1
KOMIHÅG 8:
--------------------------------• Hastighet:
Cylinderkomponenter
v = r˙ er + r"˙e" + z˙ ez
Naturliga komponenter
v = vet
• Acceleration:
! Cylinderkomponenter
˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# + ˙z˙ez
a
=
!
Naturligt komponenter
2
v
a = v˙ et + en
"
!
---------------------------------Föreläsning 9:
(
!
) (
)
Dynamik–kraft-rörelse (orsak-verkan)
NEWTONS 3 LAGAR för partiklar
1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse.
v = konstant vektor
2. ma = F
3. Krafter uppstår i par så att summan är noll.
!
! • Inertialsystem – koordinatsystem som inte roterar
och inte accelererar.
Där är Newtons lagar giltiga!
2
Det finns många inertialsystem
Byte av inertialsystem innebär (från det högra koordinatsystemet till det vänstra):
• Ingen ändring i uppmätta accelerationer.
a = a'
• Konstant skillnad i uppmätta hastigheter.
˙
v = v' +V , där V = R .
!
• KRAFT-RÖRELSE och massans betydelse.
(a)
!
(b)
!
m
m=150 kg
Mg
M=200 kg
Problem: Bestäm den vertikala accelerationen för 150-kilos
cylindern i de båda illustrerade fallen. Bortse ifrån friktionen
och trissornas massor.
3
Lösning: Fall a) Friläggning av båda cylindrarna tillsammans
med Newtons 2:a lag. Kom ihåg att båda cylindrarnas rörelser
hänger ihop med en otänjbar tråd.
T
(a)
T
x
mg
Mg
! m ˙x˙ = T " mg
Summera ekvationerna:
! M˙x˙ = Mg " T
(M + m )˙x˙ = ( M ! m )g
M!m
˙˙ =
g.
Lös ut accelerationen: x
M+m
Fall b) Friläggning av den enda cylindern resulterar i en enda
ekvation.
Mg
(b)
x
mg
! m ˙x˙ = Mg " mg
Lös ut accelerationen
M!m
˙˙ =
x
g.
m
4
Newtons 2:a lag för krokig rörelse
Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd i
två vajrar. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet (kvoten)
k mellan spänningen omedelbart efter respektive före kapningen i
den återstående vajern.
Lösning: Före kapning har vi jämvikt.
T0
T0
!
!
mg
mg
.
2sin !
Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så här:
! 2T0 sin " # mg = 0 , dvs
T0 =
T1
!
R
mg sin !
!
mg
Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse. Sätt upp Newtons 2:a
lag i radiell riktning (polära koordinater):
˙˙ ! R"˙ 2 = ! T + mg sin #
m R
1
(
)
5
Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen
avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför vänsterledet i
ekvationen blir noll. Alltså
T1 = mg sin !
Förhållandet blir:
2
1
T1
! 1#
2
k=
= 2sin ! . Numeriskt: k = 2" $ =
2
2
T0
Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m =10 ton, som färdas
med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön. Krökningsradien
vid backkrönet är 100 meter. Beräkna normalkraften på lastbilen från
vägen vid backkrönet.
!
!
!
Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och
normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen
förenklas till en punkt.
Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av
2
2
v
v
a = v˙ et + en , men v = konstant " a = en
"
#
$
v2
v2 '
Ur Newtons 2:a lag: en : m = mg # N , N = m& g " ) = 10 kN.
"
#(
%
!
!
!
!
6
KOMIHÅG 9:
• Newtons 3 lagar.
• Inertialsystem
----------------------------------------Föreläsning 10:
Tillämpning av Newtons lagar
Problem: En ballong med massan m faller med accelerationen a. Hur
stor blir accelerationen om man kastar bort massan m' i form av sand
i säckar? Luftmotstånd försummas.
Lösning: Kraftanalys: 2 krafter på farkosten; tyngdkraft (mg) och
ballongens lyftkraft (L).
På väg ner gäller N2: "
(1)
ma = mg # L!
