1. No category

Återkopplade systemets stabilitet och Go (s)
Betrakta det återkopplade systemet nedan:
+
Σ
F (s)
G(s)
−
1/8
Go (s)
1+Go (s)
◮
Slutna systemets överföringsfunktion: Gc (s) =
◮
Kretsförstärkningen: Go (s) = F (s)G(s)
◮
Slutna systemet stabilt ⇐⇒ Gc (s) har inga poler i HHP ⇐⇒
nämnaren 1 + Go (s) har inga nollställen i HHP.
◮
Gränsfall: Poler på Im-axeln, i ±iωo ⇐⇒ 1 + Go (iωo ) = 0.
[email protected]
Nyquist
Exempel 1
DC-servo
DC-motor G(s) =
1
s(s+1)
styrs med förstärkaren F (s) =
3
K
s+2 .
Im
2
1
Re
0
−1
−2
−3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Rotorten visar slutna systemets poler m.a.p. K.
Polerna ges av 0 = s(s + 1)(s + 2) + K.
2/8
[email protected]
Nyquist
Ett tankeexperiment
Notera att Go (iωo ) = −1 ⇐⇒
|Go (iωo )| = 1 och
arg Go (iωo ) = −π = −180◦ .
r(t) = sin ωo t
y
A
−y
B
Go (s)
−1
◮
Med switchen i läge A blir
−y(t) = −|Go (iωo )| sin(ωo t+arg Go (iωo )) = − sin(ωo t−π) = sin ωo t
◮
3/8
Om switchen momentant hoppar till läge B så kommer
fortfarande −y(t) = sin ωo t gälla ⇐⇒ självsvängning.
[email protected]
Nyquist
Exempel 1
DC-servo, forts.
Nyquistkurvan, Go (iω) för 0 ≤ ω < ∞, för DC-servot.
Im
Re
0
−1
K=9
−2
K=6
K=3
−3
−4
−3
−2
−1
0
1
Slutna systemet stabilt för K = 3, instabilt för K = 9, och på
stabilitetsgränsen för K = 6.
4/8
[email protected]
Nyquist
Nyquistkriteriet
Förenklade Nyquistkriteriet
Definition:
Kretsförstärkningens frekvenssvar, Go (iω) där 0 ≤ ω < ∞, kallas
för Nyquistkurvan.
Förenklade Nyquistkriteriet:
Om kretsförstärkningen Go (s) har alla poler i VHP, utom högst
någon pol i origo, så är det slutna systemet stabilt om och endast
om Nyquistkurvan, har punkten -1 till vänster om sig i det
komplexa talplanet C.
5/8
[email protected]
Nyquist
Exempel 2
Vadå till vänster om Nyquistkurvan?
Återkopplat system med kretsförstärkningen
s2 +0.9s+9
Go (s) = K s(s
2 +0.8s+4)
◮ Till vänster, rotorten m.a.p. K för slutna systemets poler.
◮ Till höger Go (iω) för 0 ≤ ω < ∞, med K = 10.
5
Im
3
Im
Re
0
2
−5
1
Re
−10
0
−1
−15
−2
−20
−3
−3
6/8
[email protected]
−2
−1
0
1
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
Nyquist
Nyquistkriteriet
Fullständiga Nyquistkriteriet
7/8
◮
Det förenklade Nyquistkriteriet är ett specialfall av ett mer
fullständigt resultat, som kort och gott benämns
Nyquistkriteriet.
◮
Detta bygger på och bevisas med hjälp av
argumentvariationsprincipen (AVP).
◮
Ifall förutsättningarna för det förenklade Nyquistkriteriet inte
är uppfyllda får man använda sig av den fullständiga
formuleringen av Nyquistkriteriet.
[email protected]
Nyquist
Nyquistkriteriet
Fullständiga Nyquistkriteriet, forts.
Halvcirkeln γ, med radie R → ∞, avbildas av Go (s) på γ ′ .
replacements
Go (s)
Im
Im
γ
R
Re
Re
γ′
Resultat 3.3
Om γ ′ omcirklar punkten -1 k varv i positiv riktning har det
återkopplade systemet k fler poler i HHP än vad Go (s) har.
Om γ ′ omcirklar punkten -1 k varv i negativ riktning har det
återkopplade systemet k färre poler i HHP än vad Go (s) har.
8/8
[email protected]
Nyquist