1. No category

Formel- och tabellsamling
för
introduktionskurser
i
statistik
Vårterminen 2000
Anita Jonsson
2
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
DESKRIPTIV STATISTIK
3
SANNOLIKHETSTEORI
4
Sannolikhetslagar
4
Väntevärde och varians:
5
Diskreta standardfördelningar
6
Kontinuerliga standardfördelningar
8
INFERENSTEORI
Konfidensintervall för medelvärden
Konfidensintervall för andelar
TABELLER
9
9
11
12
Tabell 1. Normalfördelningen
12
Tabell 2. t-fördelningen
13
Tabell 3. Poissonfördelningen
14
Tabell 4. Binomialfördelningen
16
3
DESKRIPTIV STATISTIK
Aritmetiskt medelvärde och standardavvikelse i stickprov
n
x=
i =1
xi
(1)
n
n
s = s2 =
i =1
n
(x i − x) 2
n −1
=
i =1
n
n
1 n
( xi )2
n x i2 − ( x i ) 2
n i =1
i =1
i =1
=
n −1
n (n − 1)
x i2 −
(2)
Median och kvartiler
Medianen är den observation som har rangnummer
n +1
2
(3)
Första kvartilen (q1) är den observation som har rangnummer
(n + 1)
4
(4)
Tredje kvartilen (q3) är den observation som har rangnummer
3(n + 1)
4
(5)
Kvartiler (hinges) och extremvärden vid konstruktion av lådagram (boxplot)
Första kvartilen (q1)beräknas som medianen i nedre hälften av materialet och tredje
kvartilen (q3) beräknas som medianen i övre hälften av materialet. Om antalet
observationer är udda räknas medianen in både i den nedre och den övre hälften av
materialet.
Uteliggarna i ett lådagram definieras som de observationer som ligger på ett avstånd
större än 1.5(q3 - q1) från respektive kvartil.
De avlägsna uteliggarna definieras som de observationer som ligger på ett avstånd
större än 3(q3-q1) från respektive kvartil.
4
SANNOLIKHETSTEORI
Beteckningar:
A = A inträffar
A = A inträffar ej
A ∪ B = A eller B eller båda inträffar
A ∩ B = både A och B inträffar
A B = A inträffar givet att B inträffar (har inträffat)
Sannolikhetslagar
Komplementsatsen:
P(A) = 1 − P(A)
(6)
Additionssatsen för två händelser:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
(7)
Additionssatsen för tre händelser:
P( A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P( A ∩ B) - P( A ∩ C ) - P( B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C )
Betingad sannolikhet:
P(A B) =
P(A ∩ B)
P(B)
(8)
(9)
Snittsannolikhet:
P(A ∩ B) = P(B A) P(A)
(10)
Oberoende händelser:
A och B är oberoende ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B)
(11)
Satsen om total sannolikhet:
P(A) =
P(A Bi )P(Bi )
(12)
Bayes sats:
P(B A) =
P(A B)P(B)
P( A B)P(B) + P ( A B)P(B)
(13)
5
Kombinatorikregler:
Antalet sätt att välja r element ur en given mängd om n element är
a) med återläggning och med hänsyn till ordning
nr
(14)
b) med återläggning och utan hänsyn till ordning
(n + r − 1)!
r!(n − 1)!
(15)
c) utan återläggning och med hänsyn till ordning
n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) =
n!
(n - r)!
(16)
d) utan återläggning och utan hänsyn till ordning
n
n!
=
r
r!(n − r)!