Här väljs att räkna nedåtriktningen positiv.
Med massan m’ borta fås: "
( m # m')a' = (m # m') g # L .
(2)
!
Den nya accelerationen bestäms genom att eliminera lyftkraften ur (1)
och (2): Subtrahera (1) från (2) så försvinner L och vi får:
(m " m') a' "ma =!"m' g
a " m' g
m .
Lös ut accelerationen:SVAR: a' =
#% m' &(
$1 " m '
!
7
Problem: En kula med massan m kan glida utan friktion längs en
cirkelbåge med radien R. Cirkelbågen roterar med konstant
vinkelhastighet " kring en fix vertikal axel. Bestäm den vinkel " för
vilken kulan är i vila relativt cirkelbågen.
Lösning:
!
Kraftanalys: Tyngdkraft och normalkraft från bågen, !
Kinematik: Horisontell cirkelbana, konstant vinkelhastighet. Newtons
2:a lag: Ingen rörelse i vertikal riktning: "
0 = N cos # $ mg .
m("Rsin#$ 2 ) = "Nsin# .
Horisontell cirkelrörelse: er :
mg
Eliminera normalkraften: mR " 2 =
, för sin" # 0
! cos #
g
!" =
Lös vinkeln: cos
.
R #2
!
eller
sin
!" = 0.
!
!
!
8
KOMIHÅG 13:
--------------------------------• Kraftanalys-rörelseanalys-lagar-beräkningar.
• Använd komponenter i Newton 2:
2
v
˙
a = vet + en , F = Ft et + Fn en .
"
---------------------------------Föreläsning 14:
!
• ENERGI-RÖRELSE
Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras,
medan rörelse kan observeras med ögonen.
-Energibegrepp:
--Kinetisk energi. T = 1 m v 2
2
--Kraftens effekt (momentant).
P =F•v
!
Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt
cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor
!
effekt har solens gravitation på jordens rörelse?
Lösning:
Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs
ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen effekt.
t1
--Kraftens arbete. U 0"1 =
# Pdt .
t0
!
9
• Härledning av energisamband för rörelse och kraft:
-- Lagen om Effekten
Def: T = 1 m v 2 = 1 m( v • v)
2
2
Tidsderivera: T˙ = 1 m( v˙ • v + v • v˙ ) = ma • v = F • v = P ,
2
˙
ty def: v = a och Newtons 2:a lag: F = ma , samt def av effekten P .
!
Alltså: T˙ = P (Effektlagen)
!
!
!
-- Lagen om Arbetet
t1
Def arbete: U 0!1 =
" Pdt
t0
t1
Använd Effektlagen: U 0!1 = " T˙ dt = T1 ! T0
t0
dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete
T1 " T0 = U 0"1 (Arbetslagen)
!
10
Arbete och lagrad (potentiell) energi
t1
Definition av arbete: U 0"1 =
t1
# Pdt = # F • vdt ,
t0
t0
enl definition av effekten.
Med definitionen av hastighet v = dr , fås ett alternativt uttryck:
dt
r1
!
U 0"1 = # F •dr .
r0
(kraftens arbete längs!en väg i rummet).
Om arbetet är oberoende av vägen har vi en s k konservativ kraft. Den
kraften ger oss möjlighet att definiera energinivåer i rummet, s k
lägesenergier! Lägesenergierna beskrivs av kraftens potentiella
energi!
Definition:
--Den konservativa kraftens potentiella energi:
!
r
V (r ) = " # F •dr ,
rref
där rref är en fix referenspunkt som kan väljas efter behag!. De
viktigaste konservativa krafterna är tyngdkraft, gravitation och
fjäderkraft.
!
!
Tyngdkraftens potentiella energi:
r
V (r ) = " # ( "mgez ) • dr = mgz + konst .
rref
!
!
Fjäderkraftens potentiella energi:
r
2
V (r ) = " # ("k ( r " l)er ) •dr = k ( r " l) + konst
2
r
ref
Konstanterna blir olika för olika val av referenspunkt.