ut:
ÊÊ«>Ì̜À]ʓŸÀŽ>ʜV…ʏÕÃ>°Ê-FʅBÀÊÃiÀʓŸ˜ÃÌÀiÌÊÕÌ\
Ê
1.
2.
ÊÊ
ÊÊvˆ}ÕÀÊ£Ê
vˆ}ÕÀÊÓÊ
vˆ}ÕÀÊÎ
>®Ê ÕÀʓF˜}>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊ̈Êvˆ}ÕÀÊx¶Ê
Ê ÕÀʓF˜}>Ê>ÛÊ`i“ÊBÀʏÕÃ>ʜV…Ê…ÕÀʓF˜}>ÊBÀÊ
ÊÊvˆ}ÕÀÊ£Ê
vˆ}ÕÀÊÓÊ
vˆ}ÕÀÊÎ
“ŸÀŽ>¶
>®ÊÕÀʓF˜}>ʓŸÀŽ>ÊÀiëiŽÌˆÛiʏÕÃ>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊ
ÕÀʓF˜}>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊ̈Êvˆ}ÕÀÊx¶Ê
L®Ê
HurFÌÊ̈Êvˆ}ÕÀÊ£x¶
många
plattor går det åt till figur 5? Hur
ÕÀʓF˜}>Ê>ÛÊ`i“ÊBÀʏÕÃ>ʜV…Ê…ÕÀʓF˜}>ÊBÀÊ
V®Ê ÕÀʓF˜}>ʓŸÀŽ>ÊÀiëiŽÌˆÛiʏÕÃ>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊ
många
av dem är ljusa och hur många är mörka?
“ŸÀŽ>¶
FÌÊ̈Êvˆ}ÕÀÊ£ää¶
L®Ê ÕÀʓF˜}>ʓŸÀŽ>ÊÀiëiŽÌˆÛiʏÕÃ>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊ
`®Ê ÕÀʓF˜}>ʓŸÀŽ>ÊÀiëiŽÌˆÛiʏÕÃ>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊ
Hur
många
mörka respektive ljusa plattor går det
FÌÊ̈Êvˆ}ÕÀÊ£x¶
FÌÊ̈Êvˆ}ÕÀʘ¶ÊÕÀʓF˜}>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊ̜Ì>ÌÊ
åtV®Ê
tillÕÀʓF˜}>ʓŸÀŽ>ÊÀiëiŽÌˆÛiʏÕÃ>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊ
figur 10?
̈Êvˆ}ÕÀʘ¶
FÌÊ̈Êvˆ}ÕÀÊ£ää¶
i®Ê ˆÌÌ>Ê«FÊiÌÌʏˆŽ˜>˜`iÊ«ÀœLi“°ÊŸÃÊ`iÌ°ÊÊ
3. Hur
mörka respektive ljusa plattor går det
`®Ê många
ÕÀʓF˜}>ʓŸÀŽ>ÊÀiëiŽÌˆÛiʏÕÃ>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊ
åt tillFÌÊ̈Êvˆ}ÕÀʘ¶ÊÕÀʓF˜}>Ê«>Ì̜ÀÊ}FÀÊ`iÌÊFÌÊ̜Ì>ÌÊ
figur 50? i˜˜>ÊÈ`>Êvˆ˜˜ÃÊvŸÀÊÕÌÎÀˆvÌÊܓʫ`vÊ«FÊÜÜÜ°ˆLiÀ°Ãi
̈Êvˆ}ÕÀʘ¶
Rika matematiska problem - Liber 2005
4. Hur
mörka respektive ljusa plattor går det
i®Ê många
ˆÌÌ>Ê«FÊiÌÌʏˆŽ˜>˜`iÊ«ÀœLi“°ÊŸÃÊ`iÌ°ÊÊ
åt till figur n? Hur många plattor går det åt totalt
i˜˜>ÊÈ`>Êvˆ˜˜ÃÊvŸÀÊÕÌÎÀˆvÌÊܓʫ`vÊ«FÊÜÜÜ°ˆLiÀ°Ãi
till
figur n?
problem - Liber 2005
Figur 4: BearbetningRika
avmatematiska
problemet
Stenplattor från boken Rika matematiska problem (Hagland m.fl., 2005, sid 102, illustration av Anders Sunesson).
5.3
Metoder eleverna använde för att lösa problemet Stenplattor
Majoriteten av eleverna började sin lösning med att rita en bild eller pekräkna på uppgiftspappret. Flera markerade i sina figurer och berättade vid genomgångar hur de upptäckt att
de ljusa plattorna ökade med plattor formade som ett L, se figur 5. För att beräkna antalet
ljusa plattor upptäckte många att svaret gavs av kvadraten av figurnumret, metoden spreds
till nära alla elever. Generellt uppfattades antalet ljusa plattor som lättare att beräkna än
antalet mörka, givet ett visst figurnummer. Flera elever upptäckte ett numeriskt mönster
för hur de ljusa plattorna ökade rekursivt.
Alla indelningar av de mörka plattorna som är illustrerade i figur 6 förekom bland
elevlösningarna. Av dessa indelningar är alla utom en symmetrisk (ramen delas i det fallet
in i fyra delar där delarna har tre olika längder). Denna osymmetriska lösning användes
15
n2
Figur 5: Beräkning av de ljusa plattorna samt beskrivning av ökningen.
4n+4
4(n+1)
(n+2)2-n2
(n+2)+2(n+1)+n
2(n+2)+2n
4(n+2)-4
Figur 6: Metoder för beräkning av antalet mörka plattor.
men övergavs till förmån för andra former av indelningar. Vissa elever redovisade ingen
indelning utan berättade i intervjuerna att de ritat plattorna och pekräknat. Metoden där
de mörka plattorna beräknas som skillnaden mellan det totala antalet och de ljusa antalet
plattor upptäcktes i ett av klassrummen. Metoden, som innehåller få beräkningar, ansågs
vara ”mycket smart” och användes av många.
Flera elever skrev tabeller för att redovisa antalet plattor i olika figurer. En elev använde
en tabell som sin huvudsakliga metod för att lösa de tre första deluppgifterna.
Alla elever lämnade in korrekta lösningar för F5 många även för F10 och ett fåtal för
F50 . Flera lämnade in felaktiga lösningar för F50 där de flesta antagit att antalet plattor
ökade linjärt på så sätt att svaren för F10 kunde multipliceras med fem för att få svaren
för F50 .
Tre elever som svarade på uppgift 4, där ett generellt uttryck efterfrågas, redovisade
hur en metod kunde användas för en specifik figur, ingen av dem skrev ett uttryck som
innehöll variabeln n.
5.4
Problemet Tornet
Liksom problemet Stenplattor handlar Tornet om ett växande mönster, se figur 7. Utifrån lektionen med Stenplattor gjordes vissa justeringar. Fler deluppgifter lades till för att
16
uppmuntra eleverna att bygga och undersöka flera mindre torn. Tornens höjder i deluppgifterna valdes för att inte uppmuntra till multiplikation av svar enligt en linjär tolkning
av ökningen. I deluppgift 6, där en generell metod efterfrågas, används inte variabeln n.
/œÀ˜iÌ
Tornet'
'
'
1. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'tornet'på'bilden?''''
>®Ê ÕÀʓF˜}>ʎÕLiÀÊLi…ŸÛÃÊ`iÌÊvŸÀÊ>ÌÌÊLÞ}}>Ê̜À˜iÌÊ
Fundera'över'hur'du'kan'förklara'din'lösning'för'dina'kamrater'
«FÊLˆ`i˜¶
'
2. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är''''
L®Ê ÕÀʓF˜}>ʎÕLiÀÊLi…ŸÛÃÊ`iÌÊvŸÀÊ>ÌÌÊLÞ}}>ÊiÌÌÊ
5'kuber'högt?'
ˆŽ˜>˜`iÊ̜À˜ÊܓÊBÀÊ£ÓʎÕLiÀʅŸ}̶
'
3. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är''''
V®Ê
ÕÀʓF˜}>ʎÕLiÀÊLi…ŸÛÃÊ`iÌÊvŸÀÊ>ÌÌÊLÞ}}>ÊiÌÌÊ
6'kuber'högt?'
ˆŽ˜>˜`iÊ̜À˜ÊܓÊBÀʘʎÕLiÀʅŸ}̶
4. Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är''
`®Ê
ˆÌÌ>Ê«FÊiÌÌÊi}iÌʏˆŽ˜>˜`iÊ«ÀœLi“°ÊŸÃÊ`iÌ°
15'kuber'högt?'
'
5. i˜˜>ÊÈ`>Êvˆ˜˜ÃÊvŸÀÊÕÌÎÀˆvÌÊܓʫ`vÊ«FÊÜÜÜ°ˆLiÀ°Ãi
Hur'många'kuber'behövs'det'för'att'bygga'ett'liknande'torn'som'är'
100'kuber'högt?'
'
Rika matematiska problem - Liber 2005
6. Om'man'vet'höjden'på'ett'torn,'hur'kan'man'då'beräkna'antalet'
kuber?'
'
7. Hitta'på'ett'eget'liknande'problem.'Lös'det.'
Figur 7: Bearbetning av problemet Tornet i Rika matematiska problem (Hagland m.fl.,
2005, sid 85, illustration av Anders Sunesson).
Antalet kuber kan beräknas på ett flertal olika sätt. Tornet kan byggas eller ritas och
kuberna pekräknas. Med utgångspunkt i ett torn med en given höjd kan tornet delas in i
olika delar som beräknas var för sig eller sätts samman i nya mönster, se beräkningar för
tornet med höjden fyra kuber i figur 9. Antalet kuber kan även beräknas rekursivt med
17
Figur 8: Multilink.
ökningen
Tn = Tn−1 + 4n − 3.
En sådan ökning kan illustreras på liknande sätt som metoden Olika lager i figur 9.
Förutom bilden på uppgiftspappret hade eleverna tillgång till centimeterrutat papper,
linjal, miniräknare samt multilink, se figur 8.
