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Longitudes. Ángulos. El Teorema de Pitágoras
PITÁGORAS Y
SQUEAK
Con
Con esta
esta herramienta
herramienta podemos
podemos medir
medir distancias
distancias yy ángulos,
ángulos, realizar
realizar cálculos
cálculos yy operaciones,
operaciones, mover
mover objetos
objetos de
de
una
una manera
manera programada,
programada, contrastar
contrastar nuestras
nuestras hipótesis
hipótesis yy realizar
realizar simulaciones;
simulaciones; todo
todo lo
lo cual
cual nos
nos permite
permite un
un
mejor
mejor acercamiento
acercamiento yy una
una mayor
mayor comprensión
comprensión yy aplicación
aplicación de
de los
los conceptos
conceptos matemáticos
matemáticos implicados.
implicados.
POR
POR ENRIQUE
ENRIQUE MOLINER
MOLINER
E
stamos observando una “resistencia “en los institutos y en el
profesorado en general a adaptarse a los cambios vertiginosos que se
están produciendo en la sociedad como
consecuencia de la aparición de las
TIC. Ordenadores, pizarras digitales,
proyectores, escáneres y demás medios
audiovisuales innovadores, constituyen
una gran cantidad de medios a nuestro
alcance que, sin embargo, no han traido consigo cambios sustanciales en el
currículum, en la metodología, en la
organización escolar y en el propio rol
del profesor. Con el software sucede
algo similar; las aplicaciones utilizadas, salvo honrosas excepciones, no
hacen sino perpetuar los modelos educativos tradicionales vigentes y las
creencias del profesorado. Squeak se
nos presenta como una “herramienta”
que abre enormes posibilidades en
todos los campos, y en particular en el
campo de las Matemáticas y las Ciencias; pero, también hemos de decir que
demanda destrezas y sobre todo actitu-
des que no exigen otras. ¿Podemos
seguir dando la espalda a la realidad?
¿En qué Perspectiva nos
Situamos?
cia artificial y un pensador influyente
en cómo el uso de los ordenadores
puede cambiar las formas de aprendizaje.
Según sus creadores (Alan Kay, Dan
Ingalls y Ted Kaehler, 1995) Squeak es
un ambiente diseñado para que los
alumnos cambien su forma de entender
el aprendizaje y está orientado a la
Para situar el tema y remontarnos a los
orígenes debemos hacer referencia
ineludiblemente a Seymour Papert,
excelente matemático y educador que
trabajó con Jean
Piaget en la Universidad de Ginebra,
donde
se
impregnó de las
ideas del constructivismo. En 1968
creó el lenguaje de
programación
“Logo”; éste es el
punto de arranque
de un excelente
científico computacional que es
considerado como
uno de los pione- Figura 1: El libro “Ideas Poderosas en el Aula” y su relación con los
ros de la inteligen- pensadores y sus teorías sobre el aprendizadje.
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exploración de lo que ellos llaman
“Ideas Poderosas”, concepto tomado de
Papert en su trabajo en el campo de las
matemáticas y las ciencias. BJ Conn y
Kim Rose en su libro “Ideas Poderosas
en el Aula” [1] investigan una serie de
ideas poderosas a través de los proyectos que los alumnos crean con Squeak
y de actividades tangentes que denominan “excursiones”; de esta forma,
usando materiales computacionales
como simulaciones o modelos, los chicos pueden ser capaces de reconsiderar
o remodelar su conocimiento intuitivo
que a veces entra en conflicto directo
con el funcionamiento real de las
cosas. A nuestro entender, el libro es
un magnífico ejemplo de cómo
desarrollar conceptos curriculares básicos en el campo de las matemáticas y
las ciencias. (ver figura 1).
Pitágoras y su Triángulo
En vista de su idoneidad como herramienta educativa y sus aparentemente
ilimitadas prestaciones, vamos a utilizar Squeak este mes para introducir
conceptos, matemáticos relativamente
complejos tales como son: coordenadas
(x,y) de un punto en el plano, números
positivos y negativos, distancias, ángulos, triángulos y en particular triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras, los polígonos y otras formas geométricas planas. Está dirigido a alumnos de tercero de E.S.O, y corresponde
al profesor adecuar la profundidad del
proyecto de acuerdo a los conocimientos de sus alumnos. Hemos desarrollado el trabajo en cinco proyectos de
squeak que hemos denominado :
• Avanzar y girar (distancias y ángulos): Dibujamos formas geométricas.
• Medir: Medimos la longitud de un
segmento rectilíneo de extremos
móviles. Construimos triángulos de
vértices móviles: relación entre las
longitudes de los lados y clasificación.
• Pitágoras: Comprobamos el teorema
de Pitágoras en un triángulo rectángulo en el que modificamos las longitudes de los catetos.
• Demostración: del teorema de Pitágoras con Squeak.
• Lados: Cálculo de la longitud de un
lado de un triángulo rectángulo
conocidas las longitudes de los otros
dos.
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Squeak nos ofrece
la posibilidad de
que los alumnos
prueben, experimenten, formulen
hipótesis y las contrasten; todo ello
en un mundo dinámico donde el
movimiento es de
gran ayuda en la
construcción del
conocimiento.
Suponemos que el
lector tiene unos
conocimientos
Figura 2: Dibujamos figuras geométricas a través de iteraciones,
mínimos en la uti- cambiando el ángulo de giro.
lización de Squeak
y en la “imagen de Atenex” [3], que es
rese) que contiene las acciones de
la que utilizamos, por lo que algunos
“avanzar” y “girar” un determinado
pasos y explicaciones las hemos
número de píxels y que hemos arrasobviado y, en este sentido, consideratrado hasta él desde la categoría
mos que el libro “Un Mundo para
“básico”. (ver figura 2). Podemos así,
Aprender” [2] constituye un estupendo
cambiando los valores de avance y
manual para introducirnos en el tema.
giro, hacer que el círculo se mueva y
dibuje diversas formas geométricas plaAvanzar y Girar
nas intentando anticipar y explicar los
Para elaborar el proyecto extraemos un
resultados que vamos obteniendo. Precírculo (puede servir cualquier otro
sentamos el concepto de dirección
objeto), arrastrándolo al “mundo”
como un ángulo y analizamos los valodesde el “catálogo de objetos” de
res positivos y negativos de avance y
Squeak dentro de la categoría “básico”;
giro y su significado. Intentamos explohacemos un clic sobre él con el botón
rar cómo crear polígonos regulares:
derecho para que aparezca su “halo”,
triángulos equiláteros, pentágonos,
entonces situamos el puntero del ratón
hexágonos… u otras formas geométrisobre el botón del halo “cambiar
cas más complicadas, observando el
tamaño” y pulsando sobre él y
valor de la longitud de los lados y los
mediante la técnica del arrastre camvalores de sus ángulos. Se trata de
biamos su tamaño hasta que considereexperimentar, probar, conjeturar, analimos oportuno; a continuación clicamos
zar los resultados obtenidos y extraer
sobre el botón
“visor” del halo
del círculo, accedemos al panel de
la categoría “uso
del lápiz” y modificamos la acción
“valor lápiz bajo”
a verdadero, de
manera que el
objeto
vaya
dejando el rastro
de la trayectoria
descrita al obedecer a un “guión”
(en el tipo de
actuación normal, Figura 3: Medimos la longitud de un segmento rectilíneo de extremos
latiendo o pausado móviles. Construimos triángulos de vértices móviles: relación entre
según nos inte- las longitudes de los lados y clasificación.
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muestra
en
la
forma arriba explicada resolvemos el
figura 3; a contiproblema de la medida de líneas polinuación situamos
gonales abiertas y cerradas.
el puntero del
Partiendo de la base del segmento
ratón sobre un
rectilíneo podemos construir un triánextremo del conecgulo de vértices móviles, y en distintos
tor, y clicando con
“textos con borde” mostrar las medidas
el botón derecho
de las longitudes de los lados y de sus
aparece el “halo”
correspondientes cuadrados (ver guión
del conector y si
de la figura 3). En otro “texto con
clicamos
una
borde” mostramos la suma de los cuasegunda vez, el
drados de las longitudes de los dos
“halo” del fin de
lados menores del triángulo con un
conector.
Pulsa“guión” de características similares.
mos ahora sobre el
Hacemos clic sobre los vértices del
Figura 4: Comprobamos el teorema de Pitágoras en un triángulo rec- botón “menú”, y
triángulo, y arrastrando cambiamos las
tángulo en el que modificamos las longitudes de los catetos.
en la ventana que
medidas de los lados, entonces obseraparece selecciovamos lo que pasa con los valores que
conclusiones. Destacamos que nada
namos conectar al centro, hacemos lo
aparecen en los textos con borde. Podesucede por casualidad y nos adentramismo con el otro extremo del conecmos así llegar a la conclusión de que si
mos en los conceptos de múltiplo y
tor, así la longitud del conector será la
a, b y c son las medidas de los lados de
divisor, y concretamente en los divisodistancia entre los centros de los dos
un triángulo, y c es el lado mayor,
res de 360º, 720º, 1080º, … , como
círculos.
