Relativ rörelse
8–1
RELATIV RÖRELSE1
8
8.1
Inledning
Den grundläggande lagen i den klassiska
mekaniken är Newtons accelerationslag
ma = F
Som Newton själv noterade finns det en fundamental svårighet gömd i denna ekvation,
nämligen det faktum att ekvationen bara kan
gälla i vissa koordinatsystem. Detta följer
av att accelerationsvektorn a kan ändras när
man byter koordinatsystem medan kraftvektorn F förblir densamma. Kraften på en partikel beskriver dess växelverkan med andra
partiklar och beror alltså av vilka objekt som
finns i omgivningen, men den har inget med
valet av koordinatsystem att göra. Observera
att vi här talar om vektorerna själva och inte
om deras komponenter! Komponenterna av
kraftvektorn ändras när vi byter koordinatsystem, men vektorn själv är invariant i den
meningen att den har en given storlek och
pekar i en bestämd riktning. Accelerationen
däremot måste alltid relateras till något visst
koordinatsystem fär att vara meningsfull.
Exempel: Den gravitationskraft varmed jorden påverkar månen är riktad från
månen mot jorden. Newtons accelerationslag säger oss då att månens acceleration likaså är riktad från månen mot
jorden. Detta stämmer om vi beskriver
månens rörelse i ett koordinatsystem
med origo i jordens medelpunkt och axelriktningar betsämda av fixstjärnorna.
Om vi däremot väljer ett koordinatsystem med origo i månens medelpunkt
blir månens acceleration uppenbarligen noll, fastän gravitationskraften fortfarande finns kvar och fortfarande pekar
från månen mot jorden.
1
Detta avsnitt är hämtat från ett kompendium av
A. Kihlberg och G. Niklasson
De koordinatsystem i vilka Newtons lagar gäller kallar vi inertialsystem. Ett problem som bekymrade Newton och många
efter honom är att det inte finns någon
grundläggande princip som talar om för oss
vilka system som är inertialsystem. Det enda
man kan säga är att om man hittat ett inertialsystem så har man hittat dem alla, eftersom två olika inertialsystem bara kan skilja
sig åt genom att det ena utför en ren translationsrörelse med konstant hastighet relativt
det andra. System som inte är inertialsystem
kallar man därför för accelererade koordinatsystem.
Frågan om ett visst koordinatsystem är
ett inertialsystem eller ej avgörs som alla
fysikaliska frågor i sista hand av experiment.
Om mätresultaten stämmer med
beräkningar baserade på Newtons accelerationslag så är systemet ett inertialsystem, annars inte. Eftersom mätresultat aldrig kan
vara exakta och fullständiga kan man aldrig
ge ett absolut svar, utan man får nöja sig med
att säga att systemet kan betraktas som ett
inertialsystem för en viss klass av fenomen
eller inom en viss mätnoggrannhet.
Exempel: När man studerar hur en bil rör
sig längs en väg eller hur en utkastad projektil rör sig genom luften kan
man i allmänhet betrakta ett koordinatsystem fixerat i jordytan som ett inertialsystem. Om man noggrannt studerar fallrörelse i lufttomt rum finner
man emellertid små avvikelser från accelerationslagens förutsägelser.
Mera
påtagliga sådana avvikelser visar sig
i storskaliga rörelser som strömmarna
i värdshaven eller vindarna kring ett
lågtryck.
Dessa fenomen påverkas
märkbart av jordens rotationsrörelse.
För att beskriva dem korrekt med
hjälp av Newtons mekanik måste vi
utgå från ett koordinatsystem fixerat i
jordens medelpunkt med axelriktningar
bestämda av fixstjärnorna. Vill man
Relativ rörelse
studera ännu storslagnare fenomen, som
t ex planeternas rörelser, duger inte
heller detta som inertialsystem, utan
man får gå till ett system fixerat i solen.
Och så vidare.
Man kan fråga sig om det överhuvud taget
finns något absolut inertialsystem, i vilket
Newtons lagar är exakt giltiga. Frågan är
strängt taget meningslös, eftersom vi vet
att den klassiska mekaniken av andra skäl
har ett begränsat giltighetsområde. Newtons teori kan betraktas som ett gränsfall av
mera allmängiltiga teorier som kvantmekanik
och allmän relativitetsteori. Särskilt den
allmänna relativitetsteorin kastar ett nytt ljus
över begreppet inertialsystem.