(17)
Väntevärde och varians:
Väntevärde för en stokastisk variabel
µ = E(X) =
x p(x)
µ = E(X) = x f(x) dx
(för diskret variabel)
(18)
(för kontinuerlig variabel)
(19)
Varians för en stokastisk variabel
σ 2 = Var(X) = E ( X − µ ) 2 =
=
( x − µ ) 2 P(x ) =
[
x 2 P(x) −µ 2
]
σ 2 = Var(X) = E ( X − µ ) 2 =
= ( x − µ ) 2 f(x)dx = x 2 f(x)dx − µ 2
(för diskret variabel)
(20)
(för kontinuerlig variabel)
(21)
6
Väntevärde och varians för linjärkombinationer av en stokastisk variabel
E(aX + b) = aE(X) + b = aµ + b
(22)
Var(aX + b) = a 2 Var(X) = a 2σ 2
(23)
Väntevärde för summan av två stokastiska variabler
E(X + Y) = E(X) + E(Y) = µ X + µ Y
(24)
Varians för summan av två oberoende stokastiska variabler
Var(X + Y) = Var (X) + Var(Y) = σ 2X + σ 2Y
(25)
Väntevärde för differensen mellan två stokastiska variabler
E(X − Y) = E(X) − E(Y) = µ X − µ Y
(26)
Varians för differensen mellan två oberoende stokastiska variabler
Var(X − Y) = Var (X) + Var(Y) = σ 2X + σ 2Y
(27)
Väntevärde och varians för medelvärdet av n oberoende stokastiska variabler
med samma väntevärde (µ ) och samma varians (σ2 )
E(X) = µ
Var(X) =
(28)
σ2
n
(29)
Diskreta standardfördelningar
Binomialfördelning
p(x) =
n
x
p x (1 - p) n − x
(30)
E(X) = np
(31)
Var(X) = np(1 - p)
(32)
7
• Om np(1-p) > 10 så gäller approximativt
X∼ N(np, np(1 - p))
P(X ≤ a) ≈ P(Z ≤
=>
a + 0.5 − np
np(1 - p)
(33)
)
• Om n >10 och p < 0.1 så gäller approximativt att
X∼ Po(np)
(34)
Hypergeometrisk fördelning
p(x) =
Np N − Np
x
n−x
(35)
N
n
E(X) = np
(36)
Var(X) = np(1 - p)
• Om
N−n
N −1
(37)
n
< 0.1 så gäller approximativt
N
X∼ Bin(n, p)
• Om np(1 − p)
(38)
N−n
N −1
X∼ N(np, np(1 - p)
• Om
> 10 så gäller approximativt att
N-n
)
N -1
=>
P(X ≤ a) ≈ P(Z ≤
a + 0.5 − np
N-n
np(1 - p)
N -1
)
(39)
n
< 0.1 och n > 10 och p < 0.1 gäller
N
X∼ Po(np)
(40)
Poissonfördelning
p(x) = e − λ
λx
x!
(41)
E(X) = λ
(42)
Var(X) = λ
(43)
8
• Om λ > 15 så gäller approximativt att
X∼ N (λ, λ )
(44)
P(X ≤ a) ≈ P(Z ≤
a + 0.5 − λ
λ
(45)
)
Kontinuerliga standardfördelningar
Normalfördelning
f (x) =
2
2
1
e −( x− µ) /2σ
σ 2π
(46)
E(X) = µ
(47)
Var(X) = σ 2
(48)
X−µ
X ∈ N ( µ ,σ 2 )
σ
= Z ∼N(0,1)
(49)
Likformig fördelning (rektangelfördelning)
f (x) =
1
b−a
E(X) =
om a < x < b
a+b
2
Var(X) =
(50)
(51)
(b − a) 2
12
(52)
Exponentialfördelning
1
f(x) = e − x / β
β
om x ≥ 0
(53)
E(X) = β
(54)
Var(X) = β 2
(55)
9
INFERENSTEORI
Konfidensintervall för medelvärden
• Normalfördelade undersökningsvariabler
Ett stickprov. Konfidensintervall för µ:
x ± zα /2
σ
n
s
n
x ± t n −1,α / 2
