Tentamen i termodynamik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Ten01 TT051A Årskurs 1 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: Tid: 2015-03-20 14.00-18.00 Hjälpmedel: Tabeller och Formler (Liber), Lilla fysikhandboken (Sandtorp Consult eller Studentlitteratur), Valfri gymnasietabellsamling, Formel och tabellhäfte bifogat tentamen, Miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande) Språklexikon Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3: 30p 4: 40p 5: 50p 60 poäng Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2015 får tillgodoräknas vid denna ordinarie Tentamen. Allmänna anvisningar: Resultat meddelas senast 2015-04-17 Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Telefonnummer: 1 Peter Ahlström 033-4354675, 0733-722693 Tentamen i termodynamik TT051A Högskolan i Borås Fredag 2015-03-20, 14.00-18.00 Akademin för textil. teknik och ekonomi Examinator Peter Ahlström (033-4354675) Rättande lärare: Tomas Wahnström, Hans Björk och Peter Ahlström Tentamen kan maximalt ge 60 poäng fördelade på 8 uppgifter. För att bli godkänd krävs minst totalt 30 poäng. För betyget 4 fordras totalt 40 poäng och för betyget 5 fordras 50 poäng inklusive ev. bonuspoäng från duggor. Hjälpmedel vid tentamen är Tabeller och Formler (Liber) eller Lilla fysikhandboken (Sandtorp Consult), formel- och tabellhäfte bifogat tentamen samt miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande). Formel- och tabellhäfte bifogas tentamenstesen. Lösningarna skall vara tydliga och uppställda ekvationer väl motiverade. Då konstanter och formler hämtas från formelsamlingen skall detta anges. Fyll i skrivningsomslaget tydligt med namn, klass, vilka uppgifter som är lösta etc. och LYCKA TILL!!! 1. [8p] I en motor som utvecklar arbetseffekten 98 kW är den maximala temperaturen 1310°C. Motorn kyls med luft som håller 20,0°C a. Vilken är motorns maximalt tänkbara verkningsgrad? (2p) b. Vilket är den minsta tänkbara tillförda värmeeffekten? (1p) c. Hur stor värmeeffekt måste minst kylas bort (2p) d. Beräkna den maximala verkningsgraden om motorn i stället följer en Otto-cykel med kompressionsförhållandet 8,0 (och andra temperaturer än i a))! (2p) e. Hur stor värmeeffekt måste kylas bort om motorn följer en Otto-cykel? (1p) 2. [8p] Till en plattvärmeväxlare förs 7,8 kg/s olja med temperaturen 80,0°C. Oljans specifika värmekapacitet är 2,1 kJ/(kg K). Den kyls till 30,0°C med havsvatten som i mars håller 4,8 °C och vars temperatur maximalt får öka till 28,0 °C. a. Beräkna vattenflödet i kg/s! Redovisa gjorda antaganden! (3p) b. Hur stor värmeeffekt kyls bort? (2p) c. Beräkna minsta entropiproduktionen i värmeväxlaren! (3p) 3. [8p] En husvägg består av tre skikt som inifrån räknat består av 13 mm gips(λ= 0,25W/(m K)), 35 mm stenull (λ= 0,037W/(m·K)) samt en 145 mm timmervägg(λ= 0,14W/(m·K)) därλ är värmekonduktiviteten. Värmeövergångskoefficienterna, α, på in- resp. utsida är 3,0 resp 10,0 W/(m2·K). Innertemperaturen är 25°C medan utomhustemperaturen är 3,0°C a. Beräkna värmeflödet per m2 (3p) b. Temperaturen på inner- och yttervägg.