Även om man i princip bör arbeta i ett inertialsystem när man tillämpar Newtons lagar så är det ofta opraktiskt att göra såṀan
får t ex en mycket klumpig beskrivning av
havsströmmars rörelser om man anger dem
relativt ett stjärnfixt system. Funktionen
hos en mekanisk apparat i ett svängande och
dykande flygplan studerar man lämpligen i ett
flygplansfixerat koordinatsystem, fastän det
inte är ett inertialsystem. Vi behöver därför
en metod att transformera accelerationslagen
så att vi direkt kan arbeta i accelererade koordinatsystem utan att varje gång behöva ta
omvägen över ett inertialsystem. I detta kapitel skall vi presentera en sådan metod.
8.2
Grundläggande formler och begrepp
Låt oss studera rörlesen hos en given partikel
i förhållande till två olika koordinatsystem.
Det ena koordinatsystemet antages vara ett
inertialsystem, medan det andra är ett accelererat system. Partikelns lägevektor relativt
inertialsystemet skriver vi som
8–2
tialsystemet, och där x, y och z är koordinaterna. För att beteckna koordinater
och lägevektorer i det accelererade koordinatsystemet använder vi grekiska bokstäver.
Lägevektorn skrivs alltså som
ρ = ξ eξ + η eη + ζ eζ
där eξ , eη och eζ är basvektorerna i det accelererade systemet, och ξ, η och ζ är partikelns
koordinater i detta system. Om båda koordinatsystemen har samma origo är r och ρ
samma vektor. I annat fall gäller sambandet
r = ρ+R
där R är vektorn från origo O i inertialsystemet till origo Ω i det accelererade systemet.
eζ
I
@
eη
H
Y
HH @
r(t) ρ(t) HH@
HH
ez
@
1Q
6 Ω QQ
s
Q
R(t)
eξ
O ey
ex
I fortsättningen skall vi använda ordet ‘absolut’ för att beteckna hastighet och acceleration i förhållande till inertialsystemet och ‘relativ’ för att beteckna motsvarande storheter
i förhållande till det accelererade systemet.
Vår uppgift är att finna sambanden mellan
de absoluta och de relativa storheterna. För
att göra detta utgår vi från ovanstående samband mellan den absoluta lägevektorn r och
den relativa lägevektorn ρ, vilket vi skriver på
formen
r = ξ eξ + η eη + ζ eζ + R
Den absoluta hastigheten v finner vi genom
att bilda tidsderivatan av r , varvid vi måste
där vi infört beteckningarna ex = î, ey = ta hänsyn till att såväl vektorn R som basvekĵ och ez = k̂ för basvektorerna i iner- torerna eξ , eη och eζ kan vara tidsberoende.
r = xex + y ey + z ez
Relativ rörelse
8–3
Detta ger
v
= ξ˙eξ + η̇ eη + ζ̇ eζ +
+ ξ ėξ + η ėη + ζ ėζ + Ṙ
förstå än de två andra bidragen.
Den
uppträder endast för roterande koordinatsystem, och vi skall senare diskutera dess
innebörd utförligare.
Bland annat skall
vi se att det är coriolisaccelerationen som
förklarar varför vindarna kring ett lågtryck
och strömmarna i världshaven uppför sig som
de gör. För ögonblicket nöjer vi oss med den
formella definitionen och skriver alltså den
absoluta accelerationen på formen
Här representerar de tre första termerna partikelns relativa hastighet v rel, d v s den
hastighet en observatör fixerad i det accelererade systemet skulle tillordna partikeln, om
han inte vore medveten om att hans koordinatsystem rör sig. De återstående termerna representerar den hastighet partikeln
får genom att följa med koordinatsystemet i
dess rörelse. Dessa termer bildar tillsammans där
medföringshastigheten v med . Vi kan alltså
skriva den absoluta hastigheten på formen
v = v rel + v med
där
v rel
v med
= ξ˙eξ + η̇ eη + ζ˙ eζ
= ξ ėξ + η ėη + ζ ėζ + Ṙ
a = arel + amed + acor
arel
amed
acor
= ξ¨eξ + η̈ eη + ζ̈ eζ
= ξëξ + ηëη + ζëζ + R̈
= 2(ξ̇ėξ + η̇ ėη + ζ̇ ėζ )
Newtons accelerationslag, som ju gäller i inertialsystem, får nu formen
m(arel + amed + acor ) = F
Den absoluta accelerationen a finner vi på Ett annat sätt att skriva samma ekvation är
motsvarande sätt genom att derivera v m a p
marel = F − mamed − macor
tiden och därvid ta hänsyn till tidsberoendet
i alla ingående termer. En rättfram uträkning Det första skrivsättet är det ur formell synger resultatet
punkt mera naturliga och det som bäst
återspeglar filosofin i Newtons mekanik. I
a = ξ̈ eξ + η̈ eη + ζ̈ eζ +
högerledet står de verkande krafterna och i
+ 2(ξ̇ėξ + η̇ ėη + ζ̇ ėζ ) +
vänsterledet den acceleration de ger upphov
+ ξëξ + ηëη + ζëζ + R̈
till. Det senare skrivsättet är emellertid ofta
i bättre samklang med hur en observatör som
där de tre första termerna i analogi följer med det accelererade systemet upplever
med motsvarande termer i uttrycket för situationen. En observatör på jorden har t ex
hastigheten utgör den relativa accelerationen ingen direkt upplevelse av att hans koordinatarel. De fyra sista termerna kommer en- system rör sig, och när han talar om en parbart av koordinatsystemets rörelse, och de tikels acceleration menar han vanligen bara
bildar tillsammans medföringsaccelerationen den relativa accelerationen. Ekvationen ovan
amed .
I motsats till vad som gällde för visar att man kan räkna med Newtons andra
hastigheten finner vi emellertid att accele- lag på vanligt sätt även i ett accelererat koorrationen innehåller ytterligare tre termer, dinatsystem, om man lägger till ett par extra
vilka beror av den relativa rörelsen och termer till kraften i högerledet. Man skriver
av koordinatsystemets rörelse. Dessa ter- alltså accelerationslagen på formen
mer utgör den så kallade coriolisacceleramarel = F + F med + F cor
tionen acor, som kanske är lite svårare att
Relativ rörelse
8–4
där
F med
= −mamed
F cor
= −macor
Sådana extra termer kallar vi fiktivkrafter,
därför att de inte representerar växelverkan
med omgivningen utan egentligen bara är accelerationsbidrag som flyttats över till ‘fel
sida’ av ekvationen. Ett exempel som vi skall
stöta på är centrifugalkraften, som erhålles
som ett specialfall av F med för roterande koordinatsystem. Det är ofta bekvämt att räkna
med fiktivkrafter, och trots namnet kan de
upplevas som mycket påtagliga, vilket många
Lisebergsbesökare kan intyga.
Vare sig vi väljer att arbeta med begreppet fiktivkrafter eller inte, måste vi kunna
beräkna medföringsaccelerationen och coriolisaccelerationen. I följande avsnitt skall vi
studera hur man går tillväga för att göra detta
i olika situationer.
Exempel: En järnvägsvagn rör sig horisontellt och rätlinjigt med hastigheten v(t).
Ställ upp rörelseekvationen för en partikel som glider på ett lutande plan i
vagnen!
t t
- v(t)
H
H
H
HH
HH
Vi väljer koordinatsystem enligt figuren med ξ-axeln längs planet. Under förutsättning att partikeln inte lyfter
från planet får den relativa accelerationen formen
arel = ξ̈ eξ
η
8.3
Koordinatsystem
translationsrörelse
med
H
H
H
HH
θ HH
HH
j
ren
Vi skall börja med att betrakta den enklaste situationen, nämligen den att axelriktningarna i det accelererade systemet är
fixa. Systemet säges då utföra ren translationsrörelse. Eftersom basvektorerna eξ , eη
och eζ är konstanta blir alla deras tidsderivator noll. Uttrycket för medföringshastigheten
förenklas då till
ξ
Medföringsaccelerationen kan skrivas
R̈ = aex = a(eξ cos θ + eη sin θ)
v med = Ṙ
vilket helt enkelt är den hastighet varmed
origo i det accelererade koordinatsystemet rör
sig. På samma sätt reduceras uttrycket för
medföringsaccelerationen till
amed = R̈
där θ är planets lutningsvinkel och
a = v̇(t) är vagnens acceleration. De
krafter som verkar på partikeln är tyngdkraften W , normalkraften N och friktionskraften F . Dessa skriver vi på
följande sätt:
och coriolisaccelerationen försvinner helt och
hållet. Accelerationslagen får alltså formen
W
= mg(eξ sin θ − eη cos θ)
N
m(arel + R̈) = F
= N eη
F
= −F eξ
Relativ rörelse
8–5
blir N negativ, vilket signalerar att partikeln lyfter från planet, såvida den inte
är fastklistrad. I det fall att partikeln
glider nedför planet gäller att F = f N ,
där f är friktionstalet. Accelerationen
längs planet kan då lösas ur den första
av ovanstående ekvationer, vilket ger
N
HH
Y
HH
F
θ ?
W
ξ¨ = (g − f a) sin θ − (a + f g) cos θ
Accelerationslagen blir alltså
m(arel + R̈) = W + N + F
Vi ser här att ξ¨ blir negativ om vagnens
acceleration a har ett tillräckligt stort
positivt värde. Det betyder att om partikeln ges en begynnelsehastighet nedför
planet kommer dess rörelse att bromsas upp och eventuellt kan den istället
börja glida uppåt längs planet. Man
kan också genom att sätta ξ̈ = 0 i
ovanstående ekvationer studera villkoret för att partikeln skall kunna ligga i
jämvikt på planet. Betrakta t ex specialfallet att planet är lodrätt, d v s θ = 90◦ .
Jämviktsvillkoren blir då
vilket kan skrivas på den alternativa formen
marel = W + N + F + F med
där
F med = −mR̈
Partikelns rörelse på det lutande planet
kan alltså beskrivas genom att man utöver tyngdkraften och kontaktkrafterna
inför
en
fiktiv
kraft
vilken är motriktad vagnens acceleration.
N
F
YH
H
HH
F med
Beroende på storlek och tecken hos
vagnens acceleration a kan olika situationer inträffa. Vi noterar t ex att om
a har ett tillräckligt stort negativt värde
= ma
N
ma
?
W
m(ξ¨ + a cos θ) = mg sin θ − F
N = mg cos θ + ma sin θ
N
F
6
Efter uppdelning i komponenter längs eξ
och eη ger accelerationslagen de två ekvationerna
Ur den andra av dessa ekvationer kan
normalkraften N lösas:
= mg
vilka
är
möjliga
att
satisfiera under förutsättning att a ≥ g/f .
?
W
ma sin θ = −mg cos θ + N
F
8.4
Koordinatsystem med ren rotationsrörelse
Antag att det accelererade koordinatsystemets rörelse består i att det roterar med
vinkelhastigheten ω kring en viss axel A.
Origo antages vara fixerat och kan få sammanfalla med origo i inertialsystemet. Som
exempel kan man tänka på ett koordinatsystem fixerat på en roterande karusell med origo
Relativ rörelse
8–6
'$
&%
i mittpunkten. Ett annat exempel är ett ko- torn V så att den får tillskottet ∆V . Tidsordinatsystem fixerat i jorden med origo i jor- derivatan av V definieras som
dens medelpunkt.
dV
∆V
= lim
∆t→0 ∆t
dt
η
ξ
I
@
och man inser att detta blir en vektor som
@
tangerar cirkeln och är vinkelrät mot ω och
@ω
V . I gränsen då ∆t → 0 gäller att
Villkoret att origo är fixerat innebär att
tidsderivatorna av R försvinner ur uttrycken
för hastighet och acceleration. Basvektorerna
eξ , eη och eζ är däremot tidsberoende, och
vi behöver finna uttryck för deras tidsderivator. För den skull börjar vi med det mera
allmänna problemet att finna tidsderivatan av
en vektor V , som roterar kring en axel A med
vinkelhastigheten ω. Ett bekvämt sätt att
matematiskt beskriva rotationsrörelsen är att
introducera en rotationsvektor ω, definierad
av uttrycket
ω = ω eA
där eA
axeln.
|∆V | → |ω∆tV sin θ|
och tidsderivatans belopp ges alltså av
dV
dt
= lim ∆V
∆t→0 ∆t
= |ωV sin θ|
Kombinerar vi detta med ovanstående argument om riktningen hos derivatan finner vi
att resultatet kan skrivas som en vektoriell
produkt:
dV
=ω×V
dt
Detta gäller alltså för varje roterande vektor,
inklusive basvektorerna eξ , eη och eζ .
Vi kan nu beräkna de olika bidrag till
hastigheten och accelerationen som definierär en enhetsvektor längs rotations- ades i avsnitt 1. För medföringshastigheten
finner vi t ex med Ṙ = 0:
v med
ω
A
eA
∆V
i
P
PP
6 V
θ
= ξ ėξ + η ėη + ζ ėζ + Ṙ =
= ξω × eξ + ηω × eη + ζω × eζ =
= ω × (ξ eξ + η eη + ζ eζ )
där termerna inom parentes i sista ledet
igenkänns som komponentframställningen av
den relativa lägevektorn ρ. Resultatet blir
alltså
v med = ω × ρ
På samma sätt kan vi gå vidare och beräkna
Rotationsriktningen, tecknet på vinkel- högre derivator.
För andraderivatan av
hastigheten ω och riktningen hos eA är basvektorn eξ finner vi t ex
relaterade till varandra enligt skruvregeln.
dω
Rotationsrörelsen innebär att spetsen hos
ëξ =
× eξ + ω × (ω × eξ )
dt
den roterande vektorn V beskriver en cirkel
kring rotationsaxeln. Av figuren framgår att där vi tagit hänsyn till att rotationsvekcirkelns radie är V sin θ, där V är beloppet av torn ω kan vara tidsberoende. Såväl vinkelV , och θ är vinkeln mellan vektorerna ω och hastigheten som rotationsaxelns riktning kan
V . Under tidsintervallet ∆t vrider sig vek- ändras med tiden.
Relativ rörelse
8–7
Det äe nu en enkel sak att beräkna
medföringsaccelerationen och coriolisaccelerationen enligt definitionerna i avsnitt 1. Med
användning av ovanstående formler finner vi
att
amed
acor
dω
× ρ + ω × (ω × ρ)
dt
= 2ω × v rel
=
Medföringsaccelerationen består som synes av
två termer. Ett vanligt specialfall är att
rotationsvektorn är konstant, och i så fall
överlever endast den sista av dessa. Genom
att utföra de vektoriella multiplikationerna
finner man att den representerar en acceleration som alltid är riktad in mot rotationsaxeln
och har storleken `ω 2 , där ` är det vinkelräta
avståndet från rotationsaxeln. Detta bidrag
är känt under namnet centripetalaccelerationen.
ω
ω × (ω × ρ)
ρ
Av uttrycket för coriolisavvelerationen
framgår att den endast uppträder för partiklar som rör sig relativt det roterande systemet. Vidare ser man att coriolisaccelerationen alltid är vinkelrät mot den relativa
hastigheten.
Exempel: En person som åker karusell har
ingen acceleration relativt karusellen.
Däremot har han en centripetalacceleration på grund av att han följer med
karusellen och alltså rör sig i en cirkulär
bana. För att åstadkomma en sådan acceleration krävs enligt Newtons andra lag
en kraft som är riktad åt samma håll
som accelerationen, d v s in mot centrum. Denna så kallade centripetalkraft
utgörs av friktionskraft från underlaget,
tryckkraft från en stolsrygg eller något
liknande, och den är alltså en påtaglig
reell kraft som kommer från kontakten med materiella objekt i omgivningen. Någon annan kraft behöver inte
införas.
Karusellåkaren vill emellertid gärna beskriva situationen på ett
helt annat sätt.
Han upplever sig
vara påverkad av en utåtriktad centrifugalkraft som uppstår på grund av rotationen och som precis uppväger centripetalkraften så att åkaren förblir i vila
relativt karusellen. Som vi förut sett
är skillnaden mellan Newtons synsätt
och krausellåkarens synsätt egentligen
bara att en term, som enligt Newton
hör hemma i vänsterledet av ekvationen
ma = F . av karusellåkaren omedvetet
flyttas över till högersidan av ekvationen
och därigenom tolkas som en kraft.
Antag att vår karusellåkare kastar iväg
en boll eller något annat föremål. När
handen har släppt fóremålet påverkas
det inte längre av någon annan kraft än
tyngdkraften och ett försumbart luftmotstånd. En iakttagare utanför karusellen
kommer därför att se föremålet beskriva
en kastparabel vars projektion på horisontalplanet är en rät linje. För iakttagaren på den roterande karusellen ser
emellertid den räta linjen ut som en spiral, d v s han upplever att föremålets
bana hela tiden böjer av åt ena sidan.
Det ser alltså ut som om föremålet
påverkas av en mystisk sidoriktad kraft.
Denna är inget annat än corioliskraften,
d v s den tidigare introducerade fiktivkraft som svarar mot coriolisaccelerationen.