(om σ är känd)
(56)
(om σ är okänd)
(57)
Två oberoende stickprov. Konfidensintervall för µ1- µ2
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
( x1 − x 2 ) ± z α / 2
( x1 − x2 ) ± t n1 + n 2 − 2 ,α / 2 s2p (
där
•
1
1
+ )
n1 n 2
(n 1 − 1)s12 + (n 2 − 1)s 22
s =
(n 1 − 1) + (n 2 − 1)
ν=
s12 s 22
+
)
n1 n 2
(58)
(om σ1=σ2=σ och σ är okänd)
2
p
( x 1 − x 2 ) ± t ν ,α / 2 (
där
(om σ1 och σ2 är kända)
(59)
(om σ1 och σ2 är okända och olika)
(s12 / n 1 + s 22 / n 2 ) 2
(s12 / n 1 ) 2 /(n 1 − 1) + (s 22 / n 2 ) 2 /(n 2 − 1)
(60)
Poissonfördelad undersökningsvariabel
Ett stickprov. Konfidensintervall för λ:
x ± zα / 2
x
n
(61)
10
• Undersökningsvariablernas fördelning är okänd men stickproven är stora
Ett stickprov. Konfidensintervall för µ:
x ± zα /2
σ
n
om σ är känd
(62)
x ± zα /2
s
om σ är okänd
n
(63)
Två oberoende stickprov. Konfidensintervall för µ1- µ2
( x1 − x 2 ) ± z α / 2
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
om σ1 och σ2 är kända
(64)
( x1 − x 2 ) ± z α / 2
s12 s22
+
n1 n 2
om σ1och σ2 är okända
(65)
11
Konfidensintervall för andelar
Stora stickprov
Ett stickprov. Konfidensintervall för p:
p ± z α/2
p(1 − p)
n
(76)
Två stickprov. Konfidensintervall för p1-p2:
(p1 − p 2 ) ± z α /2
p 1 (1 − p 1 ) p 2 (1 − p 2 )
+
n1
n2
(77)
12
TABELLER
Tabell 1. Normalfördelningen
P( Z ≤ z ) där Z ∈ N (0, 1)
För negativa värden på z: Utnyttja att P( Z ≤ -z ) = P(Z ≥ z )
z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
0.5
0.6
0.7
0.8
09
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
7190
7517
.7823
.8106
.8365
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
.97725
.98214
.98610
.98928
.99180
.97778
.98214
.98645
.98956
.99202
.97831
.98300
.98679
.98983
.99224
.97882
.98341
.98713
.99010
.99245
.97932
.98382
.98745
.99036
.99266
.97982
.98422
.98778
.99061
.99286
.98030
.98461
.98809
.99086
.99305
.98077
.98500
·98840
.99111
.99324
.98124
.98537
.98870
.99134
.99343
.98169
.98574
.98899
.99158
.99361
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
.99379
.99534
.99653
.99744
.99813
.99396
.99547
.99664
.99752
.99819
.99413
.99560
.99674
.99760
.99825
.99430
.99573
.99683
.99767
.99831
.99446
.99585
.99693
.99774
.99836
.99461
.99598
.99702
.99781
.99841
.99477
.99609
.99711
.99788
.99846
99492
.99621
.99720
.99795
.99851
.99506
.99632
.99728
.99801
.99856
.99520
.99643
.99736
.99807
.99861
3.0
.99865
3.1
.99903
3.2
.99931
3.3
.99952
3.4
.99966
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
·99977
.99984
·99989
·99993
.99995
.