puede ocurrir que la suma de los cuagrandes protagonistas como valores del
Clicando sobre uno de los círculos y
drados de a y b sea igual, menor o
ángulo de giro y que explican la obtenarrastrando podemos modificar la lonmayor que el cuadrado de c, con lo cual
ción de una determinada figura geomégitud del segmento; esta medida podetenemos un triángulo rectángulo, obtutrica plana.
mos mostrarla en un “texto con borde”
sángulo o acutángulo respectivamente.
que se arrastra al mundo desde el
Con segmentos rectilíneos podemos
Medir
“catálogo de objetos” dentro de la catemontar diversas figuras y Squeak nos
Aunque entre los objetos de Squeak
goría “básico” con el “guión” que se
permitirá medir ángulos y distancias,
está la regla (“catálogo de objetos” de
muestra en la figura 3. El “guión” para
calcular áreas etc.
Squeak dentro de la categoría “útil”)
mostrar la longitud lo construimos pulComprobación
que nos permite medir longitudes en la
sando con el botón derecho del ratón
dirección vertical y horizontal, para
en el “texto con borde”, entonces apaSeguimos las pautas del apartado antepoder medir longitudes en una direcrece su “halo”, y clicando sobre el
rior y construimos un triángulo rectánción cualquiera podemos utilizar un
botón “visor”, y dentro de la categoría
gulo, clicamos con el botón derecho del
segmento rectilíneo de extremos móvi“básico”, arrastramos la sentencia
ratón sobre el círculo-vértice del
les. Tal como hemos descrito en el
“valor numérico” al “guión”; hemos de
ángulo recto, aparece su “halo” y
apartado anterior, arrastramos al
advertir que si hacemos un clic con el
entonces clicamos sobre el botón
“mundo” un círculo y reducimos lo
botón derecho del ratón sobre el conec“visor” y accedemos al panel de la
más posible su tamaño, hacemos clic
tor aparece su “halo”, y si clicamos
categoría “arrastrar y soltar” y cambiaen el botón “duplicar” de su “halo” y
otra vez con el botón derecho aparece
mos las acciones “bloqueado” y “no
ya tenemos los dos extremos del segel “halo” de la
mento. A continuación, desde el “catálínea;
pulsando
logo de objetos” de Squeak y dentro de
sobre el botón de
la categoría “conectores”, arrastramos
su “visor” podeal mundo un “conector básico” y arrasmos acceder a la
tramos sus extremos (cuadraditos
categoría “geomerojos) a cada uno de los círculos hasta
tría” y arrastrar al
que aparezca una “mano”, con lo cual
“guión” la “longihemos conectado el conector con los
tud de la línea”
círculos; situamos el puntero del ratón
como valor numésobre el conector y hacemos un clic
rico, ya que es la
con el botón derecho para que apaque corresponde
rezca su “halo”, entonces pulsamos
en realidad a la
sobre el botón “visor”, así accedemos
longitud del segal panel de la categoría “arrastrar y solmento. Si enlazatar” y modificamos la acción “conector
mos
segmentos
bloqueado” a verdadero, tal como se
rectilíneos en la Figura 5: Demostración del teorema de Pitágoras de manera gráfica.
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semejantes construidas a partir de
los lados del triángulo
equilátero
(por
ejemplo:
semicírculos, hexágonos regulares,
etc.).
En la figura 5
tenemos
cuatro
triángulos rectángulos iguales T en
una posición inicial en el mundo,
entonces si prograFigura 6: Cálculo de la longitud de un lado de un triángulo rectángulo mamos su moviconocidas las longitudes de los otros dos.
miento, con guiones semejantes al
arrastrable” a verdadero. A continuaque se muestra en la figura 5, de
ción pedimos el “halo” de los otros dos
manera que se sitúen alternativamente
círculos-vértice, clicamos sobre el
en una de las dos figuras dibujadas, (lo
botón “visor” y accedemos al panel de
cual ocurre colocando el puntero del
la categoría “movimiento” y cambiaratón sobre los textos con borde que
mos la acción “dirección” a 0º vertical
indican el lugar que ocuparán), teney 90º horizontal respectivamente.