(3p) c. Hur mycket ytterligare mineralull behövs om man vill halvera värmetransporten? (2p) 2 4. [7p] I en kompressordriven värmepump används R134a som köldmedium. Förångningstrycket är 0,30 MPa medan kondenseringstrycket är 1,5 MPa. Köldmediet är torrt och mättat före kompressorn. Det sker ingen underkylning av köldmediet i kondensorn. Värmeeffekten är 30,0kW. Kretsprocessen kan betraktas som ideal, dvs ingen entropiökning vid kompressionen. Alla övriga förluster kan också försummas. Vatten används som värmeupptagare i processen. Använd givna data och bifogat diagram att utföra följande. a. b. c. d. e. Rita processen i det bifogade diagrammet, lämna in det med lösningen! (1p) Bestäm värmefaktorn (1p) Vilken är temperaturen efter kompressionen resp under kondensationen?(1p) Bestäm förbrukad kompressoreffekt (2p) Till värmepumpen kommer vatten med temperaturen 20,0 °C. Vattnet som lämnar värmepumpen har temperaturen 40,0°C. Vilket flöde har vattnet? (2p) 5. [5p] Densiteten för en gas beror ju som bekant på tryck och temperatur. a. Hur stor är skillnaden i densitet mellan luft som håller 0,0°C och luft som håller 20,0°C? (Antag att lufttrycket är 1,00 atm = 0,101325 MPa i båda fallen!) (3p) b. Vid vilket tryck har 20-gradig luft samma densitet som 0-gradig luft vid 1 atm? (2p) 6. [8p] Emil Svensson i Katthult har uppfunnit en ny motor som följer en hittills okänd termodynamisk kretsprocess. När man tillför 23,0 kW värme måste 7,0 kW spillvärme kylas bort. a. Beräkna verkningsgraden för motorn! (2p) b. Kylvattnet värms från 53°C till 85°C . Beräkna kylvattenflödet om 80% av spillvärmet transporteras bort av kylvattnet och resten går bort på annat sätt! (3p) c. Spillvärmet avgår till omgivningarna som håller 18°C. Beräkna hur hög den högsta temperaturen i kretsprocessen minst måste vara! (3p) 3 7. [8p] En idealiserad Otto-motor arbetar med ett kompressionsförhållande på 8,5 . Luft antas vara arbetsmediet. Värme tillförs och bortförs vid konstant volym. Den tillförda värmemängden är 860 kJ/kg. Expansion och kompression antas ske vid konstant entropi. Till processen tillförs luft med temperaturen 5,0 °C och trycket 100 kPa. Bestäm a. Den termiska verkningsgraden för processen (2p) b. Högsta tryck och temperatur i processen (2p) c. Nettoarbete och bortkyld värmemängd. (2p) d. Hur många hästkrafter genererar motorn när luftflödet in till processen är 350l/s ? (en hästkraft är 0,735 kW arbetseffekt) (2p) 8. [8p] Ett isberg med massan 1 335 200 kg och temperaturen -4,0 °C driver norrut från Antarktis och strandar på en atoll där det smälter. a. Beräkna hur mycket värme måste tillföras för att värma isberget från -4,0°C till smältvatten av +23,0°C! (3p) b. Beräkna entropiändringen för isberget/smältvattnet! Bortse från blandningsentropi när smältvattnet blandas med havsvattnet. (3p) c. Beräkna entropiändringen för omgivningen! Antag att all energi som behövs för smältningen tas från omgivningen som håller +23°C och bortse från blandningsentropi när smältvattnet blandas med havsvattnet. (2p) 4 Formler och tabeller i termodynamik 2013 Peter Ahlström, Ingenjörshögskolan vid Högskolan i Borås 3 januari 2014 - upplaga 2.5 Denna formelsamling är gjord för termodynamikkursen i årskurs 1 vid Ingenjörshögskolan i Borås och de övriga lärarna (Edvin Erdtman, Kamran Rousta och Jim Arlebrink) har alla bidragit till formelsamlingen. Vi tar tacksamt emot kommentarer och förbättringsförslag. I denna upplaga har ombrytningsfel rättats. 