Kurskod: 9GMA01 Provkod: STN2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Dugga 2 i Algebra 2015-11-14 kl 8-12 Inga hjälpmedel är tillåtna. Lösningarna skall vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna och avslutade med ett svar. Svaren ska förstås ges på så enkel form som möjligt. Uppgifterna bedöms med 0-3 poäng. För godkänt betyg räcker 9 poäng. Poängen på godkända duggor summeras och avgör slutbetyget. Svar m m finns att hämta på kurshemsidan efter tentamens slut. Resultat meddelas via e-brev. Lycka till! √ 1. (a) Skriv z = 3 − i 3 på polär form. 2x − 5 2x − 1 (b) För vilka x gäller olikheten ≥ ? x−2 x+2 (1 p) (2 p) 2. (a) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt (−3, 2) och som går genom punkten (2, −1). (1 p) (b) Lös ekvationen (2 − y)−1 = 2−1 + y −1 . (c) Bestäm, med hjälp av kvadratkomplettering, det största värdet av (1 p) e8x e4 ex2 π π 3. (a) Finn alla reella lösningar till ekvationen cos 3x − = cos −x . 5 3 !! 6π (b) Beräkna arccos cos . 5 !! 2 . (c) Beräkna tan arcsin 3 4. (a) Förenkla uttrycket e2 ln 3 − e− ln 3 . 2 så långt som möjligt. eln 32 + (e− ln 3 ) 1 − ln (1 − x) = ln 2. (b) Lös ekvationen 2 ln x + 2 √ √ 5. Lös ekvationen 3 cos 5v = 3 − sin 5v. r x+1 6. Betrakta funktionen f (x) = . Bestäm, om möjligt, inversen f −1 samt definitions2−x och värdemängd för f och f −1 . (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (2 p) (3 p) (3 p) 7. Visa att om a och z är komplexa tal och om |a| < 1 så är z−a < 1. |z| < 1 ⇐⇒ 1 − āz (3 p)