TDP015 Lektion 3: Heltal, mängdlära
28 april 2015
1
Uppgifter
1) (Kongruenser, kap 5.4) Stämmer det att
a) 5x ≡ 13 mod 17 för x = 6?
b) 5x ≡ 2 mod 4 för x = 2? För x = 6?
c) 5x ≡ 22 mod 4 för x = 2?
2) Hitta alla lösningar till ekvationen 2x − 1 ≡ 0 mod 3.
3) Vi har mängderna A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, { r }, ∅ }. Vilka av
alternativen stämmer?
a) 1 ∈ A? 3 ∈ B?
b) A ∈ B?
c) r ∈ B?
d) ∅ ⊆ A?
e) ∅ ∈ A?
f) A ⊆ B?
g) A ⊂ B - { {r}, ∅ }?
4) Låt A = {1, 2}, B = {1, josh, donna, cj, leo, landingham }, N = 0, 1, . . .
(såsom definierad i boken, C = { 1, 2, 3 }.
a) Vad ingår i A ∩ B?
b) Vad ingår i A ∩ B ∪ N ? I A ∩ (B ∪ N)?
c) Hitta den största mängd (här: i termer av att ha flest element) X sådan
att X ⊆ A och X ⊆ B.
d) Hitta den minsta mängd Y sådan att Y ⊆ A och Y ⊆ N.
e) Hitta den minsta X sådan att A ⊆ X och B ⊆ X.
f) Hur många element har den minsta Y sådan att A ⊂ Y och C ⊂ Y ?
g) Är A × B = B × A?
5) Vi ges tre mängder: A, B, C. Vi har en del information om antalet element
i mängderna, men vet inte hur många element som finns i B (d v s |B| är
okänt). Vi vet följande: |A| = 14, |C| = 27, |A ∩ B|=4, |A ∩ C|=6, |B ∩
C|=16, |A ∩ B ∩ C|=3, |A ∪ B ∪ C|=41.
1
a) Rita ett Venndiagram över mängderna, och markera alla de uppräknade
mängderna ovan.
b) Räkna ut antalet element i B.
6) (F5, lemma 3) Varje a ∈ N, a > 1 kan skrivas som en produkt av primtal.
Visa detta.
Tips: Använd induktion.
7) (F5, lemma 4.3) För alla a, b ∈ Z gäller att sgd(a,b) = sgd( a - b , b). Visa
detta.
Tips: Om a|b1 och a|b2 så följer det att a|(b1 − b2 ).
2