Normalfördelningenvissa givna α-värden
α
zα
α
zα
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
1.2816
1.6449
1.9600
2.3263
2.5758
0.001
0.0005
0.0001
0.00005
0.00001
3.0902
3.2905
3 7190
3 8906
4.2649
13
Tabell 2. t-fördelningen
P(X > t f,α ) = α där X ∈ t f
α
f
1
2
3
4
5
0.10
3.08
1.89
1.64
1.53
1.48
0.05
6.31
2.92
2.35
2.13
2.02
0.025
0.01
0.005
0.001
0.0005
12.71
4.30
3.18
2.78
2.57
31.82
5.96
4.54
3.75
3.36
63.66
9.92
5.84
4.60
4.03
318.31
22.33
10.21
7.17
5.89
636.61
31.60
12.92
8.61
6.87
6
7
8
9
10
1.44
1.41
1.40
1.38
1.37
1.94
1.89
1.86
1.83
1.81
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
3.14
3.00
2.90
2.82
2.76
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
5.21
4.79
4.50
4.30
4.14
5.96
5.41
5.04
4.78
4.59
11
12
13
14
15
1.36
1.36
1.35
1.34
1.34
1.80
1.78
1.77
1.76
1.75
2.20
2.18
2.16
2.14
2.13
2.72
2.68
2.65
2.62
2.60
3.11
3.05
3.01
2.98
2.95
4.02
3.93
3.85
3.79
3.73
4.44
4.32
4.22
4.14
4.07
16
17
18
19
20
1.34
1.33
1.33
1.33
1.33
1.75
1.74
1.73
1.73
1.72
2.12
2.11
2.10
2.09
2.09
2.58
2.57
2.55
2.54
2.53
2.92
2.90
2.88
2.86
2.85
3.69
3.65
3.61
3.58
3.55
4.02
3.97
3.92
3.88
3.85
21
22
23
24
25
1.32
1.32
1.32
1.32
1.32
1.72
1.72
1.71
1.71
1.71
2.08
2.07
2.07
2.06
2.06
2.52
2.51
2.50
2.49
2.49
2.83
2.82
2.81
2.80
2.79
3.53
3.51
3.48
3.47
3.45
3.82
3.79
3.77
3.75
3.73
26
27
28
29
30
1.32
1.31
1.31
1.31
1.31
1.71
1.70
1.70
1.70
1.70
2.06
2.05
2.05
2.05
2.04
2.48
2.47
2.47
2.46
2.46
2.78
2.77
2.76
2.76
2.75
3.44
3.42
3.41
3.40
3.39
3.71
3.69
3.67
3.66
3.65
40
60
120
∞
1.30
1.30
1.29
1.28
1.68
1.67
1.66
1.64
2.02
2.00
1.98
1.96
2.42
2.39
2.36
2.33
2.70
2.66
2.62
2.58
3.31
3.23
3.16
3.09
3.55
3.46
3.37
3.29
14
Tabell 3. Poissonfördelningen
P(X ≤ x ) där X ∈ Po (µ)
µ
x
0
l
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
.90484
.99532
.99985
1.00000
.81873
.98248
.99885
.99994
1.00000
.74082
.96306
.99640
.99973
.99998
.67032
.93845
.99207
.99922
.99994
.60653
.90980
.98561
.99825
.99983
.54881
.87810
.97688
.99664
.99961
.49659
.84420
.96586
.99425
.99921
.44933
.80879
.95258
.99092
.99859
.40657
.77248
.93714
.98654
.99766
1.00000
1.00000
.99999
1.00000
.99996
1.00000
.99991
.99999
1.00000
.99982
.99998
1.00000
.99966
.99996
1.00000
5
6
7
µ
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
.36788
.73576
.91970
.98101
.99634
.30119
.66263
.87949
.96623
.99225
.24660
.59183
.83350
.94627
.98575
.20190
.52493
.78336
.92119
.97632
.16530
.46284
.73062
.89129
.96359
.13534
.40601
.67668
.85712
.94735
.11080
.35457
.62271
.81935
.92750
.09072
.30844
.56971
.77872
.90413
.07427
.26738
.51843
.73600
.87742
.99941
.99992
.99999
1.00000
.99850
.99975
.99996
1.00000
.99680
.99938
.99989
.99998
1.00000
.99396
.99866
.99974
.99995
.99999
.98962
.99743
.99944
.99989
.99998
.98344
.99547
.99890
.99976
.99995
.97509
.99254
.99802
.99953
.99990
.96433
.98841
.99666
.99914
.99980
.95096
.98283
.99467
.99851
.99962
1.00000
1.00000
.99999
1.00000
.99998
1.00000
.99996
.99999
1.00000
.99991
.99998
1.00000
10
11
12
µ
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
x
0
1
2
3
4
.06081
.23108
.46945
.69194
.84768
.04979
.19915
.42319
.64723
.81526
.04076
.17120
.37990
.60252
.78061
.03337
.14684
.33974
.55836
.74418
.02732
.12569
.30275
.51522
.70644
.02237
.10738
.26890
.47348
.66784
.01832
·09158
.23810
.43347
.62884
.01500
.07798
.21024
.39540
.58983
.01228
.06630
.18514
.35945
.55118
5
6
7
8
9
.93489
.97559
.99187
.99757
.99934
.91608
.96649
.98810
.99620
.99890
.89459
.95538
.98317
.99429
.99824
.87054
.94215
.97693
.99171
.99729
.84412
.92673
.96921