5.5
Metoder eleverna använde för att lösa problemet Tornet
Den vanligaste metoden för att lösa den första deluppgiften var att pekräkna i illustrationen
på uppgiftspappret, en metod som kräver förståelse av tornets uppbyggnad eftersom alla
kuber inte syns på bilden. Ett fåtal elever valde att bygga med multilink som sin första
strategi men i slutet av andra lektionen hade alla byggt egna eller använt andras torn.
Alla metoder som illustreras i figur 9 användes av eleverna. De två vanligaste metoderna
var Fyra trappor och en mittstapel och Höjder för sig. Dessa metoder lämpade sig bäst för
små torn där kuberna kunde pekräknas och antalet staplar var få. Två elever, Emil och
Albin, hittade en generell metod för att bestämma antalet kuber i en trappa, beskrivet
i avsnitt 5.6.3. I den andra elevgruppen hittade en elev metoden Två rektanglar och en
mittstapel. För att stötta eleverna i sökandet efter generella metoder visade läraren upp ett
flerfärgat torn, T4 , ombyggt som En stor rektangel och frågade om de kunde göra om det
till T4 . Inspirerade av Emil och Albins metod kom eleverna nästan uteslutande att dela
in lärarens rektangulära bygge i två rektanglar och en mittstapel. Metoden Olika lager
förekom i en av grupperna men ansågs inte vara lämplig för stora torn. En elev använde
skrivandet av en tabell som primär metod.
5.6
5.6.1
Tre fallbeskrivningar
Adam
Adam tar sig an problemen med stor entusiasm och deltar mycket aktivt i de gemensamma
diskussionerna, han har lätt för att förstå problemen men svårt för att skriva ner sina
lösningar. Både under lektionerna och intervjuerna ger han uttryck för tolkningen att
problemen handlar om att hitta generella lösningar. Detta syns i hans lösning för den
första deluppgiften för Stenplattor, se figur 10, där metoder, men inga svar, är angivna.
Adams förväxling av ljusa och mörka plattor vid den första deluppgiften berodde troligen
18
Fyra trappor
och en mittstapel
4·6 + 4
Två rektanglar
och en mittstapel
2 (3·4) + 4
En stor rektangel
4·7
Höjder för sig
4·1 + 4·2 + 4·3 + 1·4
Olika lager
1 + 5 + 9 + 13
Figur 9: Metoder för att beräkna antalet kuber i torn T4 .
på att läraren, vid introduktion av problemet, färglade de olika sorters plattorna med grön
och röd färg.
Figur 10: Adams lösning av delproblem 1 för problemet Stenplattor.
I intervjun efter den första lektionen berättar Adam att han såg ett mönster för hur de
mörka plattorna växte när han skrev ner antalet mörka plattor för de tre första figurerna på
uppgiftspappret. Det upptäckta mönstret, en ökning med fyra plattor per figur, använder
19
han sedan för att med vetskap om antalet mörka plattor i en känd figur beräkna antalet i
en sökt figur. Adams lösning för F10 visas i figur 11. I lösningen beräknas antalet mörka
plattor, M10 , utifrån antalet steg mellan F5 och F10 , ett antal som multipliceras med fyra
och adderas till antalet mörka plattor i F5 . Beräkningarna kan uttryckas som
M10 = M5 + 4(10 − 5).
Figur 11: Adam beräknar de mörka plattorna för F10 .
När de mörka plattorna för F50 ska beräknas glömmer Adam troligen bort vilken figur han
utgår ifrån och svaret blir fel, men i slutet av lektionen väljer han konsekvent att använda
F1 som utgångsfigur. På eget initiativ beräknar Adam de mörka plattorna för F1782 på
miniräknare och för andra stora figurer. En av dessa berkäningar kontrollerades och den
var helt rätt. Adam är entusiastisk över de stora talen och senare i en intervju svarar han
på frågan om varför han och hans kamrat räknade egna uppgifter:
”För att vi hade gjort alla uppgifter. Vi ville göra något speciellt som vi alltid
gör på alla uppgifter. Vi tar alltid jättestora tal, det är mycket roligare!”
En formell tolkning av Adams metod där n och p står för numren på den sökta respektive
den kända figuren, samt Adams tillvägagångssätt vid beräkning av M1782 :
Mn = 4(n − p) + Mp
M1782 = 4(1782 − 1) + M1 = 4 · 1781 + 8
Adam uttrycker sig med mycket energi och han och hans kamrat talar i munnen på
varandra när de ska förklara sina lösningar och jämföra sina svar. Kamraten, som använder
en metod som tagits upp under en gemensam genomgång, får samma svar som Adam och
läraren säger att detta talar för att Adams metod fungerar men varken hon eller kamraten
förstår Adams lösning under lektionen. Adam fortsätter att räkna stenplattor en bit in på
rasten.
Problemet Tornet angriper Adam på liknande sätt. För tornet i den första deluppgiften,
T4 , ger Adam tre lösningar på papper. Han utgår från uppgiftspapprets bild och ger en
lösning på symbolisk representationsform enligt metoden Höjder för sig, under denna följer
en lösning med metoden Fyra trappor och en mittstapel och sedan en ikonisk representation
av metoden Höjder för sig, se figur 12.
Under både lektionen och intervjun jämför Adam sina två representationer av Höjder
för sig och kallar dem för två olika metoder. Han kommenterar sin ikoniska representation
”fast jag vet inte om det blir enklare” och ger på detta sätt uttryck för att han inte enbart
vill variera lösningarna utan även förbättra dem. Till en början saknar denna tredje lösning
20
Figur 12: Adams bild av T4 sedd uppifrån, siffrorna anger hur många kuber varje ruta
representerar.
texten ”siffror = kuber uppåt”, något som han lägger till som en beskrivning för hur figuren
ska förstås. Figuren av tornet sett uppifrån sprider sig i klassrummet till flera elever.
När Adam ska beräkna antalet kuber i T15 väljer han inte en lösning med ikonisk
representation
”Istället för att rita upp hela så bara skrev jag det istället. Så 14 gånger 4, 13
gånger 4. Men jag tror att jag slängde det pappret. För jag skrev upp så och
sen plus 15. Men sen blev det alldeles för mycket på 100.”
Genom att slänga sin lösning för T15 , eftersom han inte vill använda metoden för beräkningar av T100 , visar Adam att han söker en generell metod.
När Emil och Albin presenterar sin metod Två rektanglar och en mittstapel, beskrivet
i avsnitt 5.6.3, fångas Adam direkt av enkelheten i de få beräkningarna och ägnar lång tid
åt att förstå hur metoden fungerar. Liksom Emil och Albin förvirras han av att talet 4
återkommer både som höjden på T4 och som antalet trappor och han vill vare sig använda
multilink eller rita en figur för att undersöka metoden.
I intervjun förklarar Adam med lätthet metoden Två rektanglar och en mittstapel och
använder ett torn av mulitilink som är fyra kuber högt. Det byggda tornet och avbildningen
av samma torn använder Adam som representationer av ett generellt torn. Han ger en
beskrivning av hur antalet kuber i T30 kan beräknas, se figur 13, och arbetar här med såväl
enaktiv och ikonisk som symbolisk representationsform, alltså i flera register samtidigt. I
lösningen för T30 beskriver Adam både hur produkten 30 · 29 kan multipliceras med två
för att direkt få antalet kuber i trapporna och hur produkten kan divideras med två, om
kubantalet i en trappa söks, ett antal som sedan multipliceras med fyra, slutligen adderas
höjden på mittstapeln.
På frågan om han har lätt för att tänka i tredimensionella former svarar Adam
”Ja, jag har ganska lätt för det, ... jag har väldigt lätt för det.”
Adams vetskap om att han har lätt för att tänka i tredimensionella former kan vara en
orsak till att han var ovillig att undersöka metoden Två rektanglar och en mittstapel med
laborativt material.
21
Figur 13: Adam skriver medan han beskriver två varianter av hur antalet kuber i T30 kan
beräknas.
5.6.2
Linda
Linda sitter långt bak i klassrummet och verkar lösa uppgifterna mestadels på egen hand,
hon deltar inte mycket, om alls, i de gemensamma diskussionerna. Hon är den enda som
väljer att lösa problemen med en tabell som främsta metod. Vid problemet Stenplattor
undersöker hon de växande figurerna på uppgiftspappret men söker sedan ett generellt
mönster i en tabell. Hon upptäcker både hur antalet ljusa och mörka plattor ökar men i
förhoppningen om att effektivisera sina beräkningar hoppar hon över rader i tabellen och
går direkt från F20 till F30 och vidare i steg om tio till F50 . För de mörka plattorna är
ökningen linjär, och Linda får korrekt ökningen till 40 plattor per steg om tio figurer. För
de ljusa plattorna vet Linda att ökningen ökar med två plattor per steg, men för steget om
tio figurer mellan F20 till F30 beräknar hon ökningen mellan F29 och F30 och tar endast
med denna.
Ovetandes om att antalet ljusa plattor blir fel sitter hon kvar på rasten för att göra klart
sin tabell. Jag frågar henne hur många ljusa plattor figur F21 har, och när hon beräknat
svaret ser hon direkt att hon har bortsett från ett stort antal plattor. Hon sitter kvar större
delen av rasten tills tabellen är ifylld till och med figur 50.
Linda använder en tabell även för nästa problem. Efter att inledningsvis endast skrivit
in tornen som efterfrågas i de första deluppgifterna, T4 , T5 , T6 och T15 , i sin tabell förstår
hon att det är svårt att se ett mönster när tabellen innehåller få torn och dessutom hoppar
över torn. Hon raderar vad hon skrivit och börjar om med start i T1 . Genom att testa sig
fram inser hon snart att ökningen ökar med fyra för varje torn. För att fylla i tabellen ända
till T100 försöker hon återigen effektivisera sina beräkningar och ta steg om tio torn men
adderar bara ökningen i det steg som föregår tiotalet; ökningen mellan T20 och T30 antas
vara den faktiska ökningen mellan T29 och T30 . När jag under lektionen ber henne berätta
om sin lösning minns hon föregående lektion och förstår på egen hand hur ökningen ska
ändras för att bli rätt. Med hjälp av en fråga från en utomstående, en form av stöttning,
klarar Linda att lösa uppgiften som ursprungligen blev fel.
