HH/ITE/BN
Tillämpad Matematik I, Övning 3
1
Tillämpad Matematik I
Övning 3
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är
du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp
samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och
Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en
inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många
lösta exempel.
Uppgifter
Typuppgifter i första hand
1. Bestäm f ' x då f x är x2 , x3
2. Bestäm f ' x då f x är 4
x, x5 3 , sin x
x 2 , sin 5x ,
3. Bestäm f ' x då f x är x sin x ,
2Π,
1
4 2x
x
x
,
x 1 cos x
,
x3
x2
,
x
, ln 3x ,
2x
3
4 2x
x2
4. Bestäm största och minsta värde till f x
3
9
x
7x ,
, ln4x2
x,
, ln x ,
8 4 respektive sin x
cos x , x
cos 6x respektive 2x
x,
2x i intervallet
7x
ln 2x , cos2 6x ,
Π.
8 4.
2x
sin 4x , sin x  respektive x2 2x
2, 1 .
5. Sök ekvationer för tangenten och normalen till y,yT ,yN
kurvan y
x i den punkt på kurvan som har
1
x–koordinaten lika med 4 .
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
6. Vilket värde har
y
x
då x
1
tan t
, y
sin 4t och t
Π
?
3
Ledning: Kedjeregeln!
3x3 y2
''
''
''
, f yx
och f yy
i punkten 3, 1 då f x, y
7. Bestäm fx , f y , fxx'' , fxy
8. Bestäm y' i punkten 1, 2 då 4x y2
9. Sök
y
x
i punkten x
2, y
12x y
1 på kurvan x2 y
10. En räv promenerar längs stigen x
då x 0, y 1 och x 4.
y3
13
x
xy
och i 2, Π då f x, y
5x.
2sinΠ y2 
2x.
y
1. Sök y
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
0.5
11. Låt V och A vara volymen respektive arean för ett klot. Sök
som funktion av A. Ledning: Vklot
x
4Πr3
3
, Aklot
4Πr2 .
V
A
0.5
1.0
x
xsin x
y2cos 2x y .
8 4.
2
Tillämpad Matematik I, Övning 3
12. En vattentank läcker så att volymen i m3 är V t 250 4t2 ,
där tiden t mäts i sekunder. Sök volymflödet ur tanken då t 2 s
samt precis då den blir tom.
13. Om t mäts i sekunder ges läget för en bil av
uttrycket s t
1
tt2
4
2t m. Sök läge,
hastighet och acceleration då t
4 s.
14. Enligt Newton är kraften F
mx. Bestäm erforderlig kraft då
massan 5 kg svänger enligt x t
1
sin4t
100
Π
 m.
4
15. Vid medicinering mot transpirationsproblem är det viktigt att uppskatta
arean av patientens hud. Mosteller har föreslagit modellen S
2,
där S är hudarean i m c
1
,
6
c mh ,
m patientens vikt i kg och h längden i m.
a Ange enheten på konstanten c.
b En patient med längden 180 cm håller diet. Vikten rasar med 1 kg vecka.
Med vilken hastighet minskar arean på huden då patienten väger 110 kg?
rt
16. En investering I0 i $ tillväxer med räntan r enligt I t I0 100 . Bland
finansfolk brukar man höra ''69 regeln '' som innebär att tiden T till dess att
en investering fördubblat sitt värde är ungefär T
69
. Ge ett stöd för detta
r
17. För en viss typ av gas gäller sambandet pV 2 18
mellan tryck och volym. Bestäm p då p 2, V 3
och V
6.
18. Under en arbetsdag med grävskopan ökar volymen av
en konformad grushög med
radien r
2, höjden h
tidpunkt. Ledning: Vkon
V
t
2 och
9Π. Vid en tidpunkt var
r
t
3. Sök
h
t
vid denna
1
Πr2h.
3
19. Ur en sfärisk ballong strömmar luft med konstant
flöde 300 cm3 min. Med vilken hastighet minskar
radien då den är 5 cm? Ledning: Vsfär
4
Πr3 .
3
20. I en rak cirkulär kon enligt figur rinner vatten med
flödet 5 cm3 min ut genom en öppning i spetsen. Sök
och
y
t
då djupet y
9 cm. Ledning: Vkon
1
Πr2h.
3
r
t
HH/ITE/BN
HH/ITE/BN
Tillämpad Matematik I, Övning 3
3
21. En rektangel med basen x är inskriven i en cirkel med
radien 2. Sök x då rektangelns area är maximal.
x
22. En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea
av 5 m2 . Sök sidan x på den kvadratiska bottnen så att lådans
volym blir maximal.
23. Av ett snöre med längden L formas en rektangel
som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en
cylinder bildas. Hur stor volym kan en sådan
cylinder ha ?
