1. No category

Inlämningsuppgifter
till 21/2—2003
Lena A.
14,29,40,74,83
Niklas E.
2,25,41,73,84
My E.
19,32,42,72,92
Sandra F.
18,33a,43,71,91
Helena F.
17,33b,44,70,90
Jenny G.
15,34,45,69,89
Zanna H.
14,30,46,68,88
Ninni H.
16,35,47,60,87
Hoda H.
13,25,35,59,86
Henrik K.
3,28,48,61,85
Fredrik L.
12,29,49,62,84
Emma M.
11,24,50,63,83
Miki M.
10,31,51,64,82
André N.
1,23,34,58,75
Jahangir S.
9,31,52,65,81
Helen S.
8,22,39,57,76
Christina S.
7,26,37,56,80
Kristopher S.
6,21,36,55,79
Borislav
5,27,53,66,78
Marinos
4,20,54,67,77
1. Förenkla
µ ¶1/2 µ ¶1/4
1
1
−
2
4
2. Skriv om följande uttryck utan rottecken i nämnaren:
x+
1
√
x2 − 1
3. Skriv om utan rottecken i nämnaren och förenkla
1
1
1
1
√
√ +√
√ +√
√ + ... + √
√
n−1+ n
1+ 2
2+ 3
3+ 4
4. Lös
1
x
−
=1
x−1 x−2
5. Lös
x
1
1
+
+
=1
x+1 x+2 x+3
6. Lös ut x
r
x−1
=y
x+1
7. Lös ekvationen
5+x =
√
7+x
8. Lös
√
√
x− x−2 =1
9. Lös ekvationen
√
x− x−2
√
=2
x+ x−2
10. Lös ekvationen
√
2x + 7 = x − 4
11. Undersök om följande ekvation
har några (reella) lösningar:
Om någon uppgift verkar hopplös,
tag någon ”närliggande” i stället...
√
√
3
= x−1
x−4− √
x−4
12. Lös ekvationen
√
√
1+x+ 1−x
√
√
=2
1+x− 1−x
13. Lös ekvationen
|||x + 1| − 2| + 3| = 4
1
Mängder
14. Ett av problemen på
det årliga skolmästerskapet i matematik löd så här:
I 15-26 avgör om resp. påstående är
sant för godtyckliga mängder A,B, C, ...
(Som alltid: motivera ditt svar!)
”Bestäm alla värden på a,
för vilka ekvationen x2 − |x| + a = 0
har exakt en reell rot.”
15. A ∪ (A ∩ B) = A
16. (A ∪ B) ÂC = (AÂC) ∪ (BÂC)
Ett lösningsförslag var följande:
2
2
Vi vet att x = |x| .
Därför kan vi betrakta |x|2 − |x| + a = 0.
En andragradsekvation med avseende på |x| !
Andragradsekvationer har exakt en rot
då och endast då uttrycket under rottecknet
i pq-formeln är = 0, i detta fall alltså när
17. AÂ (B ∪ C) = (AÂB) ∪ (AÂC)
18. AÂ (B ∪ C) = (AÂB) ÂC
19. AÂ (B ∪ C) = (AÂB) ∩ (AÂC)
20. (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B
21. (AÂB) ∪ (BÂA) = A ∪ B
a = 1/4
22. (A ∪ B) ÂC ⊆ A
Ett helt annat förslag var följande:
23. A ∪ C = B ∪ C =⇒ A = B
Antag att x0 är en rot.
Då är det klart att även −x0 är en rot.
Skall ekvationen ha exakt en rot,
så måste dessa två sammanfalla, d.v.s. x0 = 0.
Men x = 0 är en rot då och endast då
24. A ∩ C = B ∩ C =⇒ A = B
25.
½
A∪C =B∪C
=⇒ A = B
A∩C =B∩C
26. Här låter vi P (A) beteckna mängden av alla
delmängder till A, den s.k. potensmängden till A.
a=0
Nå, hur skall det vara ?
P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B)
27. Låt A och B vara två mängder.
Vad säger nedanstående utsaga ?
Hitta enkel formulering med ord!
∀x : (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
28. För vilka mängder A och B gäller
AÂB = BÂA
?
29. Ett av flera alternativa beteckningssätt för
komplementet till en mängd A är A.
Förenkla
(A ∪ B) ∩ C ∪ B
Tips: De Morgans lagar.
30. Alla barn i en skola
spelar fotboll och/eller handboll.
Var sjunde fotbollsspelare spelar också handboll
och var nionde handbollsspelare spelar också fotboll.
Vilka är flest:
handbollsspelarna eller fotbollsspelarna?
