Rotorter
Rotorter Exempel: PI-reglering av tanken Rotort för slutna systemets poler m.a.p. Ki , med Kp = 2 och Kd = 0. 10 Im 8 6 4 2 asymptoter Re 0 −2 −4 −6 −8 −10 −10 1/6 [email protected] −5 0 5 10 Rotort Rotort Utgångspunkt Låt ( P (s) Q(s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an , = sm + b1 sm−1 + · · · + bm n≥m En rotort visar hur rötterna till polynomekvationen P (s) + K · Q(s) = 0, 0≤K<∞ (∗) beror av parametern K. Rotorten utgörs av de punkter i det komplexa talplanet C som är en rot till (∗) för något K ≥ 0. 2/6 [email protected] Rotort Rotortens karakteristik ◮ Ekvationen (∗) har alltid n rötter, vilka i rotorten utgör n stycken grenar. ◮ P (s) och Q(s) har reellvärda koefficienter ⇒ alla komplexvärda rötter till (∗) är komplexkonjugerade par ⇒ rotorten är symmetrisk kring reella axeln. I övrigt karakteriseras rotorten av dess ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ 3/6 startpunkter ändpunkter asymptoter delar på reella axeln [email protected] Rotort Rotortens karakteristik, forts. 4/6 ◮ Startpunkter: De n rötterna till (∗) för K = 0. Ges av P (s) = 0. Markeras med kryss ’×’. (Resultat 3.1) ◮ Ändpunkter: De m ändliga rötterna till (∗) när K → ∞. Ges av Q(s) = 0. Markeras med ringar ’◦’. (Resultat 3.1) ◮ Asymptoter: n − m grenar går ut mot oändligheten. Detta sker längs n − m asymptoter. Asymptoterna strålar ut (symmetriskt) från en punkt på den reella axeln. (Resultat 3.1) ◮ Reella axeln: De delar av den reella axeln som har ett udda antal (inkl. multiplicitet) reella start- och ändpunkter till höger om sig, hör till rotorten. (“Uddaregeln”) (Resultat 3.2) ◮ Rotortens grenar kan inte överlappa varandra, så om två grenar möts (i en dubbelrot) på reella axeln måste de “bryta ut” i det komplexa talplanet. [email protected] Rotort PID-reglering av tanken Rotort för slutna systemets poler m.a.p. Kd , med Kp = 2 och Ki = 4. 5 Im 4 3 2 två ändpunkter 1 Re 0 −1 −2 −3 −4 −5 −8 5/6 [email protected] −6 −4 −2 0 2 Rotort PI-reglering av tanken En variant Rotort för slutna systemets poler m.a.p. K, med F (s) = K s+4 8s . 5 Im 4 3 2 1 0 Re −1 asymp− toter −2 −3 −4 −5 6/6 [email protected] −6 −4 −2 0 2 Rotort
© Copyright 2024