1. No category

S T E FA N B . L I N D S T R Ö M | U P P L A G A 2 - β
PROBLEMSAMLING
S TAT I K O C H
PA R T I K E L D Y N A M I K
Problemsamling: Statik och partikeldynamik
Lindström, Stefan B.
upplaga 2-β
c 2015 Stefan B. Lindström
Copyright Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För
att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men
ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder:
Du har tillstånd: Att dela — att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella
ändamål. På följande villkor: Erkännande — Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det
sätt de anger. Inga bearbetningar — Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga
förutsättningar: Undantag — Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public
Domain — Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas
denna status inte på något sätt av licensen. Notera — Vid all återanvändning och distribution måste du
informera om licensvillkoren som gäller för verket.
Innehåll
1
2
A
5
Statik
1.1
Statisk jämvikt
1.2
Masscentrum och tyngdpunkt
1.3
Friktion
Partikeldynamik
17
2.1
Plan kinematik
2.2
Kinetik
2.3
Energimetoder
2.4
Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
2.5
Stötar
2.6
Svängningar
Facit
41
A.1 Statik
A.2 Partikeldynamik
1
Statik
1.1
Statisk jämvikt
Jämvikt i planet
Problem 1. Två partiklar, A och B, med massorna mA
respektive mB är förbundna med en snörstump. Partikel A är förbunden med en vägg via ett annat snöre,
som löper över en friktionsfri trissa. Bestäm snörkrafterna SAB , SAC och SCD mellan de punkter som framgår av
indexeringen.
Problem 3. Ett klot med massan m vilar mot två friktionsfria vinklade ytor enligt figuren. Beräkna beloppen
för normalkrafterna vid A respektive B.
Problem 4. En smal krokiga stång har en jämnt fördelad massa m = 90 kg. Två krafter F1 = 2,5 kN och F2 =
1,2 kN, samt ett kraftparsmoment C = 3,0 kN·m verkar
på stången enligt den måttsatta figuren, där b = 60 cm.
~O och kraftparsmomentet CO , som verBestäm kraften F
kar på stången vid infästningspunkten O.
Problem 2. En balk med massan m1 och längden ` belastas av en låda med massan m2 enligt figuren. Bestäm
beloppen för reaktionskrafterna på balken vid A respektive B.
ℓ
x
m1
A
B
g
m2
6
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 5. Tre snören är sammankopplade med en
masslös ring vid C. Bestäm spännkraften S i snöret AC,
som uppstår på grund av den upphängda cylindern med
massan m.
Problem 8. En stång med jämnt fördelad massa m är
vid sin ena ände ledat infäst vid marken, och vid sin andra fäst i ett snöre enligt figur. Bestäm spännkraften S i
snöret.
A
A
g
α
C
D
β
m, ℓ
g
B
m
O
B
γ
ℓ
Problem 6. Två masslösa trisor med radierna 10b och 5b
har sammanfogats till en kropp, som är ledat upphängd
kring en axel vid O. Ett sträckt snöre är rullat kring den
mindre trissan och har fästs vid punkten A så att linjen
OA är horisontell med längden 13b. En vertikal snörkraft
~ som
S angriper enligt figuren. Beräkna kraftvektorn P
verkar på från trissorna på axeln vid O.
Problem 9. Propellern hos ett enmotorigt plan med
massan m utövar en dragkraft med givet belopp T och
vinkeln β mot horisontalplanet. Hjulen vid punkten B är
bromsade. Hjulet vid A är obromsat. Beräkna normalkraftens belopp vid A respektive B. Tyngdkraften verkar
i punkten G.
10b
5b
A
O
13b
S
~ey
~ex
Problem 7. En stång med massan m och längden 15b
är upphängd med ett snöre och glider friktionsfritt mot
två vertikala väggar enligt figuren. Bestäm beloppet för
reaktionskraften på stången vid A respektive B.
Problem 10. På en balk med massan m1 = 120 kg står
en person med massan m2 = 60 kg och drar i ett rep med
kraften S = 160 N. Beräkna beloppet av kraften som verkar på balken vid lagringspunkten O.
[m]
m2
g
m1
O
B
A
0,70
3,80
0,70
0,70
statik
Problem 11. Ett klot med massan m1 och radien r1
är upphängt i ett snöre med längden `1 . Ett större klot
med massan m2 och radien r2 är upphängt vid samma
upphängningspunkt i ett snöre med längden `2 . Det gäller att kontakten mellan kloten är friktionsfri, samt att
r1 + `1 = r2 + `2 . Vinkeln γ mellan de två snörena är därmed känd. (a) Uttryck vinkeln θ i m1 , m2 och γ. (b) Uttryck normalkraften N mellan kloten i θ, m1 , g och γ.
Jämvikt i tre dimensioner
7
Problem 14. Stången i figuren belastas av kraften P
och kan betraktas som masslös. Bestäm spänningarna S1
och S2 i de två snörena, samt kraften som verkar på stången vid kulleden A.
Problem 15. En vinklad stång har en jämnt fördelad
massa m. Infästningen vid O förhindrar alla typer av relativ rörelse inklusive vridningar. Beräkna ett uttryck för
~O och kraftparsmomentet C
~ O , som verkar på
kraften F
stången vid infästningspunkten.
Problem 12. En stång med längden 2b och massan m
är upphängd med en kulled i sin ena ände (punkten A)
och med två snören i sin andra ände (punkten B). Bestäm
snörkraften S i snöret BD.
Problem 16. En vikt med massan m är upphängd i en
vinkelhake med försumbar massa enligt den måttsatta figuren. En kulled håller fast vinkelhaken vid A, medan
den vilar friktionsfritt mot en horisontell klack, som förhindrar sidledsrörelse i x- och z-led, vid B. Beräkna ett
uttryck för spänningen S i snöret CD.
Problem 13. En stång AB med jämnt fördelad massa m
stöds av en kulled vid punkten A. Två sträckta snören,
PB och QB, förankrar punkten B i marken enligt figuren.
Bestäm snörkraften S i snöret QB.
8
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 17. En stång med massan m och längden 4b
är fäst i origo O med en gångjärnsled som tillåter rotation i yz-planet. Rotationen hindras dock av ett snöre AB
mellan en vertikal vägg och stångens fria ände. Stångens
vinkel mot horisontalplanet är 60◦ . Beräkna ett uttryck
~O och kraftparsmomentet C
~ O , som verkar på
för kraften F
stången vid infästningspunkten O.
Problem 20. Beräkna beloppet av den kraft som verkar
på rullen vid E. Stängerna betraktas som masslösa.
Problem 21. Beräkna beloppet av den kraft, som verkar på rullen vid E. Konstruktionens delar betraktas som
masslösa och sprintens kontakt med spåret vid C är friktionsfri.
[mm]
Jämvikt för flerkroppssystem
Problem 18. Beräkna beloppet av den kraft som verkar
på sprinten A, från var och en av polygripens skänklar.
P
E
B
160
C
280
240
D
A
Problem 19. Stängerna i figuren antas vara masslösa.
Bestäm kraften som verkar på stången AC vid gångjärnsleden A i (a) det speciella fallet β = 0 eller (b) det allmäna fallet β 6= 0.
320
Problem 22. Figuren visar an avdragare som monterats mot ett drivhjul. Drivhjulet lossnar från sin axel då
kraften på axelns ände uppnår Plim . Krafterna mot ställskruvarnas spetsar är horisontella. Bestäm beloppet av
kraften vid A då drivhjulet precis är på väg att lossna.
statik
Problem 23. Stängerna ses som masslösa och sammanfogade med friktionsfria sprintar. Bestäm ett uttryck för
dragkraften i stången EF.
9
10
1.2
problemsamling: statik och partikeldynamik
Masscentrum och tyngdpunkt
Direkt integration
Problem 24. Bestäm koordinaterna för den skuggade
ytans geometriska centrum C uttryckt i b.
Problem 28. Visa att läget för det geometriska centrumet C för triangeln i figuren ges av
xC =
a+b
,
3
yC =
h
.
3
Problem 25. Bestäm koordinaterna för den skuggade
ytans geometriska centrum C uttryckt i a och b.
Problem 29. Visa att läget för det geometriska centrumet C för halvcirkelskivan i figuren ges av
xC = 0,
yC =
4r
.
3π
Problem 26. Bestäm koordinaterna för den skuggade
ytans geometriska centrum C uttryckt i a, b och h.
Problem 30. Visa att läget för det geometriska centrumet C för halvcirkelbågen i figuren ges av
xC = 0,
yC =
2r
.
π
Problem 27. Bestäm koordinaterna för den skuggade
ytans geometriska centrum C uttryckt i a.
Problem 31. Visa att det geometriska centrumet C för
halvklotet i figuren ges av
xC = 0,
yC = 0,
zC =
3r
.
8
statik
Problem 32. Visa att volymen för en kon med basarean A och höjden h är
V =
Ah
,
3
11
Problem 35. För att förbereda ett lyft av den fabriksgjorda hussidan vill man veta dess masscentrum G. Beräkna masscentrums läge under antagandet att massan
är jämnt fördelad, och att fönstren inte är monterade.
samt att det geometriska centrumet C för konen i figuren
ges av
xC = 0,
yC = 0,
zC =
3h
.
4
Sammansatta kroppar
Problem 36. Bestäm koordinaterna för den krökta
stångens masscentrum G. Massan är jämn fördelad längs
stången.
För att lösa nedanstående problem är tillåtet att använda
resultaten från problem 28 till 32.
Problem 33. Bestäm koordinaterna för den skuggade
ytans geometriska centrum C.
Problem 37. Bestäm koordinaterna för den krökta
stångens masscentrum G. Massan är jämn fördelad längs
stången.
Problem 34. Bestäm koordinaterna för den skuggade
ytans geometriska centrum C.
Problem 38. Bestäm koordinaterna för masscentrum G
för de tre lika tunna sammansvetsade plåtarna.
12
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 39. Bilden visar ett föremål först framifrån,
sedan vriden ett kvarts varv kring vertikalaxeln. Föremålet är gjutet och sedan borrat. Bestäm avståndet h från
undersidan till masscentrum G.
Problem 40. Använd resultatet från uppgift 31 för att
visa att det geometriska centrumet C för ett tunnt halvsfäriskt skal med radien r ges av
xC = 0,
yC = 0,
zC =
r
.
2
Problem 41. Bilden visar en konstruktion först framifrån, sedan vriden ett kvarts varv kring vertikalaxeln. En
cylindrisk stav har genomborrats och borrhålet har därefter givits en konisk försänkning. Bestäm avståndet h från
den oförsänkta sidan till masscentrum G. Använd resultaten från problem 32.
Problem 42. Cirkulära cylindriska skivor, vardera med
diametern d, är staplade på varandra i en sned stapel enligt figuren. Beräkna den största möjliga bredd b som en
stapel av n skivor kan ha. Avgör också om det finns någon
gräns för hur bred stapeln kan bli.
statik
1.3
13
Friktion
Coulombs friktionslag
Problem 43. En låda med massan m vilar utan att glida
på ett plant underlag med lutningen γ. En person börjar
drar i ett rep fäst i lådans sida, medan lådans undersida
förblir i plan kontakt med underlaget. Repet bildar vinkeln θ med underlaget. Den statiska friktionskoefficienten
mellan lådan och underlaget är µs . Beräkna den spännkraft S i repet, som krävs för att lådan ska börja glida.
Problem 44. Ett rätblock med massan m = 50 kg hålls
på plats mot en vägg med kraften P = 700 N längs
det ledade staget. Den statiska friktionskoefficienten mellan vägg och block är µs = 0,40, medan den kinetiska friktionskoefficienten är µk = 0,35. Bestäm friktions~ , som verkar på rätblocket vid väggen (a) då
kraften F
θ = 10◦ , samt (b) då θ = 20◦ .
Problem 46. En person med massan m1 knästår på en
skiva med massan m2 . Den statiska friktionskoefficienten mellan personen och skivan är µs1 , medan den mellan
skivan och underlaget är µs2 . Personen trycker med sina
händer mot en vertikal vägg för att flytta både sig själv
och skivan bort från väggen. Teckna ett villkor för att
detta skall vara möjligt.
Problem 47. En person med massan m1 stiger uppför
en stege med massan m2 och längden `. Den statiska
friktionskoefficienten µs mellan underlaget och stegen är
känd. Beräkna största sträckan s som personen kan röra
sig längs stegen innan den börjar glida vid A. Det är givet att m1 = 65 kg, m2 = 12 kg, µs = 0,30, ` = 4,2 m och
b = 1,6 m.
~ey
g
µs , µk
~ex
m
θ
P
Problem 45. Bestäm den minsta statiska friktionskoefficient µs , som krävs för att kabelvindan ska kunna rullas
uppför planet med jämn fart utan glidning.
Problem 48. En kabelvinda med massan m vilar på ett
horisontellt underlag. Friktionskoefficienten vid kontakten är µs . En lina är virad på vindan, och en kraft P
håller linan sträckt. Bestäm (a) vinkeln θ den sträckta linan ska bilda med lodlinjen för att vindan inte ska börja
rulla. För denna vinkel θ, bestäm också (b) den största kraft P som linan kan sträckas med utan att vindan
börjar glida mot underlaget.
14
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 49. Ena änden av en smal stång vilar mot ett
horisontellt underlag. Den statiska friktionskoefficienten
för kontakten är µs . Stångens andra ände är fäst i ett
sträckt snöre. Stången bildar vinkeln γ mot horisontalplanet. Bestäm ett uttryck för snörets vinkel θ mot horisontalplanet då stången precis börjar glida.
Problem 50. Ett halvt cylinderskal med massan m och
radien r rullas under påverkan av en horisontell kraft P .
Bestäm den vinkel θ vid vilken glidning uppstår om den
statiska friktionskoefficienten är µs . Använd resultatet
från problem 30.
P
g
θ
r
Problem 52. En låda med massan m1 är placerad på
ett lutande plan. En cylinder med radien r ligger också mot planet, i kontakt med lådans övre kortsida. Den
statiska friktionskoefficienten i alla kontakter, låda–plan,
låda–cylinder och cylinder–plan, är µs = 2/3. Vilken är
den maximala massan m2 , som cylindern kan ha utan att
glidning uppstår någonstans?
Kilfriktion
Problem 53. En dörr med massan m = 70 kg stöds mot
en kil med kilvinkel α = 6,0◦ vid ena hörnet och ligger an
mot en kant vid det andra hörnet. Den statiska friktionskoefficienten mellan kilen och dörren, samt mellan kilen
och underlaget, är µs = 0,50. Bestäm beloppet för den
horisontella kraften P på kilen, som krävs för att lyfta
dörren. Det är givet att ` = 1,10 m och b = 0,90 m.
µs
Problem 51. En smal stång AD med längden 2` och
massan 2m är monterad med en gångjärnsled vid A.
Dess andra ände D påverkas av en kraft med beloppet P = 3mg/2. Dess mittpunkt B är fäst med en gångjärnsled i en kortare stång BC med längden ` och massan m. Den kortare stången vilar mot ett plant underlag
med den statiska friktionskoefficienten µs vid C. Vilket
är det minsta värde µs kan ha utan att konstruktionen
börjar glida?
Problem 54. En kropp med massan m = 120 kg kan röra sig vertikalt och vilar på en kil med vinkeln α = 10◦ .
Kilens massa är försumbar. Den statiska friktionskoefficienten mellan kilen och kroppen, samt mellan kilen och
underlaget, är µs = 0,25. Bestäm beloppet för den horisontella kraft P , som krävs för att driva in kilen.
statik
Remfriktion
Problem 55. Två vikter med massorna m och m/5
hänger på var sin sida om en axel med cylindriskt tvärsnitt (skuggad cirkelskiva). De är sammanbundna med
ett snöre, som är virat ett och ett halvt varv kring axeln. Bestäm ett villkor för friktionskoefficienten µs mellan
snöret och axeln så att glidning inte uppstår.
15
Problem 58. En person med massan m firar sig nedåt
sittande på en bräda fäst i ett rep, som löper kring en
fastgjord cylindrisk yta. Den kinetiska friktionskoefficienten vid kontakten är µk . Bestäm kraften S som personen
måste dra i repet med för att farten skall bli konstant.
Problem 59. En låda med massan m1 och en vikt med
massan m2 är sammanbundna med ett rep som löper över
en rundad kant enligt figuren. Den statiska friktionskoefficienten är µs vid alla kontakter. Bestäm den största
möjliga massan m2 , så att systemet inte börjar glida?
Problem 56. En häst står tjudrad med en läderrem lindad kring en cylindrisk stång och den statiska friktionskoefficienten dem emellan är µs . Läderremmens fria ände
har massan m. Hur stor kraft S måste hästen dra med
för att lösgöra remmen i det avbildade läget.
Problem 57. En vikt med massan m är upphängd i ett
snöre som är lindat på två cylindriska ytor enligt den
måttsatta figuren. Vilken är den minsta kraft S som kärvs
för att hindra vikten från att falla om den statiska friktionskoefficienten mellan snöret och cylinderytorna är µs ?
2
Partikeldynamik
2.1
Plan kinematik
Rätlinjig rörelse
Problem 60. En partikel färdas rätlinjigt med hastigheten v(t) = b2 t2 + b1 t + b0 , där b2 , b1 och b0 är konstanter.
Ange partikelns acceleration a(t) och läge x(t) som funktioner av tiden, om det är givet att x(0) = d.
Problem 64. Ett föremål kastas från en klippa med höjden `, rakt upp i skyn med farten v0 . (a) Bestäm föremålets maximala höjd h räknat från kastets utgångspunkt A.
(b) Bestäm tiden τ som förflyter mellan kastet och ögenblicket då föremålet når marken vid B.
Problem 61. Från punkten A på en väg ska ett fordon
ta sig så fort som möjligt till punkten B en sträcka ` vid
sidan av vägen. På vägen är farten v, men i terrängen är
farten v/c, där c är en konstant. På vilket avstånd b från
punkten D ska fordonet vika av?
A
b
C
D
ℓ
B
Problem 65. En månlandare påbörjar slutfasen av sin
nedstigning då motorn stängs av vid höjden h = 4,0 m
med farten v0 = 1,5 m/s riktad nedåt. Beräkna farten v1
vid nedslaget. Antag att accelerationen på grund av Månens gravitation har beloppet ag = 1,64 m/s2 .
Problem 62. Ett fordon färdas halva totala sträckan
med farten v0 . Återstoden av sträckan tillryggaläggs med
farten v1 under halva tiden och farten v2 under andra
halvan. Vilken var fordonets medelfart v̄?
Problem 63. Två partiklar, P1 och P2 , rör sig med konstanta hastigheter, ~v1 respektive ~v2 . Vid startögonblicket
är deras lägesvektorer ~r1 respektive ~r2 . Det är givet att
partiklarna kolliderar. Visa att
~r1 − ~r2
~v1 − ~v2
=−
.
|~r1 − ~r2 |
|~v1 − ~v2 |
x
h
v0
ag
18
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 66. Luftmotståndet gör att en bil, som får rulla fritt, accelereras i rörelseriktningen med a = −C1 −
C2 v 2 , där C1 > 0 och C2 > 0 är konstanter och v är farten. Hur lång sträcka D rullar bilen efter att växeln lagts
i friläge vid farten v = v0 ?
Problem 70. Vilken är den minsta fart v0 man måste
kasta en sten horisontellt från klippkanten A i figuren,
för att stenen nätt och jämnt ska ta sig över hindret B?
ℓ
v0
A
h
g
B
Problem 67. En farkost faller rakt mot en atmosfärslös
planet med radien R. På mycket stort avstånd är farten
mot planeten v0 , farkosten påverkas sedan av en tyngdacceleration med beloppet a = K/r2 , där K är en given
konstant och r är avståndet mellan farkosten och planetens centrum. Med vilken fart u kraschar farkosten?
Problem 71. Med en kanon vid A skjuts en projektil
med utgångsfarten v0 . Projektilen ska träffa ett mål B på
höjden h, som ligger på ett avstånd ` i sidled. Bestäm
utgångsvinkeln θ.
Kroklinjig rörelse, rektangulära koordinater
Problem 72. Du kastar en sten med utgångsfarten v0
i en nedförsbacke med lutningsvinkeln γ. I vilken riktning ska du kasta stenen för att nå maximal kastlängd?
Försumma luftmotståndet och svara med utgångshastighetens vinkel θ mot horisontalplanet.
Problem 68. Lägesvektorn för en partikel som rör sig i
xy-planet ges av
~r(t) = 2 cos(2t)~ex − 5t2~ey ,
där konstanterna har SI-enheter sådana att uttrycket blir
dimensionsriktigt. Beräkna partikelns acceleration ~a(t).
Problem 69. Lägesvektorn för en partikel som rör sig i
xy-planet ges av
~r(t) =
3 2
t − 5t ~ex − 2t2~ey ,
2
där konstanterna har SI-enheter sådana att uttrycket blir
dimensionsriktigt. Vid vilken tidpunkt är partikelns hastighet och acceleration vinkelräta mot varandra?
Problem 73. Annie Oakley kastar ett mynt med farten
v0 i 60◦ vinkel mot horisontalplanet. Hon drar revolvern
och avfyrar ett skott 45◦ mot horisontalplanet. Fullträff.
Beräkna tiden τ det tog henne att dra.
partikeldynamik
Problem 74. Ett flygplan med farten v0 = 280 km/h
släpper en last från punkten A på höjden h = 150 m vid
tiden t = tA = 0 s. Lasten färdas med försumbart luftmotstånd till B, där dess fallskärm vecklas ut. Därefter
faller lasten lodrätt med farten u = 1,5 m/s tills den träffar punkten C på marken vid tiden t = tC = 50 s. Bestäm
var lasten skall släppas genom att beräkna sidledsförflyttningen ` från A till B.
Kroklinjig rörelse, polära koordinater
Problem 75. En hydraulcylinder roterar kring O med
konstant vinkelhastighet θ̇ = 50◦ /s, medan den utskjutande kolvlängden ` minskar med en konstant fart
140 mm/s. Det är givet att b = 400 mm. Beräkna beloppen för hastigheten och accelerationen hos änden P då
` = 120 mm.
19
Problem 77. Antag att Jordens rotationsaxel är fix
i rummet och att Jorden roterar med en vinkelhastighet ω, som är 366 varv på 365 dygn. Jordradien är Re =
6371 km. Betrakta en punkt P vid latituden γ = 45◦ .
Beräkna punktens fart vP och beloppet aP för punktens
acceleration.
Problem 78. Två hylsor sitter ihop med en gångjärnsled vid A. Hylsorna rör sig längs både den räta och den
krökta stången. Avståndet OA ges av r = b(1 + cos θ),
och den räta stången roterar med en konstant vinkelhastighet ω moturs. Bestäm hastigheten ~vA (θ) och accelerationen ~aA (θ) för punkten A i polära koordinater.
ω
r(θ)
A
r
O
θ
Problem 79. En raket färdas genom atmosfären och
spåras av en radarstation. Raketens hastighet ~v och acceleration ~a är riktade rakt uppåt. Radarn har vinkeln θ
mot markytan och avståndet från radarn till raketen är r.
Beräkna beloppen v och a. Det är givet att r = 8,5 km,
r̈ = 20 m/s2 , θ = 55◦ och att θ̇ = 0,030 rad/s.
Problem 76. För att träna stora G-krafter används en
centrifug (foto: NASA). Försökspersonen placeras i en
hytt på avståndet R från ett nav. Den upplevda gravitationen beror både av hyttens acceleration och tyngdaccelerationens g i vertikalriktningen. Vilken konstant vinkelhastighet ω ska centrifugen ha för att simulera ett ng
tyngdkraftsfält, där n är en konstant?
20
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 80. Ett fordon A färdas mot en stillastående
polisbil B. Från polisbilen mäts en skenbar fart u upp,
som i själva verket beskriver hur snabbt avståndet AB
ändras. Polisbilen står ett avstånd b från vägbanan och
det är en sträcka ` kvar till dess A är jämsides med B.
Vilken är A:s egentliga fart v?
Problem 84. En partikel rör sig längs en spiral
r(t) = Aθ(t),
θ̇ = ω,
där ω är en konstant. Beräkna vinkeln φ mellan partikelns
hastighets- och accelerationsvektor som funktion av r.
Problem 81. Utgå från att
~er
=
cos θ~ex + sin θ~ey
~eθ
=
− sin θ~ex + cos θ~ey
Kroklinjig rörelse, naturliga komponenter
Problem 85. Beskriv riktningen för fordonets acceleration när föraren (a) gasar, (b) svänger höger, (c) bromsar,
och (d) svänger vänster.
och visa att
~ex
=
cos θ~er − sin θ~eθ
~ey
=
sin θ~er + cos θ~eθ .
Problem 82. En partikel P rör sig längs en cirkelbåge
med radien R. Dess fart beror av den tillryggalagda sträc√
kan s enligt v = b s, där b är en konstant. Bestäm vinkeln φ mellan accelerations- och hastighetsvektorn som
funktion av s.
Problem 86. En buss färdas med konstant fart v =
85 km/h genom en kurva med krökningsradien ρ =
0,70 km. Beräkna beloppet a av bussens acceleration.
Problem 83. En projektil avfyras med farten v0 i en
vinkel γ mot horisontalplanet. Detta sker i en punkt A
en sträcka ` från origo O. Bestäm ṙ, θ̇, r̈ och θ̈ vid avfyrningsögonblicket.
Problem 87. En accelerometer placerad i ett lok uppmäter accelerationens belopp a i horisontalplanet. Om
man därutöver vet att rälsen har krökningsradien ρ och
att lokets fart är v, vilken är lokets fartändring v̇?
Problem 88. Ett fartyg ändrar sin kurs 90◦ på tre minuter under oföränderligt roderutslag. Det håller en konstant fart på 30 km/h. Bestäm beloppet a för dess acceleration under kursändringen.
partikeldynamik
Problem 89. Två fordon, A och B, färdas genom en kurva. Fordon B tar ytterkurvan med radien ρ och längden `.
Fordon A tar innerkurvan med radien ρ − h. Antag att
accelerationen i normalriktningen begränsas av amax . Hur
lång tid, tA respektive tB , tar det minst för fordonen att
navigera kurvan? Visa också att tA < tB .
21
Problem 92. En bil framförs med farten v0 på en raksträcka, när den närmar sig en kurva med krökningsradien ρ. Föraren börjar bromsa bilen vid A och slutar bromsa
vid C. Inbromsningen sker med konstant fartändring. Vid
punkten C är bilens fart v1 . Bestäm ett uttryck för accelerationen ~aB som verkar på bilen vid punkten B precis
efter ingången i kurvan.
ρ
ℓ
Problem 90. En rymdfärja nedstiger genom atmosfären. Dess fart är v = 16 700 km/h och hastigheten bildar
vinkeln θ = 1,20◦ mot horisonten. Accelerationen p.g.a.
tyngdkraften har beloppet ag = 9,45 m/s2 och luftmotståndet ger en acceleration av = 10,60 m/s2 mot rymdfärjans färdriktning. Bestäm fartändringen per tidsenhet v̇
samt krökningsradien ρ för rymdfärjans bana.
y
θ
x
v
CC
CP
ag
Problem 91. Fordonen A och B framförs längs två olika
halvcirkelformade banor genom en odoserad kurva enligt
figuren. Innerkurvan har krökningsradien ρA = 80,0 m,
medan kurvan som utnyttjar båda körfälten har krökningsradien ρB = 95,0 m. Båda fordonen fullbordar kurvan med konstant fart sådan att beloppet för accelerationen i normalriktningen blir µs g, där µs = 0,85. Bestäm
tiderna, tA och tB , det tar för respektive fordon att fullborda kurvan.
C
B
A
ℓ
Problem 93. En partikel startar vid tiden t = 0 och
följer banan
~r(t) = b cos(ct2 )~ex + b sin(ct2 )~ey ,
där c är en konstant med enheten 1/s2 . Bestäm (a) farten
v(t), (b) accelerationen ~a(t) given i naturliga komponenter, (c) tillryggalagd sträcka s(t), och (d) farten v(s) som
funktion av sträckan.
Problem 94. Visa att ~et ⊥ ~en för den naturliga basen,
d.v.s. visa att ~et ·~en = 0. Ledning: Börja med att derivera
ekvationen ~et · ~et = 1 m.a.p. s.
Problem 95. En sprint P följer det cirkelbågformade
spåret AB med radien R. Sprintens vertikala hastighetskomponent är v0 . Beräkna komponenterna an och at för
sprintens acceleration som funktion av vinkelkoordinaten θ.
Problem 96. Ett flygplan genomför en cirkulär loop
med radien ρ. Vid loopens lägsta punkt är flygplanets
fart v och dess fartändring är v̇. En radarstation placerad
enligt figuren övervakar planet och mäter upp vinkeln θ.
Ange planets acceleration i polära koordinater.
22
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 97. En partikel P har en given fart v0 vid tiden t = 0. Accelerationen ~a har konstant belopp a och bildar vinkeln 45◦ med partikelns rörelseriktning. Rörelsen
blir därmed kroklinjig. Bestäm (a) tillryggalagd sträcka s
som funktion av tiden t, (b) farten v som funktion av s,
samt (c) banans krökningsradie som funktion av s.
Problem 98. Ett fordon startar från vila och kör genom en kurva med krökningsradien ρ och längden `. Beloppet för dess acceleration begränsas av µs g, där µs är
den statiska friktionskoefficienten. Vilken fart u kan ford
arcsin x =
donet maximalt ha efter kurvan? Ledning: dx
√
2
1/ 1 − x
partikeldynamik
2.2
23
Kinetik
Rätlinjig rörelse
Problem 99. Du åker med en hiss som rör sig med accelerationen a i uppåtriktningen. Bestäm ett uttryck för
normalkraften N som verkar på dig från hissgolvet om
din massa är m. När är uttrycket giltigt?
Problem 100. En dragbil med massan m1 = 10,0 ton
drar ett släp med massan m2 = 20,0 ton över ett plant
underlag. Friktionskraften mellan dragbilen och underlaget är F = 20,0 kN då ekipaget startar från vila. Vad blir
kraften T i dragkroken, och vad blir ekipagets acceleration a i startögonblicket?
Problem 103. I ett visst ögonblick rör sig en låda med
hastigheten v0 uppför en lutning med lutningsvinkeln β.
Den kinetiska friktionskoefficienten är µk . Bestäm tiden τ
som förflyter innan lådan stannar samt sträckan d den
färdas.
Problem 104. Ett block A med massan mA = 30 kg vilar på ett annat block B med massan mB = 90 kg, som i
sin tur rullar friktionsfritt mot ett horisontellt underlag.
Både den statiska och den kinetiska friktionskoefficienten
mellan blocken är µ = 0,40. Block A påverkas genom en
trissa och ett snöre belastat med snörkraften S. Bestäm
accelerationerna aA och aB för respektive block då (a)
S = 50 N och (b) S = 80 N.
Problem 101. Bestäm accelerationen a i uppåtriktningen för 15-kilogramsvikten i vardera fallet. Trissorna är
masslösa och friktionen försumbar.
Problem 105. En balk och en påmonterad vinsch väger
tillsammans m = 1100 kg. Vinschen halar in en masslös
vajer så att vajern har accelerationen a = 4 m/s2 vid
punkten P enligt figuren. Via masslösa trissor firas en
vikt med massan m0 = 700 kg upp. Bestäm beloppet av
kraften vid stödet A.
[m]
Problem 102. En person drar sig själv i en vagn uppför
ett plan med lutningsvinkeln γ. Personens och vagnens
sammanlagda vikt är m och personen förmår dra med
snörkraften S. Bestäm beloppet a för vagnens acceleration.
g
a
O
2,50
0,50
A
0,30
P
2,00
m0
Problem 106. Systemet av massor, mA = 65 kg och
mB = 25 kg, ett snöre och masslösa trissor släpps från
vila. Planets lutningsvinkel är γ = 30◦ , och det gäller att
µs = 0,30 och µk = 0,25. Bestäm snörkraften S.
24
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 107. Bestäm accelerationen a1 för massan m1
i nedåtriktningen för detta friktionsfria system.
Problem 110. En partikel med massan m vilar på en
stång som roterar i vertikalplanet med konstant vinkelhastighet ω kring en led vid O. Partikeln är fixerad medelst friktion på ett avstånd r från O, tills partikeln börjar
glida då stången bildar vinkeln θ0 mot horisontalplanet.
Bestäm den statiska friktionskoefficienten µs mellan partikeln och stången.
Kroklinjig rörelse
Problem 108. En hylsa med massan m löper längs en
cirkelbågformad stång med radien r. I det avbildade läget B uppmäts hylsans fart till vB snett uppåt. Försumma friktionen och bestäm (a) beloppet N för kraften från
stången på hylsan vid B, och (b) fartändingen vid B.
Problem 111. Ett lok med massan m navigerar en kurva med krökningsradien r. Om lokets fart v och fartändring v̇ är givna, hur stort är beloppet F av kraften som
verkar på var och en av rälerna?
g
y
γ
O
r
B
x
Problem 109. En pendel med massan m och längden `
har fixerats vid utslagsvinkeln θ med fjälp av ett horisontellt snöre AB. Hur stor blir snörkraften S i snöret OA
omedelbart efter att snöret AB klippts av?
Problem 112. Ett flygplan genomför en vertikal cirkulär loop med radien r. Planets fart v antas vara konstant
under manövern, och tillräckligt hög för att piloten skall
tryckas mot sätet. Bestäm (a) beloppet NA för kraften
från sätet på piloten i läge A, samt beloppet NB för kraften från sätet på piloten i läge B.
partikeldynamik
Problem 113. Ett fordon framförs med konstant fart v
genom en doserad kurva med lutningsvinkeln γ = 30◦
och krökningsradien r. Den statiska friktionskoefficienten
mellan däcken och vägen är µs = 1/2. Bestäm (a) den
fart v0 då friktionskraften mellan fordon och väg är noll,
samt (b) det fartintervall då fordonet genomför kurvan
utan att glida.
25
Problem 116. En partikel ges begynnelsefarten v0
vid A, så att hastigheten är parallell med BC. Rörelsen
sker friktionsfritt över planet vars lutningsvinkel är γ =
30◦ . Avståndet AB är h. Bestäm sträckan ` från hörnet B
till punkten C där partikeln lämnar planet.
g
ρ
γ
Problem 114. Ett föremål med massan m har placerats
på insidan av en konisk roterande skiva enligt figuren.
Bestäm det intervall för ω hos skivan, inom vilket föremålet inte glider, då den statiska friktionskoefficienten
är µs = 0,25. Det är givet att β = 30◦ och att r = 30 cm.
Problem 117. Den upplevda tyngdkraftskonstanten g
bestäms med ett lod med massan m vid Jordens yta.
Spänningen S i lodsnöret mäts och man beräknar g =
S/m. Använd Newtons gravitationslag för att bestämma g vid latituden γ = 45◦ . Tag hänsyn till Jordens vinkelhastighet ω som är 366 varv på 365 dygn. Jordradien
är Re = 6371 km och jordmassan är me = 5,972 · 1024 kg.
Problem 115. Ett föremål med massan m har placerats
på en konisk roterande skiva enligt figuren. Bestäm den
maximala konstanta vinkelhastigheten ω hos skivan, utan
att föremålet trillar av, då den statiska friktionskoefficienten är µs .
Problem 118. En partikel med massan m rör sig i ett
vertikalplan. Partikeln startar i origo vid tiden t = 0 med
begynnelsefarten v0 , där dess bana bildar vinkeln θ0 mot
horisontalplanet. Partikelns rörelse sker i en vätska så~ = −η~v på partikeln,
dan att vätskan utövar kraften F
där ~v är partikelns hastighet. Partikeln har mycket högre densitet än vätskan, så att flytkraften kan försummas.
Bestäm partikelns hastighetsvektor ~v (t) då t ≥ 0.
26
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 119. En kloss med massan m glider friktionsfritt genom ett rör med längden `. Röret roterar i horisontalplanet kring sin ena ände med vinkelhastigheten ω.
Klossen startar vid r = r0 , θ = 0, med den radiella farten ṙ0 . Bestäm storleken hos den horisontella kraften N
på cylindern precis innan klossen lämnar röret.
Problem 122. En hylsa glider längs en cirkulär skena
med radien r. Skenan ligger i horisontalplanet och den
kinetiska friktionskoefficienten mellan skenan och hylsan
är µk . Hylsan startar med farten v0 i en punkt A. Beräkna sträckan d den
den stannar
i
R tillryggalägger innan
√
2 ± a2
=
ln
x
+
x
punkt B. Ledning: √ dx
2
2
x ±a
y
r
θ
ℓ
x
ω
Problem 120. En liten vagn rullar friktionsfritt i ett
horisontalplan med farten v0 när den når en cylindrisk
yta med radien r enligt figuren. Bestäm uttrycket för
vinkeln θB då vagnen förlorar kontakten med underlaget
vid B.
~ = f (r)~r,
Problem 123. En centralkraft kan skrivas F
där f (r) är någon funktion som beror av avståndet r till
origo. Visa att uttrycket ~r × ~v är invariant för en partikel
som påverkas av en centralkraft. Det vill säga, visa att
d
(~r × ~v ) = ~0.
dt
Problem 121. En partikel P rör sig i ett horisontalplan
längs en cirkulär sarg med radien r. Kontakten mellan
planet och partikeln är friktionsfri, medan friktionskoefficienten mellan partikeln och sargen är µk . Vid θ = 0 ges
partikeln en fart v0 moturs. Bestäm (a) farten v(θ) som
funktion av rotationsvinkeln θ samt (b) den vinkel θ1/2
där utgångsfarten halverats.
partikeldynamik
2.3
27
Energimetoder
Arbete och energi
Problem 124. Ett fordon med massan m startar från vila vid A och tillåts accellerera i frikopplat läge nedför en
backe med höjdskillnaden h till punkten B. Bestäm fordonets fart v vid backens slut luftmotstånd och friktion
försummas.
g
A
β
g
C
R
s
h
B
v
Problem 127. Ett raketdrivet fordon med massan m
startar från vila vid A. Dess motor utvecklar kraften F i
rörelseriktningen från A till B. Bestäm hur lång sträcka s
den därefter rullar uppför backen, där den stannar vid C.
B
A
Problem 125. En partikel med massan m löper friktionsfritt längs en skena AB, som består av en rät stång
sammansatt med en kvartcirkelformad stång med radien r och centrum i punkten O. Partikeln är kopplad till
denna punkt O via en fjäder med fjäderkonstanten k och
den naturliga längden `0 = r/2. Om partikeln släpps från
vila i A, vilken blir dess fart vB i punkten B?
Problem 128. Två fjädrar med fjäderkonstanterna k1
och k2 är kopplade i serie. Bestäm det arbete U som krävs
för att sträcka systemet med förskjutningen x från det läge där fjädrarna är ospända.
x
k1
k2
Fe
m
g
A
k
r
O
√
B
3r
Problem 126. En hylsa med massan m löper längs en
rät stång som lutar vinkeln γ mot lodlinjen. Hylsan släpps
från vila i läge A och kanar nedför stången så att den stöter emot en fjäder med fjäderkonstanten k vid B, varefter
fjädern börjar tryckas samman. Sträckan AB är ` och den
kinetiska friktionskoefficienten mellan hylsan och stången är µk = 1/2. Bestäm (a) hylsans fart vB vid B för
en godtycklig vinkel γ, samt (b) fjäderns maximala hoptryckning δ i fallet γ = 45◦ .
m
A
ℓ
γ
k
B
g
Problem 129. Två fjädrar med fjäderkonstanterna k1
och k2 är kopplade i serie enligt figur. Det är givet att den
fria ändpunkten förskjuts en sträcka x från det obelastade läget. Punkten mellan fjädrarna förskjuts en variabel
sträcka y från det obelastade läget. Bestäm (a) ett uttryck för den totala elastiska energin Ve (x, y) som därvid
lagras i fjädrarna, samt (b) den elastiska energins minimum miny Ve m.a.p. variabeln y (jfr problem 128).
y
k1
x
k2
28
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 130. En hylsa med massan m rör sig friktionsfritt längs en cirkelformad skena i ett vertikalplan. En
fjäder, med den obelastade längden `0 = r och fjäderkonstanten k = mg/6r, är med sin ena ände fäst i hylsan och
i sin andra ände fäst i punkten A. Cirkelskenans centrum O ligger på samma höjd som A. Hylsan släpps från
vila vid cirkelbanans översta punkt B. Bestäm hylsans
fart v när den passerar läge D där fjädern är som mest
utsträckt.
m
g
B
Problem 133. Två klot med massorna mA = 5,0 kg
respektive mB = 2,0 kg är fästa i var sin ände av en
lätt stång enligt figuren. Från början är anordningen
i vila och vinkeln mellan stången och horisontalplanet
är θ = 60◦ . Anordningen kommer att rotera moturs så
att det mindre klotet träffar en fjäder med fjäderkonstanten k = 50 kN/m då stången når horisontellt läge.
Bestäm (a) farten vB hos det mindre klotet precis innan
det träffar fjädern, samt (b) fjäderns maximala deformation δ, vilken får antas vara liten i förhållande till `B . Det
är givet att `A = 45 cm och `B = 90 cm.
k, ℓ0
g
D
O
A
r
mA
k
ℓA
θ
ℓB
2r
Problem 131. En partikel med massan m är fäst i ett
snöre med längden `. Snörets andra ände är fäst vid A.
Partikeln släpps från B där snöret är sträckt och AB är
horisontell. Partikeln pendlar i ett vertikalplan till lodrätt
läge, varvid snöret träffar ett stift vid P. Partikeln pendlar därefter tills snöret är horisontellt och träffar ett stift
vid Q. Partikeln rörelse fortsätter sedan enligt den måttsatta figuren. Bestäm snörkraften S då partikeln befinner
sig i läge D.
Problem 132. En partikel med massan m är fäst i taket
via en fjäder med den obelastade längden `0 och fjäderkonstanten k. Partikeln släpps då fjädern är obelastad.
Vilken blir partikelns maximala fart vmax under den efterföljande rörelsen?
k, ℓ0
m
g
mB
Problem 134. Två partiklar, A och B, vardera med massan m, är förbundna med ett snöre. I startögonblicket är
båda partiklarna i vila, A befinner sig vid toppen av en
glatt cylindrisk yta med radien r, medan B hänger fritt
enligt figuren. Systemet börjar sedan glida friktionsfritt.
Beräkna normalkraftens belopp N (θ) från cylinderytan
på partikel A, så länge A har kontakt med underlaget.
partikeldynamik
Problem 135. Två lådor A och B med massorna mA respektive mB är sammankopplade med en lina som löper
över masslösa trissor. Den kinetiska friktionskoefficienten
mellan B och underlaget är µk . När systemet släpps från
vila kommer B att börja glida. Beräkna farten vA för låda A i ögonblicket innan den träffar marken, om A faller
från höjden h.
Problem 136. En partikel med massan m är fäst i ett
snöre med längden `. Snörets andra ände är fäst vid A.
Partikeln släpps från B där snöret är sträckt och AB är
horisontell. Partikeln pendlar i ett vertikalplan till lodrätt läge, varvid snöret träffar ett stift vid P. Partikeln
beskriver sedan en cirkulär rörelse till C där snöret slaknar. Bestäm vid vilken vinkel θ detta sker.
Problem 137. En hylsa med massan m löper längs en
vertikal friktionsfri skena enligt figuren. Under rörelsen
påverkas den av en konstant kraft med beloppet F och
en fjäder med fjäderkonstanten k och den obelastade längden `0 . Hylsan är i vila vid A. Bestäm dess fart vB vid B
precis innan stöten mot taket. Det är givet att F = 90 N,
m = 3,0 kg, `0 = 1,4 m, b = 1,8 m, h = 1,6 m, γ = 30◦
och k = 40 N/m.
29
Problem 138. Två partiklar A och B, vardera med
massan m, är sammankopplade med en lina som löper
över en masslös trissa. Partikel A är fäst i en vertikal
fjäder med den ospända längden `0 och fjäderkonstanten k = 5mg/`0 . Från början är fjädern ospänd och A
är fixerad vid en vägg med snöret PA. Snöret PA klipps
av så att A börjar glida friktionsfritt längs underlaget.
Bestäm farten v hos partiklarna i det ögonblick A lyfter
från underlaget.
Problem 139. En partikel med massan m startar från
vila vid A, där den ligger an mot en fjäder, som är ihoptryckt sträckan δ från sitt ospända läge. Fjäderkonstanten är k. Partikeln släpps och färdas friktionsfritt, hela
tiden i kontakt med underlaget. Efter att den passerat
punkten B följer den en cirkelbana med radien R i vertikalplanet. Partikeln slungas av banan vid D. Bestäm
beloppet N (θ) av normalkraften som verkar på partikeln
vid den vinkelkoordinat θ som definierats i bilden.
Problem 140. En partikel med massan m skjuts iväg
med hjälp av en fjäder med den obelastade längden `0 =
R och fjäderkonstanten k = 16mg/R. Partikeln släpps
från vila då fjädern är ihoptryckt sträckan δ från det obelastade läget. Partikeln följer sedan en friktionsfri sarg i
vertikalplanet enligt figuren. Bestäm minsta möjliga δ för
att partikeln ska vara i kontakt med sargen längs hela
halvcirkelbågen.
g
R
δ
m
2R
30
problemsamling: statik och partikeldynamik
Effekt
Problem 141. En bil med massan m accelererar på en
plan vägsträcka. Den horisontella kraften F från vägbanan på bilen driver upp farten från v1 till v2 då bilen
färdas sträckan ` enligt bilden. Bestäm v2 om bilen utvecklar en konstant effekt P under accelerationen.
v1
v2
ℓ
Problem 142. En vagn med massan m rör sig friktionsfritt på ett horisontellt plan. Vagnen startar från vila vid
tiden t = 0, varefter en tidberoende kraft F (t) verkar
på vagnen längs planet. Bestäm F (t) så att effekten som
denna kraft utvecklar blir en given konstant P .
Problem 143. En vagn med massan m rör sig friktionsfritt på ett plan med lutningsvinkeln γ. Vagnen startar från vila vid tiden t = 0, varefter en tidberoende
kraft F (t) = ct verkar på vagnen längs planet, där c är
en konstant. Beräkna effekten P (t) som F (t) utvecklar.
partikeldynamik
2.4
31
Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
Rörelsemängd och impuls
Problem 144. En vagn med massan m rör sig friktionsfritt längs ett horisontellt plan. Vagnen har hastigheten
v0 åt höger vid tiden t = 0 då den accelereras p.g.a. en
kraft F (t) = P e−ωt åt som verkar åt höger, parallellt
med horisontalplanet. Här är P en konstant med enhet
för kraft, och ω en konstant med enheten s−1 . Beräkna (a) vagnens fart v(t), och (b) vagnens tillryggalagda
sträcka s(t) från tiden t = 0.
Problem 147. En kanon med massan m är monterad på
hjul och befinner sig i vila på ett horisontellt underlag då
den avfyras. Kanonkulan med massan m0 får hastigheten
v0 med vinkeln θ mot underlaget. Rekylen får kanonen
att röra sig horisontellt längs underlaget. Vilken fart v
får kanonen?
g
v0
m0
θ
v(t)
g
F (t)
m
v
P
P/2
0
m
F (t) = P e
−ωt
0
t
Problem 145. En månlandare med massan m = 500 kg
nedstiger mot månytan med en fart v1 = 4,0 m/s vid tiden t1 = 0. Dess motor utvecklar en dragkraft F mot
färdriktningen, där F varierar enligt diagrammet i figuren nedan. Bestäm landarens fart v2 vid tiden t2 = 5,0 s.
Landaren antas inte nudda marken. Tyngdaccelerationen
antas vara g = 1,64 m/s2 .
Problem 148. En låda med massan 50m vilar på ett
horisontalplan. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan lådan och planet är µk = 1/4. En projektil med massan m skjuts med farten v mot lådan, träffar den och far
rakt igenom i en stöt som kan betraktas som momentan.
Projektilen fortsätter efter stöten med farten w, medan
lådan observeras glida totalt sträckan ` utmed planet.
Bestäm projektilens utgångsfart v.
m
v
50m
g
g
[kN] F
µk
2
ℓ
w
1
0
y
v1
t
0 1 2 3 4 5 [s]
F
x
Problem 146. En projektil med massan m1 färdas horisontellt med farten v då den träffar en vagn med massan m2 och blir kvar i vagnen. Bestäm (a) vagnens fart u
efter träffen, samt (b) den relativa ändringen δT hos systemets totala rörelseenergi.
m2
m1
v
g
[1]
m 1 + m2
u
[2]
Problem 149. Vid tiden t = 0 befinner sig en låda
med massan m i vila på ett plan med lutningsvinkeln β
där 0◦ < β < 45◦ . Både den statiska och den kinetiska friktionskoefficienten vid lådans kontakt mot planet är µs = µk = 1. Vid tiden t = 0 börjar en kraft
P (t) = mgt/τ parallell med planet verka på lådan enligt
figuren. Här är τ en konstant med enhet för tid. Bestäm
lådans fart vid tiden t = τ .
32
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 150. En ballistisk pendel används för att mäta
en projektils hastighet. Projektilen har från början massan m och hastigheten v. Den träffar och fastnar i en
sandfylld låda med massan m0 . Lådan är upphängd i ett
snöre med längden `. På grund av impulsen från projektilen pendlar lådan till maximal utslagsvinkel θ. Beräkna
(a) θ samt (b) den relativa förändringen δT hos systemets
rörelseenergi vid stöten.
Rörelsemängdsmoment
Problem 153. En partikel med massan m och farten v
rör sig relativt ett givet koordinatsystem med origo O.
~ O i det avbildade läget.
Beräkna H
z
m
v
g
h
2b
θ
ℓ
O
b
y
x
v
m
m0
Problem 151. En tennisboll med massan m träffas under uppstuds. Omedelbart före träffen har bollen farten v1
och hastighetsvektorn bildar vinkeln β mot horisontalplanet. Efter träffen har bollen farten v2 och hastighetsvektorn bildar vinkeln γ mot horisontalplanet. Beräkna
~ från racketen på bollen.
impulsen L
Problem 154. En partikel med massan m och hastigheten v~ey rör sig relativt ett givet koordinatsystem med
origo O under påverkan av en kraft F ~ez . Beräkna rörel~ O och dess derivata dH
~ O /dt i det
semängdsmomentet H
avbildade läget.
z
F~ez
~ey
g
γ
Problem 152. En pendel A med massan m0 och längden b är upphängd i en vagn B med massan m. Vagnen
kan röra sig friktionsfritt längs en horisontell balk. Systemet befinner sig i vila när pendeln utsätts för en momentan horisontell impuls L. Vilken blir pendelsnörets
maximala vinkel θ mot lodlinjen under den efterföljande
rörelsen?
