1. No category

1
KOMIHÅG 10:
• Effekt, arbete och potentiell energi
• Energilagar
----------------------------------------Föreläsning 11:
Arbete och lagrad (potentiell) energi
t1
Definition av arbete: U 0"1 =
t1
# Pdt = # F • vdt ,
t0
t0
enl definition av effekten.
Med definitionen av hastighet v = dr , fås ett alternativt
dt
r1
!
uttryck: U 0"1 = # F •dr .
r0
(kraftens arbete längs!en väg i rummet).
Om arbetet är oberoende av vägen har vi en s k
!
konservativ kraft. Den kraften ger oss möjlighet att
definiera energinivåer i rummet, s k lägesenergier!
Lägesenergierna beskrivs av kraftens potentiella energi!
Definition:
--Den konservativa kraftens potentiella energi:
r
V (r ) = " # F •dr ,
rref
där rref är en fix referenspunkt som kan väljas efter
behag!. De viktigaste konservativa krafterna är tyngdkraft,
gravitation och fjäderkraft.
!
!
Tyngdkraftens potentiella energi:
r
V (r ) = " # ( "mgez ) • dr = mgz + konst .
rref
!
2
Fjäderkraftens potentiella energi:
r
2
V (r ) = " # ("k ( r " l)er ) •dr = k ( r " l) + konst
2
r
ref
Konstanterna blir olika för olika val av referenspunkt.
Energiprincipen
!
(gäller inte alltid)
-- Mekanisk energi (definition):
E =T +V
Om det inte finns någon friktion bevaras den mekaniska
energin:
!
(EP)
T1 + V1 = T0 + V0
Bevis: För en konservativ kraft gäller arbetslagen:
T1 " T0 = U 0"1 . Definitionen av arbetet är en integral som
kan delas upp i två delarmed hjälp av en godtyckligt vald
rref .
punkt !
r1
!
U 0"1 =
!
!
!
r0
r1
# F • dr = " # F • dr + # F • dr
r0
rref
rref
= V0 " V1 , där definitionen av potentiell energi
använts. Med denna omskrivning av arbetet fås
T1 " T0 = V0 " V1, som i sin tur kan skrivas som
energiprincipen (EP).
!
3
!
!
!
!
!
Problem:
Antag att en liten kula sitter fast i ett snöre vars ena ände
är fast och kulan kan röra sig runt i en cirkelbana i
vertikalplanet. Undersök hur snörspänningen T varierar i
olika lägen. Undersök speciellt skillnaden mellan det
största och minsta spänningen i snöret.
Lösning:
Rita krafter, finns det friktion? Nej! Bara konservativa
krafter!! Naturliga systemet:
2
v
˙
a = vet + en
"
Newtons 2:a lag säger:
v2
m = T + mgsin " och mv˙ = "mgcos# .
R
I första ekvationen finner vi snörkraften. Den är tydligen:
v2
T = m " mgsin # .
!
R
Vi vet inte hur farten varierar i olika lägen. Titta på den
mekaniska energin:
1 2
1
mv + V = mv 02 + V0
2
2
Om vi betraktar en kula som i nedersta läget har en viss
fart v 0 och en potentiell energi V 0 = 0 , erhålls
1 2
1
mv + mgz = mv 02 , där z = Rsin " + R .
2
2
!
4
!
!
!
" v 2 % " v 02 %
Dvs vi har:
$ ' = $ ' ( 2g(1+ sin ) ) .
#R& #R&
Sätter vi den nya informationen om farten i uttrycket för
snörspänningen får vi:
"" v 2 %
%
0
T = m$!$ ' ( 2g(1+ sin ) )' ( mgsin )
## R &
&
" v 02 %
eller T = m$ ' ( 2mg ( 3mgsin ) .
# R&
Det minsta värdet fås i översta läget:
" v 02 %
Tmin = m$ ' ( 5mg >0.
# R&
Om v 0 är tillräckligt stor skall allt gå bra.
Vi har slutligen det största värdet
" v 02 %
Tmax = m$ ' + mg
# R&
som ger Tmax " Tmin = 6mg .
!
!
5
A
R
R
B
v
Problem: Två lika partiklar är förbundna med en lätt
stång i figuren. Antag att de släpps i sin ursprungs-position
och får glida (i ett vertikalplan) på det glatta underlaget.
Beräkna sedan partiklarnas fart då partikel A når
ursprungsläget för partikel B .
!
!
!
!
!
Lösning: Ingen friktion innebär att den totala mekaniska
energin bevaras.
T0 + V0 = T1 + V1 .
I ursprungsläget har vi bara potentiell energi hos partikel
A.
T0 + V0 " 0 + mgR .
I slutläget har den lägesenergin förvandlats till en
gemensam rörelse med energin:
m
T1 + V1 " 2 # v 2 + 0 .
2
Att energin har bevarats innebär att:
mv 2 = mgR ,
dvs
v = gR .
6
R
A
R
m
k
B
Problem: En hylsa med massan m släpps i läget A och
glider friktionsfritt längs den kvartscirkelformade
ledstången i ett vertikalplan. Bestäm farten hos hylsan när
den nått läget B i figuren. Beräkna även den maximala
deformationen x av fjädern på grund av hylsans fortsatta
rörelse.
Lösning:
På grund av att tyngdkraftens potentiella energi helt
övergår i rörelseenergi, har vi:
1 2
mv = mgR ,
2
dvs farten i läget B blir:
v = 2gR .
I den fortsatta rörelsen kommer hela den kinetiska energin
!att bromsas upp av den konservativa fjäderkraften, så att
dess potentiella energi blir lika stor (som den ursprungliga
1! 2
lägesenergin):
kx = mgR .
2
2mgR
Den maximala deformationen blir alltså: x =
.
k
!
!
7
KOMIHÅG 11:
• Energilagar
----------------------------------------Föreläsning 12:
• Tillbakablickar och förberedelse inför
KS1