1. No category

SF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata
Lars Filipsson
Institutionen för matematik
KTH
8 september 2015
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Derivata
Innehåll om derivata (bokens kapitel 2).
Definition – vad begreppet derivata betyder
Tolkning – hur man kan tolka derivata
Deriveringsregler – hur man räknar ut derivata
Derivatan av några vanliga funktioner
Hur derivata förhåller sig till kontinuitet
Högre ordningens derivator
Medelvärdessatsen och hur man använder derivata
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Definition
Med derivatan av en funktion f i en punkt a, betecknad f 0 (a),
menar man gränsvärdet
f (a + h) − f (a)
h
h→0
lim
under förutsättning att detta gränsvärde existerar. Om
gränsvärdet inte existerar så är funktionen inte deriverbar.
(Obs: Samma gränsvärde kan skrivas på en miljard olika sätt!)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Tolkning
Om funktionen f är deriverbar i punkten a, så är f 0 (a) ett mått
på funktionens förändringstakt i punkten a. Tangenten till
kurvan y = f (x) har då riktningskoefficient f 0 (a) så tangentens
ekvation blir
y − f (a) = f 0 (a)(x − a)
där förstås a, f (a) och f 0 (a) ska vara de tal som gäller för den
funktion och punkt man jobbar med.
Ex: f (x) = x 2 och a = 4. Tangent: y − 16 = 8(x − 4)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Linjär approximation
Att tangenten approximerar funktionskurvan när x ligger nära
punkten a kan då uttryckas som linjär approximation, eller
linjarisering:
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a)
när x ligger nära a.
I detta, och i tolkningen av derivata som funktionens
förändringstakt, ligger att förändringen i funktionens värde är
ungefär derivatan gånger förändringen i variabeln. Exempel:
Om derivatan i en punkt är 3 så betyder det att om man flyttar
variabeln ett litet stycke från punkten, så blir förändringen i
funktionens värde ungefär 3 gånger variabelns förändring.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Olika skrivsätt
Olika beteckningar för derivatan av f med avseende på
variabeln x:
f 0 (x)
df
dx
(Df )(x)
Ibland används också beteckningen
df för
dx x=3
f 0 (3)
Om f beror på flera variabler skriver man ofta
Lars Filipsson
∂f
∂x
SF1625 Envariabelanalys
En viktig sats
Sats
Om funktionen f är deriverbar i punkten a så är f automatiskt
också kontinuerlig i a.
Bevis:
För h 6= 0 gäller att
f (a + h) − f (a)
·h
h
och om f är deriverbar i a så går högerledet mot f 0 (a) · 0 = 0
när h → 0. Dvs f (a + h) → f (a) när h → 0 vilket betyder att f är
kontinuerlig i a.
f (a + h) − f (a) =
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Ett viktigt exempel
Exempel
Funktionen f som ges av f (x) = |x| är kontinuerlig i alla x, men
är inte deriverbar i punkten x = 0. På grafen syns detta i att den
har en spets i origo.
Kontinuerliga funktioner måste alltså inte vara deriverbara.
(obs att f i exemplet ovan är deriverbar i alla punkter utom 0)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Deriveringsregler
Om f och g är deriverbara så gäller
d
(f (x) ± g(x)) = f 0 (x) ± g 0 (x)
dx
d
(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
dx
(produktregeln)
d f (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=
dx g(x)
(g(x))2
(kvotregeln)
d
f ((g(x)) = f 0 (g(x))g 0 (x)
dx
(kedjeregeln)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Lite tips
Man måste lära sig de vanligaste funktionernas derivator och
man måste bli ruggigt bra på att derivera med hjälp av
deriveringsreglerna. Dessutom måste man kunna dra
slutsatser av derivatan. Det gäller att öva mycket på detta! Man
måste också kunna derivera implicit (står i bokens kap 2.9).
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Växande och avtagande
Vi ska nu definiera vad det betyder att en funktion är
strängt växande respektive strängt avtagande.
(Senare kommer vi ofta att använda derivata för att avgöra om
en funktion är växande eller avtagande, men det är inte
derivatan som används i definitionen av dessa begrepp.)
Definition. En funktion sägs vara strängt växande i ett
intervall I om för varje par av punkter x1 , x2 ∈ I gäller att
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Definition. En funktion sägs vara strängt avtagande i ett
intervall I om för varje par av punkter x1 , x2 ∈ I gäller att
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Medelvärdessatsen
Sats. Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så
finns en punkt c mellan a och b sådan att
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Följdsats 1. Om f 0 (x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f
strängt växande i I.
Följdsats 2. Om f 0 (x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f
strängt avtagande i I.
Följdsats 3. Om f 0 (x) = 0 för alla x i ett intervall I, så är f
konstant i I.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Högre ordningens derivator
Derivatan till en funktion f är en ny funktion f 0 som ger
information om hur f växer eller avtar.
Om man deriverar derivatan får man en funktion f 00 som talar
om hur f 0 växer eller avtar.
Andraderivatan f 00 skrivs också ibland
d 2f
.
dx 2
Vanlig tolkning: om f (t) anger positionen vid tiden t så anger
f 0 (t) hastigheten och f 00 (t) accelerationen.
På samma sätt kan man derivera andraderivatan och få en
tredjederivata. Osv.
(Obs: Alla funktioner är förstås inte deriverbara...)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Användning av derivata
Approximation. Linjarisering:
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a)
för x nära a.
Tangent. Tangenten i punkten (a, f (a)) till y = f (x) har ekvation
y = f (a) + f 0 (a)(x − a).
Växande. Om f 0 (x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt
växande i I.
Avtagande. Om f 0 (x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f
strängt avtagande i I.
Konstant. Om f 0 (x) = 0 för alla x i ett intervall I, så är f
konstant i I.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Program nu
1. Vanliga derivator. Vi måste ta fram derivator till de
vanligaste och enklaste elementära funktionerna.
2. Deriveringsregler. Vi måste formulera och bevisa och bli bra
på att använda deriveringsreglerna.
3. Användning. Med hjälp av punkt 1 och 2 ovan kan vi
derivera ”alla” elementära funktioner och använda derivatan för
approximation, växande/avtagande osv.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys