TENTAMEN I MATEMATIK MED
MATEMATISK STATISTIK
HF1004 TEN2
2015-03-17
Hjälpmedel: Formelsamling med tabeller i statistik och räknedosa
Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter.
Lösningarna skall vara väl motiverade och så utförliga att räkningarna och de bakomliggande tankarna är lätta att
följa.Lösningarna skall renskrivas ochavslutas med ett tydligt svar som skall vara så förenklat som möjligt.
Betygsgränser: Betyget Fx: 8p, betyget E: 9 poäng , betyget D: 12 poäng, betyget C: 15p, betyget B: 17 poäng,
betyget A: 19poäng
1
Två symmetriska 6-sidiga tärningar kastas oberoende av varandra.
a) Hur stor är sannolikheten att tärningarna visar olika resultat?
b) De två tärningarna kastas 10 gånger. Hur stor är sannolikheten att de visar olika resultat exakt
fem gånger?
(2p)
c)
2
I en fabrik tillverkas detaljer som sätts samman två och två till försäljningsenheter. Varje
tillverkad detalj är felaktig med sannolikheten 0.1 oberoende av de andra.
En försäljningsenhet ger fabrikanten vinsten1 kr om båda detaljerna är korrekta, vinsten 0 kr om
precis en av de båda detaljerna är felaktig och förlusten 10 kr (dvs vinsten −10 kr) om båda
detaljerna är felaktiga. Beräkna den förväntade vinsten för en försäljningsenhet.
(2p)
3
I kretsen nedan är en spänningskälla U kopplad till en lampa L med fyra brytare, a, b, c och d.
Brytarna är öppna eller slutna med sannolikheterna:
P(a sluten) = 0.2, P(b sluten) = 0.4, P(c sluten) = 0.6, och P(d sluten) = 0.8 . Dessa
händelser är oberoende.Vad är sannolikheten att lampan lyser?
(2p)
4
Antalet färgburkar som efterfrågas under en månad från ett lager är en stokastisk variabel som är
Poissonfördelad med väntevärdet 400. Hur många burkar behöver man ha i lagret i början av en
månad om man vill att sannolikheten att det skall ta slut ska vara högst 0,01? (2p)
5
För att jämföra två instrument A och B gjorde man 5 mätningar samtidigt med båda instrument,
varvid man fått följande observationer.
A
430
436
442
449
447
B
426
437
440
448
445
Mätningarna antas vara normalfördelade s.v. med okänd standardavvikelse.
Kan man med 95% sannolikhet påstå att instrument A och B skiljer sig åt?
(2p)
6
Arean av en cylinder fås genom formeln A = 2 r 2π + 2 rπh
När radien mäts får man väntevärdet 5,0 m och standardavvikelsen 0,1m.
Vidare får höjden väntevärdet 10 m och standardavvikelsen 0,2 m.
Bestäm approximativt variansen och standardavvikelse för cylinderns area om du vet att r och h
är normalfördelade s.v.
(3p)
7
Ett företag som tillverkar glödlampor har tillverkningen förlagt till tre olika fabriker. Fabrik A
står för 20% , fabrik B för 35 %, och fabrik C för 45% av tillverkningen,. Man vet att en
glödlampa från fabriken A är defekt med 8% sannolikhet. Motsvarande felsannolikhet för fabrik
B är 2 % och 1%. för fabrik C.
Man har blandat glödlampor från de tre fabrikerna i ett stort centralt lager.
a) Vad är sannolikheten att en glödlampa är defekt.
b) Anna tar på måfå en glödlampa ur lagret och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att
den tillverkats i fabrik B ?
c) Ingrid tar på måfå en glödlampa ur lagret och finner att den är korrekt. Vad är sannolikheten att
den tillverkats i fabrik A?
(3p)
8
Till en betongblandning behövs 2000 kg torrt bruk som levereras i säckar som väger c:a 120 kg.
Varje säcks massa är N(120, 40)-fördelade i enheten kg.
a) Hur stor är sannolikheten att 14 säckar räcker?
(2p)
b) Hur många säckar behöver man beställa om man vill att sannolikheten för att bruket skall räcka
skall var minst 90 %?
(2p)
Lösningar:
1
a ) Den första tärningen kan visa vilket resultat som helst men den andra har bara fem
gynnsamma alternativ :
P(olika ) =
5
6
5
5
⇒ ξ ∈ Bin (10, )
6
6
b) ξ = antal gånger , p =
5
10− x
x
⎛10 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
P ( ξ = x ) = ⎜⎜ ⎟⎟· ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟
⎝ x ⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠
5
⎛10 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
P( ξ = 5) = ⎜⎜ ⎟⎟· ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = 0,013
⎝ 5 ⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠
2 Vi har följande fördelning för vinsten:
Vinst, x / kr
1
0
-10
Antal fel
0
1
2
Sannolikhet
0,9·0,9 = 0,81
0,1·0,9 + 0,9·0,1= 0,18
0,1·0,1 = 0,01
Det ger den förväntade vinsten = 1· 0.81 + 0· 0.18 + (−10)· 0.01 = 0.71 kr.
Svar: 0,71kr
3
P( A) = P( Brytaren a är sluten), P ( B) = P ( Brytaren b är sluten),
P(C ) = P( Brytaren c är sluten), P( D) = P ( Brytaren c är sluten)
Sökt : P( ( A ∪ B ) ∩ C ∩ D) = P ( A ∪ B ) ·P(C )·P ( D)
P ( A ∪ B) = P ( A) + P( B ) − P( A ∩ B ) = 0,2 + 0,4 − 0,2·0,4 = 0,52
P ( A ∪ B) ·P (C )·P( D) = 0,52·0,6·0,8 = 0,2496
Svar : 25%
4
ξ = antal burkar , ξ ∈ Po(λ ) , λ = 400
sökt : n där P(ξ > n) < 0,01
P(ξ < n) > 0,99
⎛ n − 400 ⎞
⎟ > 0,99
⎝ 20 ⎠
n − 400
> 2,33 ur tabell n = 2,33·20 + 400 = 446,6
20
φ⎜
5
a) Vi bestämmer ett 95% konfidensintervall för Z = A − B .
Z = A − B antar följande värden: 4, -1, 2, 1, 2
Härav får vi Z = 1.6,
Konfidensintervall för
och
Z:
σ Z = 1.81659
Svar : 447 burkar
Eftersom n=5 har vi n-1 = 4 frihetsgrader.
α = 5% = 0.05 ⇒ α / 2 = 0.025 dvs F(x)= 0.975
Från tabellen för t-fördelning med r=4 frihetsgrader får vi t α / 2 ( n − 1) = 2.776
Konfidensintervall är
( z − tα / 2 ( n − 1)
σ*
n
, z + tα / 2 ( n − 1)
σ*
n
) = (1.6 − 2.776 ⋅
1.81659
1.81659
, 1.6 + 2.776 ⋅
)
5
5
= (−0.655; 3.855 )
Intervallet innehåller 0. Därför kan vi INTE med 95% säkerhet påstå att det finns skillnad mellan A och B.
Svar: Nej.
6
A = 2 r 2π + 2 rπh ,
μ r = 5 , σ r = 0.1 ,
μ h = 10 σ h = 0.1
Partiella derivator:
∂A
= 4rπ + 2πh = ( för r = 5 och h = 10) = 4 ⋅ 5 ⋅ π + 2 ⋅ π ⋅ 10 = 40π = 125.6637
∂r
∂A
= 2 rπ = ( för r = 5 och h = 10) = 10π = 31.4159
∂h
Variansen (enligt formelsamling):
2
2
⎛ ∂A ⎞
⎛ ∂A ⎞
2
2
2
2
2
2
Varians(A)= ⎜
⎟ (σ r ) + ⎜ ⎟ (σ h ) = 125.6637 ⋅ 0.1 + 31.4159 ⋅ 0.2 = 197.39
r
h
∂
∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Standardavvikelsen σ A = Varians = 197.39 = 14.05
(Anmärkning: Exakta värden : Variansen= 20π ,
2
Standardavvikelsen = 2π 5 )
7
Beteckning:
D = En lampa är defekt ,
K = En lampa är korrekt
A = En lampa har tillverkats i fabrik A,
B =En lampa har tillverkats i fabrik B
C= En lampa har tillverkats i fabrik C
a) Den totala sannolikheten att lampan är defekt är
P( D) = P( A) ⋅ P( D | A) + P( B ) ⋅ P( D | B ) + P(C ) ⋅ P( D | C )
= 0.20 ⋅ 0.08 + 0.35 ⋅ 0.02 + 0.45 ⋅ 0.01 = 0.0275
b) Sannolikheten att en defekt lampa tillverkats i fabriken B är
P( B | D) =
P ( B ∩ D ) P( B ) ⋅ P( D | B ) 0.35 ⋅ 0.02
=
=
=0.2545=25.45%
P( D )
P( D )
0.0275
c) Först:
i) Den totala sannolikheten att lampan är korrekt är 1–P(defekt) =1– 0.0275=0.9725
ii) P(korrekt lampa om den kommer från A) år P ( K | A) = 1 − P ( D | A) = 0.92
Sannolikheten att en korrekt lampa tillverkats i fabriken A är
P (C | K ) =
P( A ∩ K ) P( A) ⋅ P( K | A) 0.20 ⋅ 0.92
=
=
= 0.1892=18.92 %
P( K )
P( K )
0.9725
Svar: a) 0.0275 b) 0.2545 c) 0.1892
8
ξ = varje s äcks massa i enheten kg ξ ∈ N (120,40)
η = ξ1 + ξ2 + ξ3 + ... + ξ14
total massa
sökt : P(η ≥ 2000)
E (ξ1 + ξ2 + ξ3 + ... + ξ14 ) = 14·120 kg = 1680 kg
V (ξ1 + ξ2 + ξ3 + ... + ξ14 ) = 14·402
σ = 40· 14 kg
CGS : η ∈ N (1680,40· 14 )
P(η ≥ 2000) = 1 − P(η ≤ 2000) = 1 − φ (
b) E (η ) = n·120
V (η ) = n·402
2000 − 1680
) = 1 − φ ( 2,14) = 1 − 0,9838 = 0,0162
40 14
σ = 40· n
CGS : η ∈ N ( n·120,40· n )
P(η ≥ 2000) = 0,90
P(η ≤ 2000) = 0,10
2000 − 120·n
φ(
) = 0,10
40 n
2000 − 120·n
= λ , ur tabell λ = −1,28
40 n
50 − 3·n
= λ substitution : t = n
n
50 − 3·t 2
= λ t = 0213 ± 4,08 , t > 0 ⇒ t = 4,3 n = 4,32 = 18,5 Svar : 19
t
: