1. No category

Medelvärde
Medelvärdet är summan av alla
observationer dividerat med deras antal.
Repetition
x=
mb9
∑ xi
n
8732+8521+8385+8316+8246+8223+8087+8068+8042 = 74620
74620
= 8291
9
1
2
Median
Standardavvikelse
Medianen är den mittersta observationen.
Σ(xi − x )
n
2
s=
= 8246
Eller medelvärdet av de två mittersta
observationerna (jämnt antal)
Varians (s2)
8316 + 8246
= 8281
2
Σ( xi − x )
n
2
s2 =
3
4
Normerat värde
256,99 - 277,59 = -1,73
11,9
Resultat
5,3
5
4,9
4,8
4,7
4,6
4,5
4,2
Samma sak för poängen
881 - 870
55,5
= 0,20
832 - 697,5
= 1,78
75,4
Ger ”samma” svar.
z=
x−x
s
normerat värde =
Frekvens
1
2
2
6
5
5
4
2
3
1
2
2
1
1
Stavresultat
Antal
48,59 - 48,84 = -0,21
1,17
Frekvens
0
avvikelse från medelvärde
standardavvikelsen
5,3
5
4,9
4,8
4,7
4,6
4,5
4,2
Höjd (m)
5
6
1
Medelvärde och s
Frekvens
1
2
2
5
2
1
2
1
x=
∑ xi
n
x=
∑ f i ⋅ xi
n
40 %
Σ(xi − x )
n
2
s=
Relativ frekvens
Resultat
5,3
5
4,9
4,8
4,7
4,6
4,5
4,2
Klassindelning (400 m)
Σf i ⋅ ( xi − x )
s=
n
2
30 %
20 %
10 %
0%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
47-48
19
TUN
USA
EST
CZE
FRA
USA
BEL
HUN
GER
ESP
USA
FIN400 m
CZE
NED
RUS
RUS
AUT
RUS
48-49
49-50
EST tid (s)
47,04
47,78
48,58
48,62
48,63
48,65
49,04
49,29
49,42
49,71
50,21
50,29
50,34
50,45
50,46
50,58
50,81
51,11
50-51
51-52
51,44
Klass
47-48
48-49
49-50
50-51
51-52
Frekvens
2
4
4
7
2
Summa
19
Verkliga klasser
47-48 är
46,995-47,9958
7
Medelvärde
Klass
47-48
48-49
49-50
50-51
51-52
Frekvens
2
4
4
7
2
Summa
19
Rel. F
11%
21 %
21 %
37 %
11 %
x=
Kumulerad frekvens
∑ f i ⋅ xi
x=
n
Klass
47-48
48-49
49-50
50-51
51-52
Frekvens
2
4
4
7
2
∑ f i ⋅ klassmitti
n
Summa
19
∑ R. f i ⋅ xi
x=
100
Rel. F
11%
4/19 = 21 %
21 %
37 %
11 %
2/19 =
Rel. F
11%
21 %
21 %
37 %
11 %
Kum. F
2
6
10
17
19
Median
Undre kvartilen
Övre kvartilen
Kum. R. F
11 %
32 %
53 %
89 %
100 %
Egentligen ska
verkliga klasser
användas
46,995+47,995
2
9
Summapolygon
10
Korrelationskoefficienten
• Summapolygonen anger hur stor del av
observationerna som är under ett visst
värde.
R>0
• Dessa observationsvärden kallas fraktiler.
y
• Den gräns för vilket hälften av
observationerna är under kallas median
• 25% och 75% gränserna kallas kvartiler
11
R<0
R≈0
y
R≈1
x
Linjens
ekvation
y = a·x+b
R≈-1
x
12
2
Korstabell
Sve
9
8
9
9
Eng
9
8
8
9
10
8
10
8
8
9
10
9
8
7
3
4
4
1
2
7
8
2
4
1
9
10
• Sannolikheten att slå en sexa.