B
g
2v
y
θ
B
b
x
b
b
θ
A
m0
Problem 155. Två partiklar, A och B, har vardera massan m och rör sig i xy-planet enligt figuren. Partikel A
har farten v, medan partikel B har farten 2v. Bestäm vinkeln θ räknad moturs från x-riktningen till partikel B:s
hastighetsvektor så att partikelsystemets rörelsemängdsmoment ΣHO blir noll.
O
m
L
y
3ℓ
6ℓ
x
β
4ℓ
O
~ex
A
v~ey
m
ℓ
A
v
partikeldynamik
Problem 156. En konisk pendel med längden ` och massan m är upphängd i en punkt A, och roterar med farten v
och den konstanta vinkeln γ mot lodlinjen. Pendeln kommer därvid att beskriva en cirkelrörelse kring punkten O,
som utgör origo i ett rektangulärt koordinatsystem. Be~ A i det avbildade läget,
stäm rörelsemängdsmomentet H
där pendelns massa befinner sig på y-axeln.
Problem 159. En pendel i vertikalplanet består av en
masslös stång och två vikter, vardera med massan m0 . En
projektil med massan m och farten v och sned infallsvinkel γ träffar och fastnar i pendelns undre vikt. Bestäm ett
uttryck för pendelns vinkelhastighet ω omedelbart efter
träffen.
m0
ℓ
A
g
2ℓ
γ
g
ℓ
m0
γ
z
v
O
x
y
m
m
Problem 157. En partikel roterar friktionsfritt på ett
horisontellt underlag. Partikelns rörelse begränsas av ett
snöre som löper genom ett hål i underlaget. I startögonblicket rör sig partikeln med radien r = r0 och farten v = v0 . Genom att höja snörkraften S minskas radien
till r = r1 . Hur stor blir då partikelns fart v1 ?
r
v
Problem 160. En partikel med massan m släpps från
vila i punkten A. Partikeln är fäst i ett slakt snöre med
längden `. Snörets andra ände är fäst vid en punkt O,
√
sådan att linjen OA är horisontell och har längden `/ 2.
Partikeln faller vertikalt tills snöret sträcks, varefter partikeln beskriver en cirkulär bana kring O tills den når en
högsta punkt D efter pendelrörelsen. Teckna ett uttryck
för höjdskillnaden h mellan startpunkten A och punkten D?
√
ℓ/ 2
g
S
h
A
O
m
ℓ
Problem 158. En planet färdas i en elliptisk bana kring
solen under inverkan av solens gravitation. Gravitationskraften som verkar på planeten ger inget kraftmoment
med avseende på solens masscentrum G. Planeten är närmast solen vid P, och längst bort vid A. En punkt B är
belägen halvvägs mellan A och P på ellipsbanan. Avståndet GB är a, avståndet PA är 2a och avståndet PG är ca,
där c är en konstant. Planetens fart är v vid P. Bestäm
dess fart vB i punkten B.
B
a
G
P
33
A
ca
2a
D
B
34
2.5
problemsamling: statik och partikeldynamik
Stötar
Rak central stöt
Problem 161. En boll släpps från vila vid höjden h1 =
180 cm, studsar en gång och når därefter en maximal höjd
h2 = 120 cm. Försumma effekter från luftmotstånd och
rotation. Bestäm stöttalet e för bollen mot underlaget.
g
Problem 164. En boll släpps från vila vid höjden h mot
ett horisontellt underlag. Stöttalet för studsen mot underlaget är e. Bollen tillåts studsa gång på gång tills den ligger stilla mot underlaget. Försumma sidledsrörelsen och
luftmotståndet. Beräkna (a) hur lång sträcka s bollen tillryggalägger innan den stannar, samt (b) hur tid τ förflyter
från det att bollen släpps tills dess den stannar.
g
h1
h2
h
Problem 162. Visa att den mekaniska energin för ett
system av två partiklar med oliga massor, mA respektive mB , bevaras vid en rak central stöt då stöttalet
är e = 1. Ledning: Välj koordinatsystem sådant att
vB = 0.
Problem 163. Bredvid varandra hänger n stycken pendlar, vardera med massan m och längden `. Avståndet mellan kulorna i pendlarnas ändar är försumbart. Den första
pendeln (1) ges en vinkel θ mot lodlinjen och släpps sedan från vila. Beräkna farten vn för den sista kulan (n)
omedelbart efter den träffats, om stöttalet mellan kulorna
är e.
g
ℓ
θ
1
2
3
···
n−1 n
Problem 165. En boll A med massan mA släpps från
vila på höjden h från ett horisontellt underlag. Samtidigt
släpps en boll B med massan mB från vila i en position
precis ovanför A. Stöttalet mellan bollarna är e, och stöttalet mellan A och underlaget är också e. (a) Vilken fart
0
får B precis efter studsen mot A? (b) Vilken höjd H
vB
kommer B att nå efter studsen om mA mB , e = 1 och
bollarnas radier försummas?
partikeldynamik
Sned central stöt
Problem 166. En bil med massan m och en minibuss
med massan 2m färdas båda med farten v mot en korsning enligt bilden. Bilföraren observerar inte högerregeln,
utan kraschar rakt in i minibussen vid A. De två fordonen fastnar i varandra, hjulen låser sig och de fortsätter
tillsammans tills de stannar vid punkten B. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan fordonen och underlaget är µk = 1/2. Bestäm (a) den gemensamma hastigheten ~
u för fordonen omedelbart efter sammanstötningen,
−→
och (b) stoppsträckan ` = |AB|.
Problem 167. En rymdfarkost med massan m =
55000 kg färdas med hastigheten ~v = −2500~ex −
900~ey m/s i ett givet koordinatsystem när den träffas av
dammpartiklar med massan m0 = 100 g, som fastnar på
skrovets yta. Farkosten fortsätter med bibehållen fart,
men ändrar sin kurs med vinkeln ∆θ = 4,0 · 10−6 rad
enligt figur. Vilken hastighet ~v0 hade dammpartiklarna
före kollisionen?
m0
~v0
CCCP
~v
∆θ
m
35
Problem 168. En partikel med massan m och farten
v infaller med vinkeln 45◦ mot normalen till en fast
vägg. Efter studsen bildar partikelns hastighetsvektor
vinkeln 60◦ mot väggens normal. Luftmotstånd, friktion
och inverkan av gravitation kan försummas. Bestäm stöt~ som verkar på partikeln
talet e samt stötimpulsvektorn L,
vid stöten.
Problem 169. En partikel med massan m är upphängd
i ett snöre med längden `. Snörets andra ände är fäst i
punkten A. Partikeln släpps från vila vid B så att snöret
är sträckt och horisontellt. Partikeln pendlar ner och träffar ett horisontellt underlag vid D enligt den måttsatta
figuren. Stöttalet är e = 1/2. Luftmotstånd och friktion
kan försummas. Bestäm partikelns fart v 0 omedelbart efter stöten.
Problem 170. En partikel startar från vila och faller
en sträcka h innan den träffar ett lutande plan mot vilket den studsar elastiskt och friktionsfritt. Hur långt från
nedslagsplatsen sker nästa nedslag om underlagets lutning är θ mot horisontalplanet?
36
2.6
problemsamling: statik och partikeldynamik
Svängningar
Odämpade fria svängningar
Problem 171. En partikel med massan m hänger i en
linjär fjäder med fjäderkonstanten k. Lägeskoordinaten x
är vald så att x = 0 då fjädern är ospänd. Bestäm differentialekvationen för lådans rörelse.
Problem 172. För systemet i problem 171 gäller att
m = 5 kg och att k = 2,0 kN/m. Beräkna systemets naturliga frekvensen ωn given i rad/s, samma naturliga frekvens fn given i hertz, samt perioden τ given i sekunder.
Problem 173. En vagn med massan m = 5 kg rullar
friktionsfritt mot ett horisontellt underlag. Vagnen är förbunden med en vägg genom en en linjär fjäder med fjäderkonstanten k = 0,72 kN/m. Lägeskoordinaten x är vald så
att x = 0 då fjädern är ospänd. Vid tiden t = 0 släpps
vagnen från vila i ett läge 2,0 cm till höger om jämviktsläget. Bestäm förskjutningen x(t) som funktion av tiden.
Problem 174. Systemet i problem 173 släpps vid tiden
t = 0 från ett läge 2,0 cm till vänster om jämviktsläget och ges en begynnelsefart på 0,10 m/s åt höger. Bestäm (a) förskjutningen x(t) som funktion av tiden, och
(b) svängingens amplitud C.
Problem 175. Två partiklar A och B har vardera massan m. De limmats ihop med en fog som maximalt
kan överföra kraften 3mg/2. De hoplimmade partiklarna hängs upp i en fjäder med fjäderkonstanten k och den
ospända längden `0 . Från början är massorna understödda så att fjädern är ospänd. Vid tiden t = 0 avlägsnas
stödet momentant. Bestäm tidpunkten då limfogen brister.
Problem 176. En låda A med massan 4m kan röra
sig friktionsfritt längs ett horisontellt underlag. En fjäder med fjäderkonstanten k förbinder lådan med en vägg.
På vagnen ligger en annan låda B med massan m. Den
statiska friktionskoefficienten mellan lådorna är µs . Lådorna A och B ges båda farten v0 när fjädern är ospänd.
Vilket villkor gäller för v0 för att B inte ska börja glida
mot A?
Problem 177. En låda med massan m hänger i en ögla, som består av en fjäder med fjäderkonstanten k och
ett snöre trätt över en masslös trissa. Bestäm systemets
naturliga frekvens ωn .
partikeldynamik
Problem 178. Två vagnar rullar på horisotella underlag, och är sammankopplade med en masslös länkarm.
Antag att fjädrarna är obelastade då länkarmen är lodrät samt att svängningarnas amplitud är mycket mindre
än b. Bestäm den naturliga frekvensen ωn för det svängande systemet i figuren.
k1
m1
g
2b
k2
m2
Dämpade fria svängningar
Problem 184. En låda med massan m hänger i en linjär
fjäder med fjäderkonstanten k och en linjär dämpare med
dämpningskoefficienten c. Lägeskoordinaten x är vald så
att x = 0 då fjädern är ospänd. Bestäm (a) differentialekvationen för lådans rörelse, samt (b) det intervall för c
då systemet är underdämpat.
k
b
g
Problem 179. En balk med massan m0 hänger horisontellt i två identiska fjädrar, vardera med fjäderkonstanten k och den ospända längden `0 . En partikel med
massan m hänger i en tråd på höjden h ovanför balkens
mittpunkt. Tråden klipps av så att partikeln faller, träffar och fastnar på balken i en momentan stöt. Stöten sker
vid tiden t = 0. Beräkna fjäderlängden `(t), t ≥ 0 då balken och partikeln antas svänga tillsammans i horisontellt
läge.
