Maxwell-Boltzmann fördelningen
Maxwell-Boltzmann fördelningen Statistisk beskrivning av gaser I Hur beter sig molekyler i en gas då gasen har temperaturen T? I Kan tillämpa statistiska metoderna som vi studerat! (Varför?) Antaganden I Gasmolekylernas rörelse (energi) inverkar på gasens termodynamiska egenskaper I Betraktar endast translationsrörelse, negligerar rotation och vibration ⇒ Beskriver bäst monoatomära gaser (ädelgaserna, plasma) I Partiklarna växelverkar endast via elastiska kollisioner ⇒ F = 0, Epot = 0 I Energin för varje molekyl är då E = Ekin = I v är den centrala variabeln 1 2 mv , 2 v2 = v · v Maxwell-Boltzmann fördelningen Hastighetsfördelning I Hurudan fördelning av hastigheter kommer gasens molekyler att få? I Hastighetsfördelningen f (v)dv ≡ f (vx , vy , vz )dvx dvy dvz ger sannolikheten för att en gaspartikel har en hastighet i intervallet vx + dvx , vy + dvy , vz + dvz . I Alternativt: antalet partiklar som har hastigheten i intervallet dividerat med totala antalet partiklar. I f är (matematiskt sett) en sannolikhetstäthetsfunktion (probablity density function, PDF) Maxwell-Boltzmann fördelningen Exempel på sannolikhetstäthetsfunktion I Anta att vi studerar en bakterie som typiskt lever 4 till 6 timmar I Vad är sannolikheten att en bakterie lever exakt 5 timmar? Svar: 0 I En hel del bakterier lever ungefär 5 timmar I Antag att sannolikheten att en bakterie dör i intervallet [5, 5.01] h är 0.02. Sannolikheten att bakterien dör i intervallet [5, 5.001] är ∼ 0.002, osv. I Förhållandet bakterien dör inom ett tidsinterval ∼ konstant = 2 h−1 tidintervallets längd I Talet 2 per timme är (sannolikhets)tätheten för att bakterien dör vid omkring t = 5 timmar I Sannolikhetstäthetsfunktionen ger f (t = 5) = 2 h−1 Rt Sannolikheten att bakterien dör: t12 f (t)dt I Maxwell-Boltzmann fördelningen MB hastighetsfördelningen I I Varje partikel är ett litet delsystem i termisk jämvikt med ett värmebad med temperaturen T (den övriga gasen) Sannolikheten att en partikel är i ett tillstånd med energin E ges av Boltzmannfördelningen: P(E) ∝ e−βE I I Hastighetsfördelningen är således f (v)dv = konstant × e−βE dv R∞ Normaliseringskonstanten fås från villkoret −∞ f (v)dv = 1 Maxwell-Boltzmann hastighetsfördelningen f (v)dv = m 2πkB T 3/2 e−mv 2 /2kB T dv Maxwell-Boltzmann fördelningen 1D hastighetsfördelningen I Ingen riktning är speciell: fördelningen är isotrop f (v)dv = g(vx )g(vy )g(vz )dvx dvy dvz där g(vx )dvx är antalet partiklar med hastigheter i x-riktningen i intervallet [vx , vx + dvx ] I Vi får g(vi )dvi = m 2πkB T 1/2 2 e−mvi /2kB T Maxwell-Boltzmann fördelningen Väntevärden I Vi kan beräkna följande väntevärden Z ∞ hvx i = vx g(vx ) dvx = 0 −∞ Z ∞ kT hvx2 i = vx2 g(vx ) dvx = m −∞ Ar vid två temperaturer Kr, Ar, Ne vid T = 298 K Maxwell-Boltzmann fördelningen MB fördelningen av farterna I Ofta är vi inte intresserade av fördelningen av molekylernas hastigheter, utan av deras fart I Vi kan skriva om hastighetsfördelninen i sfäriska hastighets-koordinater i stället för kartesiska: f (v)dv = f (v)dvx dvy dvz = f (v)v2 dv sin θdθdφ I Integrerar bort vinkelberoendet: Rπ 0 sin θdθ R 2π 0 dφ = 4π Maxwell-Boltzmann fördelningen Maxwell-Boltzmann fördelningen för v ≡ |v| Sannolikheten för en partikel att ha en fart mellan v och v + dv: F(v)dv = 4π m 2πkB T 3/2 v2 e−mv 2 /2kB T dv Maxwell-Boltzmann fördelningen Väntevärden I Vi kan beräkna följande väntevärden r ∞ 8kB T πm Z0 ∞ 3kB T hv2 i = v2 F(v) dv = m 0 Z hvi = Ar vid två temperaturer vF(v) dv = Kr, Ar, Ne vid T = 298 K Maxwell-Boltzmann fördelningen Energins väntevärde I Notera att hv2 i = hvx2 i + hvy2 i + hvz2 i som sig bör I Medelenergin för gaspartiklarna blir hEi = 3 1 mhv2 i = kB T 2 2 dvs. medelenergin beror endast av temperaturen! Maxwell-Boltzmann fördelningen Övriga statistiska mått I I För att jämföra gasers egenskaper är det inte alltid nödvändigt att ange hela fördelninen Bättre att använda mått som beskriver fördelningen, t.ex. ◦ Mest sannolika farten: dF(v)/dv = 0 ⇒ vmp = q BT ◦ Medelfarten hvi = 8kπm ◦ RMS (root mean squared) hastigheten vrms = ◦ Vi ser att olikheten vmp < hvi < vrms gäller q 2kB T m q p hv2 i = 3kmB T Maxwell-Boltzmann fördelningen Exempel: Hastighetsfördelningar i solvinden I Solvinden är en kontinuerlig ström av plasma från solen, består för det mesta av p (∼ 96 %), He+ ( ∼ 4 % ) och e− I Vid 1 AU har den typiskt v ∼ 350 − 700 km/s, T ∼ 5 · 104 − 2 · 105 K, n ∼ 1 − 15 cm−3 , B ∼ 6 nT.
© Copyright 2024