SF1625 Envariabelanalys Taylors formel Lars Filipsson Institutionen för matematik KTH 24 september 2015 Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Taylors formel Taylors formel. Om f är n + 1 gånger deriverbar så kan man bilda polynomet pn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a) f (n) (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n . 2! n! Detta polynom kallas Taylorpolynomet av grad n till f kring a och kan användas för att approximera f , dvs f (x) ≈ pn (x), för x nära a. Felet i approximationen är f (n+1) (c) (x − a)n+1 n! för något c mellan a och x. (Krävs att f är n + 1 gånger deriverbar i ett intervall som innehåller x och a.) Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Taylors formel Ni kan själva lätt kontrollera att Taylorpolynomet av grad n till f kring punkten a har samma funktionsvärde och samma derivator upp till ordning n som f i punkten a, dvs (k ) pn (a) = f (k ) (a) Lars Filipsson för k = 0, 1, 2, . . . , n. SF1625 Envariabelanalys Exempel på användning av Taylors formel Taylorpolynomet av grad 4 till f (x) = ex kring x = 0 är x2 x3 x4 + + . 2! 3! 4! Om vi använder detta polynom för att approximera talet e får vi p4 (x) = 1 + x + e = e1 ≈ p4 (1) = 1 + 1 + 12 13 14 65 + + = ≈ 2.71. 2! 3! 4! 24 Felet i approximationen ges av 1 ec 5 ·1 ≤ 5! 40 c om vi använder att e garanterat är mindre än 3 när c ligger mellan 0 och 1. Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Exempel på användning av Taylors formel Taylorpolynomet av grad 2 till f (x) = ln x kring x = 1 är (x − 1)2 . 2 Om vi använder detta polynom för att approximera ln 1.2 får vi p2 (x) = x − 1 − ln 1.2 ≈ p2 (1.2) = 1.2 − 1 − (1.2 − 1)2 = 0.18. 2! Felet i approximationen ges av 2/c 3 0.008 3 · (1.2 − 1)3 ≤ ≤ 3! 3 1000 Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Exempel på användning av Taylors formel Om vi Taylorutvecklar sin x och cos x kring origo så blir det lite speciellt eftersom varannan derivata i origo är noll (kolla själva). Så när vi tar fram Taylorpolynomet av grad 2 till cos x kring x = 0 så får vi x2 2! Men detta polynom är i själva verket ett korrekt Taylorpolynom av grad 3 eftersom tredjederivatan för cos x i origo är noll. Så tredjegradstermen är korrekt. Det betyder att felet alltså är en fjärdegradsterm, närmare bestämt p2 (x) = 1 − cos c 4 x 4! På liknande sätt blir det för sinus. Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Exempel på användning av Taylors formel Taylorpolynomet av grad 2 till cos x kring x = 0 är x2 2! Om vi använder detta polynom för att hitta ett närmevärde till 1 får vi cos 10 1 1 1 2 cos ≈1− = 0.995. 10 2 10 p2 (x) = 1 − Felet i approximationen är cos c 4! 1 10 4 Lars Filipsson ≤ 1 · 10−5 . 2 SF1625 Envariabelanalys Exempel på Taylors formel Några standardutvecklingar. För x nära 0 gäller att ex ≈ 1 + x x2 x3 + + + ... 1! 2! 3! ln(1 + x) ≈ x − x2 x3 x4 + − + ... 2 3 4 sin x ≈ x − x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7! cos x ≈ 1 − x2 x4 x6 + − + ... 2! 4! 6! (1 + x)α ≈ 1 + αx + α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 x + x + ... 2! 3! Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Exempel på användning av Taylors formel En användning av Taylors formel är gränsvärden. När man räknar ut sådana behöver man inte vara så noga med resttermen. Det viktiga är potensen av x − a. Så istället för f (n+1) (c) (x − a)n+1 skriver man ofta bara B(x)(x − a)n+1 där B (n + 1)! är någon begränsad funktion. Eller ännu mera kortfattat O((x − a)n+1 ) (se boken). Exempel: 2 2 1 − x2 + B(x)x 4 − 1 − x2 + B(x)x 4 cos x − 1 = lim = lim lim x→0 x→0 x→0 x2 x2 x2 1 2 − + B(x)x 1 = lim 2 =− . 1 2 x→0 Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Nu kommer ett par slajds med bevis. Först bevisas medelvärdessatsen och sedan bevisas feltermen i linjär approximation. Med samma metod kan man bevisa Taylors formel, se boken. Lite terminologi: Taylorpolynom kring x = 0 kallas ofta Maclaurinpolynom. Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Medelvärdessatsen Medelvärdessatsen. Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så finns en punkt c mellan a och b sådan f (b) − f (a) . att f 0 (c) = b−a Bevis. Låt oss hitta på en ny funktion g som ges av g(x) = f (x) − f (b) − f (a) (x − a). b−a Då gäller att g(a) = g(b) och g är deriverbar på (a, b). Av detta följer (hur?) att g måste anta ett största eller ett minsta värde i någon punkt mellan a och b. I en sådan punkt, kalla den c, måste g:s derivata vara noll. Med andra ord gäller att 0 = g 0 (c) = f 0 (c) − f (b) − f (a) . b−a Detta är precis slutsatsen i satsen. Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Feltermen i linjär approximation Sats. Om f är 2 gånger deriverbar i ett intervall som innehåller a och x så gäller för något c mellan a och x att f 00 (c) (x − a)2 . 2! Alltså: Felet i den linjära approximationen, dvs skillnaden mellan f (x) och f (a) + f 0 (a)(x − a), är precis f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (c) (x − a)2 . 2! Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys Upp till Bevis! Bevis av feltermen i linjär approximation. Vi söker felet i approximationen f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a). Nu är alltså x fixerat. Vi hittar på en ny funktion g som beror på t och ges av g(t) = f (t)−f (a)−f 0 (a)(t −a)− f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) (t −a)2 . (x − a)2 Man kollar lätt att g(a) = 0 och g(x) = 0. Då finns enligt medelvärdessatsen en punkt b mellan a och x sådan g 0 (b) = 0. Nu kan vi upprepa samma resonemang för funktionen g 0 , dvs g 0 (a) = 0 och g 0 (b) = 0, så det måste finnas en punkt c mellan a och b sådan att g 00 (c) = 0. Men om vi deriverar g två gånger ser vi att f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) . (x − a)2 Att detta är noll ger oss precis vad vi skulle bevisa. Taylors formel bevisas med samma ide, se boken. g 00 (c) = f 00 (c) − 2 Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys
© Copyright 2024