I problem 180 till 183 visas att x = A cos(ωn t)+B sin(ωn t)
är en generell lösning till differentialekvationen
ẍ + ωn2 x = 0,
ωn > 0,
(†)
för ett odämpat fritt svängande system.
Problem 180. Visa att x = A cos(ωn t) + B sin(ωn t) satisfierar ekv. (†).
Problem 181. Visa att om g(t) är en lösning till ekv. (†)
så är ġ 2 + ωn2 g 2 konstant. Ledning: Derivera.
Problem 182. Visa att om h(t) är en lösning till ekv. (†)
och om h(0) = 0 och ḣ(0) = 0, så är h(t) = 0. Ledning:
Använd problem 181 och observera tecken.
Problem 183. Visa att om x(t) är en lösning till
ekv. (†), så måste det gälla att x = A cos(ωn t)+B sin(ωn t)
där A = x(0) och B = ẋ(0)/ωn . Ledning: Undersök
sin(ωn t).
h(t) = x(t) − x(0) cos(ωn t) − ẋ(0)
ωn
37
m
c
x
Problem 185. Lådan i problem 184 släpps från vila√i positionen x = x0 vid tiden t = 0. Det är givet att c = km.
Bestäm partikelns position x(t) som funktion av tiden.
Problem 186. En vagn A rullar på ett horisontellt plan.
Dess ena sida är kopplad till en vägg genom en fjäder med
fjäderkonstanten k och en dämpare med dämpningskoefficienten c. Dess andra sida är förbunden med en annan
vagn B via ett snöre som löper över en trissa. Vagn B rullar på ett lutande plan med lutningsvinkeln 45◦ . Var och
en av vagnarna har massan m. Bestäm fjäderkonstanten k
så att detta svängande system blir kritiskt dämpat.
38
problemsamling: statik och partikeldynamik
Problem 187. En vagn med massan m startar från vila
och rullar friktionsfritt en sträcka ` längs ett lutande plan
tills den träffar ett dämpsystem, som är infäst i en vägg.
Vagnen och dämpsystemet kopplas ihop vid sammanstötningen. Dämpsystemet består av en fjäder med fjäderkonstanten√k, och en dämpare med dämpningskoefficienten c = 2 km. Bestäm rörelsen x(t), som uppstår efter att vagnen träffat dämpsystemet vid tiden t = 0, om
x = 0 då fjädern är obelastad och fjädern anpassats så
att k = mg/`.
Påtvingade svängningar
Problem 190. För det dämpade systemet i figuren är
massan m = 0,50 kg och fjäderkonstanten k = 2,0 kN/m.
Den pålagda harmoniska kraften har amplituden F0 =
50 N och vinkelfrekvensen ω = 20 rad/s. Beräkna amplituden Cp för fortvarig svängningsrörelse då (a) c =
200 N·s/m, samt (b) då c → 0, det vill säga då transienten
avklingar medan dämpningens inverkan på den fortvariga
rörelsen är försumbar.
c
k
m
g
x
F (t) = F0 sin(ωt)
Problem 188. Två partiklar, vardera med massan m, är
förbundna med ett snöre. Den ena partikeln är √
upphängd
i en dämpare med dämpningskoefficienten c = km, och
en fjäder med fjäderkonstanten k och den ospända längden `0 . Systemet är i jämvikt vid tiden t = 0 då snöret
mellan massorna klipps av. Bestäm fjäderns längd `(t)
som funktion av tiden.
Problem 191. En vagn med massan m rullar friktionsfritt mot ett plant underlag. Vagnen är infäst i två likadana dämpare, vardera med dämpningskoefficienten c, och
i en fjäder med fjäderkonstanten k = c2 /m. Vagnen påverkas också
p av en tidsberoende kraft F (t) = mg sin(ωt),
där ω = 2 k/m är en konstant vinkelhastighet. Bestäm
den fortvariga svängningsrörelsens amplitud Cp för detta
system.
F (t)
m
k
g
c
c
Problem 189. Uttryck dämpningskoefficienten c i övriga storheter, så att det svängande systemet i bilden blir
kritiskt dämpat. Antag att snöret förblir sträckt.
Problem 192. En vagn med massan m rullar friktionsfritt mot ett plant underlag och är kopplad till en fjäder
och två dämpare enligt figur. I punkten B har en given
horisontell rörelse xB = b cos(ωt). Bestäm (a) ett kriterium för att systemet ska vara underdämpat, samt (b) den
vinkelfrekvens då resonans i så fall uppstår.
k
m
2c
B
c
g
xB
m
c
k
partikeldynamik
Problem 193. En massa m är upphängd i en fjäder med
fjäderkonstanten k. Massan befinner sig i ett vätskebad.
Fjäderns upphängningspunkt B p
vibrerar med amplituden b och vinkelfrekvensen ω = k/m. Massan svänger
fortvarigt med amplituden 2b. Antag att den omgivande
vätskan fungerar som en linjär dämpare och beräkna dess
dämpningskoefficient c.
B
xB
g
Problem 195. En partikel med massan m är ledat fäst
vid en masslös vinkelhake. Vinkelhaken kan rotera friktionsfritt kring punkten O. Systemet är inspänt med en
fjäder (fjäderkonstant
k) och en dämpare (dämpnings√
koefficient c = km), där fjädern är ospänd i det avbildap
de läget. En given kraft F (t) = F0 cos(ωt) där ω = k/m
verkar på partikeln, så att den svänger fortvarigt med en
amplituden som är mycket mindre än skänklarnas längder. Uttryck partikelrörelsens amplitud Cp i givna storheter.
F (t)
m
k
k
b
m
c
O
ℓ
Problem 194. En massa m glider friktionsfritt mellan
två vertikala väggar. Den är upphängd i ett snöre, som
löper genom en masslös trissa fäst i taket. En fjäder med
fjäderkonstanten k förbinder massan med snörets ena ände. En dämpare med dämpningskoefficienten c förbinder
massan med en vibrerande kropp B, vars läge beskrivs av
xB (t) = b sin(ωt). Bestäm c så att systemet blir kritiskt
dämpat.
g
k
m
c
B
xB
39
A
Facit
A.1
Statik
1: SAB = mB g; SAC = SCD = (mA + mB )g
2: FA = 12 m1 g + 1 − x` m2 g; FB = 12 m1 g + x` m2 g
sin β
sin γ
3: FA = mg sin(β+γ)
; FB = mg sin(β+γ)
4: F~O = −0,60~ex + 4,42~ey kN; CO = 7,00 kN·m (moturs)
cos(β)
5: S = mg sin(α+β)
6: P~ = S
7:
8:
9:
24
ex − 23
ey
13 ~
13 ~
2
FA = FB = 9 mg
mg √
S = 2 tan
γ 2 + 2 cos γ
1
NA = 6 mg− 16 sin β + hb
cos β T ; NB = 56 mg− 16
h
b
sin β + 5 cos β T
10: FO = 4,70 kN
+m2 cos γ
cos θ
11: θ = arctan m1m
; N = m1 g cos(γ/2)
2 sin γ
12: S =
13:
14:
15:
16:
17:
18:
√
5
mg
√2
3
S = 2 mg
√
S1 = 4 27106 P ;
8
S2 = 89 P ; F~A = P 27
~ex + 95 ~ey + 43 ~ez
~ O = − mg `( 1 ` + b)~ey + 1 b2~ex
F~O = mg~ez ; C
`+b
2
2
q
S = 32 mg
1
1
1
~ O = mgb 1 ~ey − √
√
F~O = mg 4√
~
e
+
~
e
+
~
e
;
C
~
e
x
y
z
z
2
3
2 3
2 3
q
`2
`
FA = P b2 + 2 b sin γ + 1
F
19: a) F~A = −F (2 cot γ~ex +~ey ); b) F~A = − sin(γ−β)
[2 cos β cos γ~ex + sin(β + γ)~ey ]
20: FE = 0,585 P
= 0,252 P
r
2
b−d
22: FA = Plim
+1
2
b+`
√
23: 2`P/x
21: FE =
63
250 P
24: xC = 83 b; yC = 35 b
25: xC =
26: xC =
3
3
10 b; yC = 4 a
h(a+2b)
a2 +ab+b2
3(a+b) ; yC = 3(a+b)
42
problemsamling: statik och partikeldynamik
27: xC =
12a
25 ;
yC =
3a
7
33: xC = 244 mm; yC = 118 mm
34: xC = 0; yC =
2
8−π h
35: xG = 3,03 m; yG = 2,11 m
2r
36: xG = 0; yG = − 2+π
37: xG =
38: xG =
2r
2+π ; yG = 0
3b
4b
10 ; yG = 5 ;
zG =
3b
10
39: h = 42,9 mm
41: h =
= 1,79 b
Pn−1 1 ; b → ∞ då n → ∞
42: b = d 1 + i=1 2i
147
82 b
γ+µs cos γ
43: S = mg sin
µs sin θ+cos θ
44: a) F~f = 241~ey N; b) F~f = 251~ey N
√
3−1√
√
1+2 6+ 3
m1
µs2 < mµ1s1+m
2
45: µs =
46:
≈ 0,0959
q
`2
2
47: s = ` µs m1m+m
b2 − 1 −
1
m2
2m1
= 3,24 m.