För att beskriva situationen i mera matematiska termer förenklar vi karusellen
till en horisontell vändskiva som roterar
Relativ rörelse
8–8
η
kring en vertikal axel med den konstanta vinkelhastigheten ω. På skivan
finns en partikel med massan m, vars
rörelse vi vill undersöka. Om vi inför ett
roterande koordinatsystem med ξ-axeln
och η-axeln i skivans plan finner vi att
η
-
-
ξ
En annan tänkbar rörelse är att partikeln
rör sig utåt längs ξ-axeln med den konstanta farten vrel relativt skivan, vilket
betyder att η = ζ = 0, ξ̇ = vrel och
η̇ = 0. Man kan t ex tänka sig att partikeln glider i ett spår på skivan. Den
kraft som krävs för att realisera en sådan
rörelse ges av
ξ
ω = ω eζ
arel = ξ¨eξ + η̈ eη
acor
F
6
ρ
amed
6
Fξ
= ω × (ω × ρ) = −ω 2 ρ
= 2ω × v rel
= 2ω eξ
eη
0
ξ˙
0
η̇
eζ 1 0 = 2ω(−η̇ eξ + ξ˙eη )
Rörelseekvationerna i komponentform
blir således
m(ξ¨ − 2ω η̇ − ω 2 ξ) = Fξ
m(η̈ + 2ω ξ̇ − ω 2 η) = Fη
Dessa kan sedan studeras i olika specialfall. Man kan t ex bestämma den kraft
som krävs för att partikeln skall vara i
vila relativt skivan, vilket innebär att ξ
och η skall vara konstanta. Man finner
då
Fξ = −mω 2 ξ
Fη = −mω 2 η
vilket är den centripetalkraft som enligt observatören på karusellen krävs för
att kompensera den utåtriktade centrifugalkraften.
= −mω 2 ξ
Fη = 2mωvrel
En observatör som följer med skivan i
dess rotation skulle kunna beskriva situationen genom att säga att det krävs
dels en kraft in mot centrum för att
kompensera centrifugalkraften, dels en
kraft åt vänster för att kompensera den
åt höger verkande corioliskraften. För
en observatör utanför skivan existerar
emellertid varken centrifugalkraft eller
corioliskraft. Han ser helt enkelt en partikel som rör sig i en spiralformad bana
under inverkan av en kraft med komponenterna Fξ och F η enligt ovan.
Ett annat intressant specialfall är att
partikeln är fritt rörlig på skivan men
bromsas av en glidfriktion med friktionstalet f . Friktionskraften är motriktad
den relativa hastigheten och ges av uttrycket
v rel
F = −f mg
|v rel|
vilket efter komponentuppdelning och
insättning i ovanstående rörelseekvationer leder till ett mycket komplicerat
Relativ rörelse
8–9
system av differentialekvationer, som vi vilket leder till slutsatsen att a11 = 0. På
inte kan lösa analytiskt.
samma sätt ser vi att a22 = a33 = 0. Vidare gäller att hur än basvektorerna vrider sig
så måste de förbli ortogonala mot varandra.
8.5 Det allmänna fallet
Alltså gäller t ex att
Rörelsen hos ett godtyckligt koordinatsyseξ · eη = 0
tem består dels i att origo flyttar sig, dels
i att koordinataxlarna ändrar riktning. Origos rörelse kan vi alltid beskriva med hjälp vilket efter derivering m a p tiden ger
av en translationsvektor R(t). Man frågar
ėξ · eη + eξ · ėη = 0
sig om koordinataxlarnas rörelse på liknande
sätt alltid kan beskrivas med hjälp av en rotationsvektor ω(t). Svaret är ja, vilket vi nu Insättning av komposantframställningen för
skall bevisa. Vi börjar med att konstatera arr ėξ och ėη ger nu sambandet
tidsderivatan av en godtycklig vektor själv är
a12 = −a21
en vektor, som kan delas upp i komposanter
längs basvektorerna eξ , eη och eζ . Alltså kan
och på samma sätt
vi alltid skriva
ez
a23 = −a32
6
a31 = −a13
O
@
ey
@
eζ
ex
@
eη
@ AK
@ A
@
A
R(t)
@A
R
@
AH -ω(t)
Ω HHH
jeξ
ėξ
= a11 eξ + a12 eη + a13 eζ
ėη
= a21 eξ + a22 eη + a23 eζ
ėζ
= a31 eξ + a32 eη + a33 eζ
där koefficienterna a11 , a12 , etc är tills vidare
okända storheter. De kan emellertid inte se ut
hur som helst, eftersom basvektorerna måste
uppfylla vissa villkor. För det första är de
enhetsvektorer, vilket t ex innebär att
eξ · eξ = 1
Deriverar vi denna likhet m a p tiden finner
vi att
ėξ · eξ = 0
Endast tre av koefficienterna aij är alltså
oberoende av varandra. Vi kan sammansätta
dessa till en vektor ω genom definitionen
ω = a23 eξ + a31 eη + a12 eζ
och vi finner då att
ėξ
= ω × eξ
ėη
= ω × eη
ėζ
= ω × eζ
vilket visar att koordinataxlarna utför rotationsrörelse bestämd av vektorn ω. Notera
att inget hindrar att koefficienterna aij och
därmed rotationsvektorn ω är tidsberoende.