• Sannolikheten att slå minst en femma
9
9
9
9
10
8
10
8
sve
Sannolikhet
Eng
8
8
9
8
8
10
8
8
7
8
9
9
8
9
7
8
7
7
8
9
13
Sannolikheten för händelse =
antalet gynnsamma utfall
totala antalet utfall
P(6) = 1 = 0,17
6
P(minst 5) = 2 = 0,33
6
14
0,512
Komplementhändelse
Multiplikationsregeln
• Sannolikheten att föda en flicka?
• Sannolikhet att föda en pojke på en
söndag
• 0,488
0,5*1/7 =0,071
• Sannolikhet att föda en pojke
• 1-0,488 = 0,512
Summan av sannolikheten för händelse A
och dess komplementhändelse A är 1
P(A) + P(A) = 1
Sannolikheten för att både händelse A och
händelse B inträffar är produkten
P(A och B) = P(A) ⋅ P(B)
• Sannolikhet att först kasta en 5:a och sedan en 6:a ?
d.v.s P(A) = 1-P(A)
15
Additionsregeln
1/6+1/6 = 2/6
16
Betingad sannolikhet
Dra två kort ur en kortpacke;
Vad är sannolikheten att båda är kungar?
Vad är sannolikheten att få par?
Sannolikheten att slå minst en femma
(5:a eller 6:a)
Sannolikheten att slå en udda
eller en 6:a
3/6+1/6 = 4/6
Sannolikheten för att endera händelse A eller
händelse B inträffar är summan
P(A eller B) = P(A) + P(B)
Multiplikationsregeln
P(A och B) = P(A) ⋅ P(B förutsatt att A inträffat)
Vad är sannolikheten att få färg?
Sannolikhet att först kasta en 5:a och sedan en 6:a ?
17
18
3
Sannolikhetsfördelning
Exempel 5
Sannolikhet 80% att lyckas med fastighetsaffär.
Vinst 100 000 €
Vid misslyckande förlust 150 000 €
Teoretisk fördelning
14
12
E ( X ) = ∑ p k xk
10
8
6
Väntevärdet
0,8 ·100 000 + 0,2 · (-150 000) = 50 000 €
Svar: Den förväntade vinsten är 50 000 €
4
2
0
2
3
4 5 6
7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
En stokastisk variabel ger ett värde
åt varje utfall i ett slumpförsök.
Väntevärde 14,0
19
20
Sannolikheten att ett försök lyckas p
Försöket upprepas n gånger
Hur många gånger försöket ska lyckas k
Sannolikhet att få tre sexor på rad.
1/6 *1/6*1/6
Sannolikheten av få exakt tre sexor av fem?
666xx eller 66x6x, 6x66x, x666x,
x66x6, 6x6x6, 66xx6,
6xx66, x6x66, xx666
Vi kan få 3 sexor på 10 olika sätt.
P = 10*(1/6)3*(5/6)2
Hur många gånger den stokastiska variabeln ska få det önskade värdet
⎛n⎞
n−k
P( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p )
⎝k ⎠
3
2
⎛5⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
P (tre sexor av fem) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,0322
⎝ 3⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
Vad är sannolikheten att få 4 sexor av 5?
P(X≤3)?
21
22
Binomialfördelning
Sannolikheten att ett försök lyckas p
Försöket upprepas n gånger
Hur många gånger försöket ska lyckas k
Sannolikheten av få exakt tre sexor av fem?
P = 10*(1/6)3*(5/6)2
Hur många gånger den stokastiska variabeln ska få det önskade värdet
⎛n⎞
n−k
P ( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p )
k
⎝ ⎠
antalet gånger en viss händelse inträffar
då ett försök upprepas flera gånger.
X antalet sexor
⎛n⎞
n−k
P( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p )
k
⎝ ⎠
Väntevärdet E(X) = n·p
23
24
4
P ( X = k ) = (1 − p ) ⋅ p
k
X = ”antal omgångar i startrutan”
Geometrisk fördelning
Kastserie
x...x6
Hur sannolikt är det,
att man står i startrutan högst 9 gånger?
Vad är medianen för den stokastiska variabeln X?