.98833
.99598
.81556
.90911
.95989
.98402
.99420
.78513
.88933
.94887
.97864
.99187
.75314
.86746
.93606
.97207
.98887
.71991
.84365
.92142
.96420
.98511
10
11
12
13
14
.99984
.99996
.99999
l.00000
.99971
.99993
.99998
l.00000
.99950
.99987
.99997
.99999
1.00000
.99919
.99978
.99994
.99999
1.00000
.99873
.99963
.99990
.99997
.99999
.99807
.99941
.99983
.99996
.99999
.99716
.99908
.99973
.99992
.99998
.99593
.99863
.99957
.99987
.99997
.99431
.99799
.99934
.99980
.99994
l.00000
1.00000
l.00000
.99999
1.00000
.99998
1.00000
l5
16
15
Tabell 3 (fortsättning)
µ
4.6
4.8
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
x
0
1
2
3
4
.01005
.05629
.16264
.32571
.51323
.00823
.04773
.14254
.29423
.47626
.00674
.04043
.12465
.26503
.44049
.00409
.02656
.08838
.20170
.35752
.00248
.01735
.06197
.15120
.28506
.00150
.01128
.04304
.11185
.22367
.00091
.00730
.02964
.08177
.17299
.00055
.00470
.02026
.05915
.13206
.00034
.00302
.01375
.04238
.09963
5
6
7
8
9
.68576
.81803
.90495
.95493
.98047
.65101
.79080
.88667
.94418
.97486
.61596
.76218
.86663
.93191
.96817
.52892
.68604
.80949
.89436
.94622
.44568
.60630
.74398
.84724
.91608
.36904
.52652
.67276
.79157
.87738
.30071
.44971
.59871
.72909
.83050
.24144
.37815
.52464
.66197
.77641
.19124
.31337
.45296
.59255
.71662
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
.99222
.99714
.99902
.99969
.99991
.99997
.99999
1.00000
.98958
.99601
.99858
.99953
.99985
.99996
.99999
1.00000
.98630
.99455
.99798
.99930
.99977
.99993
.99998
.99999
1.00000
.97475
.98901
.99555
.99831
.99940
.99980
.99994
.99998
.99999
1.00000
.95738
.97991
.99117
.99637
.99860
.99949
.99983
.99994
.99998
.99999
.93316
.96612
.98397
.99290
.99704
.99884
.99957
.99985
.99995
.99998
.90148
.94665
.97300
.98719
.99428
.99759
.99904
.99964
.99987
.99996
.86224
.92076
.95733
.97844
.98974
.99539
.99804
.99921
.99970
.99989
.81589
.88808
.93620
.96582
.98274
.99177
.99628
.99841
.99935
.99975
.99999
1.00000
.99996
.99999
1.00000
.99991
.99997
.99999
1.00000
20
21
22
23
1.00000 1.00000
16
Tabell 4. Binomialfördelningen
P(X ≤ x) där X ∈ Bin (n, p)
För p > 0.5, utnyttja att P(X ≤ x) = P(Y ≥ n-x) där Y ∈ Bin (n, 1-p)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
n
2
x
0
1
p
.90250
.99750
.81000
.99000
.72250
.97750
.64000
.96000
.56250
.93750
.49000
.91000
.36000
.84000
.25000
.75000
3
0
1
2
.85738
.99275
.99988
.72900
.97200
.99900
.61413
.93925
.99663
.51200
.89600
.99200
.42188
.84375
.98438
.34300
.78400
.97300
.21600
.64800
.93600
.12500
.50000
.87500
4
0
1
2
3
.81451
.98598
.99952
.99999
.65610
.94770
.99630
.99990
.52201
.89048
.98802
.99949
.40960
.81920
.97280
.99840
.31641
.73828
.94922
.99609
.24010
.65170
.91630
.99190
.12960
.47520
.82080
.97440
.06250
.31250
.68750
.93750
5
0
1
2
3
4
.77378
.97741
.99884
.99997
1.00000
.59049
.91854
.99144
.99954
.99999
.44371
.83521
.97339
.99777
.99992
.32768
.73728
.94208
.99328
.99968
.23730
.63281
.89648
.98438
.99902
.16807
.52822
.83692
.96922
.99757
.07776
.33696
.68256
.91296
.98976
.03125
.18750
.50000
.81250
.96875
6
0
1
2
3
4
5
.73509
.96723
.99777
.99991
1.00000
1.00000
.53144
.88573
.98415
.99873
.99994
1.00000
.37715
.77648
.95266
.99411
.99960
.99999
.26214
.65536
.90112
.98304
.99840
.99994
.17798
.53394
.83057
.96240
.99536
.99976
.11765
.42018
.74431
.92953
.98907
.99927
.04666
.23328
.54432
.82080
.95904
.99590
.01563
.10938
.34375
.65625
.89063
.98438
7
0
1
2
3
4
5
6
.69834
.95562
.99624
.99981
.99999
1.00000
1.00000
.47830
.85031
.97431
.99727
.99982
.99999
1.00000
.32058
.71658
.92623
.98790
.99878
.99993