24. I en halvcirkel med radien 2 är en parallelltrapets
inskriven enligt figur. Sök Θ så att parallelltrapetsens
area blir så stor som möjligt
25. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln Θ, radien r
och båglängden b har omkretsen 1. Sök Θ så att arean
blir maximal.
b
r
q
B
26. I triangeln ABC är sidorna BA och BC lika långa. Punkten D
ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet mellan D
och E är alltid konstant L. Hur stor kan en sådan triangel bli ?
E
L
A
27. I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen
till ett motstående hörn konstant L. Hur stor kan en sådan
rektangel bli ?
28. Sök minsta avståndet L från
punkten 0, 1 till kurvan y x2 .
L
y
1.0
0.8
0.6
L
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
29. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven
enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean
är maximal.
x
6
8
D
C
4
Tillämpad Matematik I, Övning 3
30. En stege med längden L lutas mot en vägg. Hur långt ut från
väggen ska dess kontaktpunkt med marken vara för att en så
lång person som möjligt ska kunna gå under stegen på
avståndet
L
4
y
L
från väggen?
hmax ?
L4
31. Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med
given volym V . Bestäm radie och höjd i den burk som kräver
minst materialåtgång, det vill säga har minst total area.
32. Bestäm maximala volymen för en cylindrisk konservburk
om totala arean är konstant A.
33. Bestäm maximala volymen för en öppen cirkulär kon
med given mantelyta A. Ledning: Vkon
1
Πr2h.
3
34. En leverantör av nypon behöver hyra in arbetare för att plocka
rent sina 900 buskar.Varje arbetare kan plocka rent 5 buskar h och
avlönas med 50 kr h. Leverantören måste även betala en förman
med 75 kr h samt en fast kostnad på 80 kr arbetare. Hur många
arbetare ska leverantören hyra in för att minimera sin kostnad ?
35. En raket skjuts iväg rakt upp. På avståndet 3 mil från uppskjutningsplatsen
noterar en radarstation att vid en viss tidpunkt är avståndet 5 mil till raketen samt
att detta avstånd ökar med 40 mil h. Sök raketens hastighet v vid denna tidpunkt.
36. En person iaktar ett flygplan som flyger på konstant höjd 4000 m. Vid
detta tillfälle var elevationsvinkeln Θ 30 och dess ändringshastighet
Θ
0.01 rad s. Sök plantets hastighet.
HH/ITE/BN
x
HH/ITE/BN
Tillämpad Matematik I, Övning 3
5
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid
37. Bestäm f ' x då f x är x2 x , cos x3
38. Bestäm f ' x då f x är 4
cos x
39. Bestäm f ' x då f x är xsin x2 ,
x2 2x
2
x,x
53
1
, tan2 5x ,
,
,
8
3
x
, ln 3x
1 x
x2
1
,
x 1 cos 3x
2x
, sin
x
1 x
,
x2 2
x
x
, ln x
2 ln x
,
x2 ,
4x
, cos3 3x respektive 7
7x
7x
, ln ln x ,
ln 2x , cos2
8x2 4 .
40. Bestäm f '' x då f x
x3cos 2x .
41. Bestäm y' x i punkten Π, 2 om x sin Π y3
42. Bestäm f ' x då f x
y sin x
0.
2x .
43. Sök ekvationer för tangenten och normalen y,yT ,yN
till kurvan y x4 2 i den punkt på kurvan som 2.25
har x
1
.
2
2.20
2.15
2.10
2.05
0.3
44. En partikel rör sig längs kurvan cos x y
y
0.4
0.5
1. Sök x då x
Π
,
2
0.6
0.7
y
1 och y
45. Från ett rektangulärt pappersark skär
man bort en kvadrat med sidan x från varje
hörn. Resten av pappersarket viks till en
öppen låda. Sök x som gör lådans volym
så stor som möjligt
46. I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt
figur. Sök x så att arean av detta blir så stor som möjligt.
x
47. I en cirkel med radien r är tre radier och en korda
Π
dragna enligt figur. Sök Α, 0 Α 2 , så att arean
av den färglagda triangeln blir så stor som möjligt.
Α
48. Bestäm maximala volymen för en öppen cirkulär kon
med generatrisens längd lika med S. Ledning: Vkon
1 2
Πr h.
3
, tan x , 3x
x
4.
1
x
,
2x
x
8 4 respektive tan Πx .
8 4.
tan 4x , sin
x3
respektive
6
Tillämpad Matematik I, Övning 3
49. Bestäm minimala begränsningsytan för en sluten cirkulär
kon med given volym V . Ledning: Vkon
1 2
Πr h.
3
Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls
50. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven
enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean
är maximal.
6
8
51. Två cirklar med radierna r och R r är placerade på
centrumavståndet a. De belyses med en lampa placerad
på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Sök
lampans positionen x i förhållande till cirkeln med radien r
så att den sammanlagda längden av de två bågarna som är
belysta blir så lång som möjligt.
52. I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven
enligt figur. Sök Α så att arean av denna blir så stor som
möjligt.
53. Visa att om f x, y
''
g x h y , så är f fxy
fx f y .
2Α
HH/ITE/BN