Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 4, Matematisk statistik 7.5hp för E Summor och väntevärden Anna Lindgren 11 november 2015 Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 1/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk variabel (X, Y) Simultan fördelningsfunktion: FX,Y (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) Simultan sannolikhetsfunktion: pX,Y (j, k) = P(X = j, Y = k) ∂2 Simultan täthetsfunktion: fX,Y (x, y) = FX,Y (x, y) ∂x∂y Några egenskaper: ▶ P[(X, Y) ∈ A] = ∑ pX,Y (j, k) (j,k)∈A ∫∫ ▶ ▶ P[(X, Y) ∈ A] = fX,Y (x, y) dxdy A ∑ pX (j) = pX,Y (j, k) Marginell slh.funkt. för X ∫k ∞ ▶ fX,Y (x, y) dx fY (y) = Marginell täthet för Y −∞ Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 2/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians 2D stokastisk variabel Fler egenskaper (för täthetsfunktioner) ▶ Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y fX∣Y=y (x) = ▶ fX,Y (x, y) fY (y) X och Y är oberoende ⇐⇒ fX,Y (x, y) = fX (x) ⋅ fY (y) för alla (x, y) ▶ Satsen om total sannolikhet ∫ ∞ fY (y) = fY∣X=x (y) ⋅ fX (x) dx −∞ ▶ Bayes sats fY∣X=x (y) ⋅ fX (x) −∞ fY∣X=z (y) ⋅ fX (z) dz fX∣Y=y (x) = ∫ ∞ Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 3/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Oberoende Exempel Summa av två oberoende, Z = X + Y Diskret: pZ (k) = ∑ pX (i) ⋅ pY (j) = k ∑ pX (i) ⋅ pY (k − i) i=0 i+j=k Kontinuerlig: ∫∫ ∫ FZ (z) = fX (x) ⋅ fY (y) dxdy = ∞ fX (x) ⋅ FY (z − x) dx −∞ x+y≤z ∞ ∫ fX (x) ⋅ fY (z − x) dx fZ (z) = −∞ Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 4/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Oberoende Exempel Summor av tärningskast Summa av tärningar pX(k) 0.2 0.1 50 0 1 40 2 30 3 4 20 5 6 10 7 8 0 k Antal tärningar Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 5/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Oberoende Exempel Exempel: Summa av diskreta stokastiska variabler Vad blir sannolikhetsfunktionen för summan av två Geometriska stokastiska variabler X och Y? pX (k) = pY (k) = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . . , 0.5 pX(k) 0.4 pX+Y(k) 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 k Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 6/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Oberoende Exempel Exempel: Summa av kontinuerliga stokastiska variabler Vad blir tätheten för Z = X + Y om X, Y ∈ Exp(l), där X och Y är oberoende? { le−lx x > 0 fX (x) = fY (x) = 0 f.ö. 0.4 fX(x) fX+Y(x) 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 x Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 7/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Maximum Störst av två oberoende Z = max(X, Y) FZ (z) =P(Z ≤ z) = P(max(X, Y) ≤ z) = P(X ≤ z ∩ Y ≤ z) =FX (z) ⋅ FY (z) Störst av fler oberoende Z = max(X1 , . . . , Xn ) FZ (z) = FX1 (z) ⋅ . . . ⋅ FXn (z) Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 8/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Minimum Minst av två oberoende Z = min(X, Y) FZ (z) =P(Z ≤ z) = P(min(X, Y) ≤ z) = 1 − P(min(X, Y) > z) =1 − P(X > z ∩ Y > z) = 1 − [1 − FX (z)] ⋅ [1 − FY (z)] Minst av fler oberoende Z = min(X1 , . . . , Xn ) FZ (z) = 1 − [1 − FX1 (z)] ⋅ . . . ⋅ [1 − FXn (z)] Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 9/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Exempel: Tid tills maskin går sönder Vi har en komplicerad maskin som består av n stycken delsystem. Maskinen fungerar så länge varje delsystem fungerar. Antag att tiden till att delsystem k går sönder är Tk , där Tk ∈ Exp(lk ), för k = 1, 2, . . . , n. Delsystemen går sönder oberoende av varandra. Vad är fördelningen för tiden tills maskinen går sönder? Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 10/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Täthetsfunktioner för min och max av exponentialfördelning 2 X, Y max(X,Y) min(X,Y) 1 0 0 1 2 3 x Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 11/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Täthetsfunktioner för max av 1,10,50,100,250,500 Exp(1)−fördelningar 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 Anna Lindgren — [email protected] 6 8 FMSF20 F4: väntevärden 10 12/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Väntevärden Succesiva medelvärden för 6 tärningar 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 10 1 2 10 3 10 10 4 10 Antal tärningskast Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 13/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Väntevärde, E(X), m, mX , m, . . . Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i ”medeltal i långa loppet”. {∫ ∞ −∞ x ⋅ fX (x) dx Kont. E(X) = ∑ Diskr. k k ⋅ pX (k) Väntevärde av Y = g(X) {∫ ∞ E(Y) = −∞ g(x) ⋅ fX (x) dx ∑ k g(k) ⋅ pX (k) Anna Lindgren — [email protected] Kont. Diskr. FMSF20 F4: väntevärden 14/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Exempel: Keno-3 (igen) I Keno-3 väljs 3 av 70 nr. Vid dragning väljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. Låt X = Antal vinstnr man prickar in och Y = Vinsten (kr). Två vinstnr ger 5 kr och 3 vinstnr ger 90 kr. Sannolikhetsfunktionerna är k j 0 1 2 3 0 5 90 pX (j) 0.36 0.45 0.17 0.02 pY (k) 0.81 0.17 0.02 Vad är väntevärdet av antal vinstnr, X, resp. vinsten (kr), Y = g(X)? 1 1 pX(k) E(X) 0.8 pY(k) 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 1 2 3 E(Y) 0.8 0 0 20 k Anna Lindgren — [email protected] 40 60 80 k FMSF20 F4: väntevärden 15/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Exempel 1. Vad blir väntevärdet E(X) om X ∈ Exp(l)? 0.4 fX(x) E(X) 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 x 2. Vad blir väntevärdet av a + bX om X ∈ Exp(l)? Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 16/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Varians, V(X), s2 , s2X Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. {[ ]2 } = E(X 2 ) − E(X)2 V(X) = E X − E(X) Variansen är alltid positiv. Standardavvikelse, D(X), s, sX D(X) = ▶ √ V(X) Standardavvikelsen har samma dimension som X och E(X). Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 17/18 Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Exempel Exempel ▶ Vad blir variansen V(X) om X ∈ Exp(l)? ▶ Vad blir standardavvikelsen D(X) om X ∈ Exp(l)? Anna Lindgren — [email protected] FMSF20 F4: väntevärden 18/18
© Copyright 2024