31. Hur många av talen 1, 2, 3, ..., 1000 är
(a) delbara med 5 ?
(b) delbara med 7 ?
(c) inte delbara med vare sig 5 eller 7 ?
2
Logik
36. En mängd M av reella tal kallas
32. Du ser en elev lösa en ekvation så här:
• uppåt begränsad, omm det finns något tal b,
ej nödvändigtvis tillhörande M, sådant att
2
(x − 1) = 15 (x − 1)
x − 1 = 15
x = 16
x ≤ b för alla x ∈ M
• nedåt begränsad, omm det finns något tal b,
ej nödvändigtvis tillhörande M, sådant att
Din kommentar?
Om man skall sätta ut ekvivalens- / implikationspilar
mellan ekvationerna, hur skall det se ut?
x ≥ b för alla x ∈ M
• begränsad, omm den är
såväl uppåt som nedåt begränsad.
33. För var och en av följande utsagor, avgör om den är
en tautologi (d.v.s. alltid sann, oavsett P och Q:s
sanningsvärden), en motsägelse (d.v.s. alltid falsk,
oavsett P och Q:s sanningsvärden) eller ingendera.
Antag nu att för mängderna A och B gäller
∀x ∈ A : ∃y ∈ A : x < y
∃y ∈ R : ∀x ∈ B : x < y
(a) ¬P ∧ ¬Q =⇒ ¬ (P ∧ Q)
(b) ¬ (P ∧ Q) =⇒ ¬P ∧ ¬Q
Säger detta att någon av dem är
uppåt begränsad / nedåt begränsad / begränsad ?
34. Polisen har intervjuat fyra vittnen —
vi kallar dem A, B, C, och D — och konstaterat att
1)
2)
3)
4)
37. En ändlig mängd av reella tal
har alltid
största och ett minsta element, t.ex.
© ett ª
i A = 12 , π, 7 är 7 största och 12 minsta element.
A och B kan inte båda ha rätt,
B och C motsäger varandra,
om C talar sanning, så har A ljugit,
om D talar sanning, så också A.
En oändlig mängd behöver naturligtvis
inte ha något största/minsta element:
N = {0, 1, 2, 3, ...} har inget största element.
Kan man ur detta avgöra
vem som talat sanning resp. ljugit?
Om inte för alla,
kan man kanske avgöra det för vissa?
Läs definitionen av
(uppåt/nedåt) begränsad mängd ovan.
Kan man sätta något av konnektiven ⇓, ⇑ eller m
på frågetecknens plats nedan,
så att man får en sann utsaga?
Tips: Gör lämplig sanningstabell.
35. Här följer några påståenden om talen a, b, c,
några uttryckta helt och hållet med symboler
Mängden A är uppåt begränsad
???
Mängden A har ett största element.
abc = 0
|a| + |b| + |c| > 0
(a − b) (a − c) (b − c) = 0
a2 + b2 + c2 > 0
a2 + b2 + c2 = 0
|a| (|b| + |c|) + |b| (|c| + |a|) + |c| (|a| + |b|) = 0
38. Är det sant att
(δ är grekiskt litet ”d” och uttalas ”delta”.)
¯
¯
∃δ > 0 : ∀a, b ∈ R : |a − b| < δ =⇒ ¯a2 − b2 ¯ < 1
och några uttryckta mera på vardagsspråk:
39. Bevisa följande påstående
med utnyttjande av kontraposition
(d.v.s. att P ⇒ Q är ekvivalent med ¬Q ⇒ ¬P ):
Alla tre talen a, b, c är = 0
Minst ett av talen a, b, c är = 0
Minst två av talen a, b, c är = 0
Minst ett av talen a, b, c är > 0
Minst ett av talen a, b, c är 6= 0
Minst två av talen a, b, c är lika.
∀ m, n ∈ Z :
m + n är udda =⇒ precis ett av talen m och n
är udda
Vissa påståenden är ekvivalenta — vilka?
3
Olikheter
53. Det kvadratiska medelvärdet
av två icke-negativa tal a och b definieras som:
r
a2 + b2
2
40. Vilket är det största värdet som nedanstående
uttryck kan anta och för vilket x antas det?
8
x2 − 2x + 5
Visa att detta verkligen är ett medelvärde, d.v.s.
r
a2 + b2
≤ max (a, b)
min (a, b) ≤
2
Tips: Kvadratkomplettera nämnaren.
41. Är det riktigt att för alla reella tal a, b, c, d
½
a>b
=⇒ ac > bd ?
c>d
samt att det
aldrig understiger det aritmetiska medelvärdet:
r
a+b
a2 + b2
≥
2
2
42. Lös olikheten
x≤
1
x
Kan man få likhet och i så fall när?