1 Några konventioner Oftast skrivs extensiva storheter (de som beror på systemets storlek) med stora bokstäver (versaler), t.ex. (systemets totala) värmekapacitet C (enhet J/K) och volym V medan intensiva storheter (som inte beror på systemets storlek) skrivs med små bokstäver (gemener), t.ex. specifik värmekapacitet c (enhet J/(K · kg). Undantag är bl.a. temperatur (T ) och ofta tryck (P eller p) som skrivs med stora bokstäver fast de är intensiva storheter. Molära storheter kan skrivas med ett index m, t.ex. Cm (molära värmekapaciteten, enhet J/(K · mol)) men skrivs oftast inte med liten bokstav fast de är intensiva storheter. Tidsderivator och storheter per tidsenhet skrivs med en prick, exempel: Ẇ är arbetet per tidsenhet, d.v.s. arbetseffekten. 2 Konstanter Av pedagogiska skäl är definitionerna delvis omvända mot de vanligen använda (vanligen brukar t.ex. kb anses som mer grundläggande än R). Namn Beteckning = Värde Enhet Definition Allmänna gaskonstanten R = 8, 314510 J/(mol· K) Avogadros tal NA = 6, 0221367 · 1023 mol−1 Boltzmanns konstant kb = 1, 380658 · 10−23 J/K kb = R/NA Konstanten i W/(m2 · K4 ) Stefan-Boltzmanns lag σ = 5, 6705 · 10−8 2 Tyngdaccelerationen g = 9, 80665 m/s (Paris) 2 Tyngdaccelerationen g ≈ 9, 82 m/s (Borås) Den absoluta temperaturen T mäts i kelvin och har mätetalet ϑ + 273, 15 där ϑ är mätetalet i ◦ C, d.v.s. den absoluta temperaturen vid 0◦ C är 273,15 K och vid 100 ◦ C är T = 373, 15K 1 bar = 105 Pa 1 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 3 Beckningar och definitioner Storhet Beteckning Degenerationen Ω - Entalpi Entropi Inre energi Köldfaktor H S U J J/K J - Längdutvidgningskoefficient Massa Molmassa Slutet system αL m M Alternativ beteckning COPR Enhet Substansmängd Tryck Tryckvolymarbete Volym Volymsutvidgningskoefficient Värme Värme Värme ν p W V αv Q Qv Qk QH , Q1 QL , Q2 K−1 J J J Värmefaktor v COPHP - Värmeflöde Värmekapacitet vid konstant tryck Värmekapacitet vid konstant volym Värmekapacitetskvot Värmekonduktivitet Värmeövergångskoefficient Öppet system Q̇ Cp Φ W J/K n P Wb Cv γ λ α Beskrivning/ definition Antal sätt ett visst tillstånd kan förverkligas på U + pV k ln Ω |W QK tillförd | = |W QL tillförd | K−1 kg kg/mol, g/mol Stationärt system 4 2 mol Pa = N/m2 J m3 J/K κ, k k h W/(m · K) W/(m2 · K) System utan materieutbyte med omgivningen System där den mekaniska energin för tyngdpunkten inte ändras m , “antalet mol” ν=M R − pdV allmän beteckning överfört vid den högre temperaturen överfört vid den lägre temperaturen OBS! Qv , Qk osv. definieras som positiva tal i ekvationerna QV QH |W | = |W | tillförd tillförd Jfr avsnitt 5.2 nedan - Hela systemets värmekapacitet