Vi kan nu med utgångspunkt från definitionerna i avsnitt 1 skriva ner de allmänna
uttrycken för medförningsaccelerationen och
coriolisaccelerationen för ett koordinatsystem
med godtycklig rörelse:
amed
acor
dω
× ρ + ω × (ω × ρ)
dt
= 2ω × v rel
= R̈ +
Relativ rörelse
8 – 10
Exempel: Ett tåg passerar en plan, horisontell kurva med radien b och retarderas så
att farten varierar enligt
sidan av R, och en explicit beräkning ger
då
v2
amed = −ceξ +
eη
b
Coriolisaccelerationen blir
v = v0 − ct
där c och v0 är konstanter.
Inför
ett rörligt koordinatsystem med ζ-axeln
vertikalt uppåt och ξ-axeln i tågets
rörelseriktning.
Bestäm medföringsaccelerationen och coriolisaccelerationen
för en partikel i tåget som befinner sig
nära origo!
acor
eξ
eη
0
ξ˙
0
η̇
eζ v
v b = 2 (−η̇ eξ +ξ̇ eη )
b
ζ̇ För en partikel i fritt fall som endast påverkas av tyngdkraften blir
rörelseekvationerna
v
m(ξ¨ − 2 η̇ − c) = 0
b
v ˙ v2
m(η̈ + 2 ξ + ) = 0
b
b
mζ̈ = −mg
O
eη
= 2
Alternativt kan man skriva de två första
ekvationerna som
v
mξ¨ = m(2 η̇ + c)
b
v
v2
mη̈ = −m(2 ξ˙ + )
b
b
där termerna i högerledet representerar
fiktivkrafter.
b
6
-
eξ
Vi har att
v
v0 − ct
ω =
eζ =
eζ
b
b
R = −beη
v rel = ξ˙eξ + η̇ eη + ζ̇ eζ
8.6
Tillämpning på rörelse relativt
jorden
Vi skall nu tillämpa den allmänna teorin på
ett koordinatsystem som är fixerat i jorden.
Låt oss lägga origo på jordytan, ξ-axeln åt
För att beräkna medföringsaccelera- öster,, η-axeln åt norr och ζ-axeln vertikal
tionen bildar vi först derivatorna av R, uppåt.
ω
som ju är en roterande vektor:
η
Ṙ = ω × R
I
@
ζ
dω
@
R̈ =
× R + ω × (ω × R)
dt
α
R
Medföringsaccelerationen kan alltså skrivas
O
amed =
dω
× (R + ρ) + ω × [ω × (R + ρ)]
dt
Eftersom partikeln förutsätts vara nära
origo kan vi försumma vektorn ρ vid
Relativ rörelse
8 – 11
Rotationsvektorn för koordinatsystemet är
densamma som för jorden, d v s den är riktad längs jordaxeln från sydpolen mot nordpolen och har en storlek svarande mot 2π radianer per dygn. Egentligen är rotationsvektorn inte exakt konstant, utan både storlek och riktning fluktuerar en smula, men
fluktuationerna är helt försumbara i detta
sammanhang. Koordinatsystemets translationsrörelse beskrivs av vektorn R från jordens medelpunkt O till vårt rörliga origo Ω.
Medföringsaccelerationen kan alltså skrivas
amed = R̈ + ω × (ω × ρ
där α är vinkeln mellan jordaxeln och den vertikala ζ-axeln och alltså bestäms av latituden
för punkten Ω. Vi finner då att
e
ξ
= 2ω 0
ξ̇
sin α cos α =
acor = 2ω × v rel
η̇
ζ˙ h
i
2ω (ζ̇ sin α − η̇ cos α)eξ + ξ̇ cos αeη − ξ˙ sin αeζ
eη
eζ
Vi kan nu skriva ner accelerationslagen, och
vi väljer att ta hänsyn till koordinatsystemets rörelse genom att införa fiktiva krafter
i högerledet:
marel = F + F med + F cor
Vektorn R utför ren rotationsrörelse, och vi
finner alltså dess tidsderivator genom up- där
prepad vektoriell multiplikation med rotaF med = −mamed = −mR̈
tionsvektorn, vilket leder till
F cor = −macor = −2mω × v rel
amed = ω × [ω × (R + ρ)]
Vid rörelse nära punkten Ω kan vi försumma
ρ i jämförelse med R, så att
6
S
amed = R̈ = ω × (ω × R)
Detta är en centripetalacceleration riktad in
mot jordaxeln. Den är störst vid ekvatorn och
blir noll vid polerna.