Linda får även frågan varför ökningen ökar med fyra. Detta är något som hon enbart har
sett i tabellen men inte kan förklara med hjälp av enaktiva eller ikoniska representationer
av tornen. Målmedvetet bygger och undersöker Linda tornen med start i T4 och skriver
utförligt om hur hon går tillväga. Hon antar att tornet växer på så sätt att varje stapel i
tornet växer på höjden samt att en kub ska adderas till varje trappa, för ökningen mellan
T4 och T5 skriver hon:
”Jag använde mitt test och la till en kub på alla, vi fick det till 17 kuber till.
28+17=45”
I sin lösning visar Linda på en förmåga att kunna växla mellan enaktiv och symbolisk
22
representation samt en förmåga att redovisa en hypotes, testa den, argumentera för den
och slutligen redovisa ett svar. Hennes svar består både i antalet kuber som efterfrågas i
deluppgifterna och en beskrivning av den generella ökningen.
Arbetet med tabellen avbryts när eleverna ska börja arbeta tillsammans. I det parvisa
samarbetet med sin bänkkamrat, ser Linda att kamraten liksom hon själv försökt effektivisera beräkningen av antalet kuber i T100 genom en förenklad bild, se nedre delen av figur
14. Kamraten har adderat talen 10+20+...+90 för att få antalet kuber i en trappa, något
Figur 14: Lösning för T15 i deluppgift 4 samt T100 i deluppgift 5.
som Linda förstår är fel. Linda kommenterar kamratens lösningar av T15 och T100 :
”Men kolla där har hon gjort så här: den är 15, det är mittenpinnen, sen är det
själva trappan, 14, 13, det blir mindre och mindre. Men sen har hon försökt
göra det där, men då tog hon 10, 20, 30, 40, 50, 60 och så, men då blir det väl
inte rätt? För då blir det ju 10 här och 20 där och 30 där och 40 där, eller?
/.../ För vi räknade ut att 1 plus 2 plus, alltså 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 det
blev 45, och eftersom det är 20 där så borde det ju bli 90. Och sen blir det 90
plus 45.”
Linda har insett att de tio lägsta lodräta staplarna i en trappa inte kan ersättas med endast
en stapel med tio kuber, för dessa staplar vet hon består av sammanlagt 45 kuber. På detta
sätt kom rutan med talet 10 i kamratens lösning för T100 att representera 45 kuber. Linda
generaliserar sedan felaktigt detta till att gälla även de övriga rutorna i kamratens bild
så att de två första rutorna sammanlagt representerar 90 kuber. Tillsammans summerar
eleverna 45 kuber för varje ruta, och får 450 kuber. Detta tal multipliceras med fyra och
sedan adderas 100. Svaret blir 1900, ett svar som liknar det rätta svaret, 19 900, som
eleverna kan ha hört i klassrummet.
I interaktionen med sin kamrat stöttar Linda kamraten och hjälper henne att förstå
varför trappans tio lägsta staplar inte kan ersättas med talet tio, samtidigt får hon inte
själv den stöttning hon behöver för att korrigera sin felaktiga generalisering. Eleverna visar
vid andra tillfällen under lektionen att de förstår hur tornen är uppbyggda, men när de
arbetar med den diagrammatiska bilden och de symboliska matematiska uttrycken klarar
23
de inte att hålla båda dessa register aktiva samtidigt och de bortser därför från viktig
information.
5.6.3
Emil och Albin
Tidigt under arbetet med Tornet hittar Emil och Albin en metod att beräkna antalet
kuber i en trappa och tillsammans med metoden Fyra trappor och en mittstapel har de
en generell metod för att lösa uppgiften. Men varken Emil eller Albin vet varför metoden
fungerar. De förklarar i mun på varandra:
”Man tar så många som det är i mitten, gånger ett mindre och sen det delat
på två och då får man fram hur många det är där.”
De pekar på en av tornets trappor på uppgiftspappret. Ingen av dem kan redogöra för hur
de kom på metoden, möjligen multiplicerades de tre stegen ner för trappan med tornets
höjd vilket gav dem ett tal som de kände igen som dubbla mängden kuber för en trappa.
Eleverna går direkt från att beräkna T4 till T100 och får rätt antal kuber. Albins entusiasm avbryts av att han inser att de inte vet om svaret är rätt:
Albin:
Emil:
Albin:
Men blir det rätt då? Vi vet inte om det blir rätt.
Jo, det är rätt.
Hur vet du det? (Albin skrattar).
Läraren uppmärksammar deras arbete och bekräftar att de fått rätt svar för T100 men
säger att hon vill ha en förklaring av metoden. Emil och Albin arbetar med detta under
resten av lektionen utan att kunna ge en förklaring. Genom att göra en tabell för antalet
kuber upptäcker de ett mönster för hur tornet växer men de jämför inte beräkningar för
olika torn utan koncentrerar sig på lösningen för T4 . För detta torn innehåller lösningen
flera fyror. Beräkningarna kan sammanfattas
T4 =
4·3
·4+4
2
där siffran fyra står för tornets höjd, antalet trappor samt antalet kuber i mittstapeln,
något som tycks skapa förvirring. De ritar i figuren på uppgiftspappret men vill inte bygga
med multilink.
Under en gemensam genomgång redovisar Emil och Albin sin metod för klassen och
läraren uppmuntrar de andra eleverna till att försöka förstå och förklara varför metoden
fungerar. Några elever antar utmaningen.
Nästa lektion fortsätter sökandet efter en förklaring och försöken får sin vändning när
läraren håller upp ett flerfärgat bygge som illustrerar metoden En stor rektangel för T4 , se
figur 15. Läraren ber eleverna visa hur det rektangulära bygget kan göras om till ett torn
med förhoppningen att det kan hjälpa dem se hur trappor kan passas ihop till rektanglar.
metoden En stor rektangel
Två rektanglar Figur 15: Illustration
En storavrektangel
en mittstapel
24
Emil och Albin som tidigare varit ovilliga att bygga egna torn vill undersöka lärarens
bygge. Efter att de ritat en bild upptäcker de snart hur deras metod kan förklaras. Här
följer deras dialog:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Albin:
Emil:
Då kan man ta 7 gånger 4!
Nej!
Jo!
Jo, det får du ju, för de läggs ju där.
Ja, de ligger där uppe.
Det kan man.
8 gånger 5...
Men hur får du ut hur många det är där. ... Men vänta, det är ju alltid ett
mindre än vad det är i mitten på det hållet. För 1000 är det ju 999, om vi tar
100, då är det 99, plus 1 för det är 199. 199 gånger 100.
Vad snackar du om?
Det blir ju rätt. 100 gånger 199 på figur 100, det blir rätt. Då tar man ju det
här nere gånger det.
Då lägger man en etta där...
Det blir ju rätt.
Hur mycket blir det då?
19 900. Alltså det blir ju rätt.
Om man tar bort det som är i mitten från början, så blir det 6 där nere och 4
där uppe.
6 gånger 4 blir 24.
Och de 12 är ju...
Ja, men titta då tar man ju de 4 gånger de 3, det är ju 12.
Låt mig tänka bara lite! Jag vill ha dem på rätt håll!
Man tar 4 gånger 3, då får man ju ut den sidan.
Både Emil och Albin förstår hur metoden de använt kan förklaras genom det rektangulära
bygget och de redovisar sin upptäckt vid nästa gemensamma genomgång.
5.7
Sociala och sociomatematiska normer
Arbetet och interaktionen i klassrummen påverkades av flera sociala och sociomatematiska
normer varav många inte kommer att presenteras här eller tas upp i analysen. Ett exempel
på en norm som kunde observeras men som utelämnas i studien är normen att en elev som
vill ha ordet räcker upp handen.
5.7.1
Läraren tycker om matematik och är entusiastisk över elevernas arbete
Läraren uttryckte stor entusiasm över matematikämnet och över elevernas ansträngningar
och lösningar. Hon uppmärksammade matematikinnehållet i problemen och hämtade inspiration från elevernas svar och andra yttre händelser, som ett vaktmästarbesök, för att
ta upp andra matematiska begrepp. Hon uppmuntrade eleverna och använde ofta uttryck
som:
”Nu har jag hört massor med smarta tankar!”
”Förstod ni deras tankar? Kunde ni krypa in i deras hjärnor?” ”Bra!”
”Spännande att få se din lösning på ditt papper sen.”
”Ska du berätta din lösning, Linda, för jag tycker den är intressant.”
Det stora flertalet elever visade stor entusiasm över arbetet och matematiken, de deltog
aktivt i de gemensamma diskussionerna där de kommenterade varandras lösningar och
25
uttryckte uppskattning. Vid ytterst få tillfällen observerades elever sysselsatta med något
som inte var relaterat till matematikproblemen.
5.7.2
Matematik ska kommuniceras
Varje lektion innehöll två moment där eleverna förväntades arbeta på egen hand, men
merparten av lektionen innehöll kommunikation. Under det enskilda arbetet poängterade
läraren vikten av att tänka ut en egen lösning för att senare ha något att berätta. Under
det parvisa arbetet uppmuntrade hon dem till samtal:
”Nu hör jag inte att ni jobbar tillsammans! Ni får prata mer!”
Eleverna kommunicerade mycket med varandra och behövde bara vid något enstaka tillfälle
påminnas om att hålla sig till matematiken.
5.7.3
Det är bra att hjälpa varandra
Eleverna gav och tog emot hjälp, de lyssnade på varandra, ställde frågor och hjälpte varandra att tolka skriftliga lösningar. Även om de gärna ville vara först med att hitta en ny lösning
kunde de även visa tacksamhet och uppskattning när en annan elev presenterade en lösning
de tyckte om.