mos una mejor visualización de lo que
Programamos con un “guión”, como
está pasando, y observamos que el área
el que se muestra en la figura 4, el
del cuadrado de color verde es la suma
movimiento del círculo que tiene la
de las áreas de los cuadrados rojo y
dirección 90º, y con un “guión” similar
amarillo, con lo que se demuestra que
el del otro círculo móvil, de manera
en un triángulo rectángulo el cuadrado
que clicando en uno de los dos círculos
de la hipotenusa es igual a la suma de
y manteniendo el ratón presionado,
los cuadrados de los catetos. El moviéste irá avanzando y, en consecuencia,
miento nos ayuda en la percepción de
en los textos con borde veremos cómo
la relación geométrica de manera
van cambiando los valores corresponmucho más sencilla que si trabajamos
dientes. Observemos que las letras que
con figuras estáticas.
nombran los catetos también se mueCálculo
ven acompasadas con la variación de la
longitud de los mismos. En los “textos
Arrastrando al mundo de Squeak el
con borde” que se muestran en la
objeto “Skeleton” (hoja de cálculo de
figura 4 observamos que se va verifiSqueak) que está en el “catálogo de
cando la relación pitagórica para las
objetos” como una categoría, podemos
diferentes medidas de los catetos.
complementar todo el estudio realizado.
Con Skeleton, como con cualquier otra
Demostración
hoja de cálculo, podemos averiguar el
Además de la presentación habitual del
valor de uno de los lados de un triánteorema de Pitágoras (como una relagulo rectángulo conocidos los otros dos:
ción numérica entre la longitudes de
no tenemos más que introducir los dos
los lados de un triángulo rectángulo)
valores conocidos en la celda corresconviene presentarlo también como
pondiente y automáticamente aparece
una relación geométrica entre las
en otra celda el valor del lado desconosuperficies de los cuadrados construicido calculado con la fórmula indicada
dos sobre éstos: la superficie del cuaen la figura 6 para el cálculo de la hipodrado construido sobre la hipotenusa
tenusa, o con una fórmula similar para
equivale a la suma de las superficies de
el cálculo de un cateto.
los cuadrados construidos sobre los
Debemos señalar que Skeleton utiliza
catetos. También es interesante señalar
una sintaxis mixta entre Excel y Smallque la citada relación geométrica se
talk (un lenguaje de programación
cumple para cualquier juego de figuras
orientado a objetos y que constituye la
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base de Squeak), y permite todo tipo de
simulaciones matemáticas. Tiene la
gran ventaja de que podemos ligar las
fórmulas con los objetos presentes en el
mundo. Como ejemplo de ello tenemos
el artículo de Takashi Yamamiya “Skeleton-easy simulation system” [4] e
incluso vídeos demostrativos de su utilización [5].
Conclusiones.
Estamos convencidos de que Squeak es
una herramienta de gran valor y ayuda
de cara a la comprensión de algunos
conceptos matemáticos y en particular
de los geométricos. Aunque nuestra
observación y los resultados en algunas
pruebas así parecen constatarlo, deberíamos ir más allá, y para comprobar si
los conocimientos están bien asentados,
sería necesario analizar si los alumnos
son capaces de exportar lo aprendido a
otras situaciones no próximas y predecir qué pasará en otras condiciones más
difícilmente accesibles: aplicación de lo
aprendido en el estudio de la semejanza
y por tanto en la conservación de ángulos y la proporcionalidad de distancias,
el teorema de Thales, resolver problemas geométricos ejemplificándolos con
Squeak, cálculo de áreas de polígonos y
otras figuras planas, etc. Todo ello constituirá nuestro próximo objeto de inves■
tigación y estudio.
RECURSOS
[1] Ideas Poderosas en el Aula: el Uso de
Squeak para la Mejora del Aprendizaje de las Matemáticas y las Ciencias. B. J. Allen-Conn; Kim Rose.
Wiewpoints Research Institute, Inc.,
Glendale, California, 2004.
[2] Squeak: un Mundo para Aprender.
Pizarro, A. M.; Paniagua, A.; Torres, F.;
Fueyo, J.; Prudencio, M.; Roldán, V.;
Gómez, D.; Editlin, 2005.
[3] Puede descargarse desde: http://
squeak.educarex.es/Squeakpolis/48
[4] Skeleton-easy simulation system:
Yamamiya T.; El estudio aparece en:
Creating, Connecting and Collaborating through Computing, 2004. Libro
de Ponencias, Segunda conferencia
Internacional; Páginas: 50-53. ISBN: 07695-2166-5
[5] Vídeos de cómo ligar celdas de Skeleton a objetos en el mundo: http://
www.itais.net/skeleton.avi y http://
www.itais.net/lisajous.avi