-
F med
W ?
ω
eη
I
@
α
@
@
@
eζ
Låt oss först betrakta en partikel som hänger
i en tråd och befinner sig i vila relativt jorden. De krafter som verkar utöver den fiktiva centrigugalkraften F med är kraften S i
linan och tyngdkraften W . Vi får alltså
jämviktsvillkoret
S + W + F med = 0
För att beräkna coriolisaccelerationen vilket visar att linkraften S måste komutgår vi från uttrycken
pensera såväl tyngdkraften W som centrifugalkraften F med . I själva verket har vi ingen
v rel = ξ˙eξ + η̇ eη + ζ˙ eζ
möjlighet att skilja dessa två åt, utan det är
deras summa vi normalt mäter när vi väger en
ω = ω sin αeη + ω cos αeζ
Relativ rörelse
8 – 12
kropp eller bestämmer vertikallinjen med ett
lod. Vi sammanför dem därför till en effektiv
tyngdkraft
W eff = W + F med = W − mR̈
Det är denna effektiva tyngdkraft som
definierar den vertikala ζ-riktningen och vi
kan därför skriva
W eff = −mg eζ
där g som vanligt betecknar accelerationen
vid fritt fall. Denna varierar något mellan
olika punkter på jordytan, främst just för
att den innehåller ett bidrag från centrifugalkraften. Det är dock ganska komplicerat
att beräkna variationen, eftersom man måste
ta hänsyn till att jordens form av samma skäl
blir något tillplattad.
d
6
S
W eff
?
Accelerationslagen kan nu skrivas
marel = F + W eff + F cor
där F stårför alla pålagda krafter utöver tyngdkraften. På komponentform får vi ekvationerna
mξ¨ = Fξ − 2mω(ζ̇ sin α − η̇ cos α)
mη̈ = Fη − 2mω ξ̇ cos α
mζ̈ = Fζ − mg + 2mω ξ˙ cos α
Exempel: För att illustrera hur corioliskraften påverkar rörelsen skall vi studera
ett enkelt exempel, där alla andra krafter
är eliminerade. Betrakta för den skull en
partikel som glider på ett glatt horisontalplan. Då gäller
mξ¨ = 2mω η̇ cos α
mη̈ = −2mω ξ˙ cos α
Efter integration m a p tiden ger detta
mξ̇ = 2mω(η − η0 ) cos α
mη̇ = −2mω(ξ − ξ0 ) cos α
där η0 och ξ0 är integrationskonstanter.
Genom att eliminera η finner vi sedan
ξ¨ + (2ω cos α)2 (ξ − ξ0 ) = 0
Den allmänna lösningen till denna differentialekvation är
ξ = ξ0 + R0 cos(2ωt cos α + θ0 )
där R0 och θ0 är integrationskonstanter.
Ur ekvationen för η fås vidare
η = η0 − R0 sin(2ωt cos α + θ0 )
Vi ser nu att partikeln rör sig i en
cirkelformig bana med ekvationen
(ξ − ξ0 )2 + (η − η0 )2 = R20
Omloppsriktningen bestäms av tecknet
på cos α. Man övertygar sig lätt om att
banan genomlöps medurs på norra halvklotet, där cos α > 0. På södra halvklotet gäller motsatsen. Partikeln uppför
sig alltså som om den påverkades av en
kraft riktad åt höger på norra kalvklotet och åt vänster på södra halvklotet.
Detta är naturligtvis inget annat än horisontalkomponenten av corioliskraften.
Relativ rörelse
η
η0
6
'$
&%
R
@
I
@ 0
-
ξ0 ξ
Banradien R0 beror av partikelns hastighet. Ur ovanstående ekvationer finner vi
lätt att
2
vrel
= ξ̇ 2 + η̇ 2 = R20 (2ω cos α)2
vilket alltså ger
vrel R0 = 2ω cos α Antag t ex att vrel = 10 m/s och cos α =
0.7. Med ω = 2π(24 · 3600)−1 rad/s fås
radien R0 = 105 m = 10 mil.
För normala hastigheter blir banradien
mycket stor, vilket återspeglar att corioliskraften är mycket liten. Den kan
trots detta spela en väsentlig roll vid
storskaliga rörelser. En blick på en karta
över strömmarna i världshaven räcker
för att man skall se att de tenderar att
cirkulera medurs på norra halvklotet och
moturs på södra halvklotet. För vindarna kring ett lågtryck spelar krafter
från tryckskillnader en väsentlig roll.
8 – 13