µs mgr
√ 2
48: θ = arcsin rr21 ; P =
r1 +µs r22 −r12
49: θ = arctan µ1s + 2 tan γ
πµs
50: θ = arcsin 2−πµ
s
51: µs =
17
√
19 3
55: µs >
ln 5
3π
√
52: m2 = (2 3 − 3)m1
µs cos α
53: P = mg`
+
µ
cos
α
+
sin
α
(cos α − µs sin α) = 431 N
s
b+`
1+µs sin α
sin α+µs cos α
54: P = µs + cos
α−µs sin α mg = 819 N
56: S = mg exp
13π
3 µs
57: S = mg exp −µs 2 arcsin 32 + π2
58: S = mg/(1 + eµk π )
59: m2 = 2m1 (sin γ + µs cos γ)eµs (γ+π/2)
A.2
Partikeldynamik
60: x(t) = 31 b2 t3 + 13 b1 t2 + b0 t + d; a(t) = 2b2 t + b1
√
61: b = `/ c2 − 1
62: v̄ = 2v0 (v1 + v2 )/(2v0 + v1 + v2 )
q
v2
64: a) h = 2g0 ; b) τ = vg0 1 + 1 + 2g`
2
v0
p
2
65: v1 = 2ag h + v0 = 3,92 m/s
2 2
66: D = 2C1 2 ln 1 + C
C1 v0
p
67: u = v02 + 2K/R
68: ~a(t) = −8 cos(2t)~ex − 10~ey
69: t = 0,60 s
facit
p
70: v0 = ` g/2h
71: θ1,2 = arctan
72: θ =
v02
g`
±
q
v04
g 2 `2
−
2v02 h
g`2
−1
arctan(cot γ)
√
73: τ = ( 3 − 1)v0 /g
q
74: ` = v0gu 1 + 1 + u2g2 (h − utC ) = 316 m
1
2
75: vP = 0,475 m/s; aP = 0,465 m/s2
q √
g
n2 − 1
76: ω = R
77: vP = 329 m/s; aP = 0,0240 m/s2
78: ~vA (θ) = −bω sin θ ~er +bω(1+cos θ)~eθ ; ~aA (θ) = −bω 2 (1+2 cos θ)~er −
2bω 2 sin θ~eθ
79: v =
r θ̇
cos θ
= 0,44 km/s; a =
r̈−r θ̇ 2
sin θ
= 15 m/s2
p
80: v = u 1 + b2 /`2
82: φ(s) = arctan 2s
R
83: ṙ = v0 cos γ; θ̇ =
84: φ(r) = arccos √
v0
`
sin γ; r̈ =
v02
`
Ar
(r 2 +A2 )(r 2 +4A2 )
v2
sin2 γ; θ̈ = − `20 sin(2γ) −
g
`
85: a) framåt; b) höger; c) bakåt; d) vänster.
86: a = v 2 /ρ = 0,80m/s2
p
87: v̇ = ± a2 − v 4 /ρ2
88: a = 0,0727 m/s2
q
√
; tB = `/ ρamax .
89: tA = ρ` aρ−h
max
90: v̇ = ag sin θ − av = −10,40 m/s2 ; ρ = ag vcos θ = 2278 km
q
√
91: tA = [πρA + 2(ρB − ρA )]/ µs ρA g = 10,89 s; tB = π µρsBg = 10,60 s
2
v12 −v02
ex
4` ~
92: ~aB =
+
v12 +v02
ey
2ρ ~
93: a) v(t) = 2bct; b) ~a(t) = 2bc(~et + 2ct2~en ); c) s(t) = bct2 ; d) v(s) =
√
2 bcs
v2
v2
95: an = R sin0 2 θ ; at = − R sin2 0θ tan θ
2
2
96: ~a = vρ sin θ + v̇ cos θ ~er + vρ cos θ − v̇ sin θ ~eθ
q
√ 2
√
2
2v0
2+
√ + v0 t; b)
97: a) 2at
v
2as;
c)
2s
+
0
a
2
p
√
98: u = µs ρg sin(2`/ρ) då `/ρ < π/4, u = µs ρg annars
99: N = m(a + g) då a > −g
100: T = F m2 /(m1 + m2 ) = 13,3 kN; a = F/(m1 + m2 ) = 0,667 m/s2
101: a) a = 1,40m/s2 ; b) a = 3,27 m/s2
102: a = 3S/m − g sin γ
103: τ =
v0
g(sin β+µk cos β) ;
d=
v02
2g(sin β+µk cos β)
104: a) aA = aB = 0,833 m/s2 ; b) aA = 1,41 m/s2 , aB = 1,31 m/s2
105: FA = 23,2 kN
106: S = 128 N
107: a1 =
4m1 m2 +m0 (m1 −m2 )
4m1 m2 +m0 (m1 +m2 ) g
43
44
problemsamling: statik och partikeldynamik
108: a) N = m|v 2 /r − g cos γ|; b) v̇ = −g sin γ
109: S = mg cos θ
110: µs =
111:
112:
113:
1
2
cos θ sin θ − rω /g
p
v̇ 2 + g 2 + v 4 /r2
F =m
2
a) NA = m(v 2 /r + g); b) NB = m(v 2 /r − g)
q √
q √
q √
r−8
r+8
a) v0 = rg/ 3; b) 5 11
rg < v < 5 11
rg
114: 3,06 rad/s ≤ |ω| ≤ 5,62 rad/s
q
s cos β−sin β)
µs ≥ tan β
115: ω = g(µ
ρ(cos β+µs sin β) ,
p
116: ` = 2v0 h/g
117: g = 9,803 N/kg
118: ~v (t) = (v0 cos θ0 )e−ηt/m~ex +
p
119: N = 2mω ṙ02 + ω 2 (`2 − r02 )
v02
120: θB = arcsin 23 + 3gr
h
v0 sin θ0 +
2
121: a) v = v0 e−µk θ ; b) θ1/2 = ln
µk
q
v4
v2
122: d = 2µr k ln gr0 + 1 + g2 0r2
√
124: v = 2gh
p
125: vB = 2gr + 2kr2 /m
q
126: a) vB = 2g`(cos γ − 12 sin γ); δ =
Fβ
+ cos β − 1
127: s = sinRβ mg
128: U =
mg
√
2 2k
mg
η
e−ηt/m −
q
1+ 1+
mg
η
√
4 2k`
mg
i
~ey
k1 k2 x2
2(k1 +k2 )
129: a) Ve (x, y) = 21 k1 y 2 + 12 k2 (x − y)2 ; b) miny Ve =
q
√
130: v = gr 7−3 5
k1 k2 x2
2(k1 +k2 )
131: S = mg
p
132: vmax = mg 2 /k
1/2
p
A `A −mB `B
= 1,53 m/s; b) δ = 2g sin θ(mA `A − mB `B )/k =
133: a) vB = `B m
2g
sin
θ
2
2
mA `A +mB `B
12,4 mm
134: N (θ) = mg[2 cos(θ) − θ − 1]
p
135: vA = 2(mA − 2µk mB )gh/(mA + 4mB )
136: θ = 42◦
n
137: vB = 2F hmcos γ − 2gh −
p
138: v = 19g`0 /32
139: N (θ) =
140: δ =
5
8R
141: v2 =
3P `
m
142: F (t) =
143:
144:
kδ 2
R
k
m
√
2
o1/2
h − 2`0
b2 + h2 − b
= 6,35 m/s
+ mg(3 cos θ − 2)
+ v13
1/3
q
mP
2t
P (t) = 12 ct2 (ct/m − 2g sin γ)
P
a) v(t) = v0 + mω
(1 − e−ωt ); b)
P
−ωt
s(t) = v0 t + mω
− 1)
2 (ωt + e
facit
145: v2 = 0,20 m/s
146: a) u =
147: v =
m1
m1 +m2 v;
cos θ
√
148: v = w + 25 2g`
m0
m v0
2
b) δT = − m1m+m
2
149: v = gτ (1 − cos β + sin β − sin β cos β)
2 m0
m
v2
; b) δT = − m+m
150: a) θ = arccos 1 − 2g`
m+m0
0
~ = m[(v2 cos γ + v1 cos β)~ex + (v2 sin γ − v1 sin β)~ey ]
151: L
h
i
2
m
152: θ = arccos 1 − 2bgmL
2 (m+m )
0
0
~ O = mv(h~ex + b~ez )
153: H
~ O = mv`(3~ez − 4~ex );
154: H
~O
dH
dt
= F `(6~ex − 3~ey )
155: θ1,2 = ±60
~ A = mv`(− cos γ~ey − sin γ~ez )
156: H
◦
157: v1 =
r0
r1 v 0
q
158: vB = v/ 2c − 1
159: ω =
2mv cos γ
`(4m+5m0 )
`
√
2 2
160: h =
moturs
161: e =
p
h2 /h1 = 0,82
n−1 p
163: vn = 1+e
2g`(1 − cos θ)
2
p
2
2
164: a) s = h 1−e2 − 1 ; b) τ = 2h/g 1−e
−1
√
2
A −mB
2gh; b) H = 9h
165: a) vB0 = e mAm+2em
A +mB
166: a) ~u = 13 v(~ex + 2~ey ); b) ` =
5v 2
9g
167: ~v0 = −520~ex − 6400~ey m/s
√
√
√ ~ = − 1/ 6 + 1/ 2 mv~ex
168: e = 1/ 3; L
q √
169: v 0 = 1316 3 g`
170: 8h sin θ
171: ẍ +
k
mx
172: ωn =
0,314 s
p
=g
k/m = 20 rad/s; fn =
1
2π
p
p
k/m = 3,18 Hz; τ = 2π m/k =
173: x(t) = 2,0 cos(ωn t) cm där ωn = 12 rad/s
174: a) x(t) = −2,00 cos(ωn t) + 0,83 sin(ωn t) cm där ωn = 12 rad/s; b)
C = 2,17 cm
q
2m
175: t = 2π
3
k
p
176: v0 ≤ µs g 5m/k
p
177: ωn = 2 k/m
p
178: ωn = (4k1 + k2 )/(4m1 + m2 )
hq
q
q
i
4hk
2k
2k
0 )g
179: `(t) = `0 + (m+m
+ mg
2k
2k
(m+m0 )g sin
m+m0 t − cos
m+m0 t
√
c
k
184: a) ẍ + m
ẋ + m
x = g; b) c < 2 km
h
√
√
i
185: x(t) = (x0 − mg/k) cos 23 ωn t + √13 sin 23 ωn t e−ωn t/2 +
45
46
problemsamling: statik och partikeldynamik
mg/k, där ωn =
p
k/m
186: k = c2 /(8m)
187: x(t) =
p
[1 − (1 − ωn t)e−ωn t ] , ωn = g`
h
p
√
mg − 12 t k/m
cos 12 t 3k/m +
188: `(t) = `0 + mg
k + k e
√
189: c = 4 km
`
2
190: a) Cp = 1,14 cm; b) Cp = 2,78 cm
191: Cp =
192: a) c
193: c =
m2 g
5c2
√
< 23 km;
√
1
2 km
√
194: c = 4 km
195: Cp =
F 0 b2
k`2
b) ω =
p
k/m
√1
3
sin
i
p
1
2 t 3k/m