Utdrag från en konversation där Wilmer vill berätta för Lucas hur det totala antalet
stenplattor ökade, Wilmer har markerat ett L-format mönster i sina figurer:
Wilmer:
Lucas:
Wilmer:
Lucas:
Wilmer:
Lucas:
Wilmer:
Jag ritade upp alla, och sen ... Alla de tre första visste man ju hur de såg ut.
Sen tänkte jag typ att man lägger på en ruta på varje sån [pekar på F4 och
F5 ], typ på de mörka och de ljusa.
En ruta bara?
Nej, men alltså, det är svårt att förklara hur jag tänker, jag tänker lite konstigt.
Men ja, nu vet jag hur du tänker! Du la på liksom en där. [Lucas pekar på en
ruta i figuren.]
Ja.
En så och sen bara fyller man i dem. [Eleven pekar på ett ”L” av rutor till
höger och ovanför det kvadratiska mönstret.]
Ja.
Liknande konversationer där elever hjälpte varandra att tolka en lösning förekom i flera
elevpar.
5.7.4
Det är viktigt att förstå och att kunna förklara en lösning
Läraren betonade vikten av att kunna förstå och förklara sin lösning och att förstå andras
lösningar, att endast kunna presentera ett svar i form av antal plattor eller antal kuber
var inte tillräckligt. Under de gemensamma genomgångarna ställde hon ofta frågan ”Varför
gjorde han så?” eller ”Varför gjorde hon så?” till klassen.
Vid flera tillfällen hejdade hon elever mitt i redovisningen av en lösning och bad de andra eleverna att förstå och förklara hur de skulle ha fortsatt lösningen, givet den redovisade
starten:
26
Läraren:
Kan ni försöka förstå Adams lösning? Förklara varför han har skrivit 4, 3, 2,
1. Prata ihop dig med din granne! Varför har han skrivit 4, 3, 2, 1?
/.../
Hur tänkte han? Nu gick vi in i Adams hjärna.
[Elev förklarar metoden Höjder för sig.]
Läraren: Stämmer det Adam?
Adam:
Ja, det var min första lösning.
När Emil och Albin, se avsnitt 5.6.3, upptäckte en fungerande metod var varken de
eller läraren nöjda med mindre än att metoden kunde förklaras.
5.7.5
Alla elevlösningar är välkomna och det är bra med flera lösningar
Läraren uppmuntrade en mångfald lösningar och eleverna löste ofta ett och samma delproblem med flera olika metoder. Tavlan var liten och delar av lösningarna fick suddas ut
men läraren försökte spara de olika lösningstyperna under lektionen. Även lösningar som
läraren initialt inte förstod fick utrymme i diskussionerna.
Adam var en av eleverna som använde fler olika lösningar och även om läraren inte
förstod vad han sa lät han sig inte nedslås och läraren uppmuntrade hans kreativitet.
5.7.6
Lösningar på matematisk symbolisk form är bättre än bilder och byggen
Både lärare och elever ansåg att lösningar på matematisk symbolisk form var bättre än
lösningar som använde bilder och byggen. Det bästa sättet att kontrollera ett svar var
enligt eleverna pekräkning och en bra lösning kunde innehålla en figur som illustration,
men en lösning ansågs ”smartare” om beräkningarna kunde göras utan figuren som stöd.
Vid introduktionerna av de båda problemen uppmuntrades eleverna av läraren att
använda linjal, respektive rita och bygga ”om de behövde”, vilket implicerade att eleverna
kunde behärska matematiken så bra att de inte behövde använda dessa arbetsformer.
Emil och Albin, som ägnade lång tid att försöka förstå en fungerande metod, se avsnitt
5.6.3, var ovilliga att bygga med multilink och de begränsades i sina undersökningar av att
de enbart valde att använda ett matematiskt symbolspråk. De hävdade att de inte behövde
bygga eller rita eftersom de förstod hur tornet var uppbyggt. När läraren senare visade upp
ett bygge skapades en direkt möjlighet till utvärdering och Emil och Albin förstod strax
därefter metoden.
5.7.7
Läraren uppmuntrar kontroll och värdering av svar och metoder
Svar och metoder kontrollerades och jämfördes under de gemensamma genomgångarna och
eleverna fick vara med och avgöra om en lösning var bra.
”Vi ska bara kolla om Theos metod stämmer.” /.../ ”Stämde din teori, Theo?
Inte riktigt. Men du är på väg.”
Läraren ber eleverna värdera en lösning utifrån hur användbar den är för högre torn
och låter den stå kvar på tavlan:
”Är detta en hållbar lösning för ett högre torn? Det tycker inte du Linda. Men
vi har kvar den här i alla fall.”
Läraren lämnade utrymme för lösningar som hon själv inte förstod och uppmuntrade
vid flera gånger elever till att själv undersöka sina metoder. Under de gemensamma genomgångarna ges eleverna tillfälle att berätta om sina metoder och få hjälp att kontrollera
om de stämmer:
27
”Kom fram och förklara, för jag fattade inte när du gjorde det första gången
heller.”
Elever kontrollerade ofta själva sina lösningar genom att pekräkna eller använda miniräknare. Svar och metoder ställdes mot varandra när eleverna hade tillgång till mer än en
lösning.
5.7.8
Alla ska förstå vad som sägs framme vid tavlan
Ett mål med undervisningen var att skapa förståelse och läraren strävade efter att diskussionerna vid tavlan skulle vara riktade till alla i elevgruppen. Läraren gav ofta personlig
respons till de elever som snabbt tog sig igenom uppgifterna och vid de gemensamma
diskussionerna undvek hon områden som bara vissa elever kunde tänkas vara mottagliga
för.
5.8
Interaktion i klassrummet
Lektionerna gav eleverna stor möjlighet till interaktion. Som nämnts tidigare var eleverna
vana vid arbetsformen EPA (Enskilt, Parvis, Alla) och den observerade interaktionen relaterade nästan uteslutande till matematikproblemen. De valda problemen fungerade som
rika i flera bemärkelser, bland annat kunde alla elever påbörja en egen lösning under det
inledande enskilda arbetet, en lösning som sedan kunde redovisas för en kamrat. Lösningarna varierade och detta skapade möjlighet för eleverna att kontrollera sina svar och värdera
metoder. En elev svarar på frågan om han uppskattade samarbetet:
”Ja, han kunde lite och jag kunde lite, så tänkte vi tillsammans och då blev det
bättre. För först när vi jobbade ensamma så hade han kommit en lite bit på
uppgiften och jag en liten bit och sen så började vi tänka tillsammans och då såg
vi att båda hade gjort fel från början och då gjorde vi om och då blev det rätt.”
På detta sätt fick många elever hjälp av varandra.
Det var främst representationer på enaktiv och ikonisk form som initierade matematiska
samtal och som eleverna stödde sig på när de argumenterade för sina metoder. Byggen och
bilder tillät eleverna att peka och rita och att använda ett kontextberoende språk. Byggen
av torn var synliga för elever utanför elevparet och kommenterades ibland även av andra.
En grupp på tre elever som påbörjade ett bygge av T100 uppmärksammas av en annan
elev, Samuel, som vet hur många klossar som behövs, han frågar läraren:
Samuel:
Läraren:
Elev som bygger:
Adam:
Läraren:
Samuel:
Har vi 19 900 klossar?
Nej, jag är tveksam. Det är ju därför det är lite svårt att
använda så många klossar.
Fast vi behöver inte så många.
Jo, ni behöver 19 900 klossar!
Det kanske är lite ohållbart.
Ni behöver väl bara bygga en av sidorna.
Här bidrar normen om att elever hjälper varandra till att synpunkterna framförs med
avsikten att underlätta bygget, de tas emot som hjälp och inte som kritik.
Ibland föddes idéer till nya metoder när eleverna förklarade sina lösningar för varandra.
En bit in i det parvisa arbetet med problemet Stenplattor ber jag Markus och Felix berätta
hur de arbetat med den första deluppgiften, F5 . Båda eleverna har tagit kvadraten av fem
för att beräkna de ljusa plattorna. Felix förklarar hur han kom på metoden Fyra långa
sidor minus hörnen, och Markus berättar att han tog kvadraten av sju för att få det totala
28
antalet plattor, inspirerade av detta hittar de tillsammans en ny metod för att beräkna de
mörka plattorna.
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Felix:
Markus:
Men kolla! Så här, på ettan så är det ju tre stycken så här runt den, sen fyra,
sen fem, sen sex, sen sju, blev det ju på femman. Sen gjorde jag det runt hela.
Sen tog jag de i mitten, och då tog jag fem gånger fem, det blir ju 25, och så
räknade jag så att det blev helt rätt, men det var rätt. Och sen tog jag, ... först
tog jag sju gånger fyra, och det blev 28 och sen tog jag ...
Sju gånger fyra här inne?
Nej, ute. Och sen så räknade jag men det blev fel och då kom jag på, ja just
det hörnen, de räknar man inte med ...
Hur fick du sju gånger fyra?
För det är sju där och sen fyra kanter, fyra. [Felix pekar på de mörka plattorna
i ramen].
Då blir det omkretsen.
Ja, omkretsen, då. Och då blev det 28. Så kom jag på, hörnen räknar man inte
med, så då blev det minus fyra, så 24.
Men jag tänkte så här /.../ jag tog sju gånger sju, det är 49, alla plattor blev
49, sen de här vita tog jag fem gånger fem, 25, sen här bara räknade jag runt
så. [Markus visar att han pekräknade.]
/.../
Annars kunde du ju ta... vänta, 49 sa du att det blev? Alla?
Mm.
49 delat på 25, eller minus, nej! 49 delat med 25.
49 minus 25, det hade också gått.
Ja.
... men jag började ju med att räkna alla först, jag hade ju inte 25 först ...
Jo.
... då visste jag ju inte att de var...
Sen tog du fem gånger fem, det blir 25, så tar du minus det.
Det hade jag också kunnat göra, men nu räknade jag dem så här.
