6.1 Trigonometriska kurvor Sinusformade kurvor och kurvan av tangens Ange grafens ekvation 𝑦 𝑦 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝑑 Amplituden 𝐴 = 4 Konstanten 𝐷 = 3 𝑥 Hur finner vi 𝑘 𝑦 𝑦 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝑑 sin 𝑥 har perioden 360° sin 2𝑥 har perioden 180° 𝑥 sin 2 𝑥 har perioden 720° sin 𝑘𝑥 har perioden 360° 𝑘 360° 360° = 400° ↔ 𝑘 = ↔ 𝑘 = 0,9 𝑘 400° 𝑦 = 4 sin 0,9𝑥 + 3 Amplituden 𝐴 = 4 Konstanten 𝐷 = 3 Skissa en kurva 𝑦 𝑦 = 5 sin 2(𝑥 + 45°) − 4 Amplituden är 5 𝑥 Konstanten är −4 Perioden 2 𝑥 + 45° går från 0° till 360° 2 𝑥 + 45° = 0° + 𝑛 × 360° 2 𝑥 + 45° = 360° + 𝑛 × 360° 𝑥 + 45° = 0° + 𝑛 × 180° 𝑥 + 45° = 180° + 𝑛 × 180° 𝑥 = −45° + 𝑛 × 180° 𝑥 = 135° + 𝑛 × 180° Skissa en kurva 𝑦 𝑦 = 5 sin 2(𝑥 + 45°) − 4 Amplituden är 5 𝑥 𝑓 Konstanten är −4 Perioden är 180° Kurvan är translaterad 45° till vänster 𝑔 𝑓(𝑥) = 5 sin 2𝑥 𝑔(𝑥) = 5 sin 2(𝑥 + 45°) − 4 Kurvan 𝑦 = tan 𝑥 𝑦 tan 𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 är alltså ej definerad då cos 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 90° + 𝑛 × 180° 𝑦 𝑥 𝑥 tan⁡𝑥 Tangens upprepar sig alltså i perioder om 180° Exempel Lös ekvationerna fullständigt. tan 2𝑥 = 0,9 sin 𝑥 = −3,1 cos 𝑥 Kurvan 𝑦 = 𝑎 × sin 𝑥 + 𝑏 × cos 𝑥 𝑦 𝑦 = sin 𝑥 + 3 cos 𝑥 𝑥 Denna kurva borde kunna skrivas som en sinus kurva translaterad 60° till vänster och med amplituden 2. Borde kunna ge 𝑦 = 2 sin(𝑥 + 60°) Visa att kurvorna är samma 𝑦 = 𝑎 × sin 𝑥 + 𝑏 × cos 𝑥 𝑦 = 𝑚 × sin(𝑥 + 𝑣)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝑎 > 0⁡⁡⁡𝑏 > 0 𝑦 = 𝑎 × sin 𝑥 + 𝑏 × cos 𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝑦 = 𝑚 sin 𝑥 × cos 𝑣 + 𝑚 cos 𝑥 × sin 𝑣⁡ 𝑎 = 𝑚 cos 𝑣 𝑏 = 𝑚 sin 𝑣 𝑎 𝑚 cos 𝑣 𝑎 = ↔ = tan 𝑣 𝑏 𝑚 sin 𝑣 𝑏 𝑎2 = 𝑚2 cos2 𝑣 𝑏2 = 𝑚2 sin2 𝑣 Kvadrera originalekvationerna 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑚2 cos2 𝑣 + 𝑚2 sin2 𝑣 Addera ekvationerna 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑚2 (cos 2 𝑣 + sin2 𝑣) Faktorisera och trigonometriska ettan 𝑚= 𝑎2 + 𝑏2 Dagens uppgifter 𝑦 1. Visa att tan 45° = 1 och tan −45° = −1 med hjälp av enhetscirkeln. 2. Beskriv Steams antal inloggade användare 𝑦 som en funktion av tiden 𝑥. 3. Vilka vardagliga slutsatser kan man dra av att studera Steam kurvan. 𝑥 tan⁡𝑥 Flera uppgifter på s.203, 205 och 207