Sannolikhet
(5/6)k*1/6
X
k
X = ”antal omgångar i startrutan”
Sannolikheten att A inträffar efter k försök,
är sannolikheten för A:s komplementhändelse
upphöjt i k, multiplicerat med sannolikheten för A
P ( X = k ) = (1 − p ) ⋅ p
k
25
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
p
17 %
14 %
12 %
10 %
8%
7%
6%
5%
4%
3%
3%
2%
2%
2%
1%
Kumulerad
17 %
31 %
42 %
52 %
60 %
67 %
72 %
77 %
81 %
84 %
87 %
89 %
91 %
92 %
94 %
Kumulerad sannolikhet
Geometriskfördelning
100,00 %
18,00 %
90,00 %
16,00 %
80,00 %
14,00 %
70,00 %
12,00 %
60,00 %
10,00 %
50,00 %
8,00
40,00%%
6,00
30,00%%
4,00
20,00%%
2,00
10,00%%
0,00
0,00%%
00 11 22 33 44 55 66
77
88
26
99 10
10 11
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18
P ( X = k ) = (1 − p ) ⋅ p
k
X = ”antal omgångar i startrutan”
Fördelningar
Geometrisk fördelning
Geometriskfördelning
Binomial fördelning
X ~ Bin(n,p)
X ~ Geom(p)
18,00 %
16,00 %
14,00 %
12,00 %
10,00 %
8,00 %
6,00 %
4,00 %
2,00 %
0,00 %
P( X = k ) = (1 − p) ⋅ p
⎛ n⎞
n−k
P( X = k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ pk ⋅ (1 − p)
⎝k ⎠
k
P(X≤k) = P(X=0)+ P(X=1)+…+ P(X=k)
P ( X ≤ k ) = 1 − (1 − p )
k +1
0
1
2
3
4
5
6
P ( X ≤ k ) = 1 − (1 − p )
7
k +1
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
E( X ) =
E( X ) =
(1 − p )
p
D( X ) =
27
Exponentialfördelning
(1 − p )
p
1− p
p
P(X≤k) = P(X=0)+ P(X=1)+…+ P(X=k)
E(X) = n·p
D( X ) = np (1 − p )
X = ”lampans livslängd”
Sannolikheten att en lampa ska slockna under en
vecka är 0,2?
Sannolikheten att lampan brinner efter t veckor
P(X>t) = 0,8t
Sannolikheten att lampan brinner efter en vecka
1-0,2 = 0,8
.. brinner högst 3 veckor
P(X≤3) =
1- P(X>3) = 1- 0,83
.. efter t veckor
0,8t
.. efter 60 dagar
0,8 (60/7)
28
..högst t veckor
P(X≤t) = 1- 0,8t
29
30
5
X = ”lampans livslängd”
Standardavvikelse
P(X≤t) kallas fördelningsfunktion F(t)
Toppen på kurvan ligger vid
medelvärdet.
En stokastisk variabel vars fördelningsfunktion har
formen F(t) = 1- (1-p)t sägs vara exponentialfördelad
Sannolikhet att gå sönder p
under tiden t
68 % av värdena ligger 1 s
från medelvärdet
95 % av värdena ligger 2 s
från medelvärdet
P(X≤t) = F(t) = 1- (1-p)t
31
Exempel
Z=
X−μ
60 − 55
= 1,25
4
Normering
σ
normerat värde =
Fordonens hastighet är på en plats
normalfördelade med m 55 km/h och s 4 km/h
Hur många bilar kör under 60 km/h?
värdet − medelvärdet
standardavvikelsen
Det normerade värdet kan slås upp i en tabell
Maol sid 63.
Φ(1,25) = …
Över 80 %
Hur många s från 55 ligger 60 ?
60 − 55
= 1,25
4
32
Svar:
… % av bilar kör under 60 km/h?
51 55 59
51 55 59
33
Teori
34
Konfidensnivå
Summan av flera oberoende normalfördelade
stokastiska variabler
X1, ~ N(μ, σ)
X2, ~ N(μ, σ)
…
Xn ~ N(μ, σ)
säkerheten 95 %
kallas konfidensnivå
motsvarande intervall
z= -1.96 till z= 1.96
kallas
konfidensintervall
φ(1.96) = 9750
95 %
2,5 %
9750
2,5 %
X1, X2, X2 ,… Xn ~ N(nμ, n σ)
35
signifikansnivå 0.05
36
6