Eleverna övar på att föra och följa matematiska resonemang samt att argumentera och
redogöra för sina lösningar. Båda eleverna väljer att använda den nya metoden Differensen
mellan det totala antalet plattor och de ljusa plattorna och vid den följande gemensamma diskussionen presenterar Markus den för resten av gruppen. Hans redovisning följs
av spontana uttryck av beundran från andra klasskamrater som finner metoden ”mycket
smart”.
Samtalet mellan Felix och Markus visar att de uppfattar att syftet med redovisningen
är att skapa förståelse. De använder sina bilder av F5 och pekar medan de pratar. Felix
berättar hur han kontrollerat antalet mörka plattor med pekräkning och upptäckt att
hans första beräkning inte stämde. Tillgången till den ikoniska representationen av F5
möjliggjorde kontrollen och justeringen av metoden.
Ibland kom sociala normer att stå i konflikt med varandra. Som beskrivet av Pettersson
(2011) kom normen att alla elever ska förstå vad som sägs framme vid tavlan att bli
överordnad normen att alla elever ska få framföra sina lösningar och härav kom diskussionerna att undvika begrepp och uttryck som kunde anses för avancerade för vissa elever. I
följande dialog väljer läraren att undvika en redovisning av en generell lösning av problemet
Tornet och väljer istället att hålla sig till ett specifikt fall:
29
Läraren:
Emil:
Läraren:
Emil:
Vad har ni mer för lösningar. Vad hade ni, Emil?
Först tog man gånger vilken figur det var, alltså hur många det var i mitten
och sen tog man ett mindre än det och sen ...
Nu gäller det att hänga med! Först tar man det man har i mitten. Vi säger att
vi har 4 i mitten.
Gånger ett mindre då, 3.
Vid detta tillfälle visade Emil viss besvikelse över att läraren valde att inte fortsätta ett
generellt resonemang och läraren gick miste om möjligheten att introducera och formulera
en generell lösning på matematisk symbolform.
Arbetsformen gav eleverna stor möjlighet att utveckla förmågan att föra och följa matematiska resonemang. Kombinationen av det parvisa arbetet och de gemensamma diskussionerna skapade möjlighet för alla elever att uttrycka sig, att diskutera och argumentera
för sina lösningar. Läraren kunde, i samtal med eleverna när hon gick runt i klassen, bekräfta en lösning och på det sättet skapa självförtroende hos eleven att redovisa inför resten
av gruppen. På detta sätt kom många elever att involveras i diskussionerna. När lösningarna presenterades hjälpte läraren eleverna att utvärdera såväl övergripande strategier som
metoder för enklare beräkningar.
5.9
Representation
De flesta eleverna valde att bygga och rita under lösningsarbetet av de första delproblemen
och gick sedan alltmer över till att använda dels diagrammatisk form, där bild och symboler
integrerades, dels enbart symbolisk form.
Normerna om att det var önskvärt med olika lösningar och att varje lösning skulle
kunna förklaras uppmuntrade till flera olika representationsformer, i vissa fall ansåg elever
att olika representationer för en och samma lösning var olika metoder.
Ikoniska bilder användes både som strategi för att skapa en plan och som ett sätt
att förklara och dokumentera redan gjorda beräkningar. Representationer på enaktiv och
ikonisk form, som var tänkta som en illustration, gav också upphov till nya lösningar. Tre
elever som byggde ett torn av multilink erfor att tornet föll isär när de flyttade på det,
detta gav upphov till metoden Olika lager. En elev beskrev att det var när hon skulle
illustrera sin lösning av den första deluppgiften för Tornet som hon såg att två trappor
kunde sättas samman till en rektangel, vilket gav henne idén till metoden Två rektanglar
och en mittstapel. I båda dessa fall hade eleverna redan löst deluppgiften i den meningen
att de visste antalet kuber i det efterfrågade tornet, och det var vid deras redovisning med
enaktiv respektive ikonisk representation som nya metoder upptäcktes. Normen om att en
lösning ska kunna förklaras medförde på detta sätt att eleverna upptäckte nya lösningar.
Övergången från bild eller ett bygge till uttryck med skriftliga matematiska symboler
gick bra för flertalet elever. Att på detta sätt konvertera innehåll från ikonisk och enaktiv
form till symbolisk form föredrogs framför det omvända; att konvertera ett innehåll på
symbolisk form till ikonisk eller enaktiv form. Detta gällde både tolkningar av elevernas
egna beräkningar och av andras och fick till följd att många lösningar på symbolisk form
aldrig blev föremål för diskussion eller kontroll. För problemet Stenplattor antog flera elever
felaktigt att ökningen av mönstret var linjär på så sätt att det gick att få svaren för en fem
gånger så stor figur genom att multiplicera tidigare svar med fem. Elever som ritade figurer
och presenterade korrekta lösningar för F5 och F10 , ritade inte någon figur för F50 utan
multiplicerade svaren från F10 med fem. Dessa beräkningar gjordes ibland av elever som
samarbetade parvis vilket gjorde att de inte kunde jämföra sina metoder. Läraren valde
att hålla diskussionerna kring de första delproblemen, som alla hann att arbeta med, och
de felaktiga svaren upptäcktes oftast inte.
Ibland hade eleverna svårt att förstå svar även när de var rätt. En elev, som visade
30
förståelse för att ramen av mörka plattor i problemet Stenplattor kunde beräknas som skillnaden mellan det totala antalet plattor och den inre kvadratens antal plattor, ifrågasatte
tillsammans med en kamrat svaren för F10 . Båda eleverna uppmuntrades att kontrollera
svaren genom att rita en figur, något de till en början var ovilliga att göra, möjligen för att
de inte trodde att figuren skulle få plats på pappret. De försökte att på olika sätt förminska
sina ritningar men ingen av dem fullföljde kontrollen.
Flera elever visade god förmåga att använda specifika figurer och torn som representationer av andra figurer och torn och bilder. Exempelvis kunde figur F5 för stenplattorna
representera F50 och torn T4 representera T100 vid elevernas förklaringar. När läraren vid
problemet Tornet presenterade lösningen En stor rektangel genom att använda ett torn i
multilink som var fyra kuber högt, ritade flera elever denna på centimeterrutat papper och
skapade sedan en diagrammatisk representation av T100 genom att lägga till nya siffror, se
figur 16. Att på detta sätt generalisera och behandla en ikonisk representation påverkade
Figur 16: En diagrammatisk bild av kuberna i T100 som har skapats utifrån en bild av
kuberna i T4 .
elevernas förmåga att tolka bilden. I figur 16 representerar bilden ursprungligen kuber från
ett torn som är fyra kuber högt och en ruta representerar en kub, men efter bearbetningen
av bilden får rutorna en annan betydelse (mittstapeln är exempelvis avbildad som oproportionerligt bred). I ett samtal kring bilden angav en elev figurens längd till 99+33+99
kuber, en naturlig tolkning utifrån antagandet att 99 kuber representeras av tre rutor.
I figur 17 visas en elevlösning för F50 där bilden av F5 har konverterats till en diagrammatisk bild av F50 utifrån idén att alla sträckor blivit tio gånger längre, en tolkning som
inte är direkt överförbar till figurens ram. För den inre ljusa kvadraten har eleven korrekt
utfört multiplikationen 50 · 50, kvadratens höjd och bredd kan ha kommit från bilden eller
från figurnumret. För ramen har hörnen felaktigt tolkats som tio plattor vardera och de
mörka plattorna har på detta sätt beräknas till att bli 4 · 9 för många. Summan av talen i
ramen blir 240, ett tal som eleven skrivit till höger. Bredvid detta tal noteras 236+4, något
som kan tolkas som att eleven vet att de mörka plattorna i F49 är fyra färre än i F50 .
På liknande sätt förenklar en elev sin diagrammatiska bild av en trappa sedd uppifrån
i tornet T15 för att gälla för T100 , beskrivet i avsnitt 5.6.2, se figur 14. Lösningen för T15 är
korrekt men vid beräkningen av den större trappan adderade eleven ursprungligen talen i
31
Figur 17: En diagrammatisk bild av F50 där varje platta i F5 tillskrivits värdet 10.
rutorna, dvs 10+20+30+...+90. Utifrån den förståelse eleven för övrigt uppvisade för hur
tornen var uppbyggda, berodde felet på att hon bortsåg ifrån förståelsen vid just denna
lösning.
Att effektivt kunna växla mellan enaktiv, ikonisk och symbolisk form kräver, enligt
Duval (2006), att eleven kan arbeta i mer än ett register samtidigt. I enlighet med vad
Duval skriver, uppvisar eleverna i studien svårigheter med att konvertera ett innehåll och
att därefter arbeta parallellt i det ursprungliga och i det nya registret. Elevernas förutsättningar att utvecklas i sina förmågor att arbeta i flera register samtidigt och därigenom lösa
problem gynnades av mångfalden av lösningar som erbjöd möjlighet till kontroll men hämmades av avsaknaden av stöttning från läraren som aldrig hann ta upp lösningar av alla
delfrågor. Förmågan att konvertera en lösning från matematisk symbolisk form till ikonisk
eller enaktiv påverkades även negativt av den sociomatematiska norm som sa att matematik bäst uttrycks med matematiska symboler. När eleverna hade övergått till symbolisk
representationsform var de ovilliga att vända tillbaka.
Under det parvisa arbetet hjälpte eleverna varandra med att tolka lösningar och olika
uttrycksformer. Elevernas kommentarer av varandras lösningar initierades ofta av enaktiva och ikoniska representationer och mer sällan av uttryck på matematisk symbolform.
Användandet av laborativt material och ritade figurer uppmuntrade på detta sätt till matematiska resonemang där eleverna fick redogöra för och diskutera sina lösningar.
I de fall när elever kan ha antagits kopiera en lösning från en kamrat visade de större
förståelse för lösningen om den innehöll ikoniska representationer än om den enbart var på
symbolisk form. Detta gällde såväl under lektionerna som under intervjuerna.
5.10
Utvärdering
Eleverna utvärderade sina egna och varandras metoder och svar. För de första deluppgifterna för Stenplattor respektive Tornet skapades ritningar och byggen som gjorde det möjligt
att använda pekräkning som lösningsmetod eller som strategi för att kontrollera svaren.