1.00000
.20972
.57672
.85197
.96666
.99533
.99963
.99999
.13348
.44495
.75641
.92944
.98712
.99866
.99994
.08235
.32942
.64707
.87396
.97120
.99621
.99978
.02799
.15863
.41990
.71021
.90374
.98116
.99836
.00781
.06250
.22656
.50000
.77344
.93750
.99219
8
0
1
2
3
4
5
6
7
.66342
.94276
.99421
.99963
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
.43047
.81310
.96191
.99498
.99957
.99998
1.00000
1.00000
.27249
.65718
.89479
.97865
.99715
.99976
.99999
1.00000
.16777
.50332
.79692
.94372
.98959
.99877
.99992
1.00000
.10011
.36708
.67854
.88618
.97270
.99577
.99962
.99998
.05765
.25530
.55177
.80590
.94203
.98871
.99871
.99993
.01680
.10638
.31539
.59409
.82633
.95019
.99148
.99934
.00391
.03516
.14453
.36328
.63672
.85547
.96484
.99609
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
.63025
.92879
.99164
.99936
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.38742
.77484
.94703
.99167
.99911
.99994
1.00000
1.00000
1.00000
.23162
.59948
.85915
.96607
.99437
.99937
.99995
1.00000
1.00000
.13422
.43621
.73820
.91436
.98042
.99693
.99969
.99998
1.00000
.07508
.30034
.60068
.83427
. 95107
.99001
.99866
.99989
1.00000
.04035
.19600
.46283
.72966
.90119
.97471
.99571
.99957
.99998
.01008
.07054
.23179
.48261
.73343
.90065
.97497
.99620
.99974
.00195
.01953
.08984
.25391
.50000
.74609
.91016
.98047
.99805
17
Tabell 4 (fortsättning)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
n
10
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p
.59874
.91386
.98850
.99897
.99994
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.34868
.73610
.92981
.98720
.99837
.99985
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
.19687
.54430
.82020
.95003
.99013
.99862
.99987
.99999
1.00000
1.00000
.10737
.37581
.67780
.87913
.96721
.99363
.99914
.99992
1.00000
1.00000
.05631
.24403
.52559
.77588
.92187
.98027
.99649
.99958
.99997
1.00000
.02825
.14931
.38278
.64961
.84973
.95265
.98941
.99841
.99986
.99999
.00605
.04636
.l6729
.38228
.63310
.83376
.94524
.98771
.99832
.99990
.00098
.01074
.05469
.17188
.37695
.62305
.82813
.94531
.98926
.99902
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.56880
.89811
.98476
.99845
.99989
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.31381
.69736
.91044
.98147
.99725
.99970
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.16734
.49219
.77881
.93056
.98411
.99734
.99968
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
.08590
.32212
.61740
.83886
.94959
.98835
.99803
.99976
.99998
1.00000
1.00000
.04224
.19710
.45520
.71330
.88537
.96567
.99244
.99881
.99987
.99999
1.00000
.01977
.11299
.31274
.56956
.78970
.92178
.97383
.99571
.99942
.99995
1.00000
.00363
.03023
.11892
.29628
.53277
.75350
.90065
.97072
.99408
.99927
.99996
.00049
.00586
.03271
.11328
.27441
.50000
.72559
.88672
.96729
.99414
.99951
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
.54036
.88164
.98043
.99776
.99982
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.28243
.65900
.88913
.97436
.99567
.99946
.99995
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.14224
.44346
.73582
.90779
.97608
.99536
.99933
.99993
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
.06872
.27488
.55835
.79457
.92744
.98059
.99610
.99942
.99994
1.00000
1.00000
1.00000
.03168
.15838
.39068
.64878
.84236
.94560
.98575
.99722
.99961
.99996
1.00000
1.00000
.01384
.08503
.25282
.49252
.72366
.88215
.96140
.99051
.99831
.99979
.99998
1.00000
.00218
.01959
.08344
.22534
.43818
.66521
.84179
.94269
.98473
.99719
.99968
.99998
.00024
.00317
.01929
.07300
.19385