54. Bevisa att för alla a och b :
43. Lös olikheten x3 − 5x2 ≥ 25x − 125
a2 + b2 + 1 ≥ a + b + ab
44. Lös olikheten x6 − x4 + x2 − 1 > 0
Tips: a2 = 12 a2 + 12 a2 ,
45. Lös olikheten x12 − x7 − x5 + 1 < 0
1
2
(a − b)2 = ....
55. Härled AM ≥ GM -olikheten ur följande figur
46. För vilka värden på a är olikheten
(a + x)3 > (a − x)3 + 2x3 − 3a2
y Ζx
sann för alla x > −1/3 ?
47. Visa att
0 < a, b, c < 1 =⇒ abc + 1 > a + bc
48. Visa att för fyra på varandra följande naturliga tal
alltid gäller att produkten av de två ”yttertalen” är
mindre än produkten av de två ”mittentalen”
(t.ex. om talen är 6, 7, 8 och 9, så är 6 · 9 < 7 · 8).
b
a
49. Bevisa att för fyra på varandra följande naturliga tal
alltid gäller att summan av de två yttertalens kuber
är större än summan av de två mittentalens kuber
(t.ex. för 6, 7, 8, 9 är 63 + 93 > 73 + 83 ).
genom att jämföra
rektangelns och trianglarnas areor.
56. Bestäm minsta möjliga värdet av
50. Antag att x och y är två olika positiva tal.
Kan man säga vilket av följande kvoter är minst,
x2 + y 2
x+y
eller
x2 − y 2
x−y
a b
+
b a
Tips:
?
a
b
·
b
a
då a, b > 0
= 1.
57. Visa att
¢¡
¢
¡
51. Visa att ∀x, y ∈ R : (1 + xy)2 ≤ 1 + x2 1 + y 2
a1 + a2 + a3 = 3 =⇒ a1 a2 a3 ≤ 1
52. Visa att för alla tal a, b, c och d gäller
genom att observera att, om inte alla aj = 1
(i vilket fall olikheten är klar), så måste
minst ett av talen vara < 1 och minst ett > 1.
Det är alltså ingen inskränkning att anta att
a1 = 1 − h, a2 = 1 + k, a3 = 1 + h − k, där h, k > 0.
2
(a + b + c + d) − 2 (a + b) (c + d)
≥ ab + cd
4
När gäller likhet ?
4
Talteori
68. Visa att om p är primtal 6= 2, 5,
så är p2 − 1 eller p2 + 1 delbart med 10.
58. Summan av tre heltal är = 0.
Är deras produkt ett udda eller ett jämnt tal?
69. a) Vilket är det största heltalet som produkten av
tre på varandra följande heltal säkert är delbar med?
59. Avgör utan maskin
om talet 31000 − 113 är delbart med 10.
b) Visa att
(3n)!
n är ett heltal för alla positiva heltal n
(3!)
60. Vad behöver man lägga till på frågetecknens plats
för att följande skall bli riktigt?
70. Vilket är det största heltalet som produkten av fem
på varandra följande heltal säkert är delbar med?
(a | c) ∧ (b | c) ∧ (???) =⇒ ab | c
71. En ton som ligger en oktav högre än en annan
har dubbelt så hög frekvens.
En ton som ligger en kvint högre än en annan
har frekvens som är 3/2 av den lägre.
Om man på ett piano förflyttar sig 7 oktaver,
så skall man samtidigt ha förflyttat sig 12 kvinter.
(Räkna 8 på varandra följande tangenter,
inkl. de svarta. Tangenter 1 och 8 bildar en kvint.)
Förklara nu hur man utan räkning kan inse att
µ ¶12
3
6= 27
2
61. Visa att 1 + 8n − 3n − 6n är delbart med 10
för alla positiva heltal n.
62. Låt oss för ett ögonblick glömma alla andra tal
förutom de jämna positiva talen
2, 4, 6, 8, ...
Definiera j-primtal som de tal som inte kan skrivas
som produkt av två mindre jämna tal.
(a) Vilka är j-primtalen ?
(b) Ge exempel på ett jämnt tal som
kan faktoriseras i j-primtal på två olika sätt.
och därmed att ett piano aldrig kan stämmas perfekt!
72. Vilka är de minsta positiva heltalen x och y
som uppfyller
63. Förutsättningar som i föregående fråga.
Dessutom: Med a | b menar vi nu att kvoten b/a blir
ett jämnt heltal (de udda heltalen existerar som sagt
inte för oss, för tillfället!)
713x − 711y = 1 ?