Även när eleverna verkade säkra på sina svar kontrollräknade de gärna. Felix förklarar sin
lösning för de ljusa plattorna i F5 :
”Sen tog jag de i mitten, och då tog jag fem gånger fem, det blir ju 25, och så
räknade jag så att det blev helt rätt, men det var rätt.”
Variationen av metoder ökade självreglering och kontroll av metoder och svar under det
parvisa arbetet och de gemensamma diskussionerna. Här visas hur två elever vill förstå
32
ökningen av det totala antalet stenplattor. De har skrivit upp talen för vad de tror är
antalet plattor för de fem första figurerna; 9, 16, 25, 35, 49. De söker ökningen av antalet
plattor mellan figurerna; 7, 9, 11, 13. Efter hand upptäcker de att de felaktigt har fått 6 · 6
till 35.
Joel:
Theo:
Joel:
Theo:
Joel:
Theo:
Joel:
Theo:
Joel:
9 plus 7 är lika med 16, plus 8 är lika med... Fast det var ju 25, då
blir det ju plus 9 istället.
25 plus 10 det blir 35.
35 plus 11, nej, för då blir det 46.
6 gånger 6, den ska vara 36.
Ja, för titta här ökar den, mellan. Två!
Ja, för 7 gånger 7 är 49.
Ja, då är det 49. Eftersom det där emellan ökade med 7 och där
emellan ökade med 9, då måste det öka med 11.
Ja.
Och sen 13, och sen fortsätter det så. Då fick vi den till 49!
Joel och Theo kunde på detta sätt utvärdera och korrigera tidigare svar vid sina efterföljande beräkningar.
I de fall uppgiften gällde ett mindre antal plattor eller kuber valde flertalet elever
pekräkning som den mest tillförlitliga metoden. Under de gemensamma diskussionerna var
det framför allt med stöd i pekräkning som andra metoder kontrollerades.
Vid större figurer konstruerades sällan bilder eller byggen och eleverna saknade möjlighet till pekräkning. Ibland kontrollerades beräkningar med miniräknare, men eleverna
tycktes förstå att det inte var samma sak att verifiera en beräkning som att verifiera en
metod. Precis som att variation av representationsformer och lösningar främjade kontroll,
hämmades kontrollen av avsaknaden av sådan variation. Som nämnts i avsnitt 5.9 hade
flera elever svårt att konvertera innehåll på matematisk symbolform till enaktiv och ikonisk form. De hade inte heller samma förmåga att utveckla en lösning på symbolform som
lösningar på enaktiv och ikonisk form. Om den enda lösning de hade tillgång till var på
symbolisk form hade de alltså svårt att hitta alternativa lösningar för att utvärdera sina
svar och metoder.
Albin, som beskrevs i avsnintt 5.6.3, upptäckte tillsammans med Emil en fungerande
metod och visade tidigt intresse för att kontrollera den:
”Ja, det blir rätt. Men varför blir det rätt?”
Uppmuntrad av läraren lägger Emil och Albin mycket tid på att undersöka metoden genom
att använda skriftlig beräkning, skriva en tabell och att rita i den tryckta figuren på
uppgiftspappret men de är ovilliga att bygga egna torn även när de uppmuntras att använda
multilink. När läraren senare håller upp ett ombyggt torn i formen av en stor rektangel
vill Emil och Albin undersöka bygget.
I Emil och Albins fall kunde metoden till slut, med stöttning från läraren, verifieras
men flera elever avstod eller klarade inte av att kontrollera sina uppgifter, delvis eftersom
svaren för de senare deluppgifterna inte togs upp under de gemensamma diskussionerna.
Flera av dessa felaktiga svar beräknades av elevpar där båda använde samma metod, vilket
endast gav dem möjlighet att kontrollera och justera räknefel.
Utvärdering av svar och metoder underlättades av direkta möjligheter till jämförelse.
Den sociomatematiska normen att det är eftersträvansvärt med beräkningar på matematisk
symbolform hjälpte inte eleverna att kontrollera svar på symbolform.
5.11
Generalisering
Variationen i elevernas förmåga att lösa de rika problemen bestod framför allt i deras förmåga att generalisera. Vissa elever sökte direkt efter generella metoder och såg de inledande
33
deluppgifterna som underordnade frågeställningar.
Adam, Emil och Albin gav inte numeriska svar för alla deluppgifter, där antalet plattor
eller kuber efterfrågas, och visade bland annat på detta sätt att de främst inte sökte
specifika svar, de ville hitta en generell metod, en metod som även skulle vara effektiv att
använda. I intervjuerna säger Albin och Adam:
”Det var lite svårt att komma på den första, men sen var det ju bara likadant
ju, och då blev det lätt.”
”I början var det ganska svårt och sen blev det enkelt när man förstod hur man
skulle göra.”
Detta står i kontrast till svaren från elever som hade svårt att lösa problemen, de kallar i
större utsträckning de första deluppgifterna för rutinuppgifter och de senare för utmaningar. Tre elever säger:
”De var ganska kluriga, men figur fem var ganska lätt.”
”Det var en utmaning, men inte första.”
”Den första var rutin, tyckte jag, de andra blev problemlösning.”
Eleverna förstod uppgifterna på olika sätt, några koncentrerade sig på de enskilda deluppgifterna medan andra, redan när de bara fått den första deluppgiften, ville hitta en generell
metod.
Även om flera elever kunde tillämpa generella metoder kunde de inte skriva dem på
matematisk symbolform. De lyckades heller inte formulera generella uttryck för ökning och
förändring. Detta skapade frustration och tveksamhet hos flera elever. Klassen hade inte
arbetat med algebraiska uttryck och läraren berörde inte området under de gemensamma
diskussionerna. Några elever använde uttryck som ”figur gånger figur” och ”uppgiften gånger
samma”. Adam, skrev ”+4” för att ange ökningen av de mörka stenplattorna i ramen och
använde ”etc” för att visa att den serie beräkningar han påbörjat för de ljusa plattorna i den
inre kvadraten även gällde för större kvadrater, se figur 10. Ibland fanns ökningen angiven i
text, ibland i en bild eller i en tabell. I tabeller angavs ökningen ofta mellan tabellens rader,
tal som sedan raderades ut när tabellen var klar. Flera elever kunde muntligt beskriva hur
ökningen gick till men gav ingen skriftlig förklaring. Den sociala normen om att alla ska
förstå vad som sägs framme vid tavlan hindrade läraren från att föra in algebraiska uttryck
i diskussionen och hämmade därmed vissa elevers utveckling.
De gemensamma diskussionerna hjälpte elever som främst koncentrerat sig på specifika
lösningar att se att ett syfte med problemen var att jämföra olika generella metoder. En
elev svarar på frågan om han saknade genomgång av en deluppgift han arbetat med:
”Nej, men det var ju mer sätt och sånt. Andra lektionen gick vi genom massor
av olika sätt att lösa dem på och då hade man ju olika sätt och så fick man
testa sig fram vilket som var bäst och fungerade bäst till denna.”
På detta sätt skedde en förändring av förståelsen av uppgiften från en inriktning på specifika
svar till inriktning på generella metoder.
Vissa elevers oförmåga att utföra beräkningar, som multiplikation, hindrade dem från
att snabbt se generella samband i mönstren men tycktes inte hindra dem från att delta i
en diskussion om generella metoder. Den sociala normen om att alla skulle förstå vad som
sägs framme vid tavlan kan här ha bidragit till att läraren höll sig till exempel med låga
tal och enkla beräkningar. På så vis var det lättare för alla elever att jämföra metoder.
34
5.12
Utveckling av matematiska förmågor
Eleverna gavs under de studerade lektionerna goda förutsättningar att utveckla flera matematiska förmågor. Läroplanens förmågor kommer här att behandlas var för sig.
Förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. Lektionerna gav eleverna goda förutsättningar att utveckla förmågan
att lösa problem. Egenskapen hos rika problem, att kunna lösas med flera olika metoder,
erbjöd eleverna möjlighet att jämföra och värdera strategier och metoder. När en elev inte
hade tillgång till mer än en lösningsmetod var det mindre sannolikt att den värderades.
Lärare och elever delade normen om att det är bra med en variation av lösningar vilket
bidrog till mångfalden lösningar. Dock var det få elever som tog sig an den deluppgift där
de uppmuntrades att själva formulera egna matematiska problem. Detta skedde delvis på
grund av tidsbrist.
Förmåga att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp.
Läraren tog upp flera olika matematiska begrepp i sina introduktioner till problemen och i
de gemensamma genomgångarna, ibland inspirerad av elevernas lösningar. Flera elever som
visade stor förståelse för problemen hade svårt att sätta ord på sina tankar, de saknade
matematiska begrepp. Här kan normen om att alla elever skulle förstå vad som sades
framme vid tavlan ha gjort att läraren valde att inte introducera användbara begrepp.
Möjligheten att bygga, rita och skriva gjorde att eleverna hade tillgång till flera uttrycksformer när de talade om begrepp som knöt an till problemen. Begrepp kunde illustreras med figurer som gick att peka och ta på och på detta sätt hjälptes elevgruppen att
samlas kring begrepp även om de språkliga uttrycken var svåra att förstå för vissa elever.
Förmåga att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och
lösa rutinuppgifter. Genom att vara med och värdera sina egna och andra elevers lösningar
hjälptes eleverna att välja lämpliga metoder. I de problem som användes i studien gavs
eleverna flera delproblem av samma typ vilket gjorde att förståelse för ett delproblem kunde
tas med till nästa. Allteftersom figurerna växte fick eleverna omvärdera användbarheten
hos en metod.
Trots tillgång till miniräknare användes oftast huvudräkning och olika skriftliga metoder, eleverna gjorde många beräkningar som kan betraktas som rutinuppgifter.
Förmåga att föra och följa matematiska resonemang. De rika problemen och de sociala och
sociomatematiska normerna i klassrummet uppmuntrade eleverna att föra matematiska
resonemang, de fick även lyssna på och tolka andra elevers resonemang.
Förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och
redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. De rika problemen gav eleverna
stort utrymme att uttrycka sig med laborativt material, i bild, i tal och i skrift, detta
skedde enskilt, i mindre grupp och gemensamt i klassen. Den sociomatematiska normen
om att lösningar på matematisk symbolform är bättre än bilder och byggen begränsade
vissa elever som oftast valde att inte använda laborativt material eller bilder.
Vissa elever hade i större utsträckning kunnat utveckla förmåga att skriva algebraiska
uttryck.
6
Diskussion
Syftet med studien var att undersöka hur elever i en heterogen elevgrupp löser matematiska problem som är konstruerade för att utmana alla gruppens elever, inklusive elever
med särskild matematisk förmåga. Lektionernas upplägg samt studiens utformning, med
35
klassrumsobservationer, intervjuer och insamlade lösningar, gjorde att vissa elever kom
att studeras mer ingående, framförallt elever som ville berätta om sina lösningar. Dessa
utgjordes framförallt av elever som visade god problemlösningsförmåga. Det parvisa arbetet
och de gemensamma diskussionerna gjorde att de inlämnade elevlösningarna innehöll både
elevernas egna lösningar samt, i de flesta fall, lösningar som de fått från andra elever och
läraren. Härigenom var den enskilda elevinsatsen svårbestämd och under intervjuerna gick
det inte att avgöra anledningen till varför en elev hade svårt att redovisa sin lösning, det
var oklart om eleven hade glömt lösningen eller aldrig förstått den.
De problem som användes fungerade i de undersökta situationerna som rika problem
men det fanns inom ramen för de studerade lektionerna inte rum för fler än ett fåtal elever
att utforska möjligheten att formulera egna liknande problem.
6.1
Vikten av bilder och laborativt material
Ritade figurer och byggda torn var de representationsformer som framförallt var utgångspunkten för interaktion eleverna emellan. De olika uttrycksformerna gjorde det möjligt för
dem att samlas kring ett känt objekt som det gick att peka på, och i vissa fall ta i, utan att
objektet beskrevs med precist språk och matematiska begrepp. Den bristande uppmärksamheten som ibland uppstod under de gemensamma diskussionerna uppstod oftast när
läraren skrev matematiska uttryck på tavlan och utifrån intervjusvaren är det rimligt att
anta att eleverna då hade svårt att relatera talen och beräkningarna till något som var
bekant för dem. Exempelvis representerade talet fyra flera olika saker vid de båda problemen; ramen i problemet Stenplattor hade fyra hörn, fyra sidor och ökade med fyra plattor
för varje steg i mönstret, tornet i den första deluppgiften var fyra kuber högt och alla torn
hade fyra trappor. Genom att rikta elevernas uppmärksamhet mot en bild eller ett torn
fångade läraren deras intresse och även om alla inte följde med i beräkningarna kunde de
många gånger förstå en idé till en lösning. Bilderna hjälpte läraren att fånga elevernas
uppmärksamhet och förmedla idéer till lösningar.
De flesta eleverna utforskade mönstren genom att rita och bygga och fick härigenom
idéer till olika lösningar. Om idén representerades med bilder eller byggen spreds den oftare
vidare än via symbolisk representationsform. Detta gjorde att en lösning på symbolisk
form ibland behövde uttryckas i enaktiv eller ikonisk form för att andra elever skulle förstå
den. Dessa kunde sedan, ofta utan större svårighet, skriva ner sina egna beräkningar på
symbolform. Byggen med laborativt materialet och ritade bilder fungerade som bärare av
idéer, de var mycket viktiga för elevernas matematiska resonemang.
Svårigheten och oviljan att konvertera beräkningar på symbolisk form till enaktiv och
ikonisk representation hämmade de elever som ofta avstod från att rita och bygga, samtidigt
tog de gärna del av redan konstruerade enaktiva och ikoniska representationer. Duval
(2006) beskriver skillnaderna mellan att behandla ett innehåll inom ett register och att
konvertera ett innehåll mellan olika register samt hur elever oftare har lättare för att arbeta
inom ett register än att ha flera register aktiva samtidigt. Flera av eleverna, beskrivna i
den här studien, försökte konvertera en ikonisk bild till en diagrammatisk bild men vid
konverteringen gick information förlorad och oförmågan att ha två register aktiva samtidigt
gjorde att diagrammatiska bilder feltolkades och generaliserades på ett felaktigt sätt, se
avsnitt 5.9. Liksom Duval (2006) skriver, var eleverna i studien bättre på att konvertera
ett innehåll från en bild till matematisk symbolform än att göra konverteringen i motsatt
riktning. De hade även till viss del svårt att behandla innehåll på symbolisk form.
Elevgruppen kunde lättare samlas kring en idé om de hade tillgång till enaktiva och
ikoniska representationer. I problemen som användes i studien fanns dessa representationsformer som en naturlig del; ritade mönster av stenplattor och en bild av ett torn byggt
av klossar. För att uppmuntra till matematiska samtal och spridning av idéer mellan elever kan problem, som inte på samma sätt uppmuntrar till liknande representationsformer,
behöva hitta sådana uttrycksformer.
36
I enlighet med vad Bruner (1966) skriver visar resultaten att elever, som har förmåga att
abstrahera ett innehåll till symbolform, kan hämmas i sin problemlösning och heuristiskt
tänkande om de inte kan återvända till enaktiv eller ikonisk representation. I undersökningen var det skriftliga beräkningar och diagrammatiska bilder som ledde till de flesta
feltolkningarna. Trots att eleverna visat förståelse för en egenskap hos mönstret tog de inte
hänsyn till denna i senare beräkningar. Detta talar för att elever som klarar att utföra
beräkningar på symbolisk representationsform ändå gynnas av att arbeta med bilder och
laborativt material.
En lösning med utgångspunkt i en bild eller ett bygge tycktes uppmuntra eleverna
till kontroll av svar och metoder medan en skriven lösning lämnades okontrollerad. På
detta sätt kunde beräkningen 5 · 5 kontrolleras genom pekräkning, men inte 50 · 50 där en
bild saknades, detta trots tillgång till miniräknare. Bilder och byggen genererade spontan
kontroll.
6.2
Rika problem
Problemen i studien valdes ut med förhoppningen att de skulle fungera som rika problem.
Framför allt skulle de introducera viktiga matematiska idéer (växande mönster), vara lätta
att förstå, utmana alla elever samt initiera matematiska resonemang.
Alla elever i studien ägnade tid åt att förstå problemet och alla visade förståelse för
åtminstone den första deluppgiften. Elevernas förståelse av problemet gynnades av att de
fick arbeta med det en längre stund och att lärarstyrda diskussioner varvades med det enskilda och parvisa arbetet. Förståelse är den första av Pólyas fyra faser vid problemlösning.
När en hel grupp löser problem tillsammans är det önskvärt att alla individer genomgår
denna fas så att de kan vara aktiva under resten av problemlösningen.
Samtidigt som alla elever förstod problemen och kunde lösa delar av dem var det ingen
elev som löste alla deluppgifter. Problemen kunde tolkas på olika sätt och det fanns en stor
variation av lösningar. Eleverna intresserade sig för varandras lösningar och förde många
matematiska samtal.
6.3
Enskilt, Parvis, Alla
Elevgruppen som undersöktes var van vid att arbeta enligt EPA-modellen vid matematisk
problemlösning. Aktiviteten i klassrummet som ökade när elever skulle byta plats eller
börja parvisa diskussioner tycktes inte distrahera dem från att ägna sig åt uppgifterna.
Det enskilda och parvisa arbetet gav eleverna stor möjlighet att själva tolka problemen,
påbörja eller slutföra en lösning och redovisa muntligt och skriftligt för en kamrat. Eftersom
detta arbete efterföljdes av en gemensam diskussion hade läraren tid att se hur eleverna
arbetade med problemen före genomgången och visste därmed vilka lösningar hon kunde
förvänta sig och något om de matematiska idéer, begrepp och metoder som använts. På
detta sätt styrde läraren diskussionerna utifrån vad eleverna visade intresse för och utifrån
deras lösningar.
Det är troligt att elever som fått visa upp sin lösning för läraren, eller som kontrollerat
en lösning tillsammans med en kamrat under det parvisa arbetet, är mer benägna att
redovisa en lösning och argumentera för den inför resten av klassen.
6.4
Högpresterande elevers problemlösning
Även om studien inte syftade till att hitta elever med särskild matematisk förmåga observerades elever som under lektionerna presterade bättre än andra, i studien benämnda
högpresterande. Bland dessa fanns de som tidigt sökte generella uttryck för mönstrens
ökning, något som var en utmaning för dem. Även om de med lätthet beräknade antalet
plattor och kuber i de första deluppgifterna uttryckte de att de initialt mötte en utmaning,
37
men att uppgiften sedan blev rutinartad. Detta står i kontrast till övriga elevers beskrivningar där de första uppgifterna upplevdes som rutin men att utmaningen sedan ökade ju
större figurerna blev. Möjligheten att tolka problemen på olika sätt skapade utrymme för
de högpresterande eleverna att utmanas när de arbetade med samma problem som resten
av elevgruppen, förmodligen utmanades de till och med mer än de andra eleverna i början
av arbetet.
Trots att elever som funnit en generell metod upplevde att de sedan stod inför en rutinuppgift verkar dessa rutinartade beräkningar ge en större behållning än annars, eftersom
metoden var frukten av en ansträngning och något de var stolta över.
Valen av problem och problemens konstruktion, med flera sammanhängande deluppgifter, gav elever som arbetade fort möjlighet att fortsätta framåt samtidigt som de arbetade
inom samma område som resten av klassen. Dessa elever kunde delta i och inspireras av de
gemensamma diskussionerna som kretsade kring metoder som var relevanta för alla delproblem. Arbetet med de senare deluppgifterna skulle kunna beskrivas både som acceleration
och fördjupning inom klassens ram.