.38721
.61279
.80615
.92700
.98071
.99683
.99976
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
.51334
.86458
.97549
.99690
.99971
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.25419
.62134
.86612
.96584
.99354
.99908
.99990
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.12091
.39828
.69196
.88200
.96584
.99247
.99873
.99984
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.05498
.23365
.50165
.74732
.90087
.96996
.99300
.99875
.99983
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
.02376
.l2671
.33260
.58425
.79396
.91979
.97571
.99435
.99901
.99987
.99999
1.00000
1.00000
.00969
.06367
.20248
.42061
.65431
.83460
.93762
.98178
.99597
.99935
.99993
1.00000
1.00000
.00131
.01263
.05790
.16858
.35304
.7440
.77116
.90233
.96792
.99221
.99868
.99986
.99999
.00012
.00171
.01123
.04614
.13342
.29053
.50000
.70947
.86658
.95386
.98877
.99829
.99988
18
Tabell 4 (fortsättning)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
n
14
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
p
.48767
.84701
.96995
.99583
.99957
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.22877
.58463
.84164
.95587
.99077
.99853
.99982
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.10277
.35667
.64791
.85349
.95326
.98847
.99779
.99967
.99996
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.04398
.19791
.44805
.69819
.87016
.95615
.98839
.99760
.99962
.99995
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.01782
.10097
.28113
.52134
.74153
.88833
.96173
.98969
.99785
.99966
.99996
1.00000
1.00000
1.00000
.00678
.04748
.16084
.35517
.58420
.78052
.90672
.96853
.99171
.99833
.99975
.99997
1.00000
1.00000
.00078
.00810
.03979
.12431
.27926
.48585
.69245
.84986
.94168
.98249
.99609
.99939
.99994
1.00000
.00006
.00092
.00647
.02869
.08978
.21198
.39526
.60474
.78802
.91022
.97131
.99353
.99908
.99994
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
.46329
.82905
.96380
.99453
.99939
.99995
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.20589
.54904
.81594
.94444
.98728
.99775
.99969
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.08735
.31859
.60423
.82266
.93829
.98319
.99639
.99939
.99992
.99999
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
.03518
.16713
.39802
.64816
.83577
.93895
.98194
.99576
.99922
.99989
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.01336
.08018
.23609
.46129
.68649
.85163
.94338
.98270
.99581
.99921
.99988
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
.00475
.03527
.12683
.29687
.51549
.72162
.86886
.94999
.98476
.99635
.99933
.99991
.99999
1.00000
1.00000
.00047
.00517
.02711
.09050
.21728
.40322
.60981
.78690
.90495
.96617
.99065
.99807
.99972
.99997
1.00000
.00003
.00049
.00369
.01758
.05923
.15088
.30362
.50000
.69638
.84912
.94077
.98242
.99631
.99951
.99997
16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
.44013
.81076
.95706
.99300
.99914
.99992
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.18530
.51473
.78925
.93159
.98300
.99670
.99950
.99994
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.07425
.28390
.56138
.78989
.92095
.97646
.99441
.99894
.99984
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.02815
.14074
.35184
.59813
.79825
.91831
.97334
.99300
.99852
.99975
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.01002
.06348
.19711
.40499
.63019
.81035
.92044
.97287
.99253
.99836
.99971
.99996
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.00332
.02611
.09936
.24586
.44990
.65978
.82469
.92565
.97433
.99287
.99843
.99973