Ge ett motexempel till
motsvarigheten till lemma 2.12 i Vretblad
73. (Kinesisk räkneuppgift från 500-talet.)
Hur många gäss, ankor resp. hönor
kan man få för 100 mynt,
om man vill ha 100 st. totalt och
en gås kostar 5 mynt, en anka 3 mynt
och tre hönor tillsammans 1 mynt?
j-primtalet p | ab =⇒ (p | a) eller (p | b)
64. a) Vilka rester är möjliga att få
då ett kvadrattal divideras med 4 ?
b) En heltalstrippel (a, b, c) , för vilken a2 + b2 = c2 ,
kallar man pythagoreisk.
Exempel: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) .
74. Ange alla par av heltal (x, y) sådana att
(a) 350x − 147y = 7
(b) 350x − 147y = 35
Visa att det inte finns någon pythagoreisk taltrippel
där a och b båda är udda heltal.
(c) 350x − 147y = 2
65. a) Vilken rest ger talen
75. Har alla ekvationer av typen
11, 111, 1111, 11111, ...
ax + by + cz = d
där a, b, c, d är givna heltal
vid division med 4 ?
b) Visa att ingen av talen ovan kan vara rationellt.
heltalslösningar?
66. Visa att differensen mellan kvadraterna på
två udda heltal är alltid jämnt delbar med 8.
76. Bevisa att för alla heltal a, b och d gäller
(d | a) ∧ (d | b) =⇒ d | SGD (a, b)
67. Visa att om p, q är primtal ≥ 5,
så är p2 − q 2 delbart med 24.
5
Summor
Induktion och rekursion
77. Förenkla
85. För formeln
n
X
x · x2 · x3 · x4 · ... · x100
k
=
k=1
78. Förenkla
21 + 22 + 23 + ... + 2100
86. Skriv ner ett induktionsbevis för
1
1
1
1
1 + + 2 + 3 + ... + n
3 3
3
3
n
X
80. Avgör om följande utsaga är sann :
för alla positiva heltal n
87. Med tanke på hur föregående två formler ser ut,
så är det väl inte helt otänkbart att
n
X
1
>m
2k
n
X
k=1
1
n (n + 1) (n + 2) (n + 3)
4
k (k + 1) (k + 2) =
k=1
81. Beräkna summan av alla tresiffriga tal
som är delbara med 3.
för alla positiva heltal n
Skriv ner ett induktionsbevis!
82. Ställ upp en formel för följande summa,
där n är ett positivt heltal:
¡
¢
1 + n + (2n − 1) + (3n − 2) + ... + n2 − (n − 1)
88. Titta på de tre formlerna närmast ovan,
gissa och bevisa med induktion en formel för
n
X
k (k + 1) (k + 2) (k + 3)
k=1
83. De positiva udda talen kan ordnas på följande sätt
89. Ge ett induktionsbevis (det finns alternativ!) för att
en mängd med n element har 2n olika delmängder
(den tomma delmängden inräknad).
1
3
1
n (n + 1) (n + 2)
3
k (k + 1) =
k=1
Vilket tal närmar sig summorna ovan,
när man tar allt större n ?
7
för alla positiva heltal n
har vi redan ett fullgott åskådligt bevis, men skriv
nu ner (som övning) ett induktionsbevis.
79. Förenkla
∀m ∈ Z : ∃n ∈ N :
1
n (n + 1)
2
5
9
11
13
15
17
19
− − − − − − − − o.s.v.
90. Visa med induktion att
2n > n2 för alla heltal n > 4
(a) Ge en formel för sista talet på rad n
91. Visa med induktion att
för alla positiva heltal n
(b) Ge en formel för första talet på rad n.
(c) Ge en formel för
summan av talen på rad n.
nn ≥ (n + 1)n−1
n−1
Tips: Såväl nn ≥ (n + 1)
som
(n + 1)n+1 ≥ (n + 2)n kan omformas till
µ
¶n
???
n+1≥
???
(d) Summera alla talen på raderna 1 till n
på två olika sätt
och härled den vägen formeln
µ
¶2
n (n + 1)
13 + 23 + 33 ... + n3 =
2
92. Talföljden Cn , n = 0, 1, 2, 3, ... definieras genom
84. En bordtennisturnering med n spelare tillgår så att
alla möter alla en gång. Ingen match kan sluta
oavgjord. Säg att spelare nummer k vinner xk och
förlorar yk matcher. Visa att
Cn =
(2n)!
n! (n + 1)!
Skriv ut de sex första talen samt
ge en ekvivalent rekursiv definition
(d.v.s. av den typ som förekommer i avsnitt 4.3)
x21 + x22 + ... + x2n = y12 + y22 + ... + yn2
6