1. No category

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält Veckans tal
Christian Forssén, Institutionen för fundamental fysik, Chalmers,
Göteborg, Sverige
Oct 12, 2015
Tentatal 2012-10-23: 6
En punktladdning Q är belägen i ~r = bẑ, och man söker potentialen från denna
laddning innanför sfären r = a (med a > b), då randvillkoret är att den elektriska
potentialen φ är noll på randen r = a.
• Visa att denna potential fås genom att introducera en fiktiv spegelladdning
2
− ab Q i punkten ~r = ab ẑ.
• Ge ett uttryck för den ytladdningsfördelning som induceras på sfären r = a,
om man antar att φ = 0 även för r > a.
• Kontrollera att den totala inducerade laddningen på sfären är −Q.
Hint.
• Man kan direkt teckna potentialen som en superposition av potentialer
från två punktladdningar, den verkliga i bẑ plus spegelladdningen enligt
uppgiften. Glöm inte 1/0 . Kontrollera att denna potential uppfyller
randvilloret.
• Men det är en nyttig övning att gå hela vägen från Greensfunktionen
(inklusive spegelladdning) och utföra volymsintegralen över sfären, där
laddningstätheten ges av en deltafunktion ρ(~r 0 ) = Qδ 3 (~r 0 − bẑ).
~+ − E
~ − , där det elektriska
• Ytladdningsfördelningen ges av 0 r̂ · E
~ = −∇φ.
fältet är E
r=a
• Totala inducerade laddningen på ytan fås genom att integrera över sfärens
yta.
Answer.
Ytladdningsfördelningen blir
σ=−
Q
a2 − b2
4π a (a2 + b2 − 2ab cos θ)3/2
Notera gärna att enheten blir lika med laddning per areaenhet, precis som den
skall.
Solution. Potentialen kan vi egentligen teckna direkt; dvs utan att skriva ner
Greensfunktionen och utföra integralen. Med två punktladdningar på z-axeln,
enligt uppgiften, och avstånd till dessa som fås med cosinussatsen (se figur
nedan), blir potentialen lika med (glöm inte 1/0 )


Q 
a
1
1
.
√
φ(~r) =
− q
4π0
b r2 + a4 − 2 a2 r cos θ
r2 + b2 − 2br cos θ
b2
b
Men för att vara noggranna räknar vi ut ovanstående med hjälp av Greensfunktioner. Enligt uppgiftstexten skall spegelladdningar införas så att för en
punktladdning i punkten ~r 0 skall det finnas en spegelladdning med styrkan
2
−a/r0 i punkten ~r 00 , där ~r 00 = (ra0 )2 ~r 0 . Greensfunktionen blir alltså
G(~r, ~r 0 ) =
1
a
1
−
,
4π|~r − ~r 0 | r0 4π|~r − ~r 00 |
och den slutliga lösningen fås genom att integrera
Z
1
φ(~r) =
dV 0 ρ(~r 0 )G(~r, ~r 0 ),
0 V 0
där volymen V 0 alltså är sfären och laddningsfördelningen i vårt fall är en
punktladdning med styrkan Q i punkten bẑ, dvs
ρ(~r 0 ) = Qδ 3 (~r 0 − bẑ).
Integralen blir
1
φ(~r) =
0
Z
Q
dV ρ(~r )G(~r, ~r ) =
4π
0
0
V
där vi använt att ~r 00 =
0
0
0
a2
b ẑ
när ~r 0 = bẑ.
2
"
#
1
a
1
,
− |~r − bẑ|
b ~r − ab2 ẑ a2 ẑ/b
−aQ/b
Q
bẑ
a
θ
~r
Avstånden (streckade linjer i figuren) blir
p
|~r − bẑ| = r2 + b2 − 2br cos θ
r
2 2
4
~r − a ẑ = r2 + a − 2 a r cos θ
b b2
b
och lösningen är alltså

1
Q 
a
√
φ(~r) =
− q
2
2
4π0
b r2 +
r + b − 2br cos θ
(1)

1
a4
b2
−
2
2 ab r cos θ
.
q
2
Vid radien r = a kan vi skriva den andra termens nämnare ab2 (b2 + a2 − 2ab cos θ).
Notera därför att denna lösning uppfyller det givna randvillkoret φ = 0 på sfärens
yta r = a.
~+ − E
~ − . Eftersom potentialen
Ytladdningsfördelningen ges av 0 r̂ · E
r=a
var noll utanför sfären blir σ = −0 Er − . Vi behöver alltså den radiella komponenten av det elektriska fältet
"
#
2
r − ab cos θ
∂φ
Q
r − b cos θ
a
Er (~r) = −
=
−
.
∂r
4π0 (r2 + b2 − 2br cos θ)3/2
b (r2 + ab24 − 2 ab2 r cos θ)3/2
Vid radien r = a får vi
Er |r=a =
Q
a2 − b2
.
2
2
4π0 a(a + b − 2ab cos θ)3/2
Alltså får vi ytladdningen
σ = −0 Er |r=a = −
Q
a2 − b2
.
4π a (a2 + b2 − 2ab cos θ)3/2
3
Den totala laddningen på sfärens yta (dS = a2 sin θdϕdθ) fås nu genom att
integrera
Z
Z
Z π
Q a2 − b2 2π 2
sin θdθ
Q0 =
σdS = −
a dϕ
3/2
2
2
4π
a
r=a
ϕ=0
θ=0 (a + b − 2ab cos θ)
Z 1
Q
dt
cos θ = t ⇒ dt = − sin θdθ
=
= − (a2 − b2 )a
3/2
θ ∈ [0, π] ⇒ t ∈ [1, −1]
2
−1 (a2 + b2 − 2abt)
#1
"
Q (a2 − b2 )
Q 2
1
1
1
1
2
=−
= − (a − b )a
−
2
ab (a2 + b2 − 2abt)1/2
2
b
a−b a+b
−1
Q (a2 − b2 ) a + b − (a − b)
= −Q.
=−
2
b
a2 − b2
(2)
Remarks. Uppgiften illustrerar speglingsmetoden för att lösa Poissons ekvation i specifika geometrier. Notera speciellt hur den införda speglingsladdningen
ligger utanför det relevanta området, men ändå ger ett bidrag till fältet. Potentialen kan tecknas direkt utifrån uppgiften, men det kan vara en god idé
att faktiskt skriva ner Greensfunktionen och utföra volymsintegralen med en
laddningsfördelning som motsvarar en punktladdning i punkten bẑ.
4