Jfr avsnitt 5.2 nedan - Hela systemets värmekapacitet Cp cp Cp,m Cv = cv = Cv,m Värmeledningsförmåga System med materieutbyte med omgivningen Molära och specifika storheter En molär storhet Xm (enhet t.ex. J/mol) är relaterad till motsvarande specifika storhet x (enhet t.ex. J/kg) genom Xm = x · M där M (enhet i detta exempel kg/mol) är ämnets molmassa. (1) Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 5 5.1 3 Formler och ekvationer Arbete Beräkning av tryckvolymsarbete (“boundary work”) Z W = − pdV (2) Isobar process (p = konstant) W =− Z V2 V1 pdV = p(V1 − V2 ) (3) Isokor process V = V1 = V2 konstant, alltså blir båda integrationsgränserna samma (V1 ) och integralen =0 Z V1 W =− pdV = p(V1 − V1 ) = 0 (4) V1 Adiabatisk sluten process (Q = 0 ⇒ ∆U = W ) W = Cv ∆T = mcv ∆T = νCv,m ∆T (5) Adiabatisk öppen process (Q̇ = 0 ⇒ Ḣ = Ẇ ) Ẇ = Ḣ = ṁ∆h = ṁcp ∆T = ν̇Cp,m ∆T eller om flera strömmar är inblandade X X X Ẇ = ṁi ∆hi = ṁi cpi ∆Ti = ν̇i Cp,mi ∆T i 5.2 i (6) (7) i Värme Tillfört värme vid konstant tryck (med totala värmekapaciteten vid konstant tryck Cp = νCp,m = mcp ) d̄Q = Cp dT = νCp,m dT = mcp dT (8) eller integrerat (med Cp etc. som medelvärmekapaciteter) Q = Cp ∆T = νCp,m ∆T = mcp ∆T (9) Tillfört värme vid konstant volym (med totala värmekapaciteten vid konstant volym Cv = νCv,m = mcv ) d̄Q = Cv dT = νCv,m dT = mcv dT (10) eller integrerat (med Cv etc. som medelvärmekapaciteter) Q = Cv ∆T = νCv,m ∆T = mcv ∆T (11) Vidare gäller alltid dU = Cv dT = mcv dT = νCv,m dT (12) dH = Cp dT = mcp dT = νCp,m dT (13) Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 4 eller om värmekapaciteten inte ändras i temperaturintervallet ∆U = Cv ∆T (14) ∆H = Cp ∆T (15) Specialfall: Kalorimetri i fast fas eller vätskefas X Q = mc∆T + m`i fasövergångar (16) där c är ämnets specifika värmekapacitet, `i är specifika fasövergångsentalpin (specifika fasövergångsvärmet) för fasövergång i. OBS! Tecknet på `i beror på om värme upptas eller frigörs vid övergången. Vidare ändras c vid varje fasövergång varför man måste dela upp den första termen i flera. 5.3 Termodynamikens första huvudsats (energiprincipen) För slutna system Q + W = ∆E = ∆U + ∆Ekin + ∆Epot (17) För stationära slutna system Q + W = ∆U (18) För öppna system gäller kontinuitetsekvationen IN + PROD = UT + ACK som för energi (utan ACK-term) blir X X ṁi (hi + ekin,i + epot,i ) + Q̇ + Ẇ = ṁj (hj + ekin,j + epot,j ) (19) (20) ut in V2 där ekin,i = 2i och epot,i = gyi med Vi = strömningshastigheten, g tyngdaccelerationen, y flödets höjd över refernsnivån. 5.4 Entropi Definition S = kb ln Ω (21) där Ω är antalet sätt tillståndet kan förverkligas på. Vid tillförsel av värme gäller d̄Qrev dS = + dSgen (22) T där Qrev är värmet som tillförs vid en reversibel process som ger samma tillståndsändring, dSgen är den entropi som produceras genom irreversibla processer i systemet. Om volymen ändras se avsnitt 5.6 om vad som gäller för ideala gaser. Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 5.5 5 Kondenserade faser I kondenserade faser (vätska, fast fas) är volymsändringarna oftast små och alltså Cv ≈ Cp ≡ C varför ∆H ≈ ∆U = C∆T och ∆S = mcav ln 5.6 T2 T1 (23) (24) Ideala gaser För ideala gaser gäller dessutom Gasernas allmänna tillståndslag (“allmänna gaslagen”) pV = νRT ≡ nRT (25) pV = mRi T (26) En variant kan skrivas där Ri = R/Mi är den ämnesspecifika gaskonstanten för ämne i som har molmassan Mi . Inre energi för en ideal gas fås från ekvipartitionsprincipen vilken ger U= f f N kT = νRT 2 2 (27) där N = antalet molekyler, f = antalet frihetsgrader i varje molekyl, f = 3 för enatomig gas, f = 5 för tvåatomig gas, f ≤ 3Natom för Natom −atomig gas och därmed är Cv,m = 23 R för en enatomig gas och Cv,m = 52 R för en tvåatomig gas. Vidare gäller för ideala gaser Cp,m = Cv,m + R Isoterm process Z V2 V1 W =− pdV = nRT ln (28) V 2 V1 Adiabatisk process för ideal gas p1 V1γ = p2 V2γ T1 V1γ−1 = T1 T2 = W = T2 V2γ−1 γ−1 p1 ( γ ) p2 p2 V2 − p1 V1 γ−1 Entropiändring för ideal gas T2 V2 T2 V2 ∆S = νCv,m ln + νR ln = mcv ln + mRi ln T1 V1 T1 V1 (29) (30) (31) (32) (33) (34) Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 5.7 6 Verkningsgrader Allmän definition η= nyttigt tillfört (35) Motorer och andra värmemaskiner η= |Wnyttigt | Q1 − Q2 Q1 (36) Qk Qk = |Wtillfört | Qv − Qk (37) Qtillfört = Kylmaskiner: köldfaktor = Värmepumpar: värmefaktor v = 5.8 Qv |Wtillfört | Qv =+1 Qv − Qk = Carnotprocesser |Wnyttigt | Q1 − Q2 T1 − T2 η = = = Carnot Qtillfört Q1 T1 Qk Qk Tk = = = Carnot |Wtillfört | Qv − Qk Tv − Tk v 5.9 Carnot = Qv Tv Qv = = |Wtillfört | Qv − Qk Tv − Tk där kompressionsförhållandet r = 5.10.1 (39) (40) (41) Ottomotorn η =1− 5.10 (38) Vmax Vmin 1 rγ−1 (42) och γ = Cp /Cv Värmeöverföring Strålning - Stefan-Boltzmanns lag Stålning från kropp med temperaturen T ges av Q̇ = AσT 4 (43) där är emissiviteten (0 < < 1), A arean, σ ≈ 5, 67 · 10−8 W/(m2 · K4 ). Om kroppen befinner sig i en omgivning med temperaturen T0 fås nettostrålningen ur Q̇ = Aσ(T 4 − T04 ) (44) Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 5.10.2 7 Värmegenomgång Q̇ = AU ∆T (45) där värmegenomgångskoefficienten U (skilj detta U från den inre energin!) ges av X Li 1 1 1 = + + (46) U α1 α2 λi lager där värmeledningsförmågan för lager i är λi och dess tjocklek är Li . α1 och α2 är värmeövergångstalen mellan väggen och den omgivande luften, d.v.s. värmeöverföringen genom konvektion. (Om det bara är fråga om en form av värmeöverföring stryks de andra termerna) 5.11 Längdutvidgning, volymsutvidgning Längden L av en kropp med ursprungslängden L0 till följd av en temperaturändring ∆T ges av L = L0 (1 + αL ∆T ) (47) där αL är längdutvidgningskoefficienten. På samma sätt gäller för volymen V av en kropp med ursprungsvolymen V0 V = V0 (1 + αv ∆T ) (48) där volymsutvidgningskoefficienten αv ≈ 3αL Referenser • O. Beckman, G. Grimvall, B. Kjöllerström & T. Sundström, Energilära, Grundläggande termodynamik, Stockholm: Liber, 2005. • Y.A. Çengel, Introduction to thermodynamics and heat transfer, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, 2008. • Desol, http://www.desol.co.kr/ sys/ upload/data/201003/29/126985044652.pdf (hämtad 2013-05-21) • C. Nordling, Jonny Österman, Physics Handbook for science and engineering, Lund: Studentlitteratur, 2004. • A. Ölme m.fl., Tabeller och Formler, Stockholm: Liber, 2003. Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Ämne Etan Helium Koldioxid Luft Kväve Metan Propan Syre Vattenånga Väte Formel C 2 H6 He CO2 N2 CH4 C3 H8 O2 H2 O H2 Molmassa g/mol 30,07 4,003 44,01 28,97 28,013 16,043 44,097 31,999 18,015 2,016 Ri , specifik gaskonstant J/(kg·K) 276,5 2076,9 188,9 287,0 296,8 518,2 188,5 259,8 461,5 4124 cv 8 cp γ Tk pk kJ/(kg·K) 1,4897 1,7662 3,1156 5,1926 0,657 0,846 0,718 1,005 0,743 1,039 1,735 2,254 1,4909 1,6794 0,658 0,918 1,4108 1,8723 10,183 14,307 1,186 1,667 1,289 1,400 1,400 1,299 1,126 1,395 1,327 1,405 K 305,5 5,3 304,2 132,5 126,2 191,1 370 154,8 647,1 33,3 MPa 4,48 0,23 7,39 3,77 3,39 4,64 4,26 5,08 22,06 1,3 Table 1: Egenskaper för utvalda gaser (Çengel, 2008), Tk = kritiska temperaturen, pk = kritiska trycket Ämne Aluminium Betong Etanol Järn R134a Stål Trä(furu) Vatten Is (-4◦ C) Formel Tf K 933 `f kJ/kg 395 Tv K 2740 `v kJ/kg Al M g/mol 26,98 C2 H5 OH Fe C2 F4 H2 46,4 55,85 173,5 159,0 1808 109 247 147,0 351,4 3160 247,0 838,3 6800 1,43 1350 H2 O H2 O 18,02 18,02 273,15 273,15 334 334 373,15 373,15 2260 2260 kJ kg·K cp W m·K 0,9035 0,92 2,46 0,45 237 0,4-1,7 0,182 80 αL el. αv 10−5 K−1 2,4 L 1,2 L 110 v 1,2 L 0,46 0,4 4,19 2,2 45 0,14 0,60 2,1 1,15 L 0,5-3 L 18 v 5,0 L Table 2: Egenskaper för utvalda vätskor och fasta ämnen. Om inget annat anges avses egenskaperna vid 20◦ C och 1 atm. Tf =smältpunkt, `f = smältentalpi, Tv =kokpunkt, `v = ångbildningsentalpi L=αL anges, v=αv anges; värmeledningsförmågan och värmekapaciteten avser fast fas eller vätskefas. (efter Ölme (2003), Çengel (2008), NIST samt Nordling och Österman (2004)) Fig 1 (nästa sida) p(h)-diagram för R134a från Desol (2013) λ Pressure [Bar] 140 0.50 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 2.00 3.00 4.00 5.00 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 20.00 30.00 -20 -30 160 -10 180 x = 0.10 200 0 0.20 s = 1.00 10 20 220 0.30 240 30 0.40 1.20 40 260 0.50 280 0.60 1.40 v . 060 300 0.70 .15 v= 0 .10 v= 0 080 = 0. v= 0 040 .030 v= 0 . v= 0 70 15 0.0 20 0. 0 60 v= v= 80 320 90 0.90 -40 -40 0 -20 0 20 400 10 0.0 01 5 -10 -20 -30 100 340 360 380 Enthalpy [kJ/kg] 0.80 1.60 0 v = 0.2 02 0 0 .0 = v 0 30 0 .0 v = 40 0 0.0 v= 060 0. 0 v= 080 0.0 v= 10 0. 0 v= 30 100 40 50 60 70 80 90 .75 420 20 s=1 -40 40.00 440 40 30 460 60 1.85 s= s=1 .70 .80 s=1 1. 90 s= 480 80 0 0.004 500 100 5 1.9 s= 0.00 s= 2.0 0 2.0 5 s= DTU, Department of Energy Engineering s in [kJ/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [튏] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen. 10-03-29 2. 1 0 0.00 50 520 120 s= 0 02 0.0 2.1 5 s= 50 R134a Ref :D.P.Wilson & R.S.Basu, ASHRAE Transactions 1988, Vol. 94 part 2. 2 .2 0 540 140 s= 50.00 2. 2 5 s= 560 160 0.6 0 0.5 0 0.4 0 0.3 0 0.2 0 0.1 5 0.0 60 0.0 70 0.0 80 0 .0 90 0 .1 0 0 .050 0.040 0 .0 30 0.020 0.015 0.0060 0.00 70 0.00 80 0.00 90 0.01 0 Till uppgift 7 Namn: Klass:
© Copyright 2024