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
.00028
.00329
.01834
.06515
.16657
.32884
.52717
.71606
.85773
.94168
.98086
.99510
.99906
.99987
.99999
1.00000
.00002
.00026
.00209
.01064
.03841
.10506
.22725
.40181
.59819
.77275
.89494
.96159
98936
.99791
.99974
.99998
19
Tabell 4 (fortsättning)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
n
17
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
p
.41812
.79223
.94975
.99120
.99884
.99988
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
.16677
.48179
.76180
.91736
.97786
.99533
.99922
.99989
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.06311
.25245
.51976
.75561
.90129
.96813
.99172
.99826
.99970
.99996
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.02252
.11822
.30962
.54888
.75822
.89430
.96234
.98907
.99742
.99951
.99992
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
.00752
.05011
.16370
.35302
.57389
.76531
.89292
.95976
.98762
.99690
.99937
.99990
.99999
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
.00233
.01928
.07739
.20191
.38869
.59682
.77522
.89536
.95972
.98731
.99676
.99934
.99990
.99999
1.00000
l.00000
1.00000
.00017
.00209
.01232
.04642
.12600
.26393
.44784
.64051
.80106
.90810
.96519
.98941
.99748
.99955
.99994
l.00000
1.00000
.00001
.00014
.00117
.00636
.02452
.07173
.16615
.31453
.50000
.68547
.83385
.92827
.97548
.99364
.99883
.99986
.99999
18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
.39721
.77352
.94187
.98913
.99845
.99983
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.15009
.45028
.73380
.90180
.97181
.99358
.99883
.99983
.99998
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.05365
.22405
.47966
.72024
.87944
.95810
.98818
.99728
.99949
.99992
.99999
l.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.01801
.09908
.27134
.50103
.71635
.86708
.94873
.98372
.99575
.99909
.99984
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
l.00000
.00564
.03946
.13531
.30569
.51867
.71745
.86102
.94305
.98065
.99458
.99876
.99977
.99997
1.00000
1.00000
1.00000
l.00000
1.00000
.00163
.01419
.05995
.16455
.33265
.53438
.72170
.85932
.94041
.97903
.99393
.99857
.99973
.99996
1.00000
l.00000
l.00000
1.00000
.00010
.00132
.00823
.03278
.09417
.20876
.37428
.56344
.73684
.86529
.94235
.97972
.99425
.99872
.99979
.99997
l.00000
1.00000
.00000
.00007
.00066
.00377
.01544
.04813
.11894
.24034
.40726
.59274
.75966
.88106
.95187
.98456
.99623
.99934
.99993
1.00000
19
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
.37735
.75471
.93345
.98676
.99799
.99976
.99998
1.00000
l.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.13509
.42026
.70544
.88500
.96481
.99141
.99830
.99973
.99996
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.04560
.19849
.44132
.68415
.85556
.94630
.98367
.99592
.99916
.99986
.99998
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.01441
.08287
.23689
.45509
.67329
.83694
.93240
.97672
.99334
.99842
.99969
.99995
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.00423
.03101
.11134
.26309
.46542
.66776
.82512
.92254
.97125
.99110
.99771
.99952
.99992
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.00114
.01042
.04622
.13317
.28222
.47386
.66550
.81803
.91608
.96745
.98946
.99718
.99938
.99989
.99999
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
.00006
.00083
.00546
.02296
.06961
.16292
.30807
.48778
.66748
.81391
.91153
.96477
.98844
.99693
.99936
.99990
.99999
1.00000
1.00000
.00000
.00004
.00036
.00221
.00961
.03178
.08353
.17964
.32380
.50000
.67620
.82036
.91647
.96822
.99039
.99779
.99964
.99996
1.00000