De rika problemens variation av lösningar gav elever som snabbt klarade av flera deluppgifter möjlighet att själva korrigera sina misstag. Trots att läraren höll sig nästan
uteslutande till de mindre figurerna kunde lösningar för dessa generaliseras till att gälla
större figurer vilket också underlättade utvärdering av svar och metoder.
Flera av de högpresterande eleverna visade prov på god förmåga att skapa inre bilder av
de mönster som undersöktes, bilder som ofta hjälpte dem att korrigera misstag. Dessa inre
bilder visade sig dock ibland otillräckliga och mindre användbara jämfört med ritade bilder
och byggen av laborativt material. När en elev arbetar med uppgifter på egen hand, exempelvis en fördjupningsuppgift, kan arbetet gynnas av att uppgiften uppmuntrar till att rita
bilder eller använda laborativt material. Genom att använda olika representationsformer
möjliggörs spontan utvärdering av metoder och svar.
6.5
Svagpresterande elevers problemlösning
Materialet som samlades in i studien gav framför allt en bild av elever som aktivt deltog i
gemensamma diskussioner, som gärna redovisade sina lösningar och som efter lektionerna
kom ihåg sina lösningar. Bland dessa aktiva elever fanns vissa elever som hade svårt för
flera moment i problemlösningsprocessen. Trots svårigheter att avbilda mönstret eller göra
beräkningar deltog de i diskussioner kring lämpligheten hos en metod. De diskuterade
skillnader mellan metoder som var bra för små figurer och metoder som med fördel användes
för stora figurer. Ofta förstod de en idé, även om de inte kunde tillämpa den fullt ut. För
dessa elever skapades möjlighet att delta i diskussioner, som för elever i årskurs fem kan
anses vara avancerade och positiva för utvecklingen av flera matematiska förmågor. De gavs
även möjlighet att öva sina kunskaper i geometri och de fyra räknesätten. Om lektionerna
skulle planerats för att vara anpassade till dessa svagare elever, som i vissa fall hade svårt
att rita en kvadrat eller utföra enklare multiplikationsuppgifter, är det möjligt att de aldrig
skulle ha getts möjlighet att öva matematiska förmågor i samma utsträckning. Målet för
lektionerna, att alla elever skulle utmanas av problemen, kan på detta sätt ha gynnat de
svagare eleverna.
Dessa resultat i studien talar för att en sammanhållen undervisningsform, där eleverna
inte nivågrupperas, gynnar de svagare eleverna. I enlighet med forskningsresultat som
beskrivs av Ahlberg (1991) och Wallby (2011) skapades troligen på detta sätt jämförelsevis
höga förväntningar på svagare elever.
För de elever som var mindre aktiva under diskussionerna och som av olika skäl endast
berättade summariskt om sina lösningar är effekten av lektionerna mer svårbedömd, men
de arbetade aktivt med sina lösningar, byggde och ritade och kunde svara på direkta
frågor från läraren. Utifrån de svårigheter att följa och förstå resonemang på matematisk
symbolisk form, som de studerade eleverna generellt visade upp, är det rimligt att tro att
38
denna grupp gynnades av möjligheten att rita och bygga mönster samt av lärarens fokus
på problemens första deluppgifter.
6.6
Avslutande sammanfattning
De valda problemen skapade utmaningar för alla elever och gav upphov till många matematiska diskussioner. Elever som hade svårt för att lösa problem fick möjlighet att delta i en
process där matematiska idéer diskuterades samtidigt som elever som visade god förmåga
att lösa problem mötte utmaningar.
Genom att inte använda flera olika problem av stigande svårighetsgrad utan använda
flera varianter av ett problem, kunde läraren leda gemensamma diskussioner för alla, där
specifika exempel kunde generaliseras. Samtidigt begränsade lärarens val, att hålla diskussionen kring matematik som hela klassen förväntades förstå, vissa högpresterande elever
som var redo att lära sig mer. Algebra var ett område som berördes av eleverna men som
läraren inte tog upp.
Ritade bilder och laborativt material stöttade eleverna i deras lösningar och initierade
många matematiska samtal. Möjligheten till utvärdering av lösningar ökade i och med att
flera metoder kunde användas för att lösa samma delproblem samt genom att eleverna
diskuterade sina lösningar med varandra.
Svårighetsgraden ökade inte för alla elever, istället upplevde vissa elever hur problemet
initialt var utmanande men efter att de funnit en generell metod övergick uppgiften till
att bli en rutinuppgift. Flera av dessa elever räknade således rutinuppgifter i slutet av
lektionen men gjorde detta med stor tillfredsställelse eftersom de själva utvecklat metoden
som gjorde beräkningarna möjliga. De rika problemen erbjöd på detta sätt såväl rutin som
utmaning och möjliggjorde en sammanhållen lektion.
39
Referenser
Ahlberg, A. (1991). Att lösa problem i grupp. I G. Emanuelsson, B. Johansson, &
R. Ryding (red:er), Problemlösning. Lund: Studentlitteratur.
Blume, G. W., Godine, H. L., Graysay, D., Shimizu, J. K., & Konnova, S. V. (u. å.). The
roles of examples in a prospective secondary mathematics teacher’s use of mathematical processes when doing and teaching mathematics.
Bruner, J. S. (1966). På väg mot en undervisningsteori (Svensk översättning 1974 ).
Gleerups Lund.
Bruner, J. S. (1996). Kulturens väv. utbildning i kulturpsykologisk belysning (Svensk översättning 2002 ). Daidalos.
Dahl, T. (2011). Problösning kan avslöja matematiska förmågor: Att upptäcka matematiska förmågor i en matematisk aktivitet. Institutionen för datavetenskap, fysik och
matematik (DFM), Linnéuniversitetet.
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of
mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61 (1-2), 103-131.
Gardner, H. (1983). Frames of mind: theory of multiple intelligences. London: Fontana
Press.
Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem. Liber.
Kvale, S., & Brinkmann, S. (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.
Lindqvist, G. (1999). Vygotskij och skolan (G. Lindqvist, red.). Studentlitteratur.
Markkanen, P. (2014). ”Tekniken utan en lärare är ingenting” - En studie om användande av teknink i geometriundervisning (No. 26). Växjö: Fakulteten för teknik,
Linnéuniversitetet.
Mattsson, L. (2013). Tracking mathematical giftedness in an egalitarian context. Göteborg:
Göteborgs universitet. Naturvetenskapliga fakulteten.
Persson, R. S. (1997). Annorlunda land, särbegåvningens psykologi. Stockholm: Almqvist
& Wiksell.
Pettersson, E. (2011). Studiesituationen för elever med särsklida matematiska förmågor.
Göteborg: Linnaeus university press.
Schoenfeld, A. H. (1987). Pólya, problem solving, and education. Mathematics Magazine,
60 (5), 283-291.
Schoenfeld, A. H. (1994). Mathematical thinking and problem solving. Hillsdale, N.J. :
Erlbaum Associates.
Schoenfeld, A. H. (2013). Reflections on problem solving theory and practice. The Mathematics Enthusaiast, 10 (1-2), 9-34.
Skolverket. (2003). Lusten att lära - med fokus på matematik (No. 221). Stockholm.
Skolverket. (2004). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 (No. 250). Stockholm.
Skolverket. (2011a). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm.
Skolverket. (2011b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Stockholm.
Skolverket. (2012a). Högpresterande elever, höga prestationer och undervisningen
(No. 379). Stockholm.
Skolverket. (2012b). Timss 2011 svenska grudnskoleelvers kunskaper i matematik och
naturvetenskap i ett internationelt perspektiv (No. 380). Stockholm.
Skolverket. (2013). Pisa 2012 15-åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och naturvetenskap (No. 398). Stockholm.
Skolverket. (2014). Pisa 2012 problemlösningsförmåga hos 15-åringar i ett internationellt
perspektiv (No. 406). Stockholm.
SOU 2004:97. (2004). Att lyfta matematiken - intresse, lärande, kompetens. Stockholm:
Utbildningsdepartementet.
Sundén Jelmini, M. (2014-04-21). Låga mattekunskaper sänker nivån. Svenska Dagbladet.
40
Sveriges Kommuner och Landsting.
(u. å.).
Handlingsplan särbegåvade elever
2014.
Sveriges Kommuner och Landsting.
Retrieved 14 sep 2014, from
http://www.skl.se/download/18.547ffc53146c75fdec0eee
b9/1405428232070/skl-handlingsplan-2014-sarbegavadee
lever.pdf
Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan - för att skapa tillfällen till lärande. Umeå:
Umeå University: Department of Mathematics and Mathematical Statistics.
Utbildningsdepartementet. (2009). Den nya skollagen: för kunskap, valfrihet och trygghet.
Stockholm: Utbildningsdebartementet, Regeringskansliet.
Vygotskij, L. (1935). Pedagogitjeskaja psichologija. I L. Zankovitj, Z. Sjif, & D. Elkonin
(red:er), Umstevennoe razvitie detej v processe obutjenija (Svensk översättning 1999
). Gosudarstvennoe utjebno-pedagogitjeskoe izdatelstvo.
Wallby, K., Carlsson, S., & Nyström, P. (2001). Elevgrupperingar skolverket - en kunskapsöversikt med fokus på matematikundervisning. Stockholm: Skolverket.
Wistedt, I. (2005). En förändrad syn på matematikbegåvningar? Nämnaren(3), 53-55.
Wistedt, I. (2008). Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik. I
Resultatdialog 2008 forskning inom utbildningsvetenskap (p. 132-136). Stockholm:
Vetenskapsrådet.
Wistedt, I., Bengmark, S., Biro, T., Dahl, T., Mattsson, L., Milrad, M., . . . Spikol, D.
(2012). Pedagogik för elever med förmåga och fallenhet för matematik. I Resultatdialog 2012 (p. 167-174). Vetenskapsrådet.
Wyndhamn, J., Riesbeck, E., & Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och
praktik. Linköping: Institutionen för tillämpad lärarkunskap.
41
Fakulteten för teknik
391 82 Kalmar | 351 95 Växjö
Tel 0772-28 80 00
[email protected]
Lnu.